Ecuación de Rarita-Schwinger

Ecuación de campo para fermiones de espín 3/2

En física teórica , la ecuación de Rarita-Schwinger es la ecuación de campo relativista de los fermiones de espín -3/2 en un espacio-tiempo plano de cuatro dimensiones. Es similar a la ecuación de Dirac para los fermiones de espín 1/2. Esta ecuación fue introducida por primera vez por William Rarita y Julian Schwinger en 1941.

En notación moderna se puede escribir como: ^[1]

${\displaystyle \left(\epsilon ^{\mu \kappa \rho \nu }\gamma _{5}\gamma _{\kappa }\partial _{\rho }-im\sigma ^{\mu \nu }\right)\psi _{\nu }=0}$

donde es el símbolo de Levi-Civita , son matrices de Dirac (con ) y , es la masa, , y es un espinor de valor vectorial con componentes adicionales en comparación con el espinor de cuatro componentes en la ecuación de Dirac. Corresponde a ( ⁠ ${\displaystyle \epsilon ^{\mu \kappa \rho \nu }}$ ${\displaystyle \gamma _{\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa =0,1,2,3}$ ${\displaystyle \gamma _{5}=i\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }\equiv {\frac {i}{2}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]}$ ${\displaystyle \psi _{\nu }}$1/2⁠ , ⁠1/2⁠ ) ​​⊗ (( ⁠1/2⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠1/2⁠ )) representación del grupo de Lorentz , o mejor dicho, su (1, ⁠1/2⁠ ) ​​⊕ ( ⁠1/2⁠ , 1) parte. ^[2]

Esta ecuación de campo se puede derivar como la ecuación de Euler-Lagrange correspondiente al Lagrangiano de Rarita-Schwinger : ^[3]

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\tfrac {1}{2}}\;{\bar {\psi }}_{\mu }\left(\epsilon ^{\mu \kappa \rho \nu }\gamma _{5}\gamma _{\kappa }\partial _{\rho }-im\sigma ^{\mu \nu }\right)\psi _{\nu }}$

donde la barra de arriba denota el adjunto de Dirac . ${\displaystyle \psi _{\mu }}$

Esta ecuación controla la propagación de la función de onda de objetos compuestos como los bariones delta (
Δ
) o para el gravitino conjetural . Hasta ahora, no se ha encontrado experimentalmente ninguna partícula elemental con espín 3/2.

La ecuación de Rarita-Schwinger sin masa tiene una simetría de calibre fermiónica: es invariante bajo la transformación de calibre , donde es un campo de espinores arbitrario. Esta es simplemente la supersimetría local de la supergravedad , y el campo debe ser un gravitino. ${\displaystyle \psi _{\mu }\rightarrow \psi _{\mu }+\partial _{\mu }\epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon \equiv \epsilon _{\alpha }}$

También existen versiones "Weyl" y "Majorana" de la ecuación de Rarita-Schwinger.

Ecuaciones de movimiento en el caso sin masa

Consideremos un campo Rarita-Schwinger sin masa descrito por la densidad lagrangiana

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{RS}={\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\psi _{\rho },}$

donde la suma de los índices de espín está implícita, son espinores de Majorana, y ${\displaystyle \psi _{\mu }}$

${\displaystyle \gamma ^{\mu \nu \rho }\equiv {\frac {1}{3!}}\gamma ^{[\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho ]}.}$

Para obtener las ecuaciones de movimiento variamos el Lagrangiano con respecto a los campos , obteniendo: ${\displaystyle \psi _{\mu }}$

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}_{RS}=\delta {\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\psi _{\rho }+{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\delta \psi _{\rho }=\delta {\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\psi _{\rho }-\partial _{\nu }{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\delta \psi _{\rho }+{\text{ boundary terms}}}$

Usando las propiedades de inversión de Majorana ^[4] vemos que el segundo y el primer término en el lado derecho son iguales, concluyendo que

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}_{RS}=2\delta {\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\psi _{\rho },}$

más términos de contorno sin importancia. Imponiendo , vemos que la ecuación de movimiento para un espinor Majorana Rarita–Schwinger sin masa se lee: ${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}_{RS}=0}$

${\displaystyle \gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\psi _{\rho }=0.}$

La simetría de calibre de la ecuación de Rarita-Schwinger sin masa permite la elección del calibre , reduciendo las ecuaciones a: ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\psi _{\mu }=0}$

${\displaystyle \gamma ^{\nu }{\partial }_{\nu }\psi _{\mu }=0,\quad \partial ^{\mu }\psi _{\mu }=0,\quad \gamma ^{\mu }\psi _{\mu }=0.}$

