Brecha masiva

Diferencia de energía entre el estado fundamental y los estados excitados más ligeros

En la teoría cuántica de campos , la brecha de masa es la diferencia de energía entre el estado de energía más bajo , el vacío, y el siguiente estado de energía más bajo. La energía del vacío es cero por definición, y suponiendo que todos los estados de energía puedan considerarse como partículas en ondas planas, la brecha de masa es la masa de la partícula más ligera.

Dado que las energías de los estados propios de energía exactos (es decir, no perturbativos) están dispersas y, por lo tanto, técnicamente no son estados propios, una definición más precisa es que la brecha de masa es el límite inferior más grande de la energía de cualquier estado que sea ortogonal al vacío.

El análogo de una brecha de masa en la física de muchos cuerpos en una red discreta surge de un hamiltoniano con brecha .

Definiciones matemáticas

Para un campo cuántico de valor real dado , donde , podemos decir que la teoría tiene una brecha de masa si la función de dos puntos tiene la propiedad ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle x=({\boldsymbol {x}},t)}$

${\displaystyle \langle \phi (0,t)\phi (0,0)\rangle \sim \sum _{n}A_{n}\exp \left(-\Delta _{n}t\right)}$

siendo el valor energético más bajo en el espectro del hamiltoniano y, por tanto, la brecha de masa. Esta cantidad, fácil de generalizar a otros campos, es la que generalmente se mide en los cálculos reticulares. De esta manera se demostró que la teoría de Yang-Mills desarrolla una brecha de masa en una red. ^{[1] [2]} El valor ordenado en el tiempo correspondiente, el propagador , tendrá la propiedad ${\displaystyle \Delta _{0}>0}$

${\displaystyle \lim _{p\rightarrow 0}\Delta (p)=\mathrm {constant} }$

siendo la constante finita. Un ejemplo típico lo ofrece una partícula masiva libre y, en este caso, la constante tiene el valor 1/ m ² . En el mismo límite, el propagador de una partícula sin masa es singular.

Ejemplos de teorías clásicas.

Un ejemplo de brecha de masa que surge de las teorías sin masa, ya en el nivel clásico, puede verse en la ruptura espontánea de la simetría o mecanismo de Higgs . En el primer caso, hay que afrontarlo ^{[ ¿cómo? ]} con la aparición de excitaciones sin masa, los bosones de Goldstone , que en este último caso se eliminan debido a la libertad de calibre . La cuantización preserva esta propiedad de libertad de calibre.

Una teoría de campo escalar cuártico sin masa desarrolla una brecha de masa ya en el nivel clásico ^{[ se necesita aclaración ]} . Considere la ecuación

${\displaystyle \Box \phi +\lambda \phi ^{3}=0.}$

Esta ecuación tiene la solución exacta.

${\displaystyle \phi (x)=\mu \left({\frac {2}{\lambda }}\right)^{\frac {1}{4}}{\rm {sn}}\left(p\cdot x+\theta ,-1\right)}$

—donde y son constantes de integración, y sn es una función elíptica de Jacobi —siempre que ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle p^{2}=\mu ^{2}{\sqrt {\frac {\lambda }{2}}}.}$

En el nivel clásico, aparece una brecha de masa mientras que, en el nivel cuántico, tenemos una torre de excitaciones y esta propiedad de la teoría se conserva después de la cuantificación en el límite de los momentos que van a cero. ^[3]

Teoría de Yang-Mills

Si bien los cálculos reticulares han sugerido que la teoría de Yang-Mills tiene efectivamente una brecha de masa y una torre de excitaciones, todavía falta una prueba teórica. Este es uno de los problemas del Milenio del Clay Institute y sigue siendo un problema abierto. Dichos estados para la teoría de Yang-Mills deberían ser estados físicos, denominados bolas de pegamento , y deberían ser observables en el laboratorio.

Representación de Källén-Lehmann

Si se cumple la representación espectral de Källén-Lehmann , en esta etapa excluimos las teorías de calibre , la función de densidad espectral puede tomar una forma muy simple con un espectro discreto que comienza con una brecha de masa.

${\displaystyle \rho (\mu ^{2})=\sum _{n=1}^{N}Z_{n}\delta (\mu ^{2}-m_{n}^{2})+\rho _{c}(\mu ^{2})}$

siendo la contribución de la parte del espectro de múltiples partículas. En este caso, el propagador tomará la forma simple ${\displaystyle \rho _{c}(\mu ^{2})}$

${\displaystyle \Delta (p)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {Z_{n}}{p^{2}-m_{n}^{2}+i\epsilon }}+\int _{4m_{N}^{2}}^{\infty }d\mu ^{2}\rho _{c}(\mu ^{2}){\frac {1}{p^{2}-\mu ^{2}+i\epsilon }}}$

siendo aproximadamente el punto de partida del sector multipartículas. Ahora bien, utilizando el hecho de que ${\displaystyle 4m_{N}^{2}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho (\mu ^{2})=1}$

llegamos a la siguiente conclusión para las constantes en la densidad espectral

${\displaystyle 1=\sum _{n=1}^{N}Z_{n}+\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho _{c}(\mu ^{2})}$.

Esto no podría ser cierto en una teoría de calibre . Más bien se debe demostrar que una representación de Källén-Lehmann para el propagador también es válida para este caso. La ausencia de contribuciones de múltiples partículas implica que la teoría es trivial , ya que no aparecen estados ligados en la teoría y, por lo tanto, no hay interacción, incluso si la teoría tiene una brecha de masa. En este caso, tenemos inmediatamente el propagador configurado en las fórmulas anteriores. ${\displaystyle \rho _{c}(\mu ^{2})=0}$

Ver también

• Teorema de Coleman-Mandula
• Teoría de campos escalares

Referencias

1. Lucini, Biagio; Teper, Michael; Wenger, Urs (2004). "Bolas de pegamento y cuerdas k en teorías de calibre SU (N): cálculos con operadores mejorados". Revista de Física de Altas Energías . 0406 (6): 012. arXiv : hep-lat/0404008 . Código Bib : 2004JHEP...06..012L. doi :10.1088/1126-6708/2004/06/012. S2CID  14807677..
2. Chen, Y.; Alejandro, A.; Dong, SJ; Draper, T.; Horvath, I.; Lee, FX; Liu, KF; Mathur, N.; Estrella de la mañana, C.; Peardon, M.; Tamhankar, S.; Joven, BL; Zhang, JB (2006). "Espectro de bola de pegamento y elementos de matriz en redes anisotrópicas". Revisión física D. 73 (1): 014516. arXiv : hep-lat/0510074 . Código bibliográfico : 2006PhRvD..73a4516C. doi : 10.1103/PhysRevD.73.014516. S2CID  15741174..
3. Frasca, Marco (2006). "Teoría de campos cuánticos fuertemente acoplados". Revisión física D. 73 (2): 027701. arXiv : hep-th/0511068 . Código bibliográfico : 2006PhRvD..73b7701F. doi : 10.1103/PhysRevD.73.027701.

enlaces externos

• Sadún, Lorenzo. Yang-Mills y la brecha masiva. Videoconferencia que describe la naturaleza del problema de la brecha de masa dentro de la formulación de Yang-Mills.
• Brechas masivas para teorías de campos escalares en Dispersive Wiki
• "Charla de Witten sobre el problema de la brecha de masa en la teoría cuántica 3D de Yang-Mills". YouTube . Francisco Villatoro. 1 de agosto de 2012.