Fórmula de reducción de LSZ

Conexión entre funciones de correlación y la matriz S

En la teoría cuántica de campos , la fórmula de reducción de Lehmann-Symanzik-Zimmermann ( LSZ ) es un método para calcular los elementos de la matriz S (las amplitudes de dispersión ) a partir de las funciones de correlación ordenadas en el tiempo de una teoría cuántica de campos. Es un paso en el camino que parte del lagrangiano de alguna teoría cuántica de campos y conduce a la predicción de cantidades mensurables. Lleva el nombre de los tres físicos alemanes Harry Lehmann , Kurt Symanzik y Wolfhart Zimmermann . ^[1]

Aunque la fórmula de reducción LSZ no puede manejar estados ligados , partículas sin masa y solitones topológicos , se puede generalizar para cubrir estados ligados, mediante el uso de campos compuestos que a menudo son no locales. Además, el método o sus variantes han resultado fructíferos también en otros campos de la física teórica. Por ejemplo, en física estadística se pueden utilizar para obtener una formulación particularmente general del teorema de fluctuación-disipación .

Campos de entrada y salida

Los elementos de la matriz S son amplitudes de transiciones entre estados internos y externos . ^{[2] [3] [4] [5] [6]} Unestado in describe el estado de un sistema de partículas que, en un pasado lejano, antes de interactuar, se movían libremente con momentos definidos { p } y, a la inversa , unestado externo describe el estado de un sistema de partículas que, mucho después de la interacción, se moverá libremente con momentos definidos { p }. ${\displaystyle |\{p\}\ \mathrm {in} \rangle }$ ${\displaystyle |\{p\}\ \mathrm {out} \rangle }$

Los estados de entrada y salida son estados en la imagen de Heisenberg , por lo que no se debe pensar que describen partículas en un momento definido, sino que describen el sistema de partículas en toda su evolución, de modo que el elemento de la matriz S:

${\displaystyle S_{\rm {fi}}=\langle \{q\}\ \mathrm {out} |\{p\}\ \mathrm {in} \rangle }$

es la amplitud de probabilidad de que un conjunto de partículas que se prepararon con momentos definidos { p } interactúen y se midan más tarde como un nuevo conjunto de partículas con momentos { q }.

La manera fácil ^{[nota 1]} de construir estados de entrada y salida es buscar operadores de campo apropiados que proporcionen los operadores de creación y aniquilación correctos . Estos campos se denominan campos de entrada y salida respectivamente:

Sólo para fijar ideas, supongamos que tratamos con un campo de Klein-Gordon que interactúa de alguna manera que no nos concierne:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi \partial ^{\mu }\varphi -{\frac {1}{2}}m_{0}^{2}\varphi ^{2}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$puede contener una interacción propia gφ ³ o interacción con otros campos, como una interacción Yukawa . A partir de este lagrangiano , utilizando las ecuaciones de Euler-Lagrange , se obtiene la ecuación de movimiento: ${\displaystyle g\ \varphi {\bar {\psi }}\psi }$

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m_{0}^{2}\right)\varphi (x)=j_{0}(x)}$

donde, si no contiene acoplamientos derivados: ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$

${\displaystyle j_{0}={\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}{\partial \varphi }}}$

Podemos esperar que el campo in se asemeje al comportamiento asintótico del campo libre cuando x ⁰ → −∞ , asumiendo que en el pasado lejano la interacción descrita por el actual j ₀ es insignificante, ya que las partículas están lejos unas de otras. Esta hipótesis se denomina hipótesis adiabática . Sin embargo, la autointeracción nunca desaparece y, además de muchos otros efectos, provoca una diferencia entre la masa lagrangiana m ₀ y la masa física m del bosón φ . Este hecho debe tenerse en cuenta reescribiendo la ecuación de movimiento de la siguiente manera: ^{[ cita necesaria ]}

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m^{2}\right)\varphi (x)=j_{0}(x)+\left(m^{2}-m_{0}^{2}\right)\varphi (x)=j(x)}$