Una solución con espines 1/2 y 3/2 viene dada por: ^[5]

${\displaystyle \psi _{0}=\kappa ,\quad \psi _{i}=\psi _{i}^{TT}+{\frac {\gamma ^{j}\partial _{j}}{\nabla ^{2}}}\gamma _{0}\partial _{i}\kappa ,}$

donde es el Laplaciano espacial, es doblemente transversal, ^[6] tiene espín 3/2 y satisface la ecuación de Dirac sin masa, por lo tanto tiene espín 1/2. ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle \psi _{i}^{TT}}$ ${\displaystyle \kappa }$

Desventajas de la ecuación

La descripción actual de campos masivos de mayor espín mediante los formalismos de Rarita-Schwinger o Fierz-Pauli está plagada de varios problemas.

Propagación superlumínica

Al igual que en el caso de la ecuación de Dirac, se puede agregar la interacción electromagnética promoviendo la derivada parcial a la derivada covariante de calibre :

${\displaystyle \partial _{\mu }\rightarrow D_{\mu }=\partial _{\mu }-ieA_{\mu }}$.

En 1969, Velo y Zwanziger demostraron que el lagrangiano de Rarita-Schwinger acoplado al electromagnetismo conduce a una ecuación con soluciones que representan frentes de onda, algunos de los cuales se propagan más rápido que la luz. En otras palabras, el campo sufre entonces una propagación superlumínica acausal; en consecuencia, la cuantificación en interacción con el electromagnetismo es esencialmente defectuosa ^{[ ¿por qué? ]} . Sin embargo, en la supergravedad extendida, Das y Freedman ^[7] han demostrado que la supersimetría local resuelve este problema ^{[ ¿cómo? ]} .

Referencias

1. S. Weinberg, "La teoría cuántica de campos", vol. 3, Cambridge, pág. 335
2. S. Weinberg, "La teoría cuántica de campos", vol. 1, Cambridge, pág. 232
3. S. Weinberg, "La teoría cuántica de campos", vol. 3, Cambridge, pág. 335
4. Pierre Ramond - Teoría de campos, una introducción moderna - p.40
5. Valenzuela, M.; Zanelli, J. (2024). "Ecuaciones de Rarita-Schwinger sin masa: solución de espín de la mitad y tres mitades". SciPost Phys . 16 (3): 065. arXiv : 2305.00106 . doi : 10.21468/SciPostPhys.16.3.065 .
6. Deser, S.; Kay, JH; Stelle, KS (1977). "Formulación hamiltoniana de la supergravedad". Phys. Rev. D. 16 ( 8): 2448–2455. doi :10.1103/PhysRevD.16.2448.
7. Das, A.; Freedman, DZ (1976). "Cuantización de calibre para campos de espín 3/2". Física nuclear B . 114 (2): 271. Código Bibliográfico :1976NuPhB.114..271D. doi :10.1016/0550-3213(76)90589-7.; Freedman, DZ; Das, A. (1977). "Simetría interna de calibre en supergravedad extendida". Física nuclear B . 120 (2): 221. Código Bibliográfico :1977NuPhB.120..221F. doi :10.1016/0550-3213(77)90041-4.

Fuentes

• Rarita, William; Schwinger, Julian (1941-07-01). "Sobre una teoría de partículas con espín semiintegral". Physical Review . 60 (1). American Physical Society (APS): 61. Bibcode :1941PhRv...60...61R. doi :10.1103/physrev.60.61. ISSN  0031-899X.
• Collins PDB, Martin AD , Squires EJ, Física de partículas y cosmología (1989) Wiley, Sección 1.6 .
• Velo, Giorgio; Zwanziger, Daniel (1969-10-25). "Propagación y cuantificación de ondas de Rarita-Schwinger en un potencial electromagnético externo". Physical Review . 186 (5). American Physical Society (APS): 1337–1341. Bibcode :1969PhRv..186.1337V. doi :10.1103/physrev.186.1337. ISSN  0031-899X.
• Velo, Giorgio; Zwanzinger, Daniel (1969-12-25). "No causalidad y otros defectos de los lagrangianos de interacción para partículas con espín uno y superior". Physical Review . 188 (5). American Physical Society (APS): 2218–2222. Bibcode :1969PhRv..188.2218V. doi :10.1103/physrev.188.2218. ISSN  0031-899X.
• Kobayashi, M.; Shamaly, A. (15 de abril de 1978). "Acoplamiento electromagnético mínimo para campos masivos de espín dos". Physical Review D . 17 (8). American Physical Society (APS): 2179–2181. Bibcode :1978PhRvD..17.2179K. doi :10.1103/physrevd.17.2179. ISSN  0556-2821.