Matrices gamma de dimensiones superiores

Matrices gamma para álgebras arbitrarias de Clifford

En física matemática , las matrices gamma de dimensiones superiores generalizan a una dimensión arbitraria las matrices gamma de cuatro dimensiones de Dirac , que son un pilar de la mecánica cuántica relativista. Se utilizan en ecuaciones de ondas relativistas invariantes para fermiones (como espinores) en dimensiones espacio-temporales arbitrarias, especialmente en teoría de cuerdas y supergravedad. Las matrices de Weyl-Brauer proporcionan una construcción explícita de matrices gamma de dimensiones superiores para los espinores de Weyl . Las matrices gamma también aparecen en entornos genéricos en la geometría de Riemann , particularmente cuando se puede definir una estructura de espín .

Introducción

Considere un espacio-tiempo de dimensión d con la métrica plana de Minkowski ,

${\displaystyle \eta =\|\eta _{ab}\|={\text{diag}}(+1,\dots ,+1,-1,\dots ,-1)~,}$

con entradas positivas, entradas negativas y a , b = 0, 1, ..., d − 1 . Establecer norte = 2 ^⌊ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p+q=d}$^{1/2d ⌋} .matrices de Diracestándarcorresponden a tomar d = N = 4y p , q = 1, 3o3, 1.

En dimensiones superiores (e inferiores), se puede definir un grupo , el grupo gamma , que se comporta de la misma manera que las matrices de Dirac. ^[1] Más precisamente, si uno selecciona una base para el álgebra de Clifford (complejizada) , entonces el grupo gamma generado por es isomorfo al subgrupo multiplicativo generado por los elementos de base (ignorando el aspecto aditivo del álgebra de Clifford). ${\displaystyle \{e_{a}\}}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {C} )\cong \mathrm {Cl} ^{\mathbb {C} }(p,q)}$ ${\displaystyle \{\Gamma _{a}\}}$ ${\displaystyle e_{a}}$

Por convención, el grupo gamma se realiza como una colección de matrices, las matrices gamma, aunque la definición del grupo no lo requiere. En particular, muchas propiedades importantes, incluidas las simetrías C , P y T , no requieren una representación matricial específica, y de esta manera se obtiene una definición más clara de quiralidad . ^[1] Son posibles varias representaciones matriciales, algunas se dan a continuación y otras en el artículo sobre las matrices de Weyl-Brauer . En la representación matricial, los espinores son -dimensionales y las matrices gamma actúan sobre los espinores. En el artículo sobre álgebra de Clifford se ofrece una construcción detallada de los espinores . Jost proporciona una referencia estándar para los espinores en el contexto general de la geometría de Riemmann. ^[2] ${\displaystyle N}$

grupo gamma

La mayoría de las propiedades de las matrices gamma pueden ser capturadas por un grupo , el grupo gamma . Este grupo puede definirse sin referencia a los números reales, los números complejos o incluso cualquier apelación directa al álgebra de Clifford . ^[1] Las representaciones matriciales de este grupo proporcionan una realización concreta que puede usarse para especificar la acción de las matrices gamma sobre los espinores . Para las dimensiones, los productos matriciales se comportan igual que las matrices de Dirac convencionales . El grupo Pauli es una representación del grupo gamma pues aunque el grupo Pauli tiene más relaciones (es menos libre ); consulte la nota sobre el elemento quiral a continuación para ver un ejemplo. Los cuaterniones proporcionan una representación de ${\displaystyle (p,q)=(1,3)}$ ${\displaystyle (p,q)=(3,0)}$ ${\displaystyle (p,q)=(0,3).}$

La presentación del grupo gamma es la siguiente. ${\displaystyle G=G_{p,q}}$

• Un elemento neutro se denota como . ${\displaystyle I}$
• El elemento con es un sustituto del número complejo ; conmuta con todos los demás elementos , ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i^{4}=I}$ ${\displaystyle i}$
• Hay una colección de generadores indexados por con ${\displaystyle \Gamma _{a}}$ ${\displaystyle a=0,\ldots ,p-1}$ ${\displaystyle \Gamma _{a}^{2}=I~,}$
• Los generadores restantes obedecen ${\displaystyle \Gamma _{a},\ a=p,\ldots ,p+q-1}$ ${\displaystyle \Gamma _{a}^{2}=i^{2}~,}$
• El anticonmutador se define como para ${\displaystyle \Gamma _{a}\Gamma _{b}=i^{2}\Gamma _{b}\Gamma _{a}}$ ${\displaystyle a\neq b~.}$

