Notación para contracciones con matrices gamma
En el estudio de los campos de Dirac en la teoría cuántica de campos , Richard Feynman inventó la conveniente notación de barra de Feynman (menos comúnmente conocida como notación de barra de Dirac [1] ). Si A es un vector covariante (es decir, una forma 1 ),
![{\displaystyle {A\!\!\!/}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \gamma ^{0}A_{0}+\gamma ^{1}A_{1} +\gamma ^{2}A_{2}+\gamma ^{3}A_{3}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde γ son las matrices gamma . Usando la notación sumatoria de Einstein , la expresión es simplemente
.
Identidades
Utilizando los anticonmutadores de las matrices gamma, se puede demostrar que para cualquiera y ,![{\ Displaystyle a _ {\ mu}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle b _ {\ mu}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{alineado}{a\!\!\!/}{a\!\!\!/}=a^{\mu }a_{\mu }\cdot I_{4}=a^ {2}\cdot I_{4}\\{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}+{b\!\!\!/}{a\!\!\! /}=2a\cdot b\cdot I_{4}.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde está la matriz identidad en cuatro dimensiones.![{\ Displaystyle I_ {4}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En particular,
![{\displaystyle {\partial \!\!\!/}^{2}=\partial ^{2}\cdot I_{4}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Se pueden leer más identidades directamente a partir de las identidades de la matriz gamma reemplazando el tensor métrico con productos internos . Por ejemplo,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _ {\mu }{a\!\!\!/}\gamma ^{\mu }&=-2{a\!\!\!/}\\\ gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\gamma ^{\mu }&=4a\cdot b\cdot I_{4}\\\gamma _ {\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}\gamma ^{\mu }&=-2{c\!\ !\!/}{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}\\\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\! \!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\gamma ^{\mu }&=2({d\!\!\!/}{a\!\ !\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}+{c\!\!\!/}{b\!\!\!/}{a\! \!\!/}{d\!\!\!/})\\\nombreoperador {tr} ({a\!\!\!/}{b\!\!\!/})&=4a\ cdot b\\\operatorname {tr} ({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/} )&=4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]\\ \operatorname {tr} ({a\!\!\!/}{\gamma ^{\mu }}{b\!\!\!/}{\gamma ^{\nu }})&=4\left [a^{\mu }b^{\nu }+a^{\nu }b^{\mu }-\eta ^{\mu \nu }(a\cdot b)\right]\\\operatorname { tr} (\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}) &=4i\varepsilon _{\mu \nu \lambda \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\lambda }d^{\sigma }\\\operatorname {tr} ({\ gamma ^{\mu }}{a\!\!\!/}{\gamma ^{\nu }})&=0\\\operatorname {tr} ({\gamma ^{5}}{a\! \!\!/}{b\!\!\!/})&=0\\\nombreoperador {tr} ({\gamma ^{0}}({a\!\!\!/}+m) {\gamma ^{0}}({b\!\!\!/}+m))&=8a^{0}b^{0}-4(ab)+4m^{2}\\\nombredeloperador {tr} (({a\!\!\!/}+m){\gamma ^{\mu }}({b\!\!\!/}+m){\gamma ^{\nu }} )&=4\left[a^{\mu }b^{\nu }+a^{\nu }b^{\mu }-\eta ^{\mu \nu }((a\cdot b)- m^{2})\right]\\\operatorname {tr} ({a\!\!\!/}_{1}....{a\!\!\!/}_{2n})& =\nombreoperador {tr} ({a\!\!\!/}_{2n}....{a\!\!\!/}_{1})\\\nombreoperador {tr} ({a\ !\!\!/}_{1}....{a\!\!\!/}_{2n+1})&=0\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde:
Con cuatro impulsos
Esta sección utiliza la firma métrica (+ − − −) . A menudo, cuando se utiliza la ecuación de Dirac y se resuelven secciones transversales, se encuentra la notación de barra diagonal utilizada en cuatro momentos : utilizando la base de Dirac para las matrices gamma,
![{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{i }\\-\sigma ^{i}&0\end{pmatrix}}\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
así como la definición de cuatro momentos contravariantes en unidades naturales ,
![{\displaystyle p^{\mu }=\left(E,p_{x},p_{y},p_{z}\right)\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
vemos explícitamente que
![{\displaystyle {\begin{aligned}{p\!\!/}&=\gamma ^{\mu }p_{\mu }=\gamma ^{0}p^{0}-\gamma ^{i} p^{i}\\&={\begin{bmatrix}p^{0}&0\\0&-p^{0}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&\sigma ^{i} p^{i}\\-\sigma ^{i}p^{i}&0\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}E&-{\vec {\sigma }}\cdot {\ vec {p}}\\{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}&-E\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Se obtienen resultados similares en otras bases, como la base de Weyl .
Ver también
Referencias
- ^ Weinberg, Steven (1995), La teoría cuántica de campos, vol. 1, Prensa de la Universidad de Cambridge, pág. 358 (380 en edición polaca), ISBN 0-521-55001-7