bispinor

Descripción matemática de los fermiones.

En física , y específicamente en teoría cuántica de campos , un bispinor es una construcción matemática que se utiliza para describir algunas de las partículas fundamentales de la naturaleza , incluidos los quarks y los electrones . Es una encarnación específica de un espinor , construida específicamente para que sea consistente con los requisitos de la relatividad especial . Los bispinores se transforman de cierta manera "espinorial" bajo la acción del grupo de Lorentz , que describe las simetrías del espacio-tiempo de Minkowski . Ocurren en las soluciones relativistas de función de onda 1/2 de espín de la ecuación de Dirac .

Los bispinores se llaman así porque están construidos a partir de dos espinores componentes más simples, los espinores de Weyl . Cada uno de los dos espinores componentes se transforma de manera diferente bajo las dos representaciones distintas de espín 1/2 conjugado complejo del grupo de Lorentz. Este emparejamiento es de fundamental importancia, ya que permite que la partícula representada tenga masa , lleve carga , represente el flujo de carga como una corriente , y quizás lo más importante, lleve momento angular . Más precisamente, la masa es una invariante de Casimir del grupo de Lorentz (un estado propio de la energía), mientras que la combinación de vectores transporta impulso y corriente, siendo covariante bajo la acción del grupo de Lorentz. El momento angular lo transporta el vector de Poynting , construido adecuadamente para el campo de espín. ^[1]

Un bispinor es más o menos "lo mismo" que un espinor de Dirac . La convención utilizada aquí es que el artículo sobre el espinor de Dirac presenta soluciones de onda plana a la ecuación de Dirac utilizando la convención de Dirac para las matrices gamma . Es decir, el espinor de Dirac es un bispinor en la convención de Dirac. Por el contrario, el siguiente artículo se concentra principalmente en Weyl, o representación quiral, y se centra menos en la ecuación de Dirac y más en la estructura geométrica, incluida la geometría del grupo de Lorentz . Así, mucho de lo que se dice a continuación puede aplicarse a la ecuación de Majorana .

Definición

Los bispinores son elementos de un espacio vectorial complejo de 4 dimensiones ( 1/2 , 0) ⊕ (0, 1/2 ) representación del grupo de Lorentz . ^[2]

En la base de Weyl , un bispinor.

${\displaystyle \psi =\left({\begin{array}{c}\psi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}\end{array}}\right)}$

consta de dos espinores de Weyl (de dos componentes) y que se transforman, correspondientemente, en ( 1/2 , 0) y (0, 1/2 ) representaciones del grupo (el grupo de Lorentz sin transformaciones de paridad ) . Bajo transformación de paridad, los espinores de Weyl se transforman entre sí. ${\displaystyle \psi _{\rm {L}}}$ ${\displaystyle \psi _{\rm {R}}}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (1,3)}$

El bispinor de Dirac está conectado con el bispinor de Weyl mediante una transformación unitaria a la base de Dirac ,

${\displaystyle \psi \rightarrow {1 \over {\sqrt {2}}}\left[{\begin{array}{cc}1&1\\-1&1\end{array}}\right]\psi ={1 \over {\sqrt {2}}}\left({\begin{array}{c}\psi _{\rm {R}}+\psi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}-\psi _{\rm {L}}\end{array}}\right).}$

La base de Dirac es la más utilizada en la literatura.

Expresiones para transformaciones de Lorentz de bispinores

Un campo bispinor se transforma según la regla. ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle \psi ^{a}(x)\to {\psi ^{\prime }}^{a}\left(x^{\prime }\right)=S[\Lambda ]_{b}^{a}\psi ^{b}\left(\Lambda ^{-1}x^{\prime }\right)=S[\Lambda ]_{b}^{a}\psi ^{b}(x)}$

donde hay una transformación de Lorentz . Aquí las coordenadas de los puntos físicos se transforman según , mientras que , una matriz, es un elemento de la representación de espinor (para espín 1/2 ) del grupo de Lorentz. ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle x^{\prime }=\Lambda x}$ ${\displaystyle S}$

En la base de Weyl, las matrices de transformación explícitas para un impulso y para una rotación son las siguientes: ^[3] ${\displaystyle \Lambda _{\rm {boost}}}$ ${\displaystyle \Lambda _{\rm {rot}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S[\Lambda _{\rm {boost}}]&=\left({\begin{array}{cc}e^{+\chi \cdot \sigma /2}&0\\0&e^{-\chi \cdot \sigma /2}\end{array}}\right)\\S[\Lambda _{\rm {rot}}]&=\left({\begin{array}{cc}e^{+i\phi \cdot \sigma /2}&0\\0&e^{+i\phi \cdot \sigma /2}\end{array}}\right)\end{aligned}}}$

