Charla:Grupo lineal especial

¿El determinante de qué ahora?

Al principio dice que SL(n) son matrices con determinante uno, pero ese es el núcleo del mapa de determinantes. Pero eso está mal; es el núcleo de este mapa:

${\displaystyle A\mapsto \det(A)-1}$

¿Me equivoco?

- Durka42 ( discusión ) 01:22, 28 de junio de 2013 (UTC) [ respuesta ]

Sí, SL(n) es el núcleo del mapa determinante. Éste es un mapa de grupos, no un mapa de anillos; el núcleo es la preimagen de la identidad del grupo objetivo. Sniffnoy ( discusión ) 18:04, 28 de junio de 2013 (UTC) [ respuesta ]

Gracias, me perdí la parte multiplicativa. - Durka42 ( discusión ) 03:48, 30 de junio de 2013 (UTC) [ respuesta ]

Producto semidirecto

Actualmente existe una sección que establece

GL( norte , F ) = SL( norte , F ) ⋊ F

¿Alguien tiene una prueba de esto? No estoy convencido de que sea verdad. Si F =ℝ y n es par, parece que hay elementos de GL( n ,ℝ) que no se pueden representar como producto de un elemento en ℝ y un elemento de SL( n ,ℝ). Es decir, A ∈ GL( n ,ℝ) con det(A) < 0. Quizás me perdí algo. widdma ( discusión ) 06:04, 29 de agosto de 2013 (UTC) [ respuesta ]

Es cierto, pero no con la incrustación diagonal (colocar el elemento de campo en cada punto de la diagonal); en su lugar, coloque su elemento de campo en la esquina superior izquierda y 1 en el resto de la diagonal. Sin embargo, estoy de acuerdo en que esto probablemente debería aclararse más. En este momento se afirma sólo indirectamente: que la incrustación es lo que se entiende por GL(1,F)→GL(n,F). Sniffnoy ( charla ) 20:19, 29 de agosto de 2013 (UTC) [ respuesta ]

¡Ah! Ya lo veo. Gracias. En ese momento también me preguntaba por qué era semidirecto, en lugar de directo, porque la incrustación diagonal es normal. Pero tu incrustación no es normal, así que todo está bien. widdma ( discusión ) 23:58, 29 de agosto de 2013 (UTC) [ respuesta ]

¿Las transvecciones no siempre generan el grupo lineal especial?

El texto en la sección Special_linear_group#Relations_to_other_subgroups_of_GL.28n.2CA.29 dice explícitamente (pero sin fuentes y sin ejemplos) que las transvecciones no siempre generan el grupo lineal especial completo. Sin embargo, no veo cómo podría no ser así. Según el lema de Whitehead (vinculado desde la sección), las matrices diagonales del determinante 1 se encuentran en el subgrupo generado por transvecciones, al igual que las matrices que (tras la multiplicación por la izquierda) intercambian dos filas mientras invierten el signo de una de ellas (para asegurar determinante 1): son fácilmente un producto de 3 transvecciones. Entonces parecería sencillo aplicar la eliminación de Gauss mediante operaciones de fila a una matriz en el grupo lineal especial, con una ligera modificación para garantizar que cualquier permutación necesaria de escalado de filas se realice de una manera "lineal especial". Esto permite llevarlo a la forma triangular superior con entradas 1 en la diagonal en todas las posiciones excepto posiblemente en la final, pero también debe ser 1 ya que permanecemos dentro del grupo lineal especial. Y la matriz unitaria superior resultante está obviamente en el subgrupo generado por transvecciones. ¿Alguien podría confirmar que es necesario corregir el artículo?

Marc van Leeuwen ( discusión ) 12:45, 9 de marzo de 2014 (UTC) [ respuesta ]

Hm - mirando el artículo, dice "En algunas circunstancias, estos coinciden: el grupo lineal especial sobre un campo o un dominio euclidiano se genera mediante transvecciones"; Supongo que lo anterior se escribió asumiendo que A era un anillo conmutativo general. Lo cual difiere de la introducción que supone que estamos trabajando en un campo. Entonces, me parece que no es tanto un error sino que es poco claro y está mal organizado. Sniffnoy ( discusión ) 19:53, 9 de marzo de 2014 (UTC) [ respuesta ]

Otro punto poco claro es la frase "donde SL( A ) y E( A ) son los grupos estables del grupo lineal especial y las matrices elementales" al final de esa sección; ¿Significa esto que las matrices elementales son un grupo? Boris Tsirelson ( discusión ) 06:49, 26 de marzo de 2015 (UTC) [ respuesta ]

Supongo que significa generado por ellos. Pero sí, eso no está claro. Sniffnoy ( charla ) 18:43, 26 de marzo de 2015 (UTC) [ respuesta ]

Errores en "Relaciones con otros subgrupos de GL(n,A)"

> Sin embargo, si A es un campo con más de 2 elementos, entonces E(2, A ) = [GL(2, A ), GL(2, A )] , y si A es un campo con más de 3 elementos, E(2, A ) = [SL(2, A ), SL(2, A )] .

Esto parece implicar que no es lo mismo que . Pero son iguales. ${\displaystyle [GL(2,A),GL(2,A)]}$ ${\displaystyle [SL(2,A),SL(2,A)]}$