Esta ecuación se puede resolver formalmente utilizando la función de Green retardada del operador de Klein-Gordon : ${\displaystyle \partial ^{2}+m^{2}}$

${\displaystyle \Delta _{\mathrm {ret} }(x)=i\theta \left(x^{0}\right)\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}k}{(2\pi )^{3}2\omega _{k}}}\left(e^{-ik\cdot x}-e^{ik\cdot x}\right)_{k^{0}=\omega _{k}}\qquad \omega _{k}={\sqrt {\mathbf {k} ^{2}+m^{2}}}}$

permitiéndonos dividir la interacción del comportamiento asintótico. La solucion es:

${\displaystyle \varphi (x)={\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)+\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(x-y)j(y)}$

El factor √ Z es un factor de normalización que será útil más adelante, el campo φ _in es una solución de la ecuación homogénea asociada con la ecuación de movimiento:

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m^{2}\right)\varphi _{\mathrm {in} }(x)=0,}$

y por tanto es un campo libre que describe una onda entrante no perturbada, mientras que el último término de la solución da la perturbación de la onda debido a la interacción.

El campo φ _in es de hecho el campo in que estábamos buscando, ya que describe el comportamiento asintótico del campo interactuante como x ⁰ → −∞ , aunque esta afirmación se hará más precisa más adelante. Es un campo escalar libre por lo que se puede expandir en ondas planas:

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {in} }(x)=\int \mathrm {d} ^{3}k\left\{f_{k}(x)a_{\mathrm {in} }(\mathbf {k} )+f_{k}^{*}(x)a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {k} )\right\}}$

dónde:

${\displaystyle f_{k}(x)=\left.{\frac {e^{-ik\cdot x}}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}(2\omega _{k})^{\frac {1}{2}}}}\right|_{k^{0}=\omega _{k}}}$

La función inversa de los coeficientes en términos del campo se puede obtener fácilmente y expresarse en la forma elegante:

${\displaystyle a_{\mathrm {in} }(\mathbf {k} )=i\int \mathrm {d} ^{3}xf_{k}^{*}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)}$

dónde:

${\displaystyle {\mathrm {g} }{\overleftrightarrow {\partial _{0}}}f=\mathrm {g} \partial _{0}f-f\partial _{0}\mathrm {g} .}$

Los coeficientes de Fourier satisfacen el álgebra de los operadores de creación y aniquilación :

${\displaystyle [a_{\mathrm {in} }(\mathbf {p} ),a_{\mathrm {in} }(\mathbf {q} )]=0;\quad [a_{\mathrm {in} }(\mathbf {p} ),a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {q} )]=\delta ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf {q} );}$

y se pueden utilizar para construir estados de la forma habitual:

${\displaystyle \left|k_{1},\ldots ,k_{n}\ \mathrm {in} \right\rangle ={\sqrt {2\omega _{k_{1}}}}a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {k} _{1})\ldots {\sqrt {2\omega _{k_{n}}}}a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {k} _{n})|0\rangle }$

La relación entre el campo interactivo y el campo interior no es muy sencilla de utilizar, y la presencia de la función de Green retardada nos tienta a escribir algo como:

${\displaystyle \varphi (x)\sim {\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)\qquad \mathrm {as} \quad x^{0}\to -\infty }$

implícitamente se supone que todas las interacciones se vuelven insignificantes cuando las partículas están lejos unas de otras. Sin embargo, la j ( x ) actual contiene también autointeracciones como las que producen el cambio de masa de m ₀ a m . Estas interacciones no desaparecen a medida que las partículas se separan, por lo que se debe tener mucho cuidado al establecer relaciones asintóticas entre el campo que interactúa y el campo interno .

La prescripción correcta, desarrollada por Lehmann, Symanzik y Zimmermann, requiere dos estados normalizables y y una solución normalizable f  ( x ) de la ecuación de Klein-Gordon . Con estas piezas se puede enunciar una relación asintótica correcta y útil pero muy débil: ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |\beta \rangle }$  ${\displaystyle (\partial ^{2}+m^{2})f(x)=0}$

${\displaystyle \lim _{x^{0}\to -\infty }\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi (x)|\beta \rangle ={\sqrt {Z}}\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)|\beta \rangle }$

De hecho, el segundo miembro es independiente del tiempo, como se puede demostrar diferenciando y recordando que tanto φ _in como f satisfacen la ecuación de Klein-Gordon.  