Aquí está el parámetro de impulso y representa la rotación alrededor del eje. son las matrices de Pauli . El exponencial es el mapa exponencial , en este caso la matriz exponencial definida poniendo la matriz en la serie de potencias habitual para la función exponencial. ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \phi ^{i}}$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$

Propiedades

Una forma bilineal de bispinores se puede reducir a cinco objetos irreducibles (bajo el grupo de Lorentz):

1. escalar , ; ${\displaystyle {\bar {\psi }}\psi }$
2. pseudoescalar , ; ${\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{5}\psi }$
3. vector , ; ${\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$
4. pseudovector , ; ${\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}\psi }$
5. tensor antisimétrico , , ${\displaystyle {\bar {\psi }}\left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\right)\psi }$

donde y son las matrices gamma . Estas cinco cantidades están interrelacionadas por las identidades de Fierz . Sus valores se utilizan en la clasificación del campo de espinores de Lounesto de los diferentes tipos de espinores, de los cuales el bispinor es solo uno; los otros son el asta de la bandera (del cual el espinor de Majorana es un caso especial), el dipolo de la bandera y el espinor de Weyl . El asta de la bandera, el dipolo de la bandera y los espinores de Weyl tienen masa nula y campos pseudoescalares; el asta de la bandera además tiene un campo pseudovector nulo, mientras que los espinores de Weyl tienen un tensor antisimétrico nulo (un "campo de momento angular" nulo). ${\displaystyle {\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{5}\right\}}$

A partir de estos se puede construir un lagrangiano adecuado para el campo relativista de espín -1 / 2 , y se expresa como

${\displaystyle {\mathcal {L}}={i \over 2}\left({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \right)-m{\bar {\psi }}\psi \;.}$

La ecuación de Dirac se puede derivar de este lagrangiano utilizando la ecuación de Euler-Lagrange .

Derivación de una representación bispinor

Introducción

Este esquema describe un tipo de bispinores como elementos de un espacio de representación particular de la representación ( 1/2 , 0) ⊕ (0, 1/2 ) del grupo de Lorentz . Este espacio de representación está relacionado, pero no es idéntico, al espacio de representación ( 1/2 , 0) ⊕ (0, 1/2 ) contenido en el álgebra de Clifford sobre el espacio-tiempo de Minkowski como se describe en el artículo Spinors . Se utiliza lenguaje y terminología como en la teoría de la representación del grupo de Lorentz . La única propiedad de las álgebras de Clifford que es esencial para la presentación es la propiedad definitoria que se proporciona en D1 a continuación. Los elementos básicos de so (3,1) están etiquetados como M ^μν .

Una representación del álgebra de Lie así (3,1) del grupo de Lorentz O(3,1) surgirá entre las matrices que se elegirán como base (como espacio vectorial) del álgebra compleja de Clifford sobre el espacio-tiempo. Luego, estas matrices de 4 × 4 se exponencialmente para obtener una representación de SO (3,1) ⁺ . Esta representación, que resulta ser una representación ( 1 / 2 , 0 ) ⊕ (0, 1 / 2 ) , actuará sobre un espacio vectorial complejo arbitrario de 4 dimensiones, que simplemente se tomará como C ⁴ , y sus elementos. serán bispinores.

Como referencia, las relaciones de conmutación de entonces (3,1) son

con la métrica del espacio-tiempo η = diag(−1, 1, 1, 1) .

Las matrices gamma

Sea γ ^μ un conjunto de cuatro matrices gamma de 4 dimensiones, aquí llamadas matrices de Dirac . Las matrices de Dirac satisfacen

donde { , } es el anticonmutador , I ₄ es una matriz unitaria de 4×4 y η ^μν es la métrica del espacio-tiempo con firma (+,−,−,−). Ésta es la condición definitoria de un conjunto generador de un álgebra de Clifford . Otros elementos básicos σ ^μν del álgebra de Clifford vienen dados por

Sólo seis de las matrices σ ^μν son linealmente independientes. Esto se desprende directamente de su definición ya que σ ^μν = − σ ^νμ . Actúan sobre el subespacio V _γ el γ ^μ abarcan en sentido pasivo , según

En (C2) , la segunda igualdad se deriva de la propiedad (D1) del álgebra de Clifford.

