Álgebra de Dirac

En física matemática , el álgebra de Dirac es el álgebra de Clifford . Fue introducida por el físico matemático PAM Dirac en 1928 al desarrollar la ecuación de Dirac para partículas de espín 1/2 con una representación matricial de las matrices gamma , que representan los generadores del álgebra. ${\displaystyle {\text{Cl}}_{1,3}(\mathbb {C} )}$

Las matrices gamma son un conjunto de cuatro matrices con entradas en , es decir, elementos de que satisfacen ${\displaystyle 4\times 4}$ ${\displaystyle \{\gamma ^{\mu }\}=\{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\text{Mat}}_{4\times 4}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu },}$

donde por convención, se ha suprimido una matriz de identidad en el lado derecho. Los números son los componentes de la métrica de Minkowski . Para este artículo, fijamos la firma para que sea mayoritariamente menos , es decir, . ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle (+,-,-,-)}$

El álgebra de Dirac es entonces el espacio lineal de la identidad, las matrices gamma así como cualquier producto linealmente independiente de las matrices gamma. Esto forma un álgebra de dimensión finita sobre el cuerpo o , con dimensión . ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle 16=2^{4}}$

Bases para el álgebra

El álgebra tiene una base

${\displaystyle I_{4},}$

${\displaystyle \gamma ^{\mu },}$

${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu },}$

${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho },}$

${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }=\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}}$

donde en cada expresión, cada índice griego aumenta a medida que nos desplazamos hacia la derecha. En particular, no hay ningún índice repetido en las expresiones. Por conteo de dimensiones, la dimensión del álgebra es 16.

El álgebra se puede generar tomando productos de los solos: la identidad surge como ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$

${\displaystyle I_{4}=(\gamma ^{0})^{2}}$

mientras que los demás son explícitamente productos de la . ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$

Estos elementos abarcan el espacio generado por . Concluimos que realmente tenemos una base del álgebra de Clifford generada por el ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu }.}$

Potencias cuadráticas y álgebra de Lorentz

Para la teoría de esta sección, existen muchas opciones de convenciones encontradas en la literatura, que a menudo corresponden a factores de . Para mayor claridad, aquí elegiremos convenciones para minimizar la cantidad de factores numéricos necesarios, pero pueden llevar a que los generadores sean antihermíticos en lugar de hermíticos. ${\displaystyle \pm i}$

Hay otra forma común de escribir el subespacio cuadrático del álgebra de Clifford:

${\displaystyle S^{\mu \nu }={\frac {1}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]}$

con . Nota . ${\displaystyle \mu \neq \nu }$ ${\displaystyle S^{\mu \nu }=-S^{\nu \mu }}$

Hay otra forma de escribir esto que se cumple incluso cuando : ${\displaystyle \mu =\nu }$

${\displaystyle S^{\mu \nu }={\frac {1}{2}}(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\eta ^{\mu \nu }).}$

Esta forma se puede utilizar para demostrar que la forma es una representación del álgebra de Lorentz (con convenciones reales) ${\displaystyle S^{\mu \nu }}$

${\displaystyle [S^{\mu \nu },S^{\rho \sigma }]=S^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }-S^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+S^{\nu \rho }\eta ^{\mu \sigma }-S^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }.}$

Convenciones de física

Es una convención común en física incluir un factor de , de modo que la conjugación hermítica (donde la transposición se realiza con respecto a los índices griegos del espacio-tiempo) da una 'matriz hermítica' de generadores sigma ^[1] ${\displaystyle \pm i}$

De los cuales, solo 6 no son cero debido a la antisimetría del corchete, abarcan el espacio de representación de seis dimensiones de la representación tensorial (1, 0) ⊕ (0, 1) del álgebra de Lorentz dentro de . Además, tienen las relaciones de conmutación del álgebra de Lie, ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {Cl}}_{1,3}(\mathbb {R} )}$

y por lo tanto constituyen una representación del álgebra de Lorentz (además de abarcar un espacio de representación) que se encuentra dentro de la representación de espín. ${\displaystyle {\mathcal {Cl}}_{1,3}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\frac {1}{2}}\right)}$

Girar(1, 3)

