Grupo extra especial

Concepto en álgebra abstracta

En teoría de grupos , una rama del álgebra abstracta , los grupos extraespeciales son análogos del grupo de Heisenberg sobre cuerpos finitos cuyo tamaño es un primo. Para cada primo p y entero positivo n hay exactamente dos (salvo isomorfismo) grupos extraespeciales de orden p ^{1+2 n} . Los grupos extraespeciales suelen aparecer en centralizadores de involuciones . La teoría de caracteres ordinarios de los grupos extraespeciales se entiende bien.

Definición

Recordemos que un grupo finito se denomina p -grupo si su orden es una potencia de un primo p .

Un p -grupo G se llama extraespecial si su centro Z es cíclico de orden p , y el cociente G / Z es un p -grupo abeliano elemental no trivial .

Los grupos extraespeciales de orden p ^{1+2 n} se denotan a menudo con el símbolo p ^{1+2 n} . Por ejemplo, 2 ¹⁺²⁴ representa un grupo extraespecial de orden 2 ²⁵ .

Clasificación

Todo p -grupo extraespecial tiene orden p ^{1+2 n} para algún entero positivo n , y a la inversa para cada uno de esos números hay exactamente dos grupos extraespeciales salvo isomorfismo. Un producto central de dos p -grupos extraespeciales es extraespecial, y todo grupo extraespecial puede escribirse como un producto central de grupos extraespeciales de orden p ³ . Esto reduce la clasificación de los grupos extraespeciales a la de los grupos extraespeciales de orden p ³ . La clasificación se presenta a menudo de forma diferente en los dos casos p impar y p = 2, pero también es posible una presentación uniforme.

pagextraño

Existen dos grupos extraespeciales de orden p ³ , que para p impar están dados por

• Grupo de matrices triangulares de 3x3 sobre un cuerpo de p elementos, con 1 en la diagonal. Este grupo tiene exponente p para p impar (pero exponente 4 si p  = 2).
• Producto semidirecto de un grupo cíclico de orden p ² por un grupo cíclico de orden p que actúa sobre él de manera no trivial. Este grupo tiene exponente  p ² .

Si n es un entero positivo existen dos grupos extraespeciales de orden p ^{1+2 n} , que para p impar están dados por

• Producto central de n grupos extraespeciales de orden p ³ , todos de exponente p . Este grupo extraespecial también tiene exponente  p .
• Producto central de n grupos extraespeciales de orden p ³ , al menos uno de exponente p ² . Este grupo extraespecial tiene exponente p ² .

Los dos grupos extraespeciales de orden p ^{1+2 n} se distinguen más fácilmente por el hecho de que uno tiene todos los elementos de orden p como máximo y el otro tiene elementos de orden  p ² .

pag= 2

Hay dos grupos extraespeciales de orden 8 = 2 ³ , que están dados por

• El grupo diedro D ₈ de orden 8, que puede venir dado también por cualquiera de las dos construcciones del apartado anterior para p = 2 (para p impar dan grupos diferentes, pero para p = 2 dan el mismo grupo). Este grupo tiene 2 elementos de orden 4.
• El grupo de cuaterniones Q ₈ de orden 8, que tiene 6 elementos de orden 4.

Si n es un entero positivo hay dos grupos extraespeciales de orden 2 ^{1+2 n} , que están dados por

• Producto central de n grupos extraespeciales de orden 8, de los cuales un número impar son grupos cuaterniones. La forma cuadrática correspondiente (ver más abajo) tiene Arf invariante 1.
• Producto central de n grupos extraespeciales de orden 8, de los cuales un número par son grupos cuaterniones. La forma cuadrática correspondiente (ver más abajo) tiene Arf invariante 0.

Los dos grupos extraespeciales G de orden 2 ^{1+2 n} se distinguen más fácilmente de la siguiente manera. Si Z es el centro, entonces G / Z es un espacio vectorial sobre el cuerpo con 2 elementos. Tiene una forma cuadrática q , donde q es 1 si la sustentación de un elemento tiene orden 4 en G , y 0 en caso contrario. Entonces, el invariante Arf de esta forma cuadrática se puede utilizar para distinguir los dos grupos extraespeciales. De manera equivalente, se pueden distinguir los grupos contando el número de elementos de orden 4.

