matriz S

amplitud de dispersión

En física , la matriz S o matriz de dispersión relaciona el estado inicial y el estado final de un sistema físico que sufre un proceso de dispersión . Se utiliza en mecánica cuántica , teoría de dispersión y teoría cuántica de campos (QFT).

Más formalmente, en el contexto de QFT, la matriz S se define como la matriz unitaria que conecta conjuntos de estados de partículas asintóticamente libres (los estados internos y externos ) en el espacio de Hilbert de estados físicos. Se dice que un estado de múltiples partículas es libre (o no interactúa) si se transforma bajo transformaciones de Lorentz como un producto tensorial , o producto directo en el lenguaje físico, de estados de una partícula como lo prescribe la ecuación (1) a continuación. Asintóticamente libre significa entonces que el Estado tiene esta apariencia ya sea en el pasado distante o en el futuro distante.

Si bien la matriz S puede definirse para cualquier fondo ( espacio-tiempo ) que sea asintóticamente solucionable y no tenga horizontes de sucesos , tiene una forma simple en el caso del espacio de Minkowski . En este caso especial, el espacio de Hilbert es un espacio de representaciones unitarias irreductibles del grupo no homogéneo de Lorentz (el grupo de Poincaré ); la matriz S es el operador de evolución entre (el pasado distante) y (el futuro distante). Se define únicamente en el límite de densidad de energía cero (o distancia infinita de separación de partículas). ${\displaystyle t=-\infty }$ ${\displaystyle t=+\infty }$

Se puede demostrar que si una teoría cuántica de campos en el espacio de Minkowski tiene una brecha de masa , el estado en el pasado asintótico y en el futuro asintótico se describen mediante espacios de Fock .

Historia

Los elementos iniciales de la teoría de la matriz S se encuentran en el artículo de Paul Dirac de 1927 "Über die Quantenmechanik der Stoßvorgänge". ^{[1] [2]} La matriz S fue presentada correctamente por primera vez por John Archibald Wheeler en el artículo de 1937 "Sobre la descripción matemática de los núcleos ligeros mediante el método de estructura de grupos resonantes". ^[3] En este artículo, Wheeler introdujo una matriz de dispersión : una matriz unitaria de coeficientes que conecta "el comportamiento asintótico de una solución particular arbitraria [de las ecuaciones integrales] con el de las soluciones de una forma estándar", ^[4] pero no desarrolló completamente.

En la década de 1940, Werner Heisenberg desarrolló y fundamentó de forma independiente la idea de la matriz S. Debido a las divergencias problemáticas presentes en la teoría cuántica de campos en ese momento, Heisenberg se sintió motivado a aislar las características esenciales de la teoría que no se verían afectadas por cambios futuros a medida que la teoría se desarrollara. Al hacerlo, se vio obligado a introducir una matriz S unitaria "característica" . ^[4]

Hoy en día, sin embargo, los resultados exactos de la matriz S son importantes para la teoría de campos conforme , los sistemas integrables y varias áreas más de la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas . Las matrices S no sustituyen a un tratamiento de teoría de campos, sino que complementan los resultados finales del mismo.

Motivación

En física de partículas de alta energía uno está interesado en calcular la probabilidad de diferentes resultados en experimentos de dispersión . Estos experimentos se pueden dividir en tres etapas:

1. Hacer colisionar una colección de partículas entrantes (generalmente dos tipos de partículas con altas energías).
2. Permitir que las partículas entrantes interactúen. Estas interacciones pueden cambiar los tipos de partículas presentes (por ejemplo, si un electrón y un positrón se aniquilan , pueden producir dos fotones ).
3. Medición de las partículas salientes resultantes.

El proceso por el cual las partículas entrantes se transforman (a través de su interacción ) en partículas salientes se llama dispersión . Para la física de partículas, una teoría física de estos procesos debe ser capaz de calcular la probabilidad de que diferentes partículas salgan cuando diferentes partículas entrantes colisionen con diferentes energías.

La matriz S en la teoría cuántica de campos logra exactamente esto. Se supone que la aproximación de densidad de energía pequeña es válida en estos casos.

Usar

La matriz S está estrechamente relacionada con la amplitud de la probabilidad de transición en la mecánica cuántica y con las secciones transversales de diversas interacciones; Los elementos (entradas numéricas individuales) de la matriz S se conocen como amplitudes de dispersión . Los polos de la matriz S en el plano energético complejo se identifican con estados ligados , estados virtuales o resonancias . Los cortes de rama de la matriz S en el plano de energía complejo están asociados a la apertura de un canal de dispersión .

En el enfoque hamiltoniano de la teoría cuántica de campos, la matriz S puede calcularse como una exponencial ordenada en el tiempo del hamiltoniano integrado en la imagen de interacción ; también se puede expresar utilizando las integrales de trayectoria de Feynman . En ambos casos, el cálculo perturbativo de la matriz S conduce a diagramas de Feynman .

En la teoría de la dispersión , la matriz S es un operador que mapea los estados internos de las partículas libres con los estados externos de las partículas libres ( canales de dispersión ) en la imagen de Heisenberg . Esto es muy útil porque a menudo no podemos describir la interacción (al menos no las más interesantes) exactamente.

En mecánica cuántica unidimensional

En primer lugar, se considera un prototipo simple en el que la matriz S es bidimensional, con fines ilustrativos. En él, las partículas con energía intensa E se dispersan desde un potencial localizado V según las reglas de la mecánica cuántica unidimensional. Este modelo simple ya muestra algunas características de casos más generales, pero es más fácil de manejar.