La función exponencial de matrices está bien definida. Satisfacen el álgebra de Lorentz y resultan exponenciales para una representación del grupo de espín del grupo de Lorentz (estrictamente, la parte dirigida al futuro conectada con la identidad). Son entonces los generadores de espín de esta representación. ${\displaystyle S^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle {\text{Spin}}(1,3)}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)^{+}}$ ${\displaystyle S^{\mu \nu }}$

Destacamos que es en sí una matriz, no los componentes de una matriz. Sus componentes como matriz compleja se etiquetan por convención utilizando letras griegas del comienzo del alfabeto . ${\displaystyle S^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle 4\times 4}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\cdots }$

La acción de sobre un espinor , que en este contexto es un elemento del espacio vectorial , es ${\displaystyle S^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$

${\displaystyle \psi \mapsto S^{\mu \nu }\psi }$, o en componentes,

${\displaystyle \psi ^{\alpha }\mapsto (S^{\mu \nu })^{\alpha }{}_{\beta }\psi ^{\beta }.}$

Esto corresponde a una transformación infinitesimal de Lorentz sobre un espinor. Entonces, una transformación finita de Lorentz, parametrizada por los componentes (antisimétrica en ) se puede expresar como ${\displaystyle \omega _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \mu ,\nu }$

${\displaystyle S:=\exp \left({\frac {1}{2}}\omega _{\mu \nu }S^{\mu \nu }\right).}$

De la propiedad que

${\displaystyle (\gamma ^{\mu })^{\dagger }=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0},}$

resulta que

${\displaystyle (S^{\mu \nu })^{\dagger }=-\gamma ^{0}S^{\mu \nu }\gamma ^{0}.}$

Y como se define anteriormente satisface ${\displaystyle S}$

${\displaystyle S^{\dagger }=\gamma ^{0}S^{-1}\gamma ^{0}}$

Esto motiva la definición de adjunto de Dirac para los espinores , de ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\bar {\psi }}:=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$.

La transformación correspondiente para es ${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\bar {S}}:=\gamma ^{0}S^{\dagger }\gamma ^{0}=S^{-1}}$.

Con esto, resulta sencillo construir cantidades invariantes de Lorentz para la construcción de lagrangianos como el lagrangiano de Dirac.

Potencia cuártica

El subespacio cuártico contiene un solo elemento base,

${\displaystyle \gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\frac {1}{4!}}\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma },}$

donde es el tensor totalmente antisimétrico tal que por convención. ${\displaystyle \epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }}$ ${\displaystyle \epsilon _{0123}=+1}$

Esto es antisimétrico bajo el intercambio de dos matrices gamma adyacentes.

gamma5

Al considerar el tramo complejo, este elemento base puede tomarse alternativamente como

${\displaystyle \gamma ^{5}:=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}.}$

Puede encontrar más detalles aquí .

Como forma de volumen

Por la antisimetría total del elemento cuártico, se puede considerar que es una forma de volumen. De hecho, esta observación se extiende a una discusión de las álgebras de Clifford como una generalización del álgebra exterior : ambas surgen como cocientes del álgebra tensorial, pero el álgebra exterior da un cociente más restrictivo, donde todos los anticonmutadores se anulan.

Derivación a partir de la ecuación de Dirac y Klein-Gordon

La forma definitoria de los elementos gamma se puede derivar si se asume la forma covariante de la ecuación de Dirac :

${\displaystyle -i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi +mc\psi =0\,.}$

y la ecuación de Klein-Gordon :

${\displaystyle -\partial _{t}^{2}\psi +\nabla ^{2}\psi =m^{2}\psi }$

que deben darse y requiere que estas ecuaciones conduzcan a resultados consistentes.

Derivación del requisito de consistencia (prueba). Multiplicando la ecuación de Dirac por su ecuación conjugada se obtiene:

${\displaystyle \psi ^{\dagger }(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc)(-i\hbar \gamma ^{\nu }\partial _{\nu }+mc)\psi =0\,.}$

La exigencia de coherencia con la ecuación de Klein-Gordon conduce inmediatamente a:

${\displaystyle \displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}}$

donde es el anticonmutador , es la métrica de Minkowski con signatura (+ − − −) y es la matriz unitaria 4x4. ^[3] ${\displaystyle \{,\}}$ ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle \ I_{4}\,}$

Cl1,3(C) y Cl1,3(R)