Estos generadores definen completamente el grupo gamma. Se puede demostrar que, por todo eso , cada elemento puede escribirse de forma única como producto de un número finito de generadores colocados en orden canónico como ${\displaystyle x\in G}$ ${\displaystyle x^{4}=I}$ ${\displaystyle x^{-1}=x^{3}~.}$ ${\displaystyle x\in G}$

${\displaystyle x=i^{n}\Gamma _{a}\Gamma _{b}\cdots \Gamma _{c}}$

con los índices en orden ascendente

${\displaystyle a<b<\cdots <c}$

y El grupo gamma es finito y tiene como máximo elementos. ${\displaystyle 0\leq n\leq 3.}$ ${\displaystyle 2^{p+q+2}}$

El grupo gamma es un grupo de 2 pero no un grupo p normal . El subgrupo del conmutador (subgrupo derivado), por lo tanto, no es un grupo p poderoso . En general, los 2 grupos tienen una gran cantidad de involuciones ; el grupo gamma hace lo mismo. A continuación se destacan tres en particular, ya que tienen una interpretación específica en el contexto de las álgebras de Clifford , en el contexto de las representaciones del grupo gamma (donde la transposición y la conjugación hermitiana corresponden literalmente a aquellas acciones sobre matrices), y en física , donde la "involución principal" corresponde a una simetría P y una simetría T combinadas . ${\displaystyle [G,G]=\left\{I,i^{2}\right\}~,}$ ${\displaystyle \alpha }$

Transposición

Dados elementos del grupo electrógeno del grupo gamma, la transposición o inversión viene dada por ${\displaystyle \Gamma _{i}}$

${\displaystyle (\Gamma _{a}\Gamma _{b}\cdots \Gamma _{c})^{\textsf {t}}=\Gamma _{c}\cdots \Gamma _{b}\Gamma _{a}}$

Si hay elementos todos distintos, entonces ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Gamma _{i}}$

${\displaystyle (\Gamma _{a}\Gamma _{b}\cdots \Gamma _{c})^{\textsf {t}}=\left(i^{2}\right)^{{\frac {1}{2}}k(k-1)}\Gamma _{a}\Gamma _{b}\cdots \Gamma _{c}}$

Conjugación hermitiana

Otro automorfismo del grupo gamma viene dado por la conjugación, definida en los generadores como

${\displaystyle \Gamma _{a}^{\dagger }={\begin{cases}\Gamma _{a}&{\mbox{for }}0\leq a<p\\i^{2}\Gamma _{a}&{\mbox{for }}p\leq a<p+q\\\end{cases}}}$

complementado con y Para elementos generales del grupo, se toma la transposición: De las propiedades de la transposición, se deduce que, para todos los elementos que son , todos los elementos son hermitianos o unitarios. ${\displaystyle i^{\dagger }=i^{3}}$ ${\displaystyle I^{\dagger }=I.}$ ${\displaystyle (ab)^{\dagger }=b^{\dagger }a^{\dagger }~.}$ ${\displaystyle x\in G}$ ${\displaystyle xx^{\dagger }=x^{\dagger }x=I}$ ${\displaystyle xx^{\dagger }=x^{\dagger }x=i^{2}~,}$

Si se interpretan las dimensiones como "temporales" y las dimensiones como "espaciales", entonces esto corresponde a la simetría P en física. Que esta es la identificación "correcta" se desprende de las matrices de Dirac convencionales, donde se asocia con la dirección temporal, y las direcciones espaciales, con la métrica "convencional" (+---). Otras elecciones métricas y representacionales sugieren otras interpretaciones. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$

involución principal

La principal involución es el mapa que "voltea" los generadores: pero deja solo: este mapa corresponde a la simetría P y la simetría T combinadas en física; todas las direcciones están invertidas. ${\displaystyle \alpha (\Gamma _{a})=i^{2}\Gamma _{a}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \alpha (i)=i~.}$

elemento quiral

Defina el elemento quiral como ${\displaystyle \omega \equiv \Gamma _{\mathrm {chir} }}$

${\displaystyle \omega =\Gamma _{\mathrm {chir} }=\Gamma _{0}\Gamma _{1}\cdots \Gamma _{d-1}}$

dónde . El elemento quiral conmuta con los generadores como ${\displaystyle d=p+q}$

${\displaystyle \Gamma _{a}\omega =\left(i^{2}\right)^{d-1}\omega \Gamma _{a}}$

se cuadra a

${\displaystyle \omega ^{2}=\left(i^{2}\right)^{q+{\frac {1}{2}}d(d-1)}}$

Para las matrices de Dirac, el elemento quiral corresponde a su nombre, ya que juega un papel importante en la distinción de la quiralidad de los espinores. ${\displaystyle \gamma _{5}~,}$