Todopag

Una representación uniforme de los grupos extraespeciales de orden p ^{1+2 n} se puede dar de la siguiente manera. Definamos los dos grupos:

• ${\displaystyle M(p)=\langle a,b,c:a^{p}=b^{p}=1,c^{p}=1,ba=abc,ca=ac,cb=bc\rangle }$
• ${\displaystyle N(p)=\langle a,b,c:a^{p}=b^{p}=c,c^{p}=1,ba=abc,ca=ac,cb=bc\rangle }$

M ( p ) y N ( p ) son grupos extraespeciales no isomorfos de orden p ³ con centro de orden p generado por c . Los dos grupos extraespeciales no isomorfos de orden p ^{1+2 n} son los productos centrales de n copias de M ( p ) o n −1 copias de M ( p ) y 1 copia de N ( p ). Este es un caso especial de una clasificación de p -grupos con centros cíclicos y subgrupos derivados simples dados en (Newman 1960).

Teoría del carácter

Si G es un grupo extraespecial de orden p ^{1+2 n} , entonces sus representaciones complejas irreducibles se dan de la siguiente manera:

• Hay exactamente p ^{2 n} representaciones irreducibles de dimensión 1. El centro Z actúa de manera trivial y las representaciones simplemente corresponden a las representaciones del grupo abeliano G / Z .
• Existen exactamente p  − 1 representaciones irreducibles de dimensión p ⁿ . Existe una de ellas para cada carácter no trivial χ del centro, sobre el que el centro actúa como multiplicación por χ . Los valores de los caracteres están dados por p ⁿ χ en Z , y 0 para elementos que no están en Z .
• Si un p -grupo no abeliano G tiene menos de p ²  −  p caracteres irreducibles no lineales de grado mínimo, es extraespecial.

Ejemplos

Es bastante común que el centralizador de una involución en un grupo simple finito contenga un subgrupo extraespecial normal. Por ejemplo, el centralizador de una involución de tipo 2B en el grupo monstruo tiene estructura 2 ¹⁺²⁴ .Co ₁ , lo que significa que tiene un subgrupo extraespecial normal de orden 2 ¹⁺²⁴ , y el cociente es uno de los grupos de Conway .

Generalizaciones

Los grupos cuyo centro , subgrupo derivado y subgrupo de Frattini son todos iguales se denominan grupos especiales . Los grupos especiales infinitos cuyo subgrupo derivado tiene orden p también se denominan grupos extraespeciales. La clasificación de los grupos extraespeciales contablemente infinitos es muy similar al caso finito (Newman 1960), pero para cardinalidades mayores incluso las propiedades básicas de los grupos dependen de cuestiones delicadas de la teoría de conjuntos, algunas de las cuales se exponen en (Shelah y Steprāns 1987). Los grupos nilpotentes cuyo centro es cíclico y el subgrupo derivado tiene orden p y cuyas clases de conjugación son, como máximo, contablemente infinitas se clasifican en (Newman 1960). Los grupos finitos cuyo subgrupo derivado tiene orden p se clasifican en (Blackburn 1999).

Referencias

• Blackburn, Simon R. (1999), "Grupos de orden de potencia primo con subgrupo derivado de orden primo", Journal of Algebra , 219 (2): 625–657, doi : 10.1006/jabr.1998.7909 , ISSN  0021-8693, MR  1706841
• Gorenstein, D. (1980), Grupos finitos , Nueva York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6, Sr.  0569209
• Newman, MF (1960), "Sobre una clase de grupos nilpotentes", Actas de la London Mathematical Society , Tercera serie, 10 : 365–375, doi :10.1112/plms/s3-10.1.365, ISSN  0024-6115, MR  0120278
• Shelah, Saharon ; Steprāns, Juris (1987), "Grupos p extraespeciales", Anales de lógica pura y aplicada , 34 (1): 87–97, doi : 10.1016/0168-0072(87)90041-8 , ISSN  0168-0072, MR  0887554