En cálculo vectorial , un potencial vectorial es un campo vectorial cuyo rizo es un campo vectorial dado. Esto es análogo a un potencial escalar , que es un campo escalar cuyo gradiente es un campo vectorial dado.
Formalmente, dado un campo vectorial v , un potencial vectorial es un campo vectorial A tal que ![C^{2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Consecuencia
Si un campo vectorial v admite un potencial vectorial A , entonces de la igualdad
![{\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
la divergenciarizo
![{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
vcampo vectorial solenoidalTeorema
Dejar
![{\displaystyle \mathbf {v} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
campo vectorial solenoidalcontinuamente diferenciablev ( x )![{\displaystyle 1/\|\mathbf {x} \|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \|\mathbf {x} \|\to \infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{ y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {y } .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Entonces, A es un potencial vectorial para v , es decir,
![{\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {v} .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
ycurl[v]potencial retardadocorrespondecampo H.![{\displaystyle \nabla _{y}\times }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Puede restringir el dominio integral a cualquier región única conectada Ω . Es decir, A' a continuación también es un vector potencial de v ;
![{\displaystyle \mathbf {A'} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {y} .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Una generalización de este teorema es la descomposición de Helmholtz que establece que cualquier campo vectorial se puede descomponer como una suma de un campo vectorial solenoidal y un campo vectorial irrotacional .
Por analogía con la ley de Biot-Savart , lo siguiente también se califica como vector potencial para v .![{\displaystyle {\boldsymbol {A''}}({\textbf {x}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\boldsymbol {A''}}({\textbf {x}})=\int _{\Omega }{\frac {{\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {y}})\ veces ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}})}{4\pi |{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}}|^{3}}}d^{3 }{\boldsymbol {y}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Sustituyendo j ( densidad de corriente ) por v y H ( campo H ) por A , encontraremos la ley de Biot-Savart.
Sea y sea Ω un dominio estelar centrado en p , entonces, traduciendo el lema de Poincaré para formas diferenciales al mundo de campos vectoriales, el siguiente es también un potencial vectorial para el![{\displaystyle {\textbf {p}}\in \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\boldsymbol {A'''}}({\boldsymbol {x}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\boldsymbol {v}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\boldsymbol {A'''}}({\boldsymbol {x}})=\int _{0}^{1}s(({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {p} })\times ({\boldsymbol {v}}(s{\boldsymbol {x}}+(1-s){\boldsymbol {p}}))\ ds}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
No unicidad
El potencial vectorial admitido por un campo solenoidal no es único. Si A es un potencial vectorial para v , entonces también lo es
![{\displaystyle \mathbf {A} +\nabla f,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![F](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esta no unicidad conduce a un grado de libertad en la formulación de la electrodinámica, o libertad de calibre, y requiere elegir un calibre .
Ver también
Referencias
- Fundamentos de ingeniería electromagnética por David K. Cheng, Addison-Wesley, 1993.