Cada energía E produce una matriz S = S ( E ) que depende de V. Por lo tanto, la matriz S total podría, en sentido figurado, visualizarse, de manera adecuada, como una "matriz continua" con todos los elementos cero excepto los bloques 2 × 2 a lo largo de la diagonal para una V dada .

Definición

Considere una barrera de potencial unidimensional localizada V ( x ) , sometida a un haz de partículas cuánticas con energía E. Estas partículas inciden sobre la barrera de potencial de izquierda a derecha.

Las soluciones de la ecuación de Schrödinger fuera de la barrera de potencial son ondas planas dadas por

$${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}}$$

$${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)=Ce^{ikx}+De^{-ikx}}$$

$${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}}$$

vector de ondaACBD

La "amplitud de dispersión", es decir, la superposición de transición de las ondas salientes con las ondas entrantes es una relación lineal que define la matriz S ,

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}B\\C\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\D\end{pmatrix}}.}$$

La relación anterior se puede escribir como

$${\displaystyle \Psi _{\rm {out}}=S\Psi _{\rm {in}}}$$

$${\displaystyle \Psi _{\rm {out}}={\begin{pmatrix}B\\C\end{pmatrix}},\quad \Psi _{\rm {in}}={\begin{pmatrix}A\\D\end{pmatrix}},\qquad S={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}.}$$

SV ( x )

propiedad unitaria

La propiedad unitaria de la matriz S está directamente relacionada con la conservación de la corriente de probabilidad en la mecánica cuántica .

La densidad de corriente de probabilidad J de la función de onda ψ ( x ) se define como

$${\displaystyle J={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-\psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\right).}$$

${\displaystyle J_{\rm {L}}(x)}$ ${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)}$

$${\displaystyle J_{\rm {L}}(x)={\frac {\hbar k}{m}}\left(|A|^{2}-|B|^{2}\right),}$$

${\displaystyle J_{\rm {R}}(x)}$ ${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)}$

$${\displaystyle J_{\rm {R}}(x)={\frac {\hbar k}{m}}\left(|C|^{2}-|D|^{2}\right).}$$

Para la conservación de la corriente de probabilidad, J _L = J _R . Esto implica que la matriz S es una matriz unitaria .

Prueba

$${\displaystyle {\begin{aligned}&J_{\rm {L}}=J_{\rm {R}}\\&|A|^{2}-|B|^{2}=|C|^{2}-|D|^{2}\\&|B|^{2}+|C|^{2}=|A|^{2}+|D|^{2}\\&\Psi _{\text{out}}^{\dagger }\Psi _{\text{out}}=\Psi _{\text{in}}^{\dagger }\Psi _{\text{in}}\\&\Psi _{\text{in}}^{\dagger }S^{\dagger }S\Psi _{\text{in}}=\Psi _{\text{in}}^{\dagger }\Psi _{\text{in}}\\&S^{\dagger }S=I\\\end{aligned}}}$$

Simetría de inversión del tiempo

Si el potencial V ( x ) es real, entonces el sistema posee simetría de inversión del tiempo . Bajo esta condición, si ψ ( x ) es una solución de la ecuación de Schrödinger, entonces ψ *( x ) también es una solución.

La solución invertida en el tiempo está dada por

$${\displaystyle \psi _{\rm {L}}^{*}(x)=A^{*}e^{-ikx}+B^{*}e^{ikx}}$$

$${\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{*}(x)=C^{*}e^{-ikx}+D^{*}e^{ikx}}$$

B *C *A *D *

Están nuevamente relacionados por la matriz S ,

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}A^{*}\\D^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{*}\\C^{*}\end{pmatrix}}\,}$$

$${\displaystyle \Psi _{\rm {in}}^{*}=S\Psi _{\rm {out}}^{*}.}$$

$${\displaystyle \Psi _{\rm {in}}^{*}=S\Psi _{\rm {out}}^{*},\quad \Psi _{\rm {out}}=S\Psi _{\rm {in}}}$$

$${\displaystyle S^{*}S=I}$$

S

$${\displaystyle S^{T}=S.}$$

Combinando la simetría y la unitaridad, la matriz S se puede expresar en la forma:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e^{i\varphi }e^{i\delta }\cdot r&e^{i\varphi }{\sqrt {1-r^{2}}}\\e^{i\varphi }{\sqrt {1-r^{2}}}&-e^{i\varphi }e^{-i\delta }\cdot r\end{pmatrix}}=e^{i\varphi }{\begin{pmatrix}e^{i\delta }\cdot r&{\sqrt {1-r^{2}}}\\{\sqrt {1-r^{2}}}&-e^{-i\delta }\cdot r\end{pmatrix}}}$$

${\displaystyle \delta ,\varphi \in [0;2\pi ]}$ ${\displaystyle r\in [0;1]}$

matriz de transferencia

La matriz de transferencia relaciona las ondas planas del lado derecho del potencial de dispersión con las ondas planas del lado izquierdo : [ ^5] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Ce^{ikx}}$ ${\displaystyle De^{-ikx}}$ ${\displaystyle Ae^{ikx}}$ ${\displaystyle Be^{-ikx}}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}\\M_{21}&M_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}}}$$

^[6] ${\displaystyle M_{11}=1/S_{12}^{*}=1/S_{21}^{*}{,}\ M_{22}=M_{11}^{*}}$ ${\displaystyle M_{12}=-S_{11}^{*}/S_{12}^{*}=S_{22}/S_{12}{,}\ M_{21}=M_{12}^{*}}$

