Ecuación de Majorana

Descripción de onda relativista de fermiones.

En física , la ecuación de Majorana es una ecuación de onda relativista . Lleva el nombre del físico italiano Ettore Majorana , quien lo propuso en 1937 como medio para describir fermiones que son su propia antipartícula . ^[1] Las partículas correspondientes a esta ecuación se denominan partículas de Majorana , aunque ese término ahora tiene un significado más amplio, refiriéndose a cualquier partícula fermiónica (posiblemente no relativista) que sea su propia antipartícula (y, por lo tanto, sea eléctricamente neutra).

Ha habido propuestas de que los neutrinos masivos son descritos por partículas de Majorana; Existen varias extensiones del modelo estándar que lo permiten. El artículo sobre las partículas de Majorana presenta el estado de las búsquedas experimentales, incluyendo detalles sobre los neutrinos. Este artículo se centra principalmente en el desarrollo matemático de la teoría, con atención a sus simetrías discretas y continuas . Las simetrías discretas son la conjugación de carga , la transformación de paridad y la inversión del tiempo ; la simetría continua es la invariancia de Lorentz .

La conjugación de carga juega un papel enorme, ya que es la simetría clave que permite describir las partículas de Majorana como eléctricamente neutras. Un aspecto particularmente destacable es que la neutralidad eléctrica permite elegir libremente varias fases globales, una para cada uno de los campos quirales izquierdo y derecho . Esto implica que, sin restricciones explícitas en estas fases, los campos de Majorana naturalmente violan el CP . Otro aspecto de la neutralidad eléctrica es que a los campos quirales izquierdo y derecho se les pueden dar masas distintas. Es decir, la carga eléctrica es una invariante de Lorentz , y también una constante de movimiento ; mientras que la quiralidad es una invariante de Lorentz, pero no es una constante de movimiento para campos masivos. Por tanto, los campos eléctricamente neutros están menos restringidos que los campos cargados. Bajo la conjugación de carga, las dos fases globales libres aparecen en términos de masa (ya que son invariantes de Lorentz), por lo que la masa de Majorana se describe mediante una matriz compleja, en lugar de un solo número. En resumen, las simetrías discretas de la ecuación de Majorana son considerablemente más complicadas que las de la ecuación de Dirac , donde la simetría de la carga eléctrica restringe y elimina estas libertades. ${\displaystyle U(1)}$

Definición

La ecuación de Majorana se puede escribir de varias formas distintas:

• Como la ecuación de Dirac escrita de manera que el operador de Dirac sea puramente hermitiano, dando así soluciones puramente reales.
• Como operador que relaciona un espinor de cuatro componentes con su carga conjugada .
• Como una ecuación diferencial de 2 × 2 que actúa sobre un espinor complejo de dos componentes, que se asemeja a la ecuación de Weyl con un término de masa covariante propiamente de Lorentz . ^{[2] [3] [4] [5]}

Estas tres formas son equivalentes y pueden derivarse una de otra. Cada uno ofrece una visión ligeramente diferente de la naturaleza de la ecuación. La primera forma enfatiza que se pueden encontrar soluciones puramente reales. La segunda forma aclara el papel de la conjugación de cargas . La tercera forma proporciona el contacto más directo con la teoría de la representación del grupo de Lorentz .

Forma puramente real de cuatro componentes.

El punto de partida convencional es afirmar que "la ecuación de Dirac se puede escribir en forma hermitiana ", cuando las matrices gamma se toman en la representación de Majorana . La ecuación de Dirac se escribe entonces como ^[6]

${\displaystyle \left(\,-i\,{\frac {\partial }{\partial t}}-i\,{\hat {\alpha }}\cdot \nabla +\beta \,m\,\right)\,\psi =0}$

con matrices simétricas 4 × 4 puramente reales y con simetría sesgada puramente imaginaria; según sea necesario para garantizar que el operador (la parte dentro del paréntesis) sea hermitiano. En este caso, se pueden encontrar soluciones de la ecuación de 4 espinores puramente reales; estos son los espinores de Majorana . ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ ${\displaystyle \beta }$

Forma de cuatro componentes conjugada con carga

La ecuación de Majorana es

${\displaystyle i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi -m\,\psi _{c}=0~}$

con el operador derivativo escrito en notación de barra diagonal de Feynman para incluir las matrices gamma , así como una suma de los componentes del espinor. El espinor es la carga conjugada de Por construcción, las cargas conjugadas están necesariamente dadas por ${\displaystyle {\partial \!\!\!{\big /}}}$ ${\textstyle \,\psi _{c}\,}$ ${\textstyle \,\psi \,.}$

${\displaystyle \psi _{c}=\eta _{c}\,C\,{\overline {\psi }}^{\mathsf {T}}~}$

donde denota la transpuesta , es un factor de fase arbitrario tomado convencionalmente como y es una matriz de 4 × 4, la matriz de conjugación de carga . La representación matricial de depende de la elección de la representación de las matrices gamma . Por convención, el espinor conjugado se escribe como ${\displaystyle \,(\cdot )^{\mathsf {T}}\,}$ ${\displaystyle \,\eta _{c}\,}$ ${\displaystyle \,|\eta _{c}|=1\,,}$ ${\displaystyle \,\eta _{c}=1\,,}$ ${\displaystyle \,C\,}$ ${\displaystyle \,C\,}$

${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\,\gamma ^{0}~.}$

^{De la matriz de conjugación de cargas [a]} se derivan varias identidades algebraicas. Se afirma que en cualquier representación de las matrices gamma , incluidas las representaciones de Dirac, Weyl y Majorana, eso y así se puede escribir ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle \,C\,\gamma _{\mu }=-\gamma _{\mu }^{\mathsf {T}}\,C\,}$

${\displaystyle \psi _{c}=-\eta _{c}\,\gamma ^{0}\,C\,\psi ^{*}~}$

donde está el conjugado complejo de La matriz de conjugación de carga también tiene la propiedad de que ${\displaystyle \,\psi ^{*}\,}$ ${\displaystyle \,\psi \,.}$ ${\displaystyle \,C\,}$