Para el grupo Pauli , el elemento quiral es mientras que para el grupo gamma , no se puede deducir ninguna relación de este tipo excepto que cuadra con Este es un ejemplo de dónde una representación puede tener más identidades que el grupo representado. Para los cuaterniones , los que proporcionan una representación del elemento quiral son ${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=i}$ ${\displaystyle G_{3,0}}$ ${\displaystyle \Gamma _{1}\Gamma _{2}\Gamma _{3}}$ ${\displaystyle i^{2}~.}$ ${\displaystyle G_{0,3}}$ ${\displaystyle ijk=i^{2}~.}$

Conjugación de carga

Ninguno de los automorfismos anteriores (transposición, conjugación, involución principal) son automorfismos internos ; es decir, no pueden representarse en la forma de algún elemento existente en el grupo gamma, como se presentó anteriormente. La conjugación de carga requiere ampliar el grupo gamma con dos nuevos elementos; por convención, estos son ${\displaystyle CxC^{-1}}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C_{+}\Gamma _{a}C_{+}^{-1}=\Gamma _{a}^{\textsf {t}}}$

y

${\displaystyle C_{-}\Gamma _{a}C_{-}^{-1}=i^{2}\Gamma _{a}^{\textsf {t}}}$

Las relaciones anteriores no son suficientes para definir un grupo; y otros productos están indeterminados. ${\displaystyle C^{2}}$

Representación matricial

El grupo gamma tiene una representación matricial dada por matrices complejas con y y la función suelo , el entero más grande menor que La presentación del grupo para las matrices se puede escribir de forma compacta en términos de la relación anticonmutador del álgebra de Clifford Cℓ _{p , q} ( R ) ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle N=2^{\left\lfloor {\frac {1}{2}}d\right\rfloor }}$ ${\displaystyle d=p+q}$ ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle x.}$

${\displaystyle \{\Gamma _{a}~,~\Gamma _{b}\}=\Gamma _{a}\Gamma _{b}+\Gamma _{b}\Gamma _{a}=2\eta _{ab}I_{N}~,}$

donde la matriz I _N es la matriz identidad en N dimensiones. La transposición y la conjugación hermitiana corresponden a su significado habitual en las matrices.

Conjugación de carga

Para el resto de este artículo, se supone que y así . Es decir, se supone el álgebra de Clifford Cℓ _{1 , d −1} ( R ) . ^[a] En este caso, las matrices gamma tienen la siguiente propiedad bajo la conjugación hermitiana , ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle q=d-1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{0}^{\dagger }&=+\Gamma _{0}~,&\Gamma _{a}^{\dagger }&=-\Gamma _{a}~(a=1,\dots ,d-1)~.\end{aligned}}}$

La transposición se denotará con un cambio menor de notación, mediante un mapeo donde el elemento de la izquierda es el elemento del grupo abstracto y el de la derecha es la transposición de matriz literal . ${\displaystyle \Gamma _{a}^{\textsf {t}}\mapsto \Gamma _{a}^{\textsf {T}}}$

Como antes, los generadores Γ _a , −Γ _a ^T , Γ _a ^T generan todos el mismo grupo (los grupos generados son todos isomórficos ; las operaciones siguen siendo involuciones ). Sin embargo, dado que las Γ _a ahora son matrices, resulta plausible preguntar si existe una matriz que pueda actuar como una transformación de similitud que encarne los automorfismos. En general, se puede encontrar una matriz de este tipo. Por convención, hay dos de interés; en la literatura de física, ambas denominadas matrices de conjugación de carga . Explícitamente, estos son

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{(+)}\Gamma _{a}C_{(+)}^{-1}&=+\Gamma _{a}^{\textsf {T}}\\C_{(-)}\Gamma _{a}C_{(-)}^{-1}&=-\Gamma _{a}^{\textsf {T}}~.\end{aligned}}}$

Se pueden construir como matrices reales en varias dimensiones, como muestra la siguiente tabla. En dimensión par existen ambos, en dimensión impar solo uno. ${\displaystyle C_{\pm }}$

Tenga en cuenta que es una elección básica. ${\displaystyle C_{(\pm )}^{*}=C_{(\pm )}}$

Propiedades de simetría

Denotamos un producto de matrices gamma por

${\displaystyle \Gamma _{abc\dotsm }=\Gamma _{a}\cdot \Gamma _{b}\cdot \Gamma _{c}\cdots {}}$

y tenga en cuenta que la propiedad anti-conmutación nos permite simplificar cualquier secuencia a una en la que los índices sean distintos y crecientes. Dado que el anti-conmutación es distinto, esto motiva la introducción de un "medio" antisimétrico. Introducimos los productos antisimetrizados de distintas n -tuplas de 0, ..., d − 1: ${\displaystyle \Gamma _{a}}$

