espinor de dirac

Espinor complejo de cuatro componentes

En la teoría cuántica de campos , el espinor de Dirac es el espinor que describe todas las partículas fundamentales conocidas que son fermiones , con la posible excepción de los neutrinos . Aparece en la solución de onda plana de la ecuación de Dirac , y es una determinada combinación de dos espinores de Weyl , concretamente, un bispinor que se transforma "espinorialmente" bajo la acción del grupo de Lorentz .

Los espinores de Dirac son importantes e interesantes en numerosos sentidos. Ante todo, son importantes porque describen todos los fermiones de partículas fundamentales conocidos en la naturaleza ; esto incluye el electrón y los quarks . Algebraicamente se comportan, en cierto sentido, como la "raíz cuadrada" de un vector . Esto no se desprende fácilmente del examen directo, pero poco a poco se ha ido aclarando a lo largo de los últimos 60 años que las representaciones espinoriales son fundamentales para la geometría . Por ejemplo, efectivamente, todas las variedades de Riemann pueden tener espinores y conexiones de espín construidas sobre ellas, mediante el álgebra de Clifford . ^[1] El espinor de Dirac es específico del espacio-tiempo de Minkowski y de las transformaciones de Lorentz ; el caso general es bastante similar.

Este artículo está dedicado al espinor de Dirac en la representación de Dirac . Esto corresponde a una representación específica de las matrices gamma y es más adecuado para demostrar las soluciones de energía positiva y negativa de la ecuación de Dirac. Hay otras representaciones, sobre todo la representación quiral , que es más adecuada para demostrar la simetría quiral de las soluciones de la ecuación de Dirac. Los espinores quirales pueden escribirse como combinaciones lineales de los espinores de Dirac que se presentan a continuación; por tanto, no se pierde ni se gana nada, salvo un cambio de perspectiva con respecto a las simetrías discretas de las soluciones.

El resto de este artículo se presenta de manera pedagógica, utilizando notaciones y convenciones específicas de la presentación estándar del espinor de Dirac en los libros de texto sobre teoría cuántica de campos. Se centra principalmente en el álgebra de las soluciones de ondas planas. La manera en que el espinor de Dirac se transforma bajo la acción del grupo de Lorentz se analiza en el artículo sobre bispinores .

Definición

El espinor de Dirac es el bispinor en el ansatz de onda plana. ${\displaystyle u\left({\vec {p}}\right)}$

$${\displaystyle \psi (x)=u\left({\vec {p}}\right)\;e^{-ip\cdot x}}$$

de la ecuación de Diracespinor ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle \left(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc\right)\psi (x)=0}$$

unidades naturales

$${\displaystyle \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi (x)=0}$$

notación de barra diagonal de Feynman

$${\displaystyle \left(i\partial \!\!\!/-m\right)\psi (x)=0}$$

A continuación se proporciona una explicación de los términos que aparecen en el ansatz.

• El campo de Dirac es un campo relativista de espín 1/2 , o concretamente una función en el espacio de Minkowski valorada en , una función vectorial compleja de cuatro componentes. ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$
• El espinor de Dirac relacionado con una onda plana con vector de onda es un vector que es constante con respecto a la posición en el espacio-tiempo pero que depende del impulso . ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle u\left({\vec {p}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}}$
• El producto interno en el espacio de Minkowski para vectores y es . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p\cdot x\equiv p_{\mu }x^{\mu }\equiv E_{\vec {p}}t-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}}$
• El momento de cuatro de una onda plana es arbitrario , ${\textstyle p^{\mu }=\left(\pm {\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}},\,{\vec {p}}\right):=\left(\pm E_{\vec {p}},{\vec {p}}\right)}$ ${\displaystyle {\vec {p}}}$
• En un sistema de referencia inercial dado , las coordenadas son . Estas coordenadas parametrizan el espacio de Minkowski. En este artículo, cuando aparece en un argumento, a veces se omite el índice. ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$