${\displaystyle C^{-1}=C^{\dagger }=C^{\mathsf {T}}=-C}$

en todas las representaciones (Dirac, quiral, Majorana). A partir de esto, y un poco de álgebra, se puede obtener la ecuación equivalente:

${\displaystyle i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi _{c}-m\,\psi =0}$

Prueba

Esta forma no es del todo obvia y por eso merece una demostración. Empezando con

${\displaystyle -i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi +m\,\psi _{c}=0}$

Expandir : ${\displaystyle \,\psi _{c}=C\,{\overline {\psi }}^{\mathsf {T}}\,}$

${\displaystyle -i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi +m\,C\,{\overline {\psi }}^{\mathsf {T}}=0}$

Multiplicar por uso : ${\displaystyle \,C\,}$ ${\displaystyle \,C^{2}=-1\,}$

${\displaystyle -i\,C\,{\partial \!\!\!{\big /}}C^{-1}\,C\,\psi -m\,{\overline {\psi }}^{\mathsf {T}}=0}$

La conjugación de carga transpone las matrices gamma:

${\displaystyle +i\,{\partial \!\!\!{\big /}}^{\mathsf {T}}\,C\,\psi -m\,\left(\gamma ^{0}\right)^{\mathsf {T}}\,\psi ^{*}=0}$

Tome el conjugado complejo:

${\displaystyle -i\,{\partial \!\!\!{\big /}}^{\dagger }C^{*}\,\psi ^{*}-m\,\left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }\,\psi =0}$

La matriz es hermitiana, en las tres representaciones (Dirac, quiral, Majorana): ${\displaystyle \,\gamma ^{0}\,}$ ${\displaystyle \,\left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}\,}$

${\displaystyle -i\,{\partial \!\!\!{\big /}}^{\dagger }C^{*}\,\psi ^{*}-m\,\gamma ^{0}\,\psi =0}$

También es una involución , tomando el conjugado hermitiano : ${\displaystyle \,\gamma ^{0}\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{0}=\left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }}$

${\displaystyle -i\,\gamma ^{0}\,{\partial \!\!\!{\big /}}\gamma ^{0}\,C^{*}\,\psi ^{*}-m\,\gamma ^{0}\,\psi =0}$

Multiplica por , ten en cuenta que y utiliza : ${\displaystyle \,\gamma ^{0}\,}$ ${\displaystyle \,\left(\gamma ^{0}\right)^{2}=I\,}$ ${\displaystyle \,C^{*}=C\,}$

${\displaystyle -i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\gamma ^{0}\,C\,\psi ^{*}-m\,\psi =0}$

Lo anterior es sólo la definición del conjugado, así que concluya que

${\displaystyle i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi _{c}-m\,\psi =0}$

Se puede encontrar una discusión detallada de la interpretación física de la matriz como conjugación de cargas en el artículo sobre conjugación de cargas . En resumen, participa en el mapeo de partículas a sus antipartículas , lo que incluye, entre otras cosas, la inversión de la carga eléctrica . Aunque se define como "la carga conjugada", el operador de conjugación de carga no tiene uno sino dos valores propios. Esto permite definir un segundo espinor, el espinor ELKO. Esto se analiza con mayor detalle a continuación. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \psi ^{c}}$ ${\displaystyle \psi ,}$

Forma compleja de dos componentes

El operador Majorana , se define como ${\displaystyle \,\mathrm {D} _{\text{L}}\,,}$

${\displaystyle \mathrm {D} _{\text{L}}\equiv i\,{\overline {\sigma }}^{\mu }\,\partial _{\mu }+\eta \,m\,\omega \,K}$

dónde

${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }={\begin{bmatrix}\sigma ^{0}&-\sigma ^{1}&-\sigma ^{2}&-\sigma ^{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{2}&-\sigma _{\text{x}}&-\sigma _{\text{y}}&-\sigma _{\text{z}}\end{bmatrix}}}$

es un vector cuyos componentes son la matriz identidad de 2×2 para y (menos) las matrices de Pauli para The es un factor de fase arbitrario, típicamente tomado como uno: The es una matriz de 2×2 que puede interpretarse como la forma simpléctica de el grupo simpléctico que es una doble cobertura del grupo de Lorentz . Es ${\displaystyle \,I_{2}\,}$ ${\displaystyle \,\mu =0\,}$ ${\displaystyle \,\mu \in \{1,\,2,\,3\}\,.}$ ${\displaystyle \,\eta \,}$ ${\displaystyle \,|\eta |=1\,,}$ ${\displaystyle \,\eta =1\,.}$ ${\displaystyle \,\omega \,}$ ${\displaystyle \,\operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )\,,}$

${\displaystyle \omega =i\,\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}~,}$

que resulta ser isomorfo a la unidad imaginaria " i " (es decir, y para ) siendo la transpuesta de matriz el análogo de la conjugación compleja . ${\displaystyle \omega ^{2}=-I\,}$ ${\displaystyle \,a\,I+b\,\omega \cong a+b\,i\in \mathbb {C} \,}$ ${\displaystyle \,a,b\in \mathbb {R} }$

Finalmente, es un breve recordatorio para tomar el conjugado complejo. La ecuación de Majorana para un espinor de dos componentes con valores complejos para zurdos es entonces ${\displaystyle \,K\,}$ ${\displaystyle \,\psi _{\text{L}}\,}$

${\displaystyle \mathrm {D} _{\text{L}}\psi _{\text{L}}=0}$

o equivalente,

${\displaystyle i\,{\overline {\sigma }}^{\mu }\,\partial _{\mu }\psi _{\text{L}}(x)+\eta \,m\,\omega \,\psi _{\text{L}}^{*}(x)=0}$

con el conjugado complejo de El subíndice L se utiliza a lo largo de esta sección para indicar un espinor quiral zurdo ; bajo una transformación de paridad , esto se puede llevar a un espinor diestro, por lo que también se tiene una forma de ecuación diestra. Esto también se aplica a la ecuación de cuatro componentes; Más detalles se presentan a continuación. ${\displaystyle \,\psi _{\text{L}}^{*}(x)\,}$ ${\displaystyle \,\psi _{\text{L}}(x)\,.}$

Ideas claves

Aquí se resumen algunas de las propiedades de la ecuación de Majorana, su solución y su formulación lagrangiana.