Con los cambios apropiados se pueden seguir los mismos pasos para construir un campo externo que desarrolle estados . En particular, la definición del campo exterior es:

${\displaystyle \varphi (x)={\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {out} }(x)+\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {adv} }(x-y)j(y)}$

donde Δ _adv ( x − y ) es la función de Green avanzada del operador de Klein-Gordon. La relación asintótica débil entre el campo externo y el campo interactuante es:

${\displaystyle \lim _{x^{0}\to \infty }\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi (x)|\beta \rangle ={\sqrt {Z}}\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi _{\mathrm {out} }(x)|\beta \rangle }$

La fórmula de reducción de escalares.

Las relaciones asintóticas son todo lo que se necesita para obtener la fórmula de reducción LSZ. Para mayor comodidad comenzamos con el elemento de la matriz:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})|\alpha \ \mathrm {in} \rangle }$

que es un poco más general que un elemento de matriz S. De hecho, es el valor esperado del producto ordenado en el tiempo de una serie de campos entre un estado de salida y un estado de entrada . El estado exterior puede contener cualquier cosa, desde el vacío hasta un número indefinido de partículas, cuyos momentos se resumen en el índice β . El estado in contiene al menos una partícula de momento p , y posiblemente muchas otras, cuyos momentos se resumen en el índice α . Si no hay campos en el producto ordenado por tiempo, entonces obviamente es un elemento de matriz S. La partícula con impulso p se puede "extraer" del estado in mediante el uso de un operador de creación: ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \varphi (y_{1})\cdots \varphi (y_{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\sqrt {2\omega _{p}}}\ \left\langle \beta \ \mathrm {out} {\bigg |}\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {p} ){\bigg |}\alpha '\ \mathrm {in} \right\rangle }$

donde el número primo indica que se ha eliminado una partícula. Suponiendo que no hay ninguna partícula con momento p en el estado exterior , es decir, ignoramos la dispersión directa, podemos escribir: ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\sqrt {2\omega _{p}}}\ \left\langle \beta \ \mathrm {out} {\bigg |}\left\{\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {p} )-a_{\mathrm {out} }^{\dagger }(\mathbf {p} )\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\right\}{\bigg |}\alpha '\ \mathrm {in} \right\rangle }$

porque actuar por la izquierda da cero. Expresando los operadores de construcción en términos de campos de entrada y salida , tenemos: ${\displaystyle a_{\mathrm {out} }^{\dagger }}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {2\omega _{p}}}\ \int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\left\langle \beta \ \mathrm {out} {\bigg |}\left\{\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\varphi _{\mathrm {in} }(x)-\varphi _{\mathrm {out} }(x)\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\right\}{\bigg |}\alpha '\ \mathrm {in} \right\rangle }$

Ahora podemos usar la condición asintótica para escribir:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\left\{\lim _{x^{0}\to -\infty }\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\varphi (x)|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle -\lim _{x^{0}\to \infty }\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\varphi (x)\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle \right\}}$

Luego notamos que el campo φ ( x ) puede llevarse dentro del producto ordenado en el tiempo, ya que aparece a la derecha cuando x ⁰ → −∞ y a la izquierda cuando x ⁰ → ∞ :

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\left(\lim _{x^{0}\to -\infty }-\lim _{x^{0}\to \infty }\right)\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle }$

En lo siguiente, lo que importa es la dependencia x en el producto ordenado en el tiempo, por lo que establecemos:

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle =\eta (x)}$

Se puede demostrar realizando explícitamente la integración temporal que: ^{[nota 2]}

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} (x^{0})\partial _{0}\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\eta (x)}$

de modo que, por derivación explícita del tiempo, tenemos:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} ^{4}x\left\{f_{p}(x)\partial _{0}^{2}\eta (x)-\eta (x)\partial _{0}^{2}f_{p}(x)\right\}}$