Incrustación de álgebra de Lie de so(3,1) en Cl 4 (C)

Ahora defina una acción de modo (3,1) sobre el σ ^μν , y el subespacio lineal V _σ ⊂ Cl ₄ ( C ) que abarcan en Cl ₄ ( C ) ≈ M ⁿ _C , dado por

La última igualdad en (C4) , que se sigue de (C2) y la propiedad (D1) de las matrices gamma, muestra que los σ ^μν constituyen una representación de so (3,1) ya que las relaciones de conmutación en (C4) son exactamente los de so (3,1) . La acción de π(M ^μν ) puede considerarse como matrices de seis dimensiones Σ ^μν que multiplican los vectores base σ ^μν , ya que el espacio en M _n ( C ) abarcado por σ ^μν es de seis dimensiones, o pensarse en como la acción por conmutación sobre el σ ^ρσ . En lo siguiente, π ( M ^μν ) = σ ^μν

γ ^μ y σ ^μν son ambos subconjuntos (disjuntos) de los elementos básicos de Cl ₄ ( C ), generados por las matrices de Dirac de cuatro dimensiones γ ^μ en cuatro dimensiones de espacio-tiempo . El álgebra de Lie de so (3,1) está así incrustada en Cl ₄ ( C ) por π como el subespacio real de Cl ₄ ( C ) abarcado por σ ^μν . Para obtener una descripción completa de los elementos básicos restantes distintos de γ ^μ y σ ^μν del álgebra de Clifford, consulte el artículo Álgebra de Dirac .

Bispinores introducidos

Ahora introduzca cualquier espacio vectorial complejo de 4 dimensiones U donde los γ ^μ actúen mediante multiplicación de matrices. Aquí U = C ⁴ funcionará muy bien. Sea Λ = e ^{ω _μν M μν} una transformación de Lorentz y defina la acción del grupo de Lorentz sobre U como

${\displaystyle u\rightarrow S(\Lambda )u=e^{i\pi (\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu })}u;\quad u^{\alpha }\rightarrow [e^{\omega _{\mu \nu }\sigma ^{\mu \nu }}]^{\alpha }{}_{\beta }u^{\beta }.}$

Dado que los σ ^μν según (C4) constituyen una representación de so (3,1) , el mapa inducido

según la teoría general es una representación o una representación proyectiva de SO(3,1) ⁺ . Resultará ser una representación proyectiva. Los elementos de U , cuando están dotados de la regla de transformación dada por S , se denominan bispinores o simplemente espinores .

Una selección de matrices de Dirac

Queda por elegir un conjunto de matrices de Dirac γ μ ^para obtener la representación de espín S. Una de esas opciones, apropiada para el límite ultrarelativista , es

donde las σ _i son las matrices de Pauli . En esta representación de los generadores del álgebra de Clifford, los σ ^μν se convierten en

Esta representación es manifiestamente no irreducible, ya que todas las matrices son diagonales de bloque . Pero por la irreductibilidad de las matrices de Pauli, la representación no puede reducirse más. Dado que es de 4 dimensiones , la única posibilidad es que sea una representación ( 1 / 2,0 )⊕(0, 1/2 ) , es decir, una representación bispinor . Ahora, usando la receta de exponenciación de la representación del álgebra de Lie para obtener una representación de SO(3,1) ⁺ ,

Se obtiene una representación proyectiva de 2 valores. Aquí φ es un vector de parámetros de rotación con 0 ≤ φ ⁱ ≤ 2 π , y χ es un vector de parámetros de impulso . Con las convenciones utilizadas aquí se puede escribir

para un campo bispinor. Aquí, el componente superior corresponde a un espinor de Weyl derecho . Para incluir la inversión de paridad espacial en este formalismo, se establece

como representativo de P = diag(1, −1, −1, −1) . Se ve que la representación es irreducible cuando se incluye la inversión de paridad espacial.

Un ejemplo

Sea X = 2 πM ¹² de modo que X genere una rotación alrededor del eje z en un ángulo de 2 π . Entonces Λ = e ^iX = I ∈ SO(3,1) ⁺ pero e ^{iπ ( X )} = − I ∈ GL( U ) . Aquí, denoto el elemento de identidad. Si en su lugar se elige X = 0 , entonces todavía Λ = e ^iX = I ∈ SO(3,1) ⁺ , pero ahora e ^{iπ ( X )} = I ∈ GL( U ) .