El espinor de Dirac para la solución de frecuencia positiva se puede escribir como

$${\displaystyle u\left({\vec {p}}\right)={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E_{\vec {p}}+m}}\phi \end{bmatrix}}\,,}$$

• ${\displaystyle \phi }$es un doble espinor arbitrario, concretamente un vector. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$
• ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$es el vector de Pauli ,
• ${\displaystyle E_{\vec {p}}}$es la raíz cuadrada positiva . Para este artículo, a veces se omite el subíndice y la energía se escribe simplemente . ${\textstyle E_{\vec {p}}=+{\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle E}$

En unidades naturales, cuando se suma m ^{2 a} p ² o cuando se suma m a , m significa mc en unidades ordinarias; cuando se suma m a E , m significa mc ² en unidades ordinarias. Cuando se suma m a o significa (lo que se llama longitud de onda Compton reducida inversa ) en unidades ordinarias. ${\displaystyle {p\!\!\!/}}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\textstyle {\frac {mc}{\hbar }}}$

Derivación de la ecuación de Dirac

La ecuación de Dirac tiene la forma

$${\displaystyle \left(-i{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\nabla }}+\beta m\right)\psi =i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}$$

Para derivar una expresión para los cuatro espinores ω , las matrices α y β deben darse en forma concreta. La forma precisa que adoptan depende de la representación. A lo largo de este artículo, se utiliza la representación de Dirac. En esta representación, las matrices son

$${\displaystyle {\vec {\alpha }}={\begin{bmatrix}\mathbf {0} &{\vec {\sigma }}\\-{\vec {\sigma }}&\mathbf {0} \end{bmatrix}}\quad \quad \beta ={\begin{bmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &-\mathbf {I} \end{bmatrix}}}$$

Estas dos matrices de 4×4 están relacionadas con las matrices gamma de Dirac . Tenga en cuenta que aquí 0 e I son matrices de 2 × 2.

El siguiente paso es buscar soluciones de la forma

$${\displaystyle \psi =\omega e^{-ip\cdot x}=\omega e^{-i\left(Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}\right)},}$$

ω

$${\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}\,.}$$

Resultados

Usar toda la información anterior para conectarla a la ecuación de Dirac da como resultado

$${\displaystyle E{\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}m\mathbf {I} &{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\\{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}&-m\mathbf {I} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(E-m\right)\phi &=\left({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\chi \\\left(E+m\right)\chi &=\left({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\phi \end{aligned}}}$$

Resuelva la segunda ecuación para χ y se obtiene

$${\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}.}$$

Tenga en cuenta que esta solución debe tener para que sea válida en un marco donde la partícula tiene . ${\textstyle E=+{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}={\vec {0}}}$

Derivación del signo de la energía en este caso. Consideramos el término potencialmente problemático . ${\textstyle {\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi }$

• Si , claramente como . ${\textstyle E=+{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}}$ ${\textstyle {\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle {\vec {p}}\rightarrow {\vec {0}}}$
• Por otro lado, sea , con un vector unitario, y sea . ${\textstyle E=-{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}=p{\hat {n}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle p\rightarrow 0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E=-m{\sqrt {1+{\frac {p^{2}}{m^{2}}}}}&\rightarrow -m\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {p^{2}}{m^{2}}}\right)\\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}&\rightarrow p{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\hat {n}}}{-m-{\frac {p^{2}}{2m}}+m}}\propto {\frac {1}{p}}\rightarrow \infty \end{aligned}}}$$

Por lo tanto, es evidente que debe omitirse la solución negativa, y . Finalizar la derivación. ${\textstyle E=+{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}}$

Al ensamblar estas piezas, la solución completa de energía positiva se escribe convencionalmente como

$${\displaystyle \psi ^{(+)}=u^{(\phi )}({\vec {p}})e^{-ip\cdot x}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}e^{-ip\cdot x}}$$