• La ecuación de Majorana es similar a la ecuación de Dirac , en el sentido de que involucra espinores de cuatro componentes, matrices gamma y términos de masa, pero incluye la carga conjugada  de un espinor . Por el contrario, la ecuación de Weyl es para espinor de dos componentes sin masa. ${\textstyle \psi _{c}}$  ${\textstyle \psi }$
• Las soluciones a la ecuación de Majorana se pueden interpretar como partículas eléctricamente neutras que son su propia antipartícula. Por convención, el operador de conjugación de carga lleva partículas a sus antipartículas, por lo que el espinor de Majorana se define convencionalmente como la solución en la que es decir, el espinor de Majorana es "su propia antipartícula". En la medida en que la conjugación de carga lleva una partícula con carga eléctrica a su antipartícula con carga opuesta, se debe concluir que el espinor de Majorana es eléctricamente neutro. ${\displaystyle \psi =\psi _{c}.}$
• La ecuación de Majorana es covariante de Lorentz y se pueden construir una variedad de escalares de Lorentz a partir de sus espinores. Esto permite construir varios Lagrangianos distintos para los campos de Majorana.
• Cuando el lagrangiano se expresa en términos de espinores quirales izquierdo y derecho de dos componentes , puede contener tres términos de masa distintos: términos de masa de Majorana izquierdo y derecho, y un término de masa de Dirac. Estos se manifiestan físicamente como dos masas distintas; esta es la idea clave del mecanismo de balancín para describir neutrinos de baja masa con un acoplamiento zurdo al modelo Estándar, con el componente derecho correspondiente a un neutrino estéril con masas de escala GUT .
• Las simetrías discretas de la conjugación C , P y T están íntimamente controladas por un factor de fase elegido libremente en el operador de conjugación de carga . Esto se manifiesta en distintas fases complejas en términos de masas. Esto permite escribir lagrangianos tanto CP simétricos como violadores de CP .
• Los campos de Majorana son invariantes CPT , pero la invariancia es, en cierto sentido, "más libre" que para las partículas cargadas. Esto se debe a que la carga es necesariamente una propiedad invariante de Lorentz y, por tanto, está restringida para campos cargados. Los campos neutrales de Majorana no están restringidos de esta manera y pueden mezclarse.

Ecuación de Majorana de dos componentes

La ecuación de Majorana se puede escribir tanto en términos de un espinor real de cuatro componentes como de un espinor complejo de dos componentes. Ambos pueden construirse a partir de la ecuación de Weyl , con la adición de un término de masa propiamente covariante de Lorentz. ^[7] Esta sección proporciona una construcción y articulación explícita.

ecuación de weyl

La ecuación de Weyl describe la evolución temporal de un espinor de dos componentes con valores complejos y sin masa . Se escribe convencionalmente como ^{[8] [9] [10]}

${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

Escrito explícitamente, es

${\displaystyle I_{2}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0}$

El cuatro vectores de Pauli es

${\displaystyle \sigma ^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&\sigma ^{1}&\sigma ^{2}&\sigma ^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma _{x}&\sigma _{y}&\sigma _{z}\end{pmatrix}}}$

es decir, un vector cuyos componentes son la matriz identidad 2 × 2 para μ = 0 y las matrices de Pauli para μ = 1, 2, 3. Bajo la transformación de paridad se obtiene una ecuación dual ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {x}}^{\prime }=-{\vec {x}}}$

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

dónde . Éstas son dos formas distintas de la ecuación de Weyl; sus soluciones también son distintas. Se puede demostrar que las soluciones tienen helicidad diestra y zurda y, por tanto, quiralidad . Es convencional etiquetar explícitamente estas dos formas distintas, así: ${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }={\begin{pmatrix}I_{2}&-\sigma _{x}&-\sigma _{y}&-\sigma _{z}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=0\qquad {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=0~.}$

invariancia de Lorentz

La ecuación de Weyl describe una partícula sin masa; la ecuación de Majorana agrega un término de masa. La masa debe introducirse de forma invariante de Lorentz . Esto se logra observando que el grupo lineal especial es isomorfo al grupo simpléctico. Ambos grupos son coberturas dobles del grupo de Lorentz. La invariancia de Lorentz del término derivado (de la ecuación de Weyl) se expresa convencionalmente en términos de la acción del grupo sobre espinores, mientras que la invariancia de Lorentz del término de masa requiere la invocación de la relación definitoria para el grupo simpléctico. ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} ).}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (1,3).}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$

La doble cobertura del grupo Lorentz viene dada por

${\displaystyle {\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=S{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }}$

donde y y es la transpuesta hermitiana . Esto se utiliza para relacionar las propiedades de transformación de los diferenciales bajo una transformación de Lorentz con las propiedades de transformación de los espinores. ${\displaystyle \Lambda \in \operatorname {SO} (1,3)}$ ${\displaystyle S\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle S^{\dagger }}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x}$

El grupo simpléctico se define como el conjunto de todas las matrices complejas de 2×2 que satisfacen ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \omega ^{-1}S^{\textsf {T}}\omega =S^{-1}}$

dónde

${\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

es una matriz sesgada-simétrica . Se utiliza para definir una forma bilineal simpléctica al escribir un par de dos vectores arbitrarios como ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}.}$ ${\displaystyle u,v\in \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle u={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{pmatrix}}\qquad v={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}}$

el producto simpléctico es

${\displaystyle \langle u,v\rangle =-\langle v,u\rangle =u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}=u^{\textsf {T}}\omega v}$