${\displaystyle \Gamma _{a_{1}\dots a_{n}}={\frac {1}{n!}}\sum _{\pi \in S_{n}}\epsilon (\pi )\Gamma _{a_{\pi (1)}}\cdots \Gamma _{a_{\pi (n)}}~,}$

donde π recorre todas las permutaciones de n símbolos y ϵ es el carácter alterno . Hay 2 ^d de estos productos, pero sólo N ² son independientes y abarcan el espacio de matrices N × N.

Normalmente, Γ _ab proporciona la representación (bi)espinor del1/2d ( d − 1) generadores del grupo de Lorentz de dimensiones superiores , SO ⁺ (1, d − 1) , generalizando las 6 matrices σ μν de la representación de espín del grupo de Lorentz en cuatro dimensiones.

Incluso para d , se puede definir mejor la matriz quiral hermitiana

${\displaystyle \Gamma _{\text{chir}}=i^{{\frac {d}{2}}-1}\Gamma _{0}\Gamma _{1}\dotsm \Gamma _{d-1}~,}$

tal que {Γ _chir , Γ _a } = 0 y Γ _chir ² = 1 . (En dimensiones impares, dicha matriz conmutaría con todos los Γ _a s y, por lo tanto, sería proporcional a la identidad, por lo que no se considera).

Una matriz Γ se llama simétrica si

${\displaystyle (C\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{n}})^{\textsf {T}}=+(C\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{n}})~;}$

de lo contrario, para un signo −, se llama antisimétrico.

En la expresión anterior, C puede ser o . En dimensión impar, no hay ambigüedad, pero en dimensión par es mejor elegir cualquiera de los que permita los espinores de Majorana. En d = 6, no existe tal criterio y por lo tanto consideramos ambos. ${\displaystyle C_{(+)}}$ ${\displaystyle C_{(-)}}$ ${\displaystyle C_{(+)}}$ ${\displaystyle C_{(-)}}$

Identidades

La prueba de las identidades de trazas para matrices gamma es válida para todas las dimensiones pares. Por lo tanto, sólo es necesario recordar el caso 4D y luego cambiar el factor general de 4 a . Para otras identidades (las que implican una contracción), aparecerán funciones explícitas de. ${\displaystyle \operatorname {tr} (I_{N})}$ ${\displaystyle d}$

1. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=dI_{N}}$
2. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=(2-d)\gamma ^{\nu }}$
3. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }+(d-2)\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }}$
4. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }-2\gamma ^{\nu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }-(d-2)\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }}$

Incluso cuando el número de dimensiones físicas es cuatro, estas identidades más generales son omnipresentes en los cálculos de bucle debido a la regularización dimensional .

Ejemplo de una construcción explícita en la base quiral.

Las matrices Γ se pueden construir recursivamente, primero en todas las dimensiones pares, d = 2 k , y luego en las impares, 2 k + 1.

re = 2

Usando las matrices de Pauli , tome

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{0}&=\sigma _{1},&\gamma _{1}&=-i\sigma _{2}\end{aligned}}}$

y se puede comprobar fácilmente que las matrices de conjugación de carga son

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{(+)}=\sigma _{1}=C_{(+)}^{*}=s_{(2,+)}C_{(+)}^{\textsf {T}}&=s_{(2,+)}C_{(+)}^{-1}&s_{(2,+)}&=+1\\C_{(-)}=i\sigma _{2}=C_{(-)}^{*}=s_{(2,-)}C_{(-)}^{\textsf {T}}&=s_{(2,-)}C_{(-)}^{-1}&s_{(2,-)}&=-1~.\end{aligned}}}$

Finalmente se puede definir el quiral hermitiano γ _chir como

${\displaystyle \gamma _{\text{chir}}=\gamma _{0}\gamma _{1}=\sigma _{3}=\gamma _{\text{chir}}^{\dagger }~.}$

Genérico par d = 2 k

Ahora se pueden construir las matrices Γ _a , ( a = 0, ... , d + 1) , y las conjugaciones de carga C _(±) en d + 2 dimensiones, a partir de γ _a' , ( a' = 0, ... , d − 1 ), y c _(±) matrices en d dimensiones.