En el caso de simetría de inversión temporal, la matriz de transferencia se puede expresar mediante tres parámetros reales: ${\displaystyle \mathbf {M} }$

$${\displaystyle M={\frac {1}{\sqrt {1-r^{2}}}}{\begin{pmatrix}e^{i\varphi }&-r\cdot e^{-i\delta }\\-r\cdot e^{i\delta }&e^{-i\varphi }\end{pmatrix}}}$$

r = 1 ${\displaystyle \delta ,\varphi \in [0;2\pi ]}$ ${\displaystyle r\in [0;1]}$

Pozo cuadrado finito

El problema unidimensional, no relativista con simetría de inversión temporal de una partícula con masa m que se aproxima a un pozo cuadrado finito (estático) , tiene la función potencial V con

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}-V_{0}&{\text{for}}~~|x|\leq a~~(V_{0}>0)\quad {\text{and}}\\[1ex]0&{\text{for}}~~|x|>a\end{cases}}}$$

paquete de ondas ${\displaystyle A_{k}\exp(ikx)}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle D_{k}\exp(-ikx)}$

La matriz S para la onda plana con número de onda k tiene la solución: ^[6]

$${\displaystyle S_{12}=S_{21}={\frac {\exp(-2ika)}{\cos(2la)-i\sin(2la){\frac {l^{2}+k^{2}}{2kl}}}}}$$

${\displaystyle S_{11}=S_{12}\cdot i\sin(2la){\frac {l^{2}-k^{2}}{2kl}}}$ ${\displaystyle e^{i\delta }=\pm i}$ ${\displaystyle -e^{-i\delta }=e^{i\delta }}$ ${\displaystyle S_{22}=S_{11}}$

Donde es el número de onda (aumentado) de la onda plana dentro del pozo cuadrado, ya que el valor propio de energía asociado con la onda plana debe permanecer constante: ${\displaystyle l={\sqrt {k^{2}+{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}}}}$ ${\displaystyle E_{k}}$ ${\displaystyle E_{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}={\frac {\hbar ^{2}l^{2}}{2m}}-V_{0}}$

La transmisión es ${\displaystyle T_{k}=|S_{21}|^{2}=|S_{12}|^{2}={\frac {1}{(\cos(2la))^{2}+(\sin(2la))^{2}{\frac {(l^{2}+k^{2})^{2}}{4k^{2}l^{2}}}}}={\frac {1}{1+(\sin(2la))^{2}{\frac {(l^{2}-k^{2})^{2}}{4k^{2}l^{2}}}}}}$

En el caso de entonces y por lo tanto y es decir, una onda plana con número de onda k pasa por el pozo sin reflexión si por un ${\displaystyle \sin(2la)=0}$ ${\displaystyle \cos(2la)=\pm 1}$ ${\displaystyle S_{11}=S_{22}=0}$ ${\displaystyle |S_{21}|=|S_{12}|=1}$ ${\displaystyle k^{2}+{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{4a^{2}}}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Barrera cuadrada finita

La barrera cuadrada es similar al pozo cuadrado con la diferencia de que para . ${\displaystyle V(x)=+V_{0}>0}$ ${\displaystyle |x|\leq a}$

Hay tres casos diferentes dependiendo del valor propio de energía de las ondas planas (con números de onda k resp. − k ) alejadas de la barrera: ${\displaystyle E_{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$

• ${\displaystyle E_{k}>V_{0}}$: En este caso , las fórmulas para tienen la misma forma que en el caso del pozo cuadrado, y la transmisión es ${\displaystyle l={\sqrt {k^{2}-{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}}}}$ ${\displaystyle S_{ij}}$ ${\displaystyle T_{k}=|S_{21}|^{2}=|S_{12}|^{2}={\frac {1}{1+(\sin(2la))^{2}{\frac {(l^{2}-k^{2})^{2}}{4k^{2}l^{2}}}}}}$
• ${\displaystyle E_{k}=V_{0}}$: En este caso y la función de onda tiene la propiedad dentro de la barrera y ${\displaystyle {\sqrt {k^{2}-{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}}}=0}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \psi ''(x)=0}$

  ${\displaystyle S_{12}=S_{21}={\frac {\exp(-2ika)}{1-ika}}}$ y ${\displaystyle S_{11}=S_{22}={\frac {-ika\cdot \exp(-2ika)}{1-ika}}}$

  La transmisión es: . Este caso intermedio no es singular, es el límite ( resp. ) de ambos lados. ${\displaystyle T_{k}={\frac {1}{1+k^{2}a^{2}}}}$ ${\displaystyle l\to 0}$ ${\displaystyle \kappa \to 0}$
• ${\displaystyle E_{k}<V_{0}}$:En este caso es un número imaginario. Entonces la función de onda dentro de la barrera tiene los componentes y con . ${\displaystyle {\sqrt {k^{2}-{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}}}}$ ${\displaystyle e^{\kappa x}}$ ${\displaystyle e^{-\kappa x}}$ ${\displaystyle \kappa ={\sqrt {{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}-k^{2}}}}$

  La solución para la matriz S es: ^[7] ${\displaystyle S_{12}=S_{21}={\frac {\exp(-2ika)}{\cosh(2\kappa a)-i\sinh(2\kappa a){\frac {k^{2}-{\kappa }^{2}}{2k\kappa }}}}}$

  y asimismo: y también en este caso . ${\displaystyle S_{11}=-i{\frac {k^{2}+\kappa ^{2}}{2k\kappa }}\sinh(2\kappa a)\cdot S_{12}}$ ${\displaystyle S_{22}=S_{11}}$

  La transmisión es . ${\displaystyle T_{k}=|S_{21}|^{2}=|S_{12}|^{2}={\frac {1}{1+(\sinh(2\kappa a))^{2}{\frac {(k^{2}+\kappa ^{2})^{2}}{4k^{2}\kappa ^{2}}}}}}$

Coeficiente de transmisión y coeficiente de reflexión.