¿Dónde está la transpuesta de? Esta forma es invariante bajo transformaciones de Lorentz, en el sentido de que ${\displaystyle u^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle u~.}$

${\displaystyle \langle u,v\rangle =\langle Su,Sv\rangle }$

La matriz sesgada toma las matrices de Pauli menos su transpuesta:

${\displaystyle \omega \sigma _{k}\omega ^{-1}=-\sigma _{k}^{\textsf {T}}}$

La matriz sesgada puede interpretarse como el producto de una transformación de paridad y una transposición que actúa sobre dos espinores. Sin embargo, como se enfatizará en una sección posterior, también se puede interpretar como uno de los componentes del operador de conjugación de carga , siendo el otro componente la conjugación compleja . Aplicándolo a la transformación de Lorentz se obtiene ${\displaystyle k=1,2,3.}$

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

Estas dos variantes describen las propiedades de covarianza de los diferenciales que actúan sobre los espinores izquierdo y derecho, respectivamente.

Diferenciales

Bajo la transformación de Lorentz, el término diferencial se transforma como ${\displaystyle x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x}$

${\displaystyle \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}(x^{\prime })=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)}$

siempre que el campo derecho se transforme como

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }(x^{\prime })=S\psi _{\rm {R}}(x)}$

De manera similar, el diferencial zurdo se transforma como

${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {L}}(x^{\prime })=S{\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)}$

siempre que el espinor zurdo se transforme como

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }(x^{\prime })=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}(x)}$

Prueba

Estas propiedades de transformación no son particularmente "obvias" y, por lo tanto, merecen una derivación cuidadosa. Comience con el formulario

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }(x^{\prime })=R\psi _{\rm {R}}(x)}$

para que se determine alguna incógnita . La transformada de Lorentz, en coordenadas, es ${\displaystyle R\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }}$

o equivalente,

${\displaystyle x^{\nu }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }x^{\prime \mu }}$

Esto lleva a

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }\psi _{\rm {R}}(x^{\prime })\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}(x^{\prime })\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}}$

Para utilizar el mapa de Weyl

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

se deben subir y bajar algunos índices. Es más fácil decirlo que hacerlo, ya que invoca la identidad

${\displaystyle \eta \Lambda ^{T}\eta =\Lambda ^{-1}}$

¿Dónde está la métrica de Minkowski en espacios planos ? La identidad anterior se usa a menudo para definir los elementos. Se toma la transposición: ${\displaystyle \eta =\operatorname {diag} (+1,-1,-1,-1)}$ ${\displaystyle \Lambda \in \operatorname {SO} (1,3).}$

${\displaystyle {\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }={\left(\Lambda ^{-1T}\right)_{\mu }}^{\nu }}$

escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1T}\right)_{\mu }}^{\nu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\partial ^{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\mu }\partial ^{\mu }S^{-1}R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}}$

Se recupera así la forma original si es decir, realizando las mismas manipulaciones para la ecuación para zurdos, se concluye que ${\displaystyle S^{-1}R=1,}$ ${\displaystyle R=S.}$

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }(x^{\prime })=L\psi _{\rm {L}}(x)}$

con ^B] ${\displaystyle L=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}.}$

término de masa

El complejo conjugado del campo de espinor derecho se transforma como

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime *}(x^{\prime })=S^{*}\psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

La relación que define para puede reescribirse como A partir de esto, se concluye que el campo complejo sesgado se transforma como ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \omega S^{*}=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\omega \,.}$

${\displaystyle m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto m\omega \psi _{\rm {R}}^{\prime *}(x^{\prime })=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

Esto es totalmente compatible con la propiedad de covarianza del diferencial. Tomando como factor de fase complejo arbitrario, la combinación lineal ${\displaystyle \eta =e^{i\phi }}$

${\displaystyle i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}(x)+\eta m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

se transforma de forma covariante. Establecer esto en cero da la compleja ecuación de Majorana de dos componentes para el campo diestro. De manera similar, la ecuación de Majorana quiral izquierda (incluido un factor de fase arbitrario ) es ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}(x)+\zeta m\omega \psi _{\rm {L}}^{*}(x)=0}$

Las versiones quirales izquierda y derecha están relacionadas por una transformación de paridad . Como se muestra a continuación, estos se cuadran con el operador de Klein-Gordon solo si El conjugado complejo sesgado puede reconocerse como la forma conjugada de carga de esto se articula con mayor detalle a continuación. Por tanto, la ecuación de Majorana puede leerse como una ecuación que conecta un espinor con su forma de carga conjugada. ${\displaystyle \eta =\zeta .}$ ${\displaystyle \omega \psi ^{*}=i\sigma ^{2}\psi }$ ${\displaystyle \psi ~;}$

Operadores Majorana izquierdo y derecho

Defina un par de operadores, los operadores Majorana,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L}}&=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K&\mathrm {D} _{\rm {R}}&=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\end{aligned}}}$

¿Dónde hay un breve recordatorio para tomar el conjugado complejo? Bajo las transformaciones de Lorentz, estas se transforman como ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L}}\mapsto \mathrm {D} _{\rm {L}}^{\prime }&=S\mathrm {D} _{\rm {L}}S^{\dagger }&\mathrm {D} _{\rm {R}}\mapsto \mathrm {D} _{\rm {R}}^{\prime }&=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\mathrm {D} _{\rm {R}}S^{-1}\end{aligned}}}$

mientras que los espinores de Weyl se transforman como

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{\rm {L}}\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }&=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}&\psi _{\rm {R}}\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }&=S\psi _{\rm {R}}\end{aligned}}}$

igual que arriba. Por lo tanto, las combinaciones coincidentes de estos son covariantes de Lorentz, y se puede tomar

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}&=0&\mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}&=0\end{aligned}}}$

como un par de ecuaciones complejas de Majorana de 2 espinores.