${\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}},}$

Resolviendo en cambio la primera ecuación para un conjunto diferente de soluciones se encuentra: ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}-{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{-E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}\,.}$$

En este caso, es necesario aplicar eso para que esta solución sea válida en un marco donde la partícula tiene . La prueba sigue de manera análoga al caso anterior. Esta es la llamada solución de energía negativa . A veces puede resultar confuso llevar consigo una energía explícitamente negativa, por lo que es convencional invertir el signo tanto de la energía como del impulso y escribir esto como ${\textstyle E=-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}={\vec {0}}}$

$${\displaystyle \psi ^{(-)}=v^{(\chi )}({\vec {p}})e^{ip\cdot x}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}e^{ip\cdot x}}$$

En un desarrollo posterior, las soluciones de tipo se denominan soluciones de partículas , lo que describe una partícula de espín 1/2 de masa positiva que transporta energía positiva, y las soluciones de tipo se denominan soluciones de antipartículas , que nuevamente describen una partícula de masa positiva. partícula spin-1/2, nuevamente portadora de energía positiva. En el marco del laboratorio, se considera que ambos tienen masa positiva y energía positiva, aunque todavía son muy duales entre sí, y el signo invertido en la onda plana de la antipartícula sugiere que está "viajando hacia atrás en el tiempo". La interpretación de "hacia atrás en el tiempo" es un poco subjetiva e imprecisa, y equivale a hacer un gesto con la mano cuando la única evidencia que tenemos son estas soluciones. Obtiene evidencia más sólida al considerar el campo de Dirac cuantificado. En la sección sobre conjugación de cargas , a continuación, se proporciona un significado más preciso para que estos dos conjuntos de soluciones sean "opuestas entre sí" . ${\displaystyle \psi ^{(+)}}$ ${\displaystyle \psi ^{(-)}}$

base quiral

En la representación quiral de , el espacio de solución está parametrizado por un vector , con solución de espinor de Dirac ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \xi }$

$${\displaystyle u(\mathbf {p} )={\begin{pmatrix}{\sqrt {\sigma \cdot p}}\,\xi \\{\sqrt {{\bar {\sigma }}\cdot p}}\,\xi \end{pmatrix}}}$$

los 4 vectores de Pauli ${\displaystyle \sigma ^{\mu }=(I_{2},\sigma ^{i}),~{\bar {\sigma }}^{\mu }=(I_{2},-\sigma ^{i})}$ ${\displaystyle {\sqrt {\cdot }}}$

Orientación de giro

Dos espinores

En la representación de Dirac, las definiciones más convenientes para los dos espinores son:

$${\displaystyle \phi ^{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\quad \quad \phi ^{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle \chi ^{1}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\quad \quad \chi ^{2}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$$

base ortonormal

matrices de pauli

Las matrices de Pauli son

$${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\quad \quad \sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}\quad \quad \sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$$

Utilizando estos, se obtiene lo que a veces se llama el vector de Pauli :

$${\displaystyle {\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}=\sigma _{1}p_{1}+\sigma _{2}p_{2}+\sigma _{3}p_{3}={\begin{bmatrix}p_{3}&p_{1}-ip_{2}\\p_{1}+ip_{2}&-p_{3}\end{bmatrix}}}$$

Ortogonalidad

Los espinores de Dirac proporcionan un conjunto completo y ortogonal de soluciones a la ecuación de Dirac. ^{[2] [3]} Esto se demuestra más fácilmente escribiendo los espinores en el marco de reposo, donde esto resulta obvio, y luego aumentando a un marco de coordenadas de Lorentz arbitrario. En el cuadro de reposo, donde el impulso de los tres se desvanece: se pueden definir cuatro espinores ${\displaystyle {\vec {p}}={\vec {0}},}$

$${\displaystyle u^{(1)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad u^{(2)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad v^{(1)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}}\qquad v^{(2)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}$$