El coeficiente de transmisión desde la izquierda de la barrera de potencial es, cuando D = 0 ,

$${\displaystyle T_{\rm {L}}={\frac {|C|^{2}}{|A|^{2}}}=|S_{21}|^{2}.}$$

El coeficiente de reflexión desde la izquierda de la barrera de potencial es, cuando D = 0 ,

$${\displaystyle R_{\rm {L}}={\frac {|B|^{2}}{|A|^{2}}}=|S_{11}|^{2}.}$$

De manera similar, el coeficiente de transmisión desde la derecha de la barrera de potencial es, cuando A = 0 ,

$${\displaystyle T_{\rm {R}}={\frac {|B|^{2}}{|D|^{2}}}=|S_{12}|^{2}.}$$

El coeficiente de reflexión desde la derecha de la barrera de potencial es, cuando A = 0 ,

$${\displaystyle R_{\rm {R}}={\frac {|C|^{2}}{|D|^{2}}}=|S_{22}|^{2}.}$$

Las relaciones entre los coeficientes de transmisión y reflexión son

$${\displaystyle T_{\rm {L}}+R_{\rm {L}}=1}$$

$${\displaystyle T_{\rm {R}}+R_{\rm {R}}=1.}$$

S.

Con simetría de inversión temporal, la matriz S es simétrica y, por tanto, y . ${\displaystyle T_{\rm {L}}=|S_{21}|^{2}=|S_{12}|^{2}=T_{\rm {R}}}$ ${\displaystyle R_{\rm {L}}=R_{\rm {R}}}$

Teorema óptico en una dimensión.

En el caso de partículas libres V ( x ) = 0 , la matriz S es ^[8]

$${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$

V ( x ) es diferente de cero, la matriz S

$${\displaystyle S={\begin{pmatrix}2ir&1+2it\\1+2it&2ir^{*}{\frac {1+2it}{1-2it^{*}}}\end{pmatrix}}.}$$

funciones complejasrt

$${\displaystyle |r|^{2}+|t|^{2}=\operatorname {Im} (t).}$$

El análogo de esta identidad en tres dimensiones se conoce como teorema óptico .

Definición en la teoría cuántica de campos.

Imagen de interacción

Una forma sencilla de definir la matriz S comienza considerando la imagen de interacción . ^[9] Dividamos el hamiltoniano H en la parte libre H ₀ y la interacción V , H = H ₀ + V . En esta imagen, los operadores se comportan como operadores de campo libre y los vectores de estado tienen dinámica según la interacción V. Dejar

$${\displaystyle \left|\Psi (t)\right\rangle }$$

$${\displaystyle \left|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle .}$$

S

$${\displaystyle \left\langle \Phi _{\rm {f}}\right|.}$$

$${\displaystyle S_{\rm {fi}}\equiv \lim _{t\rightarrow +\infty }\left\langle \Phi _{\rm {f}}|\Psi (t)\right\rangle \equiv \left\langle \Phi _{\rm {f}}\right|S\left|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle ,}$$

donde S es el operador S. La gran ventaja de esta definición es que el operador de evolución temporal U que evoluciona un estado en la imagen de interacción se conoce formalmente, ^[10]

$${\displaystyle U(t,t_{0})=Te^{-i\int _{t_{0}}^{t}d\tau V(\tau )},}$$

Tproducto ordenado en el tiempo

$${\displaystyle S_{\rm {fi}}=\lim _{t_{2}\rightarrow +\infty }\lim _{t_{1}\rightarrow -\infty }\left\langle \Phi _{\rm {f}}\right|U(t_{2},t_{1})\left|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle ,}$$

$${\displaystyle S=U(\infty ,-\infty ).}$$

AmpliarUserie Dyson

$${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dt_{1}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dt_{n}T\left[V(t_{1})\cdots V(t_{n})\right],}$$

V

$${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dx_{1}^{4}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dx_{n}^{4}T\left[{\mathcal {H}}(t_{1})\cdots {\mathcal {H}}(t_{n})\right].}$$

Al ser un tipo especial de operador de evolución temporal, S es unitario. Para cualquier estado inicial y cualquier estado final se encuentra

$${\displaystyle S_{\rm {fi}}=\left\langle \Phi _{\rm {f}}|S|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle =\left\langle \Phi _{\rm {f}}\left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dx_{1}^{4}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dx_{n}^{4}T\left[{\mathcal {H}}(t_{1})\cdots {\mathcal {H}}(t_{n})\right]\right|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle .}$$

Este enfoque es algo ingenuo en el sentido de que los problemas potenciales se esconden debajo de la alfombra. ^[11] Esto es intencional. El enfoque funciona en la práctica y algunas de las cuestiones técnicas se abordan en las otras secciones.

Estados de entrada y salida

Aquí se adopta un enfoque ligeramente más riguroso para abordar problemas potenciales que no se tuvieron en cuenta en el enfoque de imagen de interacción anterior. El resultado final es, por supuesto, el mismo que si se toma la ruta más rápida. Para ello, se necesitan las nociones de estados de entrada y salida. Estos se desarrollarán de dos maneras, a partir de estados de vacío y de partículas libres. No hace falta decir que los dos enfoques son equivalentes, pero iluminan las cuestiones desde ángulos diferentes.

