Construcción Grothendieck

La construcción de Grothendieck (llamada así en honor a Alexander Grothendieck ) es una construcción utilizada en el campo matemático de la teoría de categorías . Es una construcción fundamental en la teoría de la descendencia , en la teoría de las pilas y en la teoría de las categorías fibrosas . En lógica categórica , la construcción se utiliza para modelar la relación entre una teoría de tipos y una lógica sobre esa teoría de tipos, y permite la traducción de conceptos de la teoría de categorías indexadas a la teoría de categorías fibrosas, como el concepto de hiperdoctrina de Lawvere.

La construcción de Grothendieck fue estudiada por primera vez para casos especiales de conjuntos por Mac Lane, donde se la llamó categoría de elementos . ^[1]

Motivación

Si es una familia de conjuntos indexados por otro conjunto, se puede formar la unión disjunta o coproducto ${\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i\in I}}$

${\displaystyle \coprod _{i\in I}A_{i}}$,

que es el conjunto de todos los pares ordenados tales que . El conjunto de unión disjunto está naturalmente equipado con un mapa de "proyección" ${\displaystyle (i,a)}$ ${\displaystyle a\in A_{i}}$

${\displaystyle \pi :\coprod _{i\in I}A_{i}\to I}$

definido por

${\displaystyle \pi (i,a)=i}$.

A partir de la proyección es posible reconstruir la familia original de conjuntos hasta una biyección canónica, como para cada uno a través de la biyección . En este contexto, para , la preimagen del conjunto singleton se denomina "fibra" de over , y cualquier conjunto equipado con una opción de función se dice que tiene "fibra" over . De esta manera, la construcción de la unión disjunta proporciona una manera de ver cualquier familia de conjuntos indexados por como un conjunto "fibrado" sobre , y a la inversa, para cualquier conjunto formado por fibras , podemos verlo como la unión disjunta de las fibras de . Jacobs se ha referido a estas dos perspectivas como "indexación de visualización" e "indexación puntual". ^[2] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle i\in I,A_{i}\cong \pi ^{-1}(\{i\})}$ ${\displaystyle a\mapsto (i,a)}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(\{i\})}$ ${\displaystyle \{i\}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:B\to I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f:B\to I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$

La construcción de Grothendieck generaliza esto a categorías. Para cada categoría , familia de categorías indexadas por los objetos de forma functorial, la construcción de Grothendieck devuelve una nueva categoría fibrada por un funtor cuyas fibras son las categorías . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \{F(c)\}_{c\in {\mathcal {C}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \{F(c)\}_{c\in {\mathcal {C}}}}$

Definición

Sea un functor de cualquier categoría pequeña a la categoría de categorías pequeñas . La construcción de Grothendieck para es la categoría (también escrita , o ), con ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\rightarrow \mathbf {Cat} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Gamma (F)}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{\textstyle {\mathcal {C}}}F}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {C}}\int F}$ ${\displaystyle F\rtimes {\mathcal {C}}}$

• los objetos son pares , donde y ; y ${\displaystyle (c,x)}$ ${\displaystyle c\in \operatorname {obj} ({\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {obj} (F(c))}$
• morfismos al ser pares tales que en , y en . ${\displaystyle \operatorname {hom} _{\Gamma (F)}((c_{1},x_{1}),(c_{2},x_{2}))}$ ${\displaystyle (f,g)}$ ${\displaystyle f:c_{1}\to c_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle g:F(f)(x_{1})\to x_{2}}$ ${\displaystyle F(c_{2})}$

La composición de los morfismos está definida por . ${\displaystyle (f,g)\circ (f',g')=(f\circ f',g\circ F(f)(g'))}$

Ejemplo

Si es un grupo , entonces puede verse como una categoría, con un objeto y todos los morfismos invertibles . Sea un functor cuyo valor en el único objeto de es la categoría, una categoría que representa al grupo de la misma manera. El requisito de que sea un functor equivale entonces a especificar un homomorfismo de grupo donde denota el grupo de automorfismos de Finalmente, la construcción de Grothendieck da como resultado una categoría con un objeto, que nuevamente puede verse como un grupo, y en este caso, el El grupo resultante es ( isomorfo a) el producto semidirecto . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{G},}$ ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}_{G}\to \mathbf {Cat} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{G}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{H},}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \varphi :G\to \operatorname {Aut} (H),}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (H)}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle F\rtimes {\mathcal {C}}_{G},}$ ${\displaystyle H\rtimes _{\varphi }G.}$

Ver también

• Categoría de elementos

Referencias

• Mac Lane y Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic , págs.44.
• RW Thomason (1979). La homotopía colimita en la categoría de categorías pequeñas. Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge, 85, págs. 91-109. doi:10.1017/S0305004100055535.

Específico

1. Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1994). Gavillas en geometría y lógica: una primera introducción a la teoría del topos (2., edición impresa corregida). Nueva York: Springer. ISBN 9780387977102.
2. Jacobs, Bart (1999). Lógica categórica y teoría de tipos . Ámsterdam Lausana Nueva York [etc.]: Elsevier. ISBN 0444501703.

enlaces externos

• Grothendieck Construcción en el n Lab