Por su definición vemos que f _p  ( x ) es una solución de la ecuación de Klein-Gordon, que puede escribirse como: 

${\displaystyle \partial _{0}^{2}f_{p}(x)=\left(\Delta -m^{2}\right)f_{p}(x)}$

Sustituyendo en la expresión por e integrando por partes llegamos a: ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} ^{4}xf_{p}(x)\left(\partial _{0}^{2}-\Delta +m^{2}\right)\eta (x)}$

Eso es:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {i}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\int \mathrm {d} ^{4}xe^{-ip\cdot x}\left(\Box +m^{2}\right)\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle }$

A partir de este resultado, y siguiendo el mismo camino, se puede extraer otra partícula del estado in , dando lugar a la inserción de otro campo en el producto ordenado en el tiempo. Una rutina muy similar puede extraer partículas del estado exterior , y las dos pueden iterarse para obtener vacío tanto a la derecha como a la izquierda del producto ordenado en el tiempo, lo que lleva a la fórmula general:

${\displaystyle \langle p_{1},\ldots ,p_{n}\ \mathrm {out} |q_{1},\ldots ,q_{m}\ \mathrm {in} \rangle =\int \prod _{i=1}^{m}\left\{\mathrm {d} ^{4}x_{i}{\frac {ie^{-iq_{i}\cdot x_{i}}\left(\Box _{x_{i}}+m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\prod _{j=1}^{n}\left\{\mathrm {d} ^{4}y_{j}{\frac {ie^{ip_{j}\cdot y_{j}}\left(\Box _{y_{j}}+m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\langle \Omega |\mathrm {T} \varphi (x_{1})\ldots \varphi (x_{m})\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})|\Omega \rangle }$

Cuál es la fórmula de reducción LSZ para los escalares de Klein-Gordon. Obtiene un aspecto mucho mejor si se escribe usando la transformada de Fourier de la función de correlación:

${\displaystyle \Gamma \left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)=\int \prod _{i=1}^{n}\left\{\mathrm {d} ^{4}x_{i}e^{ip_{i}\cdot x_{i}}\right\}\langle \Omega |\mathrm {T} \ \varphi (x_{1})\ldots \varphi (x_{n})|\Omega \rangle }$

Usando la transformada inversa para sustituir en la fórmula de reducción LSZ, con algo de esfuerzo, se puede obtener el siguiente resultado:

${\displaystyle \langle p_{1},\ldots ,p_{n}\ \mathrm {out} |q_{1},\ldots ,q_{m}\ \mathrm {in} \rangle =\prod _{i=1}^{m}\left\{-{\frac {i\left(p_{i}^{2}-m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\prod _{j=1}^{n}\left\{-{\frac {i\left(q_{j}^{2}-m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\Gamma \left(p_{1},\ldots ,p_{n};-q_{1},\ldots ,-q_{m}\right)}$

Dejando de lado los factores de normalización, esta fórmula afirma que los elementos de la matriz S son los residuos de los polos que surgen en la transformada de Fourier de las funciones de correlación cuando los cuatro momentos se colocan en la capa.

Fórmula de reducción de fermiones.

Recuerde que las soluciones de la ecuación de Dirac de campo libre cuantificada se pueden escribir como

${\displaystyle \Psi (x)=\sum _{s=\pm }\int \!\mathrm {d} {\tilde {p}}{\big (}b_{\textbf {p}}^{s}u_{\textbf {p}}^{s}\mathrm {e} ^{ip\cdot x}+d_{\textbf {p}}^{\dagger s}v_{\textbf {p}}^{s}\mathrm {e} ^{-ip\cdot x}{\big )},}$