De vacío

Si a ^† ( k ) es un operador de creación , su adjunto hermitiano es un operador de aniquilación y destruye el vacío,

$${\displaystyle a(k)\left|*,0\right\rangle =0.}$$

En notación de Dirac , defina

$${\displaystyle |*,0\rangle }$$

estado cuántico de vacío0invariantes de Poincaré^[11]

$${\displaystyle P^{\mu }|*,0\rangle =0,\quad M^{\mu \nu }|*,0\rangle =0}$$

P ^μgenerador de traslaciónM ^μνtransformaciones de Lorentzoperadores de campocamposΦ _iΦ _oteoría escalar

$${\displaystyle (\Box ^{2}+m^{2})\phi _{\rm {i,o}}(x)=0,}$$

ecuación libre de Klein-Gordon

$${\displaystyle {\begin{aligned}{[\phi _{\rm {i,o}}(x),\pi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} ),\\{[\phi _{\rm {i,o}}(x),\phi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&={[\pi _{\rm {i,o}}(x),\pi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}=0,\end{aligned}}}$$

π _{i , j}canónicamente conjugadoΦ _{i , j}a ^† _i ( k )a ^† _f ( k )mismo espacio de Hilbert^[12]distintos ( espacios de Fockif

$${\displaystyle {\begin{aligned}{[a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p} ')]}&=i\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p'} ),\\{[a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p'} )]}&={[a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p'} )]}=0.\end{aligned}}}$$

La acción de los operadores de creación sobre sus respectivos vacíos y estados con un número finito de partículas en los estados de entrada y salida viene dada por

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle &=a_{i}^{\dagger }(k_{1})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})\left|i,0\right\rangle ,\\\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle &=a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{f}^{\dagger }(p_{n})\left|f,0\right\rangle ,\end{aligned}}}$$

de n partículas

$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {i}}=\operatorname {span} \{\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{1})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})\left|\mathrm {i} ,0\right\rangle \},}$$

$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {f}}=\operatorname {span} \{\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle =a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{n})\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \}.}$$

Se supone que los estados asintóticos tienen propiedades de transformación de Poincaré bien definidas, es decir, se supone que se transforman como un producto directo de estados de una partícula. ^[13] Esta es una característica de un campo que no interactúa. De esto se deduce que los estados asintóticos son todos estados propios del operador de momento P ^μ , ^[11]

$${\displaystyle P^{\mu }\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{m}\right\rangle =k_{1}^{\mu }+\cdots +k_{m}^{\mu }\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{m}\right\rangle ,\quad P^{\mu }\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle =p_{1}^{\mu }+\cdots +p_{n}^{\mu }\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle .}$$

$${\displaystyle H=P^{0}.}$$

Generalmente se postula que el vacío es estable y único, ^{[11] [nb 1]}

$${\displaystyle |\mathrm {i} ,0\rangle =|\mathrm {f} ,0\rangle =|*,0\rangle \equiv |0\rangle .}$$

La interacción se supone activada y desactivada adiabáticamente.

imagen de heisenberg

A partir de ahora se utilizará el cuadro de Heisenberg . En esta imagen, los estados son independientes del tiempo. Por tanto, un vector de estado de Heisenberg representa la historia espacio-temporal completa de un sistema de partículas. ^[13] El etiquetado de los estados de entrada y salida se refiere a la apariencia asintótica. Un estado Ψ _{α , en} se caracteriza porque cuando t → −∞ el contenido de partículas es el representado colectivamente por α . Asimismo, un estado Ψ _{β , out} tendrá el contenido de partículas representado por β para t → +∞ . Utilizando el supuesto de que los estados de entrada y salida, así como los estados que interactúan, habitan el mismo espacio de Hilbert y asumiendo la integridad de los estados de entrada y salida normalizados (postulado de completitud asintótica ^[11] ), los estados iniciales se pueden expandir en un base de estados finales (o viceversa). La expresión explícita se proporciona más adelante, después de que se haya introducido más notación y terminología. Los coeficientes de expansión son precisamente los elementos de la matriz S que se definirán a continuación.

Si bien los vectores de estado son constantes en el tiempo en la imagen de Heisenberg, los estados físicos que representan no lo son . Si se encuentra que un sistema está en un estado Ψ en el momento t = 0 , entonces se encontrará en el estado U ( τ )Ψ = e ^{− iHτ} Ψ en el momento t = τ . Este no es (necesariamente) el mismo vector de estado de Heisenberg, pero es un vector de estado equivalente , lo que significa que, tras la medición, se encontrará que es uno de los estados finales de la expansión con un coeficiente distinto de cero. Dejando que τ varíe, se ve que el Ψ observado (no medido) es de hecho el vector de estado de imagen de Schrödinger . Repitiendo la medición suficientes veces y promediando, se puede decir que de hecho se encuentra el mismo vector de estado en el momento t = τ que en el momento t = 0 . Esto refleja la expansión de un estado interno hacia estados externos.

De estados de partículas libres

Desde este punto de vista, se debe considerar cómo se realiza el experimento arquetípico de dispersión. Las partículas iniciales se preparan en estados bien definidos en los que están tan alejadas que no interactúan. De alguna manera se les hace interactuar, y las partículas finales se registran cuando están tan separadas que han dejado de interactuar. La idea es buscar en la imagen de Heisenberg estados que en el pasado lejano tenían la apariencia de estados de partículas libres. Este será el en los estados. Asimismo, un estado externo será un estado que en un futuro lejano tenga la apariencia de un estado de partícula libre. ^[13]

Se utilizará la notación de la referencia general para esta sección, Weinberg (2002). Un estado general de múltiples partículas que no interactúan está dado por

$${\displaystyle \Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots },}$$

• p es el impulso,
• σ es el componente z de espín o, en el caso sin masa, la helicidad ,
• n es especie de partícula.