Presentamos la notación de barra diagonal de Feynman

$${\displaystyle {p\!\!\!/}=\gamma ^{\mu }p_{\mu }}$$

los espinores potenciados se pueden escribir como

$${\displaystyle u^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\frac {{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}u^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}\phi ^{(s)}\\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi ^{(s)}\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle v^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\frac {-{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\chi ^{(s)}\\\chi ^{(s)}\end{bmatrix}}}$$

Los espinores conjugados se definen como los que se pueden demostrar para resolver la ecuación de Dirac conjugada. ${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$

$${\displaystyle {\overline {\psi }}(i{\partial \!\!\!/}+m)=0}$$

entendiéndose que la derivada actúa hacia la izquierda. Los espinores conjugados son entonces

$${\displaystyle {\overline {u}}^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\overline {u}}^{(s)}\left({\vec {0}}\right){\frac {{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}}$$

$${\displaystyle {\overline {v}}^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\overline {v}}^{(s)}\left({\vec {0}}\right){\frac {-{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}}$$

La normalización elegida aquí es tal que la invariante escalar realmente es invariante en todos los marcos de Lorentz. Específicamente, esto significa ${\displaystyle {\overline {\psi }}\psi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {u}}^{(a)}(p)u^{(b)}(p)&=\delta _{ab}&{\overline {u}}^{(a)}(p)v^{(b)}(p)&=0\\{\overline {v}}^{(a)}(p)v^{(b)}(p)&=-\delta _{ab}&{\overline {v}}^{(a)}(p)u^{(b)}(p)&=0\end{aligned}}}$$

Lo completo

Los cuatro espinores del marco de reposo indican que hay cuatro soluciones distintas, reales y linealmente independientes de la ecuación de Dirac. Que en realidad son soluciones puede quedar claro observando que, cuando se escribe en el espacio de momento, la ecuación de Dirac tiene la forma ${\displaystyle u^{(s)}\left({\vec {0}}\right),}$ ${\displaystyle \;v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)}$

$${\displaystyle ({p\!\!\!/}-m)u^{(s)}\left({\vec {p}}\right)=0}$$

$${\displaystyle ({p\!\!\!/}+m)v^{(s)}\left({\vec {p}}\right)=0}$$

Esto se debe a que

$${\displaystyle {p\!\!\!/}{p\!\!\!/}=p^{\mu }p_{\mu }=m^{2}}$$

matrices gamma

$${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\eta ^{\mu \nu }}$$

tensor métricovielbein ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$

$${\displaystyle \left(\gamma ^{0}-1\right)u^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=0}$$

$${\displaystyle \left(\gamma ^{0}+1\right)v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=0}$$

efecto Aharonov-Bohmhaz de fibras U(1)haz circularholonomía ${\displaystyle u^{(s)}\left({\vec {0}}\right),}$ ${\displaystyle \;v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)}$ ${\displaystyle e^{i\eta }.}$

Con una elección adecuada de las matrices gamma, es posible escribir la ecuación de Dirac en una forma puramente real, teniendo sólo soluciones reales: esta es la ecuación de Majorana . Sin embargo, sólo tiene dos soluciones linealmente independientes. Estas soluciones no se acoplan al electromagnetismo; Describen una partícula de espín 1/2 masiva y eléctricamente neutra. Al parecer, el acoplamiento al electromagnetismo duplica el número de soluciones. Pero, por supuesto, esto tiene sentido: acoplarse al electromagnetismo requiere tomar un campo real y hacerlo complejo. Con un poco de esfuerzo, la ecuación de Dirac puede interpretarse como la ecuación "complejizada" de Majorana. Esto se demuestra más fácilmente en un entorno geométrico genérico, fuera del alcance de este artículo.