Esto ilustra la naturaleza de doble valor de una representación de espín. La identidad en SO(3,1) ⁺ se asigna a − I ∈ GL( U ) o I ∈ GL( U ) dependiendo de la elección del elemento de álgebra de Lie para representarla. En el primer caso, se puede especular que una rotación de un ángulo 2 π niega un bispinor, y que se requiere una rotación de 4 π para girar un bispinor hacia sí mismo. Lo que realmente sucede es que la identidad en SO(3,1) ⁺ se asigna a − I en GL( U ) con una desafortunada elección de X.

Es imposible elegir continuamente X para todo g ∈ SO(3,1) ⁺ de modo que S sea una representación continua. Supongamos que se define S a lo largo de un bucle en SO(3,1) tal que X ( t ) = 2 πtM ¹² , 0 ≤ t ≤ 1 . Este es un bucle cerrado en SO(3,1) , es decir, rotaciones que van de 0 a 2 π alrededor del eje z bajo el mapeo exponencial, pero es sólo "la mitad" de un bucle en GL( U ) , que termina en − I . Además, el valor de I ∈ SO(3,1) es ambiguo, ya que t = 0 y t = 2 π dan valores diferentes para I ∈ SO(3,1) .

El álgebra de Dirac

La representación S en bispinores inducirá una representación de SO(3,1) ⁺ en End( U ) , el conjunto de operadores lineales en U . Este espacio corresponde al propio álgebra de Clifford, de modo que todos los operadores lineales en U son elementos de esta última. Esta representación, y cómo se descompone como una suma directa de representaciones SO(3,1) ⁺ irreducibles , se describe en el artículo sobre álgebra de Dirac . Una de las consecuencias es la descomposición de las formas bilineales en U × U. Esta descomposición indica cómo acoplar cualquier campo bispinor con otros campos en un lagrangiano para producir escalares de Lorentz .

Bispinores y el álgebra de Dirac

Las matrices de Dirac son un conjunto de cuatro matrices de 4×4 que forman el álgebra de Dirac , y se utilizan para entrelazar la dirección de giro con el sistema de referencia local (el sistema de coordenadas local del espacio-tiempo), así como para definir la carga ( simetría C ). , operadores de paridad y de inversión horaria .

Convenciones

Hay varias opciones de firma y representación que son de uso común en la literatura de física. Las matrices de Dirac generalmente se escriben como donde va del 0 al 3. En esta notación, 0 corresponde al tiempo y del 1 al 3 corresponden a x , y y z . ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$

La firma + − − − a veces se denomina métrica de la costa oeste , mientras que − + + + es la métrica de la costa este . En este momento, la firma + − − − es de uso más común y nuestro ejemplo utilizará esta firma. Para pasar de un ejemplo a otro, multiplica todo por . ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle i}$

Después de elegir la firma, hay muchas formas de construir una representación en matrices de 4 × 4, y muchas son de uso común. Para que este ejemplo sea lo más general posible, no especificaremos una representación hasta el paso final. En ese momento sustituiremos en la representación "quiral" o de Weyl .

Construcción del espinor de Dirac con una dirección de giro y carga determinadas.

Primero elegimos una dirección de giro para nuestro electrón o positrón. Como en el ejemplo del álgebra de Pauli discutido anteriormente, la dirección de giro está definida por un vector unitario en 3 dimensiones, (a, b, c). Siguiendo la convención de Peskin y Schroeder, el operador de giro para el giro en la dirección (a, b, c) se define como el producto escalar de (a, b, c) con el vector

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(i\gamma ^{2}\gamma ^{3},\;\;i\gamma ^{3}\gamma ^{1},\;\;i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\right)&=-\left(\gamma ^{1},\;\gamma ^{2},\;\gamma ^{3}\right)i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\\\sigma _{(a,b,c)}&=ia\gamma ^{2}\gamma ^{3}+ib\gamma ^{3}\gamma ^{1}+ic\gamma ^{1}\gamma ^{2}\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que lo anterior es una raíz de la unidad , es decir, se eleva al cuadrado a 1. En consecuencia, podemos hacer un operador de proyección a partir de él que proyecte la subálgebra del álgebra de Dirac que tiene espín orientado en (a, b, c) dirección:

${\displaystyle P_{(a,b,c)}={\frac {1}{2}}\left(1+\sigma _{(a,b,c)}\right)}$

Ahora debemos elegir una carga, +1 (positrón) o −1 (electrón). Siguiendo las convenciones de Peskin y Schroeder, el operador de carga es , es decir, los estados de los electrones tomarán un valor propio de −1 con respecto a este operador mientras que los estados de positrones tomarán un valor propio de +1. ${\displaystyle Q=-\gamma ^{0}}$