Estos estados se normalizan como

$${\displaystyle \left(\Psi _{p_{1}'\sigma _{1}'n_{1}';p_{2}'\sigma _{2}'n_{2}';\cdots },\Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots }\right)=\delta ^{3}(\mathbf {p} _{1}'-\mathbf {p} _{1})\delta _{\sigma _{1}'\sigma _{1}}\delta _{n_{1}'n_{1}}\delta ^{3}(\mathbf {p} _{2}'-\mathbf {p} _{2})\delta _{\sigma _{2}'\sigma _{2}}\delta _{n_{2}'n_{2}}\cdots \quad \pm {\text{ permutations}}.}$$

s ∈ S _kkk -estado de partícula

$${\displaystyle n_{s(i)}'=n_{i},\quad 1\leq i\leq k,}$$

s

$${\displaystyle \left(\Psi _{\alpha '},\Psi _{\alpha }\right)=\delta (\alpha '-\alpha ).}$$

$${\displaystyle d\alpha \cdots \equiv \sum _{n_{1}\sigma _{1}n_{2}\sigma _{2}\cdots }\int d^{3}p_{1}d^{3}p_{2}\cdots ,}$$

completos

$${\displaystyle \Psi =\int d\alpha \ \Psi _{\alpha }\left(\Psi _{\alpha },\Psi \right),}$$

$${\displaystyle \int d\alpha \ \left|\Psi _{\alpha }\right\rangle \left\langle \Psi _{\alpha }\right|=1,}$$

αα(Λ, a )

donde W (Λ, p ) es la rotación de Wigner y D ^{( j )} es la representación dimensional (2 j + 1) de SO(3) . Al poner Λ = 1, a = ( τ , 0, 0, 0) , para lo cual U es exp( iHτ ) , en (1) , se sigue inmediatamente que

$${\displaystyle H\Psi =E_{\alpha }\Psi ,\quad E_{\alpha }=p_{1}^{0}+p_{2}^{0}+\cdots ,}$$

Ψ ⁺Ψ ⁻

$${\displaystyle e^{-iH\tau }\int d\alpha \ g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }=\int d\alpha \ e^{-iE_{\alpha }\tau }g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }}$$

para τgghamiltoniano HH ₀VH = H ₀ + VΦ _γH ₀

$${\displaystyle H_{0}\Phi _{\alpha }=E_{\alpha }\Phi _{\alpha },}$$

$${\displaystyle (\Phi _{\alpha }',\Phi _{\alpha })=\delta (\alpha '-\alpha ).}$$

Los estados de entrada y salida se definen como estados propios del hamiltoniano completo,

$${\displaystyle H\Psi _{\alpha }^{\pm }=E_{\alpha }\Psi _{\alpha }^{\pm },}$$

$${\displaystyle e^{-iH\tau }\int d\alpha \ g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }\rightarrow e^{-iH_{0}\tau }\int d\alpha \ g(\alpha )\Phi _{\alpha }.}$$

τ → −∞τ → +∞

$${\displaystyle \Omega (\tau )\equiv e^{+iH\tau }e^{-iH_{0}\tau },}$$

$${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Omega (\mp \infty )\Phi _{\alpha }.}$$

$${\displaystyle (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{+})=(\Phi _{\beta },\Phi _{\alpha })=(\Psi _{\beta }^{-},\Psi _{\alpha }^{-})=\delta (\beta -\alpha ),}$$

$${\displaystyle (E_{\alpha }-H_{0}\pm i\epsilon )\Psi _{\alpha }^{\pm }=\pm i\epsilon \Psi _{\alpha }^{\pm }+V\Psi _{\alpha }^{\pm },}$$

± iε para hacer invertible el operador en el LHS. V → 0

$${\displaystyle i\epsilon \Psi _{\alpha }^{\pm }=i\epsilon \Phi _{\alpha }}$$

$${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Phi _{\alpha }+(E_{\alpha }-H_{0}\pm i\epsilon )^{-1}V\Psi _{\alpha }^{\pm }.}$$

$${\displaystyle V\Psi _{\alpha }^{\pm }=\int d\beta \ (\Phi _{\beta },V\Psi _{\alpha }^{\pm })\Phi _{\beta }\equiv \int d\beta \ T_{\beta \alpha }^{\pm }\Phi _{\beta },}$$

$${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Phi _{\alpha }+\int d\beta \ {\frac {T_{\beta \alpha }^{\pm }\Phi _{\beta }}{E_{\alpha }-E_{\beta }\pm i\epsilon }}.}$$

H ₀ecuación de Lippmann-Schwinger

En estados expresados ​​como estados externos

Los estados iniciales se pueden ampliar en base a estados finales (o viceversa). Usando la relación de completitud,

$${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{-}=\int d\beta (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})\Psi _{\beta }^{+}=\int d\beta |\Psi _{\beta }^{+}\rangle \langle \Psi _{\beta }^{+}|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =\sum _{n_{1}\sigma _{1}n_{2}\sigma _{2}\cdots }\int d^{3}p_{1}d^{3}p_{2}\cdots (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})\Psi _{\beta }^{+},}$$

$${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{-}=\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =C_{0}\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \ +\sum _{m=1}^{\infty }\int {d^{4}p_{1}\ldots d^{4}p_{m}C_{m}(p_{1}\ldots p_{m})\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle }~,}$$

| C _m | ²

$${\displaystyle \left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =\Psi _{\alpha }^{-}}$$

$${\displaystyle \left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle =\Psi _{\beta }^{+}.}$$

$${\displaystyle C_{m}(p_{1}\ldots p_{m})=\left\langle \mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\rangle =(\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})}$$

$${\displaystyle \left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =C_{0}\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \ +\sum _{m=1}^{\infty }\int {d^{4}p_{1}\ldots d^{4}p_{m}\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle }\left\langle \mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\rangle ~.}$$