Los productos y son covariantes de Lorentz. El producto es explícitamente ${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {L}}\mathrm {D} _{\rm {R}}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\mathrm {D} _{\rm {L}}}$

${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\mathrm {D} _{\rm {L}}=\left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\right)\left(i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\right)=-\left(\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}+\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)=-\left(\square +\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)}$

Verificar esto requiere tener en cuenta que y que El RHS se reduce al operador de Klein-Gordon siempre que , es decir, estos dos operadores de Majorana sean, por tanto, "raíces cuadradas" del operador de Klein-Gordon. ${\displaystyle \omega ^{2}=-1}$ ${\displaystyle Ki=-iK~.}$ ${\displaystyle \eta \zeta ^{*}=1}$ ${\displaystyle \eta =\zeta ~.}$

Ecuación de Majorana de cuatro componentes

La versión real de cuatro componentes de la ecuación de Majorana se puede construir a partir de la ecuación compleja de dos componentes de la siguiente manera. Dado el campo complejo que satisface lo anterior, defina ${\displaystyle \psi _{\rm {L}}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}=0}$

${\displaystyle \chi _{\rm {R}}\equiv -\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}}$

Utilizando la maquinaria algebraica dada anteriormente, no es difícil demostrar que

${\displaystyle \left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K\right)\chi _{\rm {R}}=0}$

Definición de un operador conjugado

${\displaystyle \delta _{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K}$

La ecuación de Majorana de cuatro componentes es entonces

${\displaystyle \left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)\left(\psi _{\rm {L}}\oplus \chi _{\rm {R}}\right)=0}$

Escribiendo esto en detalle, uno tiene

${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}={\begin{bmatrix}\mathrm {D} _{\rm {L}}&0\\0&\delta _{\rm {R}}\end{bmatrix}}=i{\begin{bmatrix}I&0\\0&I\end{bmatrix}}\partial _{t}+i{\begin{bmatrix}-\sigma ^{k}&0\\0&\sigma ^{k}\end{bmatrix}}\nabla _{k}+m{\begin{bmatrix}\eta \omega K&0\\0&-\eta \omega K\end{bmatrix}}}$

Multiplicando a la izquierda por

${\displaystyle \beta =\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&I\\I&0\end{bmatrix}}}$

trae lo anterior a una forma matricial en la que se pueden reconocer las matrices gamma en la representación quiral. Esto es

${\displaystyle \beta \left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)={\begin{bmatrix}0&\delta _{\rm {R}}\\\mathrm {D} _{\rm {L}}&0\end{bmatrix}}=i\beta \partial _{t}+i{\begin{bmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{bmatrix}}\nabla _{k}-m{\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}}$

Eso es,

${\displaystyle \beta \left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}}$

Aplicando esto al 4-spinor

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}\oplus \chi _{\rm {R}}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\\chi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

y recordando que se encuentra que el espinor es un estado propio del término de masa, ${\displaystyle \omega ^{2}=-1}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

y así, para este espinor en particular, la ecuación de Majorana de cuatro componentes se reduce a la ecuación de Dirac

${\displaystyle \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right){\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}=0}$

La matriz sesgada se puede identificar con el operador de conjugación de carga (en la base de Weyl ). Explícitamente, esto es

${\displaystyle {\mathsf {C}}={\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}}$

Dado un espinor arbitrario de cuatro componentes, su carga conjugada es ${\displaystyle \psi ~,}$

${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi ^{c}=\eta C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}}$

con una matriz ordinaria de 4 × 4, que tiene una forma explícita en el artículo sobre matrices gamma . En conclusión, la ecuación de Majorana de 4 componentes se puede escribir como ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)\psi \\&=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi ^{c}\end{aligned}}}$

Conjugación de carga y paridad.

El operador de conjugación de carga aparece directamente en la versión de 4 componentes de la ecuación de Majorana. Cuando el campo de espinor es una carga conjugada de sí mismo, es decir, cuando la ecuación de Majorana se reduce a la ecuación de Dirac, cualquier solución puede interpretarse como una descripción de un campo eléctricamente neutro. Sin embargo, el operador de conjugación de carga no tiene uno, sino dos estados propios distintos, uno de los cuales es el espinor ELKO; no resuelve la ecuación de Majorana, sino más bien una versión de la misma con signos invertidos. ${\displaystyle \psi ^{c}=\psi ,}$

El operador de conjugación de carga para un espinor de cuatro componentes se define como ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$

${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi _{c}=\eta C\left({\overline {\psi }}\right)^{\textsf {T}}}$

En el artículo sobre conjugación de carga se ofrece una discusión general de la interpretación física de este operador en términos de carga eléctrica . Bjorken & Drell ^[11] o Itzykson & Zuber proporcionan discusiones adicionales . ^[c] En términos más abstractos, es el equivalente espinorial de la conjugación compleja del acoplamiento del campo electromagnético. Esto se puede ver de la siguiente manera. Si uno tiene un campo escalar único y real , no puede acoplarse al electromagnetismo; sin embargo, un par de campos escalares reales, dispuestos como un número complejo , sí pueden hacerlo. Para campos escalares, la conjugación de carga es lo mismo que la conjugación compleja . Las simetrías discretas de la teoría de calibre se derivan de la observación "trivial" de que ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle U(1)}$

${\displaystyle *:U(1)\to U(1)\quad e^{i\phi }\mapsto e^{-i\phi }}$

es un automorfismo de Para los campos espinoriales, la situación es más confusa. Sin embargo, en términos generales, se puede decir que el campo de Majorana es eléctricamente neutro y que, tomando una combinación apropiada de dos campos de Majorana, se puede interpretar como un único campo de Dirac cargado eléctricamente. El operador de conjugación de carga dado anteriormente corresponde al automorfismo de ${\displaystyle U(1).}$ ${\displaystyle U(1).}$

