Operador de momento

Operador en mecánica cuántica

En mecánica cuántica , el operador de momento es el operador asociado al momento lineal . El operador momento es, en la representación de posición, un ejemplo de operador diferencial . Para el caso de una partícula en una dimensión espacial, la definición es:

$${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$$

ħla constante reducida de Planckiunidad imaginariaxderivada totald / dx ${\displaystyle \partial /\partial x}$

$${\displaystyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$$

En una base del espacio de Hilbert que consta de estados propios de momento expresados ​​en la representación de momento, la acción del operador es simplemente multiplicación por p , es decir, es un operador de multiplicación , tal como el operador de posición es un operador de multiplicación en la representación de posición. Tenga en cuenta que la definición anterior es el momento canónico , que no es una invariante de calibre ni una cantidad física mensurable para partículas cargadas en un campo electromagnético . En ese caso, el momento canónico no es igual al momento cinético .

En el momento en que se desarrolló la mecánica cuántica en la década de 1920, muchos físicos teóricos, entre ellos Niels Bohr , Arnold Sommerfeld , Erwin Schrödinger y Eugene Wigner , encontraron el operador de momento . Su existencia y forma a veces se consideran uno de los postulados fundamentales de la mecánica cuántica.

Origen de las ondas planas de De Broglie.

Los operadores de momento y energía se pueden construir de la siguiente manera. ^[1]

Una dimensión

Comenzando en una dimensión, usando la solución de onda plana de la ecuación de Schrödinger de una sola partícula libre,

$${\displaystyle \psi (x,t)=e^{{\frac {i}{\hbar }}(px-Et)},}$$

pxE

$${\displaystyle {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial x}}={\frac {ip}{\hbar }}e^{{\frac {i}{\hbar }}(px-Et)}={\frac {ip}{\hbar }}\psi .}$$

Esto sugiere la equivalencia del operador.

$${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$$

valor propio

Dado que la derivada parcial es un operador lineal , el operador de momento también es lineal, y debido a que cualquier función de onda se puede expresar como una superposición de otros estados, cuando este operador de momento actúa sobre toda la onda superpuesta, produce los valores propios del momento para cada plano. componente ondulatorio. Estos nuevos componentes luego se superponen para formar el nuevo estado, que en general no es un múltiplo de la antigua función de onda.

Tres dimensiones

La derivación en tres dimensiones es la misma, excepto que se utiliza el operador de gradiente del en lugar de una derivada parcial. En tres dimensiones, la solución de onda plana de la ecuación de Schrödinger es:

$${\displaystyle \psi =e^{{\frac {i}{\hbar }}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \psi &=\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\\&={\frac {i}{\hbar }}\left(p_{x}\mathbf {e} _{x}+p_{y}\mathbf {e} _{y}+p_{z}\mathbf {e} _{z}\right)\psi \\&={\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \psi \end{aligned}}}$$

e _xe _ye _zvectores unitarios

$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$$

Este operador de momento está en el espacio de posiciones porque las derivadas parciales se tomaron con respecto a las variables espaciales.

Definición (espacio de posición)

Para una sola partícula sin carga eléctrica y sin espín , el operador de momento se puede escribir en base a la posición como: ^[2]

$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$$

∇de gradiente , ħconstante de Planck reducidaiunidad imaginaria

En una dimensión espacial, esto se convierte en ^[3]

$${\displaystyle {\hat {p}}={\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\partial \over \partial x}.}$$

Ésta es la expresión del impulso canónico . Para una partícula cargada q en un campo electromagnético , durante una transformación de calibre , la función de onda espacial de posición sufre una transformación de grupo U(1) local , ^[4] y cambiará su valor. Por lo tanto, el impulso canónico no es una invariante de calibre y, por lo tanto, no es una cantidad física mensurable. ${\textstyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$

El momento cinético , una cantidad física invariante de calibre, se puede expresar en términos del momento canónico, el potencial escalar  φ y el potencial vectorial  A : ^[5]

$${\displaystyle \mathbf {\hat {P}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }$$

La expresión anterior se llama acoplamiento mínimo . Para partículas eléctricamente neutras, el momento canónico es igual al momento cinético.

Propiedades

Hermiticidad

El operador de impulso es siempre un operador hermitiano (más técnicamente, en terminología matemática un "operador autoadjunto") cuando actúa sobre estados cuánticos físicos (en particular, normalizables ). ^[6]

(En determinadas situaciones artificiales, como los estados cuánticos en el intervalo semiinfinito [0, ∞) , no hay forma de convertir el operador de momento en hermitiano. ^[7] Esto está estrechamente relacionado con el hecho de que un intervalo semiinfinito no puede tener simetría traslacional; más específicamente, no tiene operadores de traducción unitarios . Vea abajo.)

Relación de conmutación canónica

Al aplicar el conmutador a un estado arbitrario, ya sea en base a la posición o al momento, se puede demostrar fácilmente que:

$${\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]={\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar .}$$

El principio de incertidumbre de Heisenberg define límites sobre la precisión con la que se pueden conocer a la vez el impulso y la posición de un único sistema observable. En mecánica cuántica, la posición y el momento son variables conjugadas .