S

La matriz S

La matriz S ahora está definida por ^[13]

$${\displaystyle S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta }^{-}|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle =\langle \mathrm {f} ,\beta |\mathrm {i} ,\alpha \rangle ,\qquad |\mathrm {f} ,\beta \rangle \in {\mathcal {H}}_{\rm {f}},\quad |\mathrm {i} ,\alpha \rangle \in {\mathcal {H}}_{\rm {i}}.}$$

Aquí α y β son abreviaturas que representan el contenido de partículas pero suprimen las etiquetas individuales. Asociado a la matriz S está el operador S definido por ^[13]

$${\displaystyle \langle \Phi _{\beta }|S|\Phi _{\alpha }\rangle \equiv S_{\beta \alpha },}$$

donde los Φ _γ son estados de partículas libres. ^{[13] [nb 2]} Esta definición se ajusta al enfoque directo utilizado en la imagen de interacción. Además, debido a la equivalencia unitaria,

$${\displaystyle \langle \Psi _{\beta }^{+}|S|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle =S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta }^{-}|S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle .}$$

Como requisito físico, S debe ser un operador unitario . Esta es una declaración de conservación de la probabilidad en la teoría cuántica de campos. Pero

$${\displaystyle \langle \Psi _{\beta }^{-}|S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta }^{-}|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle .}$$

$${\displaystyle S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle ,}$$

SS. ^{[13] [nb 3]}transformación canónica cuántica definalesSenfuera^{[nb 4]}

$${\displaystyle S\left|0\right\rangle =\left|0\right\rangle }$$

$${\displaystyle \phi _{\mathrm {f} }=S\phi _{\mathrm {i} }S^{-1}~.}$$

En términos de operadores de creación y aniquilación, esto se convierte en

$${\displaystyle a_{\rm {f}}(p)=Sa_{\rm {i}}(p)S^{-1},a_{\rm {f}}^{\dagger }(p)=Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(p)S^{-1},}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}S|\mathrm {i} ,k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\rangle &=Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{1})a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})|0\rangle =Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{1})S^{-1}Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{2})S^{-1}\cdots Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})S^{-1}S|0\rangle \\[1ex]&=a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{1})a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{n})S|0\rangle =a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{1})a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{n})|0\rangle =|\mathrm {o} ,k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\rangle .\end{aligned}}}$$

SS

$${\displaystyle S_{\beta \alpha }=\langle \mathrm {o} ,\beta |\mathrm {i} ,\alpha \rangle =\langle \mathrm {i} ,\beta |S|\mathrm {i} ,\alpha \rangle =\langle \mathrm {o} ,\beta |S|\mathrm {o} ,\alpha \rangle .}$$

Si S describe una interacción correctamente, estas propiedades también deben ser ciertas:

• Si el sistema está formado por una sola partícula en estado propio de momento | k ⟩ , entonces S | k ⟩ = | k ⟩ . Esto se desprende del cálculo anterior como caso especial.
• El elemento de la matriz S puede ser distinto de cero sólo cuando el estado de salida tiene el mismo impulso total que el estado de entrada. Esto se desprende de la invariancia de Lorentz requerida de la matriz S.

Operador de evolución U

Defina un operador de creación y aniquilación dependiente del tiempo de la siguiente manera,

$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{\dagger }{\left(k,t\right)}&=U^{-1}(t)\,a_{\rm {i}}^{\dagger }{\left(k\right)}\,U{\left(t\right)}\\[1ex]a{\left(k,t\right)}&=U^{-1}(t)\,a_{\rm {i}}{\left(k\right)}\,U{\left(t\right)}\,,\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \phi _{\rm {f}}=U^{-1}(\infty )\phi _{\rm {i}}U(\infty )=S^{-1}\phi _{\rm {i}}S~,}$$

$${\displaystyle S=e^{i\alpha }\,U(\infty ).}$$

Permitimos una diferencia de fase, dada por

$${\displaystyle e^{i\alpha }=\left\langle 0|U(\infty )|0\right\rangle ^{-1}~,}$$

S

$${\displaystyle S\left|0\right\rangle =\left|0\right\rangle \Longrightarrow \left\langle 0|S|0\right\rangle =\left\langle 0|0\right\rangle =1~.}$$

Sustituyendo la expresión explícita por U , se tiene

$${\displaystyle S={\frac {1}{\left\langle 0|U(\infty )|0\right\rangle }}{\mathcal {T}}e^{-i\int {d\tau H_{\rm {int}}(\tau )}}~,}$$

${\displaystyle H_{\rm {int}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

Por inspección, se puede ver que esta fórmula no es explícitamente covariante.

Serie Dyson

La expresión más utilizada para la matriz S es serie Dyson. Esto expresa el operador de matriz S como la serie :

$${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int \cdots \int d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\ldots d^{4}x_{n}T[{\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{1}){\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{2})\cdots {\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{n})]}$$

dónde:

• ${\displaystyle T[\cdots ]}$denota ordenamiento temporal ,
• ${\displaystyle \;{\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x)}$denota la interacción densidad hamiltoniana que describe las interacciones en la teoría.