El álgebra de Dirac puede considerarse como una complejización del álgebra del espacio-tiempo real Cl _1,3 ( ): ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {C} )=\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )\otimes \mathbb {C} .}$

Cl _1,3 ( ) se diferencia de Cl _1,3 ( ): en Cl _1,3 ( ) solo se permiten combinaciones lineales reales de las matrices gamma y sus productos. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Los defensores del álgebra geométrica se esfuerzan por trabajar con álgebras reales siempre que sea posible. Sostienen que, en general, es posible (y generalmente esclarecedor) identificar la presencia de una unidad imaginaria en una ecuación física. Dichas unidades surgen de una de las muchas cantidades de un álgebra de Clifford real que se elevan al cuadrado a −1, y tienen importancia geométrica debido a las propiedades del álgebra y a la interacción de sus diversos subespacios. Algunos de estos defensores también cuestionan si es necesario o incluso útil introducir una unidad imaginaria adicional en el contexto de la ecuación de Dirac.

En las matemáticas de la geometría de Riemann , es convencional definir el álgebra de Clifford Cl _p,q ( ) para dimensiones arbitrarias p,q ; la anticonmutación de los espinores de Weyl emerge naturalmente del álgebra de Clifford. ^[4] Los espinores de Weyl se transforman bajo la acción del grupo de espín . La complejización del grupo de espín, llamada grupo spinc , es un producto del grupo de espín con el círculo con el producto solo un dispositivo de notación para identificar con El punto geométrico de esto es que desenreda el espinor real, que es covariante bajo las transformaciones de Lorentz, del componente, que puede identificarse con la fibra de la interacción electromagnética. La paridad entrelazada y la conjugación de carga de una manera adecuada para relacionar los estados de partícula/antipartícula de Dirac (equivalentemente, los estados quirales en la base de Weyl). El bispinor , en la medida en que tiene componentes izquierdo y derecho linealmente independientes, puede interactuar con el campo electromagnético. Esto contrasta con el espinor de Majorana y el espinor de ELKO, que no pueden ( es decir, son eléctricamente neutros), ya que restringen explícitamente el espinor para que no interactúe con la parte que proviene de la complejización. El espinor de ELKO (Eigenspinoren des Ladungskonjugationsoperators) es un espinor de clase 5 de Lounesto. ^{[5] : 84} ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}\cong U(1)}$ ${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$ ${\displaystyle (a,u)\in \mathrm {Spin} (n)\times S^{1}}$ ${\displaystyle (-a,-u).}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

En la medida en que la presentación de la carga y la paridad puede ser un tema confuso en los libros de texto convencionales de teoría cuántica de campos, la disección más cuidadosa de estos temas en un contexto geométrico general puede resultar esclarecedora. Las exposiciones estándar del álgebra de Clifford construyen los espinores de Weyl a partir de principios primeros; el hecho de que "automáticamente" anticonmuten es un elegante subproducto geométrico de la construcción, que pasa por alto por completo cualquier argumento que apele al principio de exclusión de Pauli (o la sensación, a veces común, de que las variables de Grassmann se han introducido mediante argumentación ad hoc ).

En la práctica de la física contemporánea, el álgebra de Dirac continúa siendo el entorno estándar en el que "viven" los espinores de la ecuación de Dirac, en lugar del álgebra del espacio-tiempo.

Véase también

• portal de fisica

• Matrices gamma de dimensiones superiores
• Identidad de Fierz

Referencias

1. Weinberg 2005, Ecuación 5.4.6
2. Weinberg 2005, Ecuación 5.4.4 Sección 5.4.
3. Véase también: Victoria Martin, Notas de clase SH Particle Physics 2012, Notas de clase 5-7, Sección 5.5 Las matrices gamma
4. Jürgen Jost (2002) "Geometría riemanniana y análisis geométrico (3.ª edición)", Springer Universitext. Véase la sección 1.8
5. Rodrigues y Oliveira 2007.

• Rodrigues, Waldyr A.; Oliveira, Edmundo C. de (2007). Las múltiples caras de las ecuaciones de Maxwell, Dirac y Einstein: un enfoque de Clifford Bundle. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-71292-3.
• Weinberg, Steven (2005) [2000]. "5 Campos cuánticos y antipartículas §5.4 La formulación de Dirac". La teoría cuántica de campos: volumen 1, Fundamentos . Vol. 1. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-67053-1.