Transformada de Fourier

La siguiente discusión utiliza la notación bracket . uno puede escribir

$${\displaystyle \psi (x)=\langle x|\psi \rangle =\int \!\!dp~\langle x|p\rangle \langle p|\psi \rangle =\int \!\!dp~{e^{ixp/\hbar }{\tilde {\psi }}(p) \over {\sqrt {2\pi \hbar }}},}$$

$${\displaystyle {\hat {p}}=\int \!\!dp~|p\rangle p\langle p|=-i\hbar \int \!\!dx~|x\rangle {\frac {d}{dx}}\langle x|~,}$$

$${\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\psi (x).}$$

Se aplica un resultado análogo para el operador de posición en la base del momento,

$${\displaystyle \langle p|{\hat {x}}|\psi \rangle =i\hbar {\frac {d}{dp}}\psi (p),}$$

$${\displaystyle \langle p|{\hat {x}}|p'\rangle =i\hbar {\frac {d}{dp}}\delta (p-p'),}$$

$${\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|x'\rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\delta (x-x'),}$$

δla función delta de Dirac

Derivación de traducciones infinitesimales

El operador de traducción se denomina T ( ε ) , donde ε representa la longitud de la traducción. Satisface la siguiente identidad:

$${\displaystyle T(\varepsilon )|\psi \rangle =\int dxT(\varepsilon )|x\rangle \langle x|\psi \rangle }$$

$${\displaystyle \int dx|x+\varepsilon \rangle \langle x|\psi \rangle =\int dx|x\rangle \langle x-\varepsilon |\psi \rangle =\int dx|x\rangle \psi (x-\varepsilon )}$$

Suponiendo que la función ψ sea analítica (es decir, diferenciable en algún dominio del plano complejo ), se puede expandir en una serie de Taylor alrededor de x :

$${\displaystyle \psi (x-\varepsilon )=\psi (x)-\varepsilon {\frac {d\psi }{dx}}}$$

infinitesimales de ε

$${\displaystyle T(\varepsilon )=1-\varepsilon {d \over dx}=1-{i \over \hbar }\varepsilon \left(-i\hbar {d \over dx}\right)}$$

Como se sabe por la mecánica clásica , el impulso es el generador de la traslación , por lo que la relación entre los operadores de traslación y de impulso es ^[8] : ^{[ se necesita más explicación ]}

$${\displaystyle T(\varepsilon )=1-{\frac {i}{\hbar }}\varepsilon {\hat {p}}}$$

$${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}.}$$

operador de 4 momentos

Insertando el operador de impulso 3d arriba y el operador de energía en el impulso 4 (como una forma 1 con firma métrica (+ − − −) ):

$${\displaystyle P_{\mu }=\left({\frac {E}{c}},-\mathbf {p} \right)}$$

obtiene el operador de 4 momentos :

$${\displaystyle {\hat {P}}_{\mu }=\left({\frac {1}{c}}{\hat {E}},-\mathbf {\hat {p}} \right)=i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)=i\hbar \partial _{\mu }}$$

donde ∂ _μ es el gradiente de 4 y − iħ  se convierte en + iħ  que precede al operador de 3 momentos. Este operador ocurre en la teoría cuántica de campos relativista , como la ecuación de Dirac y otras ecuaciones de onda relativistas , dado que la energía y el momento se combinan en el vector de 4 momentos anterior, los operadores de momento y energía corresponden a derivadas de espacio y tiempo, y deben ser primero. ordenar derivadas parciales para la covarianza de Lorentz .

El operador de Dirac y la barra de Dirac del impulso 4 se obtienen contrayendo las matrices gamma :

$${\displaystyle \gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }=i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }={\hat {P}}=i\hbar \partial \!\!\!/}$$

Si la firma fuera (− + + +) , el operador sería

$${\displaystyle {\hat {P}}_{\mu }=\left(-{\frac {1}{c}}{\hat {E}},\mathbf {\hat {p}} \right)=-i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)=-i\hbar \partial _{\mu }}$$

en cambio.

Ver también

• Descripciones matemáticas del campo electromagnético.
• Operador de traducción (mecánica cuántica)
• Ecuaciones de ondas relativistas
• Pseudovector de Pauli-Lubanski

Referencias

1. Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (segunda edición), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, ISBN  978-0-471-87373-0
2. Mecánica cuántica desmitificada , D. McMahon, Mc Graw Hill (EE. UU.), 2006, ISBN 0-07-145546-9 
3. En la representación de coordenadas de posición, es decir, ${\textstyle -i\hbar \int dx\left|x\right\rangle \partial _{x}\langle x|.}$
4. Zinn-Justin, Jean; Guida, Ricardo (4 de diciembre de 2008). "Invariancia de calibre". Scholarpedia . 3 (12): 8287. Código bibliográfico : 2008SchpJ...3.8287Z. doi : 10.4249/scholarpedia.8287 . ISSN  1941-6016.
5. Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (segunda edición), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0 
6. Consulte las notas de la conferencia 1 de Robert Littlejohn Archivado el 17 de junio de 2012 en Wayback Machine para obtener una discusión matemática específica y una prueba para el caso de una sola partícula de giro cero, descargada. Véanse las notas de la conferencia 4 de Robert Littlejohn para el caso general.
7. Bonneau, G., Faraut, J., Valent, G. (2001). "Extensiones autoadjuntas de operadores y enseñanza de la mecánica cuántica". Revista Estadounidense de Física . 69 (3): 322–331. arXiv : quant-ph/0103153 . Código bibliográfico : 2001AmJPh..69..322B. doi :10.1119/1.1328351. S2CID  16949018.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
8. Sakurai, junio John; Napolitano, Jim (2021). Mecánica cuántica moderna (3ª ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-108-47322-4.