La matriz no S

Dado que la transformación de partículas del agujero negro en radiación de Hawking no se podía describir con una matriz S , Stephen Hawking propuso una "matriz no S ", para la que utilizó el signo del dólar ($), y que por eso también se llamó "matriz del dólar". ^[14]

Ver también

• Portal de matemáticas

• diagrama de feynman
• Fórmula de reducción de LSZ
• teorema de wick
• teorema de haag
• Imagen de interacción

Observaciones

1. Esto no es cierto si se estudia un sistema abierto. Bajo la influencia de un campo externo, los vacíos de entrada y salida pueden diferir, ya que el campo externo puede producir partículas.
2. Aquí se supone que el hamiltoniano H completo se puede dividir en dos términos, un hamiltoniano H ₀ de partícula libre y una interacción V , H = H ₀ + V tal que los estados propios Φ _γ de H ₀ tengan la misma apariencia que el estados dentro y fuera con respecto a la normalización y las propiedades de transformación de Lorentz. Véase Weinberg (2002), página 110.
3. Si Λ es una transformación de Lorentz ortocrónica adecuada (homogénea ₎ , entonces el teorema de Wigner garantiza la existencia de un operador unitario U (Λ) que actúa sobre Hi o H _f . _Se dice que una teoría es invariante de Lorentz si la misma _U ( Λ) actúa sobre Hi y Hf . Usando la unitaridad de U (Λ) , S _βα = ⟨ i , β | f , α ⟩ = ⟨ yo , β | U (Λ) ^† U (Λ)| f , α ⟩ . El lado derecho se puede ampliar utilizando el conocimiento sobre cómo se transforman los estados que no interactúan para obtener una expresión, y esa expresión debe tomarse como una definición de lo que significa que la matriz S sea invariante de Lorentz. Véase Weinberg (2002), la ecuación 3.3.1 da una forma explícita.
4. Aquí se emplea el postulado de completitud asintótica . Los estados de entrada y salida abarcan el mismo espacio de Hilbert, que se supone concuerda con el espacio de Hilbert de la teoría de la interacción. Este no es un postulado trivial. Si las partículas pueden combinarse permanentemente en estados ligados, la estructura del espacio de Hilbert cambia. Véase Greiner y Reinhardt 1996, sección 9.2.

Notas

1. Dirac, Paul (1 de agosto de 1927). "Über die Quantenmechanik der Stoßvorgänge". Zeitschrift für Physik (en alemán). 44 (8): 585–595. doi :10.1007/BF01451660. ISSN  0044-3328.
2. Sanyuk, Valerii I.; Sujánov, Alexander D. (1 de septiembre de 2003). "Dirac en la física del siglo XX: una evaluación del centenario". Física-Uspekhi . 46 (9): 937–956. ISSN  1063-7869.
3. John Archibald Wheeler, "Sobre la descripción matemática de núcleos ligeros mediante el método de estructura de grupo resonante", Phys. Rev. 52, 1107–1122 (1937).
4. Jagdish Mehra , Helmut Rechenberg , El desarrollo histórico de la teoría cuántica (páginas 990 y 1031) Springer, 2001 ISBN 0-387-95086-9 , ISBN 978-0-387-95086-0  
5. "Formulación de matriz de transferencia de la teoría de la dispersión en dimensiones arbitrarias" (PDF) . gemma.ujf.cas.cz . Consultado el 29 de octubre de 2022 .
6. "EE201/MSE207 Conferencia 6" (PDF) . intra.ece.ucr.edu . Consultado el 29 de octubre de 2022 .
7. "La barrera potencial". quantummechanics.ucsd.edu . Consultado el 1 de noviembre de 2022 .
8. Merzbacher 1961 Ch 6. Una convención más común, utilizada a continuación, es hacer que la matriz S vaya a la identidad en el caso de partículas libres.
9. Greiner y Reinhardt 1996 Sección 8.2.
10. Greiner y Reinhardt 1996 Ecuación 8.44.
11. Greiner y Reinhardt 1996 Capítulo 9.
12. Weinberg 2002 Capítulo 3. Véase el comentario especial al comienzo de la sección 3.2.
13. Weinberg 2002 Capítulo 3.
14. Leonard Susskind , Guerra del Agujero Negro , capítulo 11.

Referencias

• LD Landau , EM Lifshitz (1977). Mecánica cuántica: teoría no relativista . vol. 3 (3ª ed.). Prensa de Pérgamo . ISBN 978-0-08-020940-1.§125
• Weinberg, S. (2002), La teoría cuántica de campos, vol I , Cambridge University Press , ISBN 0-521-55001-7
• Merzbacher, Eugen (1961), Mecánica cuántica , Wiley & Sons, capítulo 13, §3; Capítulo 19, §6, ISBN 0-471-59670-1
• Sakurai, JJ ; Napolitano, J (2011) [1964]. Mecánica cuántica moderna (2ª ed.). Addison Wesley . Capítulo 6. ISBN 978-0-8053-8291-4.
• Barut, Asim Orhan (1967). La Teoría de la Matriz de Dispersión para las interacciones de partículas fundamentales . Macmillan.
• Alberto Mesías (1999). Mecánica cuántica. Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-40924-4.
• Tony Philips (noviembre de 2001). "Diagramas de Feynman de dimensión finita". Novedades en Matemáticas . Sociedad Matemática Estadounidense . Consultado el 23 de octubre de 2007 .
• Stephen Gasiorowicz (1974). Física cuántica. Wiley e hijos. ISBN 0-471-29281-8.
• Greiner, W .; Reinhardt, J. (1996), Cuantización de campo , Springer Publishing , ISBN 3-540-59179-6
• Mussardo, G. (1992). "Modelos estadísticos no críticos: teorías de dispersión factorizada y programa de arranque". Informes de Física . 218 (5–6): 215–379. Código Bib : 1992PhR...218..215M. doi :10.1016/0370-1573(92)90047-4.
• Zamolodchikov, AB (1979). "Matrices S factorizadas en dos dimensiones como soluciones exactas de ciertos modelos relativistas de la teoría cuántica de campos". Anales de Física . 120 (2): 253–291. Código bibliográfico : 1979AnPhy.120..253Z. doi :10.1016/0003-4916(79)90391-9.