Matrices de proyección de estados propios de energía

Es convencional definir un par de matrices de proyección y , que proyectan los estados propios de energía positivos y negativos. Dado un sistema de coordenadas de Lorentz fijo (es decir, un momento fijo), estos son ${\displaystyle \Lambda _{+}}$ ${\displaystyle \Lambda _{-}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{+}(p)=\sum _{s=1,2}{u_{p}^{(s)}\otimes {\bar {u}}_{p}^{(s)}}&={\frac {{p\!\!\!/}+m}{2m}}\\\Lambda _{-}(p)=-\sum _{s=1,2}{v_{p}^{(s)}\otimes {\bar {v}}_{p}^{(s)}}&={\frac {-{p\!\!\!/}+m}{2m}}\end{aligned}}}$$

Estos son un par de matrices de 4×4. Suman a la matriz identidad:

$${\displaystyle \Lambda _{+}(p)+\Lambda _{-}(p)=I}$$

$${\displaystyle \Lambda _{+}(p)\Lambda _{-}(p)=\Lambda _{-}(p)\Lambda _{+}(p)=0}$$

idempotentes

$${\displaystyle \Lambda _{\pm }(p)\Lambda _{\pm }(p)=\Lambda _{\pm }(p)}$$

Conviene fijarse en su huella:

$${\displaystyle \operatorname {tr} \Lambda _{\pm }(p)=2}$$

Tenga en cuenta que las propiedades de traza y ortonormalidad son independientes del marco de Lorentz; estas son covariantes de Lorentz.

Conjugación de carga

La conjugación de carga transforma el espinor de energía positiva en el espinor de energía negativa. La conjugación de carga es un mapeo (una involución ) que tiene la forma explícita ${\displaystyle \psi \mapsto \psi _{c}}$

$${\displaystyle \psi _{c}=\eta C\left({\overline {\psi }}\right)^{\textsf {T}}}$$

la conjugación de cargacarga eléctricamatrices gamma ${\displaystyle (\cdot )^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta ^{*}\eta =1.}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma _{2}\\-i\sigma _{2}&0\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle \psi ^{(+)}=u\left({\vec {p}}\right)e^{-ip\cdot x}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}e^{-ip\cdot x}}$$

$${\displaystyle \psi _{c}^{(+)}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}i\sigma _{2}{\frac {{\vec {\sigma }}^{*}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi ^{*}\\-i\sigma _{2}\phi ^{*}\end{bmatrix}}e^{ip\cdot x}}$$

$${\displaystyle \sigma _{2}\left({\vec {\sigma }}^{*}\cdot {\vec {k}}\right)\sigma _{2}=-{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {k}}}$$

$${\displaystyle \psi _{c}^{(+)}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}e^{ip\cdot x}}$$

$${\displaystyle \chi =-i\sigma _{2}\phi ^{*}}$$

Ver también

• ecuación de dirac
• ecuación de weyl
• Ecuación de Majorana
• Base de helicidad
• Spin(1,3) , la doble cobertura de SO(1,3) por un grupo de spin

Referencias

1. Jost, Jürgen (2002). "Múltiples de Riemann". Geometría de Riemann y análisis geométrico (3ª ed.). Saltador. págs. 1–39. doi :10.1007/978-3-642-21298-7_1. Ver sección 1.8.
2. Bjorken, James D.; Drell, Sidney D. (1964). Mecánica Cuántica Relativista . McGraw-Hill. Consulte el Capítulo 3.
3. Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard (1980). Teoría cuántica de campos . McGraw-Hill. ISBN 0-07-032071-3. Consulte el Capítulo 2.

• Aitchison, IJR; AJG Hola (septiembre de 2002). Teorías de calibre en física de partículas (3ª ed.) . Instituto de Publicaciones de Física. ISBN 0-7503-0864-8.
• Molinero, David (2008). "Mecánica cuántica relativista (RQM)" (PDF) . págs. 26-37. Archivado desde el original (PDF) el 19 de diciembre de 2020 . Consultado el 3 de diciembre de 2009 .