En lo anterior, hay una matriz de 4 × 4, que figura en el artículo sobre matrices gamma . Su forma explícita depende de la representación. El operador no se puede escribir como una matriz de 4×4, ya que toma el conjugado complejo de y la conjugación compleja no se puede lograr con una matriz compleja de 4×4. Puede escribirse como una matriz real de 8 × 8, suponiendo que también se escriba como un espinor de 8 componentes puramente real. Dejemos pasar la conjugación compleja, de modo que luego se pueda escribir, para espinores de cuatro componentes, ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K(x+iy)=x-iy,}$

${\displaystyle {\mathsf {C}}=-\eta \gamma ^{0}CK}$

No es difícil demostrar que y que se deduce de la primera identidad que tiene dos valores propios, que pueden escribirse como ${\displaystyle {\mathsf {C}}^{2}=1}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\gamma ^{\mu }{\mathsf {C}}=-\gamma ^{\mu }~.}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$

${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi ^{(\pm )}=\pm \psi ^{(\pm )}}$

Los vectores propios se encuentran fácilmente en la base de Weyl. De lo anterior, en esta base, se expresa explícitamente ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$

${\displaystyle {\mathsf {C}}={\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}}$

y por lo tanto

${\displaystyle \psi _{\text{Weyl}}^{(\pm )}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\\mp \eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

Ambos vectores propios son claramente soluciones a la ecuación de Majorana. Sin embargo, sólo el vector propio positivo es una solución a la ecuación de Dirac:

${\displaystyle 0=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)\psi ^{(+)}=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi ^{(+)}}$

El vector propio negativo "no funciona", tiene el signo incorrecto en el término de masa de Dirac. Sin embargo, todavía resuelve la ecuación de Klein-Gordon. El vector propio negativo se denomina espinor ELKO.

Prueba

Que ambos estados propios resuelven la ecuación de Klein-Gordon se desprende de las identidades anteriores para las versiones de dos componentes. Definiendo, como antes,

${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\qquad \mathrm {D} _{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K}$

Como se mostró anteriormente

${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\mathrm {D} _{\rm {L}}=\mathrm {D} _{\rm {L}}\mathrm {D} _{\rm {R}}=-\left(\square +m^{2}\right)}$

El espinor de cuatro componentes requiere la introducción de

${\displaystyle \delta _{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K\qquad \delta _{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K}$

que también obedece

${\displaystyle \delta _{\rm {R}}\delta _{\rm {L}}=\delta _{\rm {L}}\delta _{\rm {R}}=-\left(\square +m^{2}\right)}$

Por lo tanto

${\displaystyle \left(\mathrm {D} _{\rm {R}}\oplus \delta _{\rm {L}}\right)\left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)=-\left(\square +m^{2}\right)}$

La representación quiral requiere un factor extra de : ${\displaystyle \beta =\gamma ^{0}}$

${\displaystyle \beta \left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\qquad \beta \left(\delta _{\rm {L}}\oplus \mathrm {D} _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}}$

y entonces uno concluye que

${\displaystyle \left(\mathrm {D} _{\rm {R}}\oplus \delta _{\rm {L}}\right)\left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}\right)\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)=-\left(\square +m^{2}\right)}$

Es decir, ambos vectores propios del operador de conjugación de carga resuelven la ecuación de Klein-Gordon. La última identidad también se puede verificar directamente, observando que y que ${\displaystyle {\mathsf {C}}i=-i{\mathsf {C}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\gamma ^{\mu }=-\gamma ^{\mu }{\mathsf {C}}~.}$

Paridad

En condiciones de paridad, los espinores zurdos se transforman en espinores diestros. Los dos vectores propios del operador de conjugación de carga, nuevamente en la base de Weyl, son

${\displaystyle \psi _{\rm {{R},{\text{Weyl}}}}^{(\pm )}={\begin{pmatrix}\pm \eta \omega \psi _{\rm {R}}^{*}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}}$

Como antes, ambos resuelven la ecuación de Majorana de cuatro componentes, pero sólo uno resuelve también la ecuación de Dirac. Esto se puede demostrar construyendo la ecuación de cuatro componentes de paridad dual. Esto toma la forma

${\displaystyle \beta \left(\delta _{\rm {L}}\oplus \mathrm {D} _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}}$

dónde

${\displaystyle \delta _{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K}$

Dado el espinor de dos componentes, defina su conjugado como No es difícil demostrar que y que por lo tanto, si entonces también y por lo tanto que ${\displaystyle \psi _{\rm {R}}}$ ${\displaystyle \chi _{\rm {L}}=-\eta \omega \psi _{\rm {R}}^{*}.}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=-\eta \omega (\delta _{\rm {L}}\chi _{\rm {L}})}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=0}$ ${\displaystyle \delta _{\rm {L}}\chi _{\rm {L}}=0}$

${\displaystyle 0=\left(\delta _{\rm {L}}\oplus \mathrm {D} _{\rm {R}}\right)\left(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}}\right)}$

o equivalente

${\displaystyle 0=(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}){\begin{pmatrix}\chi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}}$

Esto funciona porque esto se reduce a la ecuación de Dirac para ${\displaystyle {\mathsf {C}}(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}})=-(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}})}$

${\displaystyle \psi _{{\rm {R}},{\text{Weyl}}}^{(-)}=\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}}={\begin{pmatrix}\chi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}}$

Para concluir y reiterar, la ecuación de Majorana es

${\displaystyle 0=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)\psi =i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi _{c}}$

Tiene cuatro soluciones no equivalentes y linealmente independientes. De ellas, sólo dos son también soluciones de la ecuación de Dirac: a saber, y ${\displaystyle \psi _{\rm {L,R}}^{(\pm )}.}$ ${\displaystyle \psi _{\rm {L}}^{(+)}}$ ${\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{(-)}~.}$

Soluciones

Estados propios de giro

Un punto de partida conveniente para escribir las soluciones es trabajar en el marco de reposo de los espinores. Escribir el hamiltoniano cuántico con la convención de signos convencional lleva a que la ecuación de Majorana tome la forma ${\displaystyle H=i\partial _{t}}$

