Un contraejemplo es cualquier excepción a una generalización . En lógica un contraejemplo refuta la generalización, y lo hace con rigor en los campos de las matemáticas y la filosofía . [1] Por ejemplo, el hecho de que "el estudiante John Smith no es vago" es un contraejemplo de la generalización "los estudiantes son vagos", y al mismo tiempo un contraejemplo y una refutación de la cuantificación universal "todos los estudiantes son vagos". [2]
En matemáticas, los contraejemplos se utilizan a menudo para demostrar los límites de posibles teoremas. Al utilizar contraejemplos para demostrar que ciertas conjeturas son falsas, los investigadores matemáticos pueden evitar caer en callejones sin salida y aprender a modificar conjeturas para producir teoremas demostrables. A veces se dice que el desarrollo matemático consiste principalmente en encontrar (y demostrar) teoremas y contraejemplos. [3]
Supongamos que una matemática está estudiando geometría y formas y desea demostrar ciertos teoremas sobre ellas. Ella conjetura que "Todos los rectángulos son cuadrados " y le interesa saber si esta afirmación es verdadera o falsa.
En este caso, puede intentar probar la verdad de la afirmación mediante razonamiento deductivo o puede intentar encontrar un contraejemplo de la afirmación si sospecha que es falsa. En el último caso, un contraejemplo sería un rectángulo que no sea un cuadrado, como un rectángulo con dos lados de longitud 5 y dos lados de longitud 7. Sin embargo, a pesar de haber encontrado rectángulos que no eran cuadrados, todos los rectángulos que encontró encontrar tenía cuatro lados. Luego hace la nueva conjetura "Todos los rectángulos tienen cuatro lados". Esto es lógicamente más débil que su conjetura original, ya que cada cuadrado tiene cuatro lados, pero no toda figura de cuatro lados es un cuadrado.
El ejemplo anterior explicaba, de manera simplificada, cómo un matemático podría debilitar su conjetura frente a contraejemplos, pero los contraejemplos también pueden usarse para demostrar la necesidad de ciertos supuestos e hipótesis . Por ejemplo, supongamos que después de un tiempo, el matemático anterior se decidió por la nueva conjetura "Todas las formas que son rectángulos y tienen cuatro lados de igual longitud son cuadrados". Esta conjetura tiene dos partes de la hipótesis: la forma debe ser "un rectángulo" y debe tener "cuatro lados de igual longitud". Entonces, al matemático le gustaría saber si puede eliminar cualquiera de los supuestos y aún mantener la verdad de su conjetura. Esto significa que necesita verificar la veracidad de las dos afirmaciones siguientes:
Ya se dio un contraejemplo de (1) anteriormente, y un contraejemplo de (2) es un rombo no cuadrado . Así, el matemático sabe ahora que cada suposición por sí sola es insuficiente.
Un contraejemplo de la afirmación "todos los números primos son números impares " es el número 2, ya que es un número primo pero no es un número impar. [1] Ninguno de los números 7 o 10 es un contraejemplo, ya que ninguno de ellos es suficiente para contradecir la afirmación. En este ejemplo, 2 es de hecho el único contraejemplo posible de la afirmación, aunque eso por sí solo es suficiente para contradecir la afirmación. De manera similar, la afirmación "Todos los números naturales son primos o compuestos " tiene el número 1 como contraejemplo, ya que 1 no es ni primo ni compuesto.
La conjetura de la suma de potencias de Euler fue refutada por un contraejemplo. Afirmó que eran necesarias al menos una enésima potencia para sumar otra enésima potencia . Esta conjetura fue refutada en 1966, [4] con un contraejemplo que involucra n = 5; Ahora se conocen otros n = 5 contraejemplos, así como algunos n = 4 contraejemplos. [5]
El contraejemplo de Witsenhausen muestra que no siempre es cierto (para problemas de control ) que una función de pérdida cuadrática y una ecuación lineal de evolución de la variable de estado impliquen leyes de control óptimas que sean lineales.
En el plano euclidiano, todas las isometrías son asignaciones que preservan el área , pero lo contrario es falso, como lo muestran los contraejemplos de mapeo de corte y mapeo de compresión .
Otros ejemplos incluyen las refutación de la conjetura de Seifert , la conjetura de Pólya , la conjetura del decimocuarto problema de Hilbert , la conjetura de Tait y la conjetura de Ganea .
En filosofía , se suelen utilizar contraejemplos para argumentar que una determinada posición filosófica es errónea al mostrar que no se aplica en determinados casos. Alternativamente, el primer filósofo puede modificar su afirmación de modo que el contraejemplo ya no se aplique; esto es análogo a cuando un matemático modifica una conjetura debido a un contraejemplo.
Por ejemplo, en el Gorgias de Platón , Calicles , tratando de definir lo que significa decir que algunas personas son "mejores" que otras, afirma que aquellos que son más fuertes son mejores.
Pero Sócrates responde que, debido a su fuerza numérica, la clase de la chusma común es más fuerte que la clase propietaria de los nobles, aunque las masas sean prima facie de peor carácter. Así, Sócrates ha propuesto un contraejemplo a la afirmación de Calicles, al examinar un área que Calicles tal vez no esperaba: grupos de personas en lugar de personas individuales.
Calicles podría cuestionar el contraejemplo de Sócrates, argumentando tal vez que la chusma común es realmente mejor que los nobles, o que incluso en su gran número, todavía no son más fuertes. Pero si Calicles acepta el contraejemplo, entonces debe retirar su afirmación o modificarla para que el contraejemplo ya no se aplique. Por ejemplo, podría modificar su afirmación para referirse sólo a personas individuales, exigiéndole pensar en la gente común como un conjunto de individuos y no como una multitud.
Da la casualidad de que modifica su afirmación para decir "más sabio" en lugar de "más fuerte", argumentando que ninguna superioridad numérica puede hacer que las personas sean más sabias.
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