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En matemáticas , el grupo lineal especial SL( n , F ) de grado n sobre un campo F es el conjunto de matrices n × n con determinante 1, con las operaciones de grupo de multiplicación de matrices ordinarias e inversión de matrices . Este es el subgrupo normal del grupo lineal general dado por el núcleo del determinante
donde F × es el grupo multiplicativo de F (es decir, F excluyendo 0).
Estos elementos son "especiales" porque forman una subvariedad algebraica del grupo lineal general: satisfacen una ecuación polinómica (ya que el determinante es polinómico en las entradas).
Cuando F es un campo finito de orden q , a veces se utiliza la notación SL( n , q ) .
El grupo lineal especial SL( n , R ) se puede caracterizar como el grupo de volumen y orientación que preserva las transformaciones lineales de R n ; esto corresponde a la interpretación del determinante como medida del cambio de volumen y orientación.
Cuando F es R o C , SL( n , F ) es un subgrupo de Lie de GL( n , F ) de dimensión n 2 − 1 . El álgebra de Lie de SL( n , F ) consta de todas las matrices n × n sobre F con traza de fuga . El soporte de Lie lo da el conmutador .
Cualquier matriz invertible puede representarse de forma única según la descomposición polar como el producto de una matriz unitaria y una matriz hermitiana con valores propios positivos . El determinante de la matriz unitaria está en el círculo unitario mientras que el de la matriz hermitiana es real y positivo y como en el caso de una matriz del grupo lineal especial el producto de estos dos determinantes debe ser 1, entonces cada uno de ellos debe ser 1. Por lo tanto, una matriz lineal especial se puede escribir como el producto de una matriz unitaria especial (o una matriz ortogonal especial en el caso real) y una matriz hermitiana definida positiva (o una matriz simétrica en el caso real) que tiene el determinante 1.
Así, la topología del grupo SL( n , C ) es el producto de la topología de SU( n ) y la topología del grupo de matrices hermitianas de determinante unitario con valores propios positivos. Una matriz hermitiana de determinante unitario y que tiene valores propios positivos se puede expresar de forma única como exponencial de una matriz hermitiana sin rastro y, por lo tanto, la topología de esta es la del espacio euclidiano ( n 2 − 1) -dimensional . [1] Dado que SU( n ) es simplemente conexo , [2] concluimos que SL( n , C ) también es simplemente conexo, para todo n mayor o igual a 2.
La topología de SL( n , R ) es el producto de la topología de SO ( n ) y la topología del grupo de matrices simétricas con valores propios positivos y determinante unitario. Dado que las últimas matrices se pueden expresar de forma única como exponencial de matrices simétricas sin trazas, entonces esta última topología es la del ( n + 2)( n − 1)/ espacio euclidiano de 2 dimensiones. Así, el grupo SL( n , R ) tiene el mismo grupo fundamental que SO( n ), es decir, Z para n = 2 y Z 2 para n > 2 . [3] En particular, esto significa que SL( n , R ) , a diferencia de SL( n , C ) , no es simplemente conexo, para n mayor que 1.
Dos subgrupos relacionados, que en algunos casos coinciden con SL y en otros casos se combinan accidentalmente con SL, son el subgrupo conmutador de GL y el grupo generado por transvecciones . Ambos son subgrupos de SL (las transvecciones tienen determinante 1 y det es un mapa de un grupo abeliano, entonces [GL, GL] ≤ SL), pero en general no coinciden con él.
El grupo generado por transvecciones se denota E( n , A ) (para matrices elementales ) o TV( n , A ) . Según la segunda relación de Steinberg , para n ≥ 3 , las transvecciones son conmutadores, por lo que para n ≥ 3 , E( n , A ) ≤ [GL( n , A ), GL( n , A )] .
Para n = 2 , las transvecciones no necesitan ser conmutadores (de matrices 2 × 2 ), como se ve por ejemplo cuando A es F 2 , el campo de dos elementos, entonces
donde Alt(3) y Sym(3) denotan la alternancia resp. grupo simétrico en 3 letras.