${\displaystyle i\partial _{t}\psi =-i{\vec {\alpha }}\cdot \nabla \psi +m\beta \psi _{c}}$

En la base quiral (Weyl), se tiene que

${\displaystyle \gamma ^{0}=\beta ={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}},\quad {\vec {\alpha }}={\begin{pmatrix}{\vec {\sigma }}&0\\0&-{\vec {\sigma }}\end{pmatrix}}}$

con el vector de Pauli . La convención de signos aquí es consistente con el artículo matrices gamma . Al conectar el estado propio de conjugación de carga positiva dado anteriormente, se obtiene una ecuación para el espinor de dos componentes ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$ ${\displaystyle \psi _{\text{Weyl}}^{(+)}}$

${\displaystyle i\partial _{t}\psi _{\rm {L}}=-i{\vec {\sigma }}\cdot \nabla \psi _{\rm {L}}+m(i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*})}$

y de la misma manera

${\displaystyle i\partial _{t}(i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*})=+i{\vec {\sigma }}\cdot \nabla (i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*})+m\psi _{\rm {L}}}$

De hecho, estas dos son la misma ecuación, lo cual se puede verificar observando que produce el conjugado complejo de las matrices de Pauli: ${\displaystyle \sigma _{2}}$

${\displaystyle \sigma _{2}\left({\vec {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\sigma _{2}=-{\vec {k}}\cdot {\vec {\sigma }}^{*}.}$

Las soluciones de onda plana se pueden desarrollar para la energía-momento y se expresan más fácilmente en el marco de reposo. La solución de marco de descanso giratorio es ${\displaystyle \left(k_{0},{\vec {k}}\right)}$

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}^{(u)}={\begin{pmatrix}e^{-imt}\\e^{imt}\end{pmatrix}}}$

mientras que la solución spin-down es

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}^{(d)}={\begin{pmatrix}e^{imt}\\-e^{-imt}\end{pmatrix}}}$

Se puede ver que estos se interpretan correctamente reexpresándolos en la base de Dirac, como espinores de Dirac . En este caso toman la forma

${\displaystyle \psi _{\text{Dirac}}^{(u)}={\begin{bmatrix}e^{-imt}\\0\\0\\-e^{imt}\end{bmatrix}}}$

y

${\displaystyle \psi _{\text{Dirac}}^{(d)}={\begin{bmatrix}0\\e^{-imt}\\-e^{imt}\\0\end{bmatrix}}}$

Estos son los espinores del marco de reposo. Pueden verse como una combinación lineal de las soluciones de energía positiva y negativa de la ecuación de Dirac. Éstas son las dos únicas soluciones; la ecuación de Majorana tiene sólo dos soluciones linealmente independientes, a diferencia de la ecuación de Dirac, que tiene cuatro. La duplicación de los grados de libertad de la ecuación de Dirac se puede atribuir a que los espinores de Dirac llevan carga.

Estados propios de impulso

En un marco de impulso general, el espinor de Majorana se puede escribir como

Carga eléctrica

La aparición de ambos y en la ecuación de Majorana significa que el campo  no puede acoplarse a un campo electromagnético cargado sin violar la conservación de la carga , ya que las partículas tienen carga opuesta a sus propias antipartículas. Para satisfacer esta restricción, se debe considerar que es eléctricamente neutro. Esto se puede articular con mayor detalle. ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle \psi _{c}}$ ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle \psi }$

La ecuación de Dirac se puede escribir en forma puramente real, cuando las matrices gamma se toman en la representación de Majorana. La ecuación de Dirac se puede escribir entonces como ^[d]

${\displaystyle \left(-i{\frac {\partial }{\partial t}}-i{\hat {\alpha }}\cdot \nabla +\beta m\right)\psi =0}$

con ser matrices simétricas puramente reales y ser simétricas sesgadas puramente imaginarias. En este caso, se pueden encontrar soluciones puramente reales a la ecuación; estos son los espinores de Majorana. Bajo la acción de las transformaciones de Lorentz , estas se transforman bajo el grupo de espín (puramente real). Esto contrasta con los espinores de Dirac , que solo son covariantes bajo la acción del grupo de espín complejizado. La interpretación es que el grupo de espín complejizado codifica el potencial electromagnético. el grupo de giro real no. ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3).}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathbb {C} }(1,3).}$

Esto también se puede expresar de otra manera: la ecuación de Dirac y los espinores de Dirac contienen una cantidad suficiente de libertad de calibre para codificar de forma natural interacciones electromagnéticas. Esto se puede ver al observar que el potencial electromagnético se puede agregar de manera muy simple a la ecuación de Dirac sin requerir modificaciones o extensiones adicionales ni a la ecuación ni al espinor. La ubicación de este grado extra de libertad la señala el operador de conjugación de carga, y la imposición de la restricción de Majorana elimina este grado extra de libertad. Una vez eliminado, no puede haber ningún acoplamiento al potencial electromagnético, ergo, el espinor de Majorana es necesariamente eléctricamente neutro. Un acoplamiento electromagnético solo se puede obtener sumando nuevamente un factor de fase con valor de número complejo y acoplando este factor de fase al potencial electromagnético. ${\textstyle \psi =\psi _{c}}$

