En la teoría K algebraica , un campo de las matemáticas , el grupo de Steinberg de un anillo es la extensión central universal del subgrupo conmutador del grupo lineal general estable de .![{\displaystyle \operatorname {St} (A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Lleva el nombre de Robert Steinberg y está relacionado con grupos inferiores
, en particular y .![{\ Displaystyle K_ {2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle K_ {3}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Definición
De manera abstracta, dado un anillo , el grupo Steinberg es la extensión central universal del subgrupo conmutador del grupo lineal general estable (el subgrupo conmutador es perfecto y, por tanto, tiene una extensión central universal).![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {St} (A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Presentación mediante generadores y relaciones.
Una presentación concreta que utiliza generadores y relaciones es la siguiente. Matrices elementales , es decir, matrices de la forma , donde es la matriz identidad, es la matriz con la entrada - y ceros en el resto, y satisfacen las siguientes relaciones, llamadas relaciones de Steinberg :![{\displaystyle {e_{pq}}(\lambda):=\mathbf {1} +{a_{pq}}(\lambda)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {1} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {a_{pq}}(\lambda)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\lambda}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (p,q)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p\neq q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}e_{ij}(\lambda )e_{ij}(\mu )&=e_{ij}(\lambda +\mu );&&\\\left[e_{ij}( \lambda ),e_{jk}(\mu )\right]&=e_{ik}(\lambda \mu ),&&{\text{for }}i\neq k;\\\left[e_{ij} (\lambda ),e_{kl}(\mu )\right]&=\mathbf {1} ,&&{\text{para }}i\neq l{\text{ y }}j\neq k.\end {alineado}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El grupo de orden inestable de Steinberg sobre , denotado por , está definido por los generadores , donde y , estando estos generadores sujetos a las relaciones de Steinberg. El grupo estable de Steinberg , denotado por , es el límite directo del sistema . También se puede considerar como el grupo de Steinberg de orden infinito.![{\displaystyle r}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\operatorname {St} _{r}}(A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {x_{ij}}(\lambda)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 1\leq i\neq j\leq r}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lambda \en A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {St} (A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\operatorname {St} _{r}}(A)\to {\operatorname {St} _{r+1}}(A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El mapeo produce un homomorfismo de grupo . Como las matrices elementales generan el subgrupo del conmutador , este mapeo es sobreyectivo sobre el subgrupo del conmutador.
![{\displaystyle \varphi :\operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La interpretación como grupo fundamental.
El grupo de Steinberg es el grupo fundamental del espacio de Volodin , que es la unión de espacios clasificadores de los subgrupos de unipotentes .![{\displaystyle \operatorname {GL} (A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Relación con la teoría K
k 1
es el cokernel del mapa , al igual que la abelianización de y el mapeo es sobreyectivo sobre el subgrupo del conmutador.![{\displaystyle \varphi :\operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varphi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
k 2
es el centro del grupo Steinberg. Ésta fue la definición de Milnor, y también se desprende de definiciones más generales de grupos superiores.![{\displaystyle K}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
También es el núcleo del mapeo . De hecho, hay una secuencia exacta![{\displaystyle \varphi :\operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 1\to {K_{2}}(A)\to \operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)\to {K_{1}} (A)\a 1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De manera equivalente, es el multiplicador de Schur del grupo de matrices elementales , por lo que también es un grupo de homología : .![{\displaystyle {K_{2}}(A)={H_{2}}(E(A);\mathbb {Z} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
K 3
Gersten (1973) demostró que .![{\displaystyle {K_{3}}(A)={H_{3}}(\operatorname {St} (A);\mathbb {Z} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Referencias
- Gersten, SM (1973), " de un anillo es del grupo Steinberg", Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 37 (2), Sociedad Matemática Estadounidense: 366–368, doi :10.2307/2039440, JSTOR 2039440
![{\ Displaystyle K_ {3}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle H_ {3}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Milnor, John Willard (1971), Introducción a la teoría
algebraica , Annals of Mathematics Studies, vol. 72, Prensa de la Universidad de Princeton , SEÑOR 0349811 - Steinberg, Robert (1968), Lectures on Chevalley Groups, Universidad de Yale, New Haven, Connecticut, MR 0466335, archivado desde el original el 10 de septiembre de 2012