Explícitamente,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{a'}&=\gamma _{a'}\otimes \sigma _{3}~~~\left(a'=0,\dots ,d-1\right)~,&\Gamma _{d}&=I\otimes (i\sigma _{1})~,&\Gamma _{d+1}&=I\otimes (i\sigma _{2})~.\end{aligned}}}$

Entonces se pueden construir las matrices de conjugación de carga,

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{(+)}&=c_{(-)}\otimes \sigma _{1}~,&C_{(-)}&=c_{(+)}\otimes (i\sigma _{2})~,\end{aligned}}}$

con las siguientes propiedades,

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{(+)}=C_{(+)}^{*}=s_{(d+2,+)}C_{(+)}^{\textsf {T}}&=s_{(d+2,+)}C_{(+)}^{-1}&s_{(d+2,+)}&=s_{(d,-)}\\C_{(-)}=C_{(-)}^{*}=s_{(d+2,-)}C_{(-)}^{\textsf {T}}&=s_{(d+2,-)}C_{(-)}^{-1}&s_{(d+2,-)}&=-s_{(d,+)}~.\end{aligned}}}$

A partir de los valores de los signos para d = 2, s _(2,+) = +1 y s _(2,−) = −1, se pueden fijar todos los signos posteriores s _{( d ,±)} que tienen periodicidad 8; explícitamente, se encuentra

Nuevamente, se puede definir la matriz quiral hermitiana en d +2 dimensiones como

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{\text{chir}}&=\alpha _{d+2}\Gamma _{0}\Gamma _{1}\dotsm \Gamma _{d+1}=\gamma _{\text{chir}}\otimes \sigma _{3}~,&\alpha _{d}&=i^{{\frac {1}{2}}d-1}~,\end{aligned}}}$

que es diagonal por construcción y se transforma bajo conjugación de carga como

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{(\pm )}\Gamma _{\text{chir}}C_{(\pm )}^{-1}&=\beta _{d+2}\Gamma _{\text{chir}}^{\textsf {T}}~,&\beta _{d}&=(-)^{{\frac {1}{2}}d(d-1)}~.\end{aligned}}}$

Por tanto, es evidente que {Γ _chir , Γ _a } = 0.

Impar genérico d = 2 k + 1

Considere la construcción anterior para d − 1 (que es par) y simplemente tome todas las matrices Γ _a ( a = 0, ..., d − 2) , a las que agregue su i Γ _chir ≡ Γ _{d −1} . (La i es necesaria para producir una matriz antihermitiana y extenderse a la métrica espacial).

Finalmente, calcule la matriz de conjugación de carga: elija entre y , de tal manera que Γ _{d −1} se transforme como todas las demás matrices Γ . Explícitamente, exigir ${\displaystyle C_{(+)}}$ ${\displaystyle C_{(-)}}$

${\displaystyle C_{(s)}\Gamma _{\text{chir}}C_{(s)}^{-1}=\beta _{d}\Gamma _{\text{chir}}^{\textsf {T}}=s\Gamma _{\text{chir}}^{\textsf {T}}~.}$

A medida que varía la dimensión d , los patrones normalmente se repiten con el período 8 (cf. el reloj de álgebra de Clifford ).

Ver también

• Matrices de Weyl-Brauer
• bispinor
• Módulo Clifford

Notas

1. Es posible e incluso probable que muchas o la mayoría de las fórmulas y tablas de esta sección y de las posteriores se cumplan en el caso general; sin embargo, esto no ha sido verificado. Esta sección y las posteriores se escribieron originalmente con el supuesto de una métrica (1,d−1).

Referencias

1. Petitjean, Michel (2020). "Revisión de la quiralidad de los espinores de Dirac". Simetría . 12 (4): 616. doi : 10.3390/sym12040616 .
2. Jurgen Jost, (2002) "Geometría y análisis geométrico de Riemann (tercera edición)", Springer. Consulte el Capítulo 1, sección 1.8.

Lectura general

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• Kennedy, AD (1981). "Álgebras de Clifford en dimensiones 2ω". Revista de Física Matemática . 22 (7): 1330. Código bibliográfico : 1981JMP....22.1330K. doi : 10.1063/1.525069.
• de Wit, Bryce y Smith, J. (1986). Teoría de campos en física de partículas (Biblioteca personal de Holanda Septentrional), Volumen 1, Tapa blanda, Apéndice E (Archivado desde el original), ISBN 978-0444869999 
• Murayama, H. (2007). "Notas sobre el álgebra de Clifford y las representaciones de Spin(N)"
• Pietro Giuseppe Fre (2012). "Gravedad, un curso de geometría: Volumen 1: Desarrollo de la teoría y aplicaciones físicas básicas". Springer-Verlag. ISBN 9400753608 . Véase págs. 315 y siguientes.