Lo anterior puede aclararse aún más examinando la situación en dimensiones espaciales. En este caso, el grupo de espines complejado tiene una doble cobertura con el círculo. La implicación es que codifica las transformaciones de Lorentz generalizadas (por supuesto), mientras que el círculo puede identificarse con la acción del grupo calibre sobre las cargas eléctricas. Es decir, la acción del grupo de calibre del grupo de espín complejado en un espinor de Dirac se puede dividir en una parte lorentziana puramente real y una parte electromagnética. Esto se puede desarrollar más en colectores de espín no planos (no planos de Minkowski) . En este caso, el operador de Dirac actúa sobre el haz de espinores . Descompuesto en términos distintos, incluye la derivada covariante habitual. Se puede ver que el campo surge directamente de la curvatura de la parte complejizada del haz de espín, en el sentido de que las transformaciones de calibre se acoplan a la parte complejizada, y no a la parte del espín real. Se puede ver que el campo corresponde al potencial electromagnético al observar que (por ejemplo) el cuadrado del operador de Dirac es el laplaciano más la curvatura escalar (de la variedad subyacente sobre la que se asienta el campo de espinor) más la intensidad del campo (electromagnético). Para el caso de Majorana, sólo se tienen las transformaciones de Lorentz que actúan sobre el espinor de Majorana; la complejización no juega ningún papel. Un tratamiento detallado de estos temas se puede encontrar en Jost ^[12] mientras que el caso se articula en Bleeker. ^[13] Desafortunadamente, ninguno de los textos articula explícitamente el espinor de Majorana en forma directa. ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)\times S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}\cong U(1)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$ ${\displaystyle d+A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle F=dA.}$ ${\displaystyle (p,q)=(1,3)}$

Cuantos de campo

Los cuantos de la ecuación de Majorana permiten dos clases de partículas, una partícula neutra y su antipartícula neutra . La condición suplementaria frecuentemente aplicada corresponde al espinor de Majorana. ${\textstyle \Psi =\Psi _{c}}$

partícula majorana

Las partículas correspondientes a los espinores de Majorana se conocen como partículas de Majorana , debido a la restricción de autoconjugación anterior. Todos los fermiones incluidos en el Modelo Estándar han sido excluidos como fermiones de Majorana (al tener carga eléctrica distinta de cero no pueden ser antipartículas de sí mismos) a excepción del neutrino (que es neutro).

En teoría, el neutrino es una posible excepción a este patrón. Si es así, es posible que se produzca una desintegración doble beta sin neutrinos , así como una gama de desintegraciones de mesones que violen el número de leptones y leptones cargados . Actualmente se están realizando varios experimentos para comprobar si el neutrino es una partícula de Majorana. ^[14]

Notas

1. Precaución: no todos los autores utilizan las mismas convenciones para la conjugación de cargas, por lo que hay mucho espacio para errores sutiles de signos. Este artículo, y el artículo sobre conjugación de cargas , utilizan las convenciones de Itzykson y Zuber ( Teoría cuántica de campos , consulte el Capítulo 2 y el Apéndice A). Estos difieren muy ligeramente de la Mecánica Cuántica Relativista de Bjorken y Drell , por lo que se deben tener en cuenta al comparar los dos.
2. Los resultados presentados aquí son idénticos a los de Aste, op. cit. , ecuaciones 52 y 57, aunque la derivación realizada aquí es completamente diferente. La doble cobertura utilizada aquí también es idéntica a las ecuaciones 48 de Aste y a la versión actual (diciembre de 2020) del artículo sobre el grupo Lorentz .
3. Itzykson y Zuber, op. cit. (Capítulo 2-4)
4. Itzykson y Zuber, (consulte el Capítulo 2-1-2, página 49)

Referencias

1. Ettore Majorana, "Teoria Simmetrica Dell' Elettrone E Del Positrone", Nuovo Cimento 14 (1937) págs. 171-184. PDF Versión original italiana
2. Asté, Andreas (2010). «Un camino directo a los campos de Majorana». Simetría . 2010 (2): 1776–1809. arXiv : 0806.1690 . Código Bib : 2010 Símm....2.1776A. doi : 10.3390/sym2041776 .
3. Amigo, Palash B. (2011). "Fermiones de Dirac, Majorana y Weyl". Revista Estadounidense de Física . 79 (5): 485–498. arXiv : 1006.1718 . Código bibliográfico : 2011AmJPh..79..485P. doi : 10.1119/1.3549729. S2CID  118685467.
4. Marsch, Eckart (2012). "Sobre la ecuación de Majorana: relaciones entre sus funciones propias complejas de dos componentes y reales de cuatro componentes". Física Matemática ISRN . 2012 : 1–17. arXiv : 1207.4685 . doi : 10.5402/2012/760239 . Artículo 760239.
5. Marsch, Eckart (2013). "Una nueva ruta hacia la ecuación Majorana". Simetría . 5 (4): 271–286. Código Bib : 2013 Símm....5..271M. doi : 10.3390/sym5040271 .
6. Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard (1980). Teoría cuántica de campos . MacGraw-Hill. §2‑1‑2, página 49.
7. Andreas Aste, (2010) "Un camino directo a los campos de Majorana", Symmetry 2010 (2) 1776-1809; doi:10.3390/sym2041776 ISSN 2073-8994.
8. Mecánica cuántica, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0 
9. El manual de fórmulas físicas de Cambridge, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 . 
10. Introducción a la teoría cuántica de campos, ME Peskin, DV Schroeder, Addison-Wesley, 1995, ISBN 0-201-50397-2 
11. James D. Bjorken, Sidney D. Drell, (1964) "Mecánica cuántica relativista", McGraw-Hill (consulte el capítulo 5.2, páginas 66-70)
12. Jurgen Jost (2002) "Geometría de Riemann y análisis geométrico (3.ª edición) Springer Universitext. (Consulte el capítulo 1.8 para las estructuras de espín y el capítulo 3.4 para el operador de Dirac).
13. David Bleeker, (1981) "Teoría de calibre y principios variacionales" Addison-Wesley (consulte el capítulo 6 para el campo libre de Dirac y el capítulo 7 para el campo interactivo).
14. A. Franklin, ¿Existen realmente los neutrinos?: Una historia probatoria (Westview Press, 2004), pág. 186

Lectura adicional

• "Majorana Legacy in Contemporary Physics", Revista Electrónica de Física Teórica (EJTP) Volumen 3, Número 10 (abril de 2006) Número especial con motivo del Centenario de Ettore Majorana (1906-1938?) . ISSN 1729-5254
• Frank Wilczek, (2009) "Majorana regresa", Nature Physics vol. 5 páginas 614–618.