Tenga en cuenta que también es una raíz cuadrada de la unidad. Además, viaja con . Forman un conjunto completo de operadores de conmutación para el álgebra de Dirac . Siguiendo con nuestro ejemplo, buscamos una representación de un electrón con espín en la dirección ( a , b , c ) . Convirtiéndonos en un operador de proyección para carga = −1, tenemos ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \sigma _{(a,b,c)}}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle P_{-Q}={\frac {1}{2}}\left(1-Q\right)={\frac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{0}\right)}$

Por tanto, el operador de proyección para el espinor que buscamos es el producto de los dos operadores de proyección que hemos encontrado:

${\displaystyle P_{(a,b,c)}\;P_{-Q}}$

El operador de proyección anterior, cuando se aplica a cualquier espinor, dará la parte del espinor que corresponde al estado electrónico que buscamos. Entonces podemos aplicarlo a un espinor con el valor 1 en uno de sus componentes y 0 en los demás, lo que da una columna de la matriz. Siguiendo con el ejemplo, ponemos ( a , b , c ) = (0, 0, 1) y tenemos

${\displaystyle P_{(0,0,1)}={\frac {1}{2}}\left(1+i\gamma _{1}\gamma _{2}\right)}$

y entonces nuestro operador de proyección deseado es

${\displaystyle P={\frac {1}{2}}\left(1+i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\right)\cdot {\frac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{0}\right)={\frac {1}{4}}\left(1+\gamma ^{0}+i\gamma ^{1}\gamma ^{2}+i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\right)}$

Las matrices gamma de 4 × 4 utilizadas en la representación de Weyl son

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{0}&={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\\\gamma _{k}&={\begin{bmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

para k = 1, 2, 3 y donde están las matrices de Pauli habituales de 2×2 . Sustituyendo estos por P se obtiene ${\displaystyle \sigma ^{i}}$

${\displaystyle P={\frac {1}{4}}{\begin{bmatrix}1+\sigma ^{3}&1+\sigma ^{3}\\1+\sigma ^{3}&1+\sigma ^{3}\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

Nuestra respuesta es cualquier columna distinta de cero de la matriz anterior. La división por dos es sólo una normalización. La primera y tercera columnas dan el mismo resultado:

${\displaystyle \left|e^{-},\,+{\frac {1}{2}}\right\rangle ={\begin{bmatrix}1\\0\\1\\0\end{bmatrix}}}$

De manera más general, para electrones y positrones con espín orientado en la dirección ( a , b , c ), el operador de proyección es

${\displaystyle {\frac {1}{4}}{\begin{bmatrix}1+c&a-ib&\pm (1+c)&\pm (a-ib)\\a+ib&1-c&\pm (a+ib)&\pm (1-c)\\\pm (1+c)&\pm (a-ib)&1+c&a-ib\\\pm (a+ib)&\pm (1-c)&a+ib&1-c\end{bmatrix}}}$

donde los signos superiores corresponden al electrón y los inferiores al positrón. El espinor correspondiente se puede tomar como cualquier columna distinta de cero. Dado que las diferentes columnas son múltiplos del mismo espinor. La representación del espinor resultante en la base de Dirac se puede obtener utilizando la regla dada en el artículo bispinor. ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1}$

Ver también

• portal de física

• espinor de dirac
• Spin(3,1) , la doble cobertura de SO(3,1) por un grupo de spin
• Ecuación de Rarita-Schwinger

Notas

1. Hans C. Ohanian (1986) "¿Qué es el espín?", American Journal of Physics . 54 , página 500. doi: 10.1119/1.14580
2. Caban y Rembieliński 2005, pag. 2
3. David Tong, Conferencias sobre teoría cuántica de campos (2012), Conferencia 4
4. Weinberg 2002, Ecuación 5.4.5
5. Weinberg 2002, Ecuación 5.4.6
6. Weinberg 2002, Ecuación 5.4.7
7. Weinberg 2002, Ecuaciones (5.4.17)
8. Weinberg 2002, Ecuaciones (5.4.19) y (5.4.20)
9. Weinberg 2002, Ecuación (5.4.13)

Referencias

• Caban, Paweł; Rembieliński, Jakub (5 de julio de 2005). "Matriz de densidad de espín reducida covariante de Lorentz y correlaciones de Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm". Revisión física A. 72 (1): 012103. arXiv : quant-ph/0507056v1 . Código Bib : 2005PhRvA..72a2103C. doi :10.1103/physreva.72.012103. S2CID  119105796.
• Weinberg, S (2002), La teoría cuántica de campos, vol I , ISBN 0-521-55001-7.