Sin embargo, si A es un campo con más de 2 elementos, entonces E(2, A ) = [GL(2, A ), GL(2, A )] , y si A es un campo con más de 3 elementos, E (2, A ) = [SL(2, A ), SL(2, A )] . [ dudoso ]
En algunas circunstancias, estos coinciden: el grupo lineal especial sobre un campo o un dominio euclidiano se genera mediante transvecciones, y el grupo lineal especial estable sobre un dominio de Dedekind se genera mediante transvecciones. Para anillos más generales, la diferencia estable se mide mediante el grupo especial de Whitehead SK 1 ( A ): = SL( A )/E( A ) , donde SL( A ) y E( A ) son los grupos estables del grupo lineal especial. y matrices elementales.
Si se trabaja sobre un anillo donde SL se genera mediante transvecciones (como un campo o un dominio euclidiano ), se puede dar una presentación de SL utilizando transvecciones con algunas relaciones. Las transvecciones satisfacen las relaciones de Steinberg , pero éstas no son suficientes: el grupo resultante es el grupo de Steinberg , que no es el grupo lineal especial, sino más bien la extensión central universal del subgrupo del conmutador de GL.
Un conjunto suficiente de relaciones para SL( n , Z ) para n ≥ 3 viene dado por dos de las relaciones de Steinberg, más una tercera relación (Conder, Robertson y Williams 1992, p. 19). Sea Ti ij := e ij (1) la matriz elemental con unos en la diagonal y en la posición ij , y ceros en el resto (y i ≠ j ). Entonces
son un conjunto completo de relaciones para SL( n , Z ), n ≥ 3.
En característica distinta a 2, el conjunto de matrices con determinante ±1 forman otro subgrupo de GL, con SL como subgrupo de índice 2 (necesariamente normal); en la característica 2 esto es lo mismo que SL. Esto forma una secuencia corta y exacta de grupos:
Esta secuencia se divide tomando cualquier matriz con determinante −1 , por ejemplo la matriz diagonal . Si es impar, la matriz identidad negativa está en SL ± ( n , F ) pero no en SL( n , F ) y por lo tanto el grupo se divide como un Producto directo interno . Sin embargo, si es par, ya está en SL( n , F ) , SL ± no se divide y, en general, es una extensión de grupo no trivial .
Sobre los números reales, SL ± ( n , R ) tiene dos componentes conectados , correspondientes a SL( n , R ) y otro componente, que son isomórficos con identificación dependiendo de la elección del punto (matriz con determinante −1 ). En la dimensión impar, estos se identifican naturalmente con , pero en la dimensión par no existe una identificación natural.
El grupo GL( n , F ) se divide sobre su determinante (usamos F × ≅ GL(1, F ) → GL( n , F ) como el monomorfismo de F × a GL( n , F ) , ver producto semidirecto ), y por lo tanto GL( n , F ) puede escribirse como un producto semidirecto de SL( n , F ) por F × :
![{\displaystyle \operatorname {Alt} (3)\cong [\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2}),\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2} )]<\operatorname {E} (2,\mathbf {F} _{2})=\operatorname {SL} (2,\mathbf {F} _{2})=\operatorname {GL} (2,\ mathbf {F} _{2})\cong \operatorname {Sym} (3),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95cdc4d5379008eee96e28fd1bdbc7caec8b3c60)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[T_{ij},T_{jk}\right]&=T_{ik}&&{\text{para }}i\neq k\\[4pt]\left[ T_{ij},T_{k\ell }\right]&=\mathbf {1} &&{\text{for }}i\neq \ell ,j\neq k\\[4pt]\left(T_{12) }T_{21}^{-1}T_{12}\right)^{4}&=\mathbf {1} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a01c69575a684ff8933cfc5f611bf057ffa10035)