donde la firma métrica es mayormente positiva, es un operador de aniquilación para partículas de momento y espín de tipo b , es un operador de creación para partículas de espín de tipo d , y los espinores y satisfacen y . La medida invariante de Lorentz se escribe como , con . Consideremos ahora un evento de dispersión que consiste en un estado de entrada de partículas que no interactúan que se acercan a una región de interacción en el origen, donde se produce la dispersión, seguido de un estado de salida de partículas que no interactúan. La amplitud de probabilidad para este proceso está dada por ${\displaystyle b_{\textbf {p}}^{s}}$ ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ ${\displaystyle s=\pm }$ ${\displaystyle d_{\textbf {p}}^{\dagger s}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle u_{\textbf {p}}^{s}}$ ${\displaystyle v_{\textbf {p}}^{s}}$ ${\displaystyle (p\!\!\!/+m)u_{\textbf {p}}^{s}=0}$ ${\displaystyle (p\!\!\!/-m)v_{\textbf {p}}^{s}=0}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\tilde {p}}:=\mathrm {d} ^{3}p/(2\pi )^{3}2\omega _{\textbf {p}}}$ ${\displaystyle \omega _{\textbf {p}}={\sqrt {{\textbf {p}}^{2}+m^{2}}}}$ ${\displaystyle |\alpha \ \mathrm {in} \rangle }$ ${\displaystyle |\beta \ \mathrm {out} \rangle }$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle \beta \ \mathrm {out} |\alpha \ \mathrm {in} \rangle ,}$

donde no se ha insertado ningún producto pedido por tiempo adicional de los operadores de campo, por simplicidad. La situación considerada será la dispersión de partículas de tipo b en partículas de tipo b. Supongamos que el estado de entrada consta de partículas con momentos y espines , mientras que el estado de salida contiene partículas de momentos y espines . Los estados de entrada y salida vienen dados por ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n'}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{{\textbf {p}}_{1},...,{\textbf {p}}_{n}\}}$ ${\displaystyle \{s_{1},...,s_{n}\}}$ ${\displaystyle \{{\textbf {k}}_{1},...,{\textbf {k}}_{n'}\}}$ ${\displaystyle \{\sigma _{1},...,\sigma _{n'}\}}$

${\displaystyle |\alpha \ \mathrm {in} \rangle =|{\textbf {p}}_{1}^{s_{1}},...,{\textbf {p}}_{n}^{s_{n}}\rangle \quad {\text{and}}\quad |\beta \ \mathrm {out} \rangle =|{\textbf {k}}_{1}^{\sigma _{1}},...,{\textbf {k}}_{n'}^{\sigma _{n'}}\rangle .}$

Al extraer una partícula in se obtiene un operador de creación de campo libre que actúa sobre el estado con una partícula menos. Suponiendo que ninguna partícula saliente tiene el mismo impulso, entonces podemos escribir ${\displaystyle |\alpha \ \mathrm {in} \rangle }$ ${\displaystyle b_{{\textbf {p}}_{1},\mathrm {in} }^{\dagger s_{1}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle \beta \ \mathrm {out} |b_{{\textbf {p}}_{1},\mathrm {in} }^{\dagger s_{1}}-b_{{\textbf {p}}_{1},\mathrm {out} }^{\dagger s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ,}$

donde el número primo indica que se ha eliminado una partícula. Ahora recuerde que en la teoría libre, los operadores de partículas de tipo b se pueden escribir en términos del campo usando la relación inversa ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle b_{\textbf {p}}^{\dagger s}=\int \!\mathrm {d} ^{3}x\;\mathrm {e} ^{ip\cdot x}{\bar {\Psi }}(x)\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s},}$

dónde . Denotando los campos libres asintóticos por y , encontramos ${\displaystyle {\bar {\Psi }}(x)=\Psi ^{\dagger }(x)\gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \Psi _{\text{in}}}$ ${\displaystyle \Psi _{\text{out}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\int \!\mathrm {d} ^{3}x_{1}\;\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\text{in}}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}-{\bar {\Psi }}_{\text{out}}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

La condición asintótica débil necesaria para un campo de Dirac, análoga a la de los campos escalares, es la siguiente:

${\displaystyle \lim _{x^{0}\rightarrow -\infty }\int \!\mathrm {d} ^{3}x\langle \beta |\mathrm {e} ^{ip\cdot x}{\bar {\Psi }}(x)\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s}|\alpha \rangle ={\sqrt {Z}}\int \!\mathrm {d} ^{3}x\langle \beta |\mathrm {e} ^{ip\cdot x}{\bar {\Psi }}_{\text{in}}(x)\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s}|\alpha \rangle ,}$

y lo mismo para el campo exterior . La amplitud de dispersión es entonces

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {1}{\sqrt {Z}}}{\Big (}\lim _{x_{1}^{0}\rightarrow -\infty }-\lim _{x_{1}^{0}\rightarrow +\infty }{\Big )}\int \!\mathrm {d} ^{3}x_{1}\;\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ,}$

donde ahora aparece el campo interactivo en el producto interno. Reescribiendo los límites en términos de la integral de una derivada del tiempo, tenemos

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-{\frac {1}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}\partial _{0}{\big (}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle {\big )}}$

${\displaystyle =-{\frac {1}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}(\partial _{0}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\eta (x_{1})+\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\partial _{0}\eta (x_{1}){\big )}\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}},}$

donde el vector fila de elementos matriciales del campo barrado de Dirac se escribe como . Ahora, recordemos que es una solución de la ecuación de Dirac: ${\displaystyle \eta (x_{1}):=\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle }$ ${\displaystyle \mathrm {e} ^{ip\cdot x}u_{\textbf {p}}^{s}}$

${\displaystyle (-i\partial \!\!\!/+m)\mathrm {e} ^{ip\cdot x}u_{\textbf {p}}^{s}=0.}$

Resolviendo , sustituyéndolo en el primer término de la integral y realizando una integración por partes, se obtiene ${\displaystyle \gamma ^{0}\partial _{0}\mathrm {e} ^{ip\cdot x}u_{\textbf {p}}^{s}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {i}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}{\big (}i\partial _{\mu }\eta (x_{1})\gamma ^{\mu }+\eta (x_{1})m{\big )}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}.}$

Cambiar a la notación de índice de Dirac (con sumas sobre índices repetidos) permite una expresión más clara, en la que la cantidad entre corchetes debe considerarse como un operador diferencial:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {i}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}[(i{\partial \!\!\!/}_{x_{1}}+m)u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}]_{\alpha _{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

Consideremos a continuación el elemento de la matriz que aparece en la integral. Extrayendo un operador de creación de estado externo y restando el operador de estado interno correspondiente , suponiendo que ninguna partícula entrante tiene el mismo impulso, tenemos

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle =\langle \beta '\ \mathrm {out} |b_{{\textbf {k}}_{1},\mathrm {out} }^{\sigma _{1}}{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})-{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})b_{{\textbf {k}}_{1},\mathrm {in} }^{\sigma _{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

Recordando que , donde , podemos reemplazar los operadores de aniquilación con campos in usando el adjunto de la relación inversa. Aplicando la relación asintótica, encontramos ${\displaystyle ({\bar {\Psi }}\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s})^{\dagger }={\bar {u}}_{\textbf {p}}^{s}\gamma ^{0}\Psi }$ ${\displaystyle {\bar {u}}_{\textbf {p}}^{s}:=u_{\textbf {p}}^{\dagger s}\beta }$

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ={\frac {1}{\sqrt {Z}}}{\Big (}\lim _{y_{1}^{0}\rightarrow \infty }-\lim _{y_{1}^{0}\rightarrow -\infty }{\Big )}\int \!\mathrm {d} ^{3}y_{1}\mathrm {e} ^{-ik_{1}\cdot y_{1}}[{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{1}}^{\sigma _{1}}\gamma ^{0}]_{\beta _{1}}\langle \beta '\ \mathrm {out} |\mathrm {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1}){\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

Tenga en cuenta que ha aparecido un símbolo de orden temporal, ya que el primer término requiere a la izquierda, mientras que el segundo término lo requiere a la derecha. Siguiendo los mismos pasos que antes, esta expresión se reduce a ${\displaystyle \Psi _{\beta _{1}}(y_{1})}$

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ={\frac {i}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}y_{1}\mathrm {e} ^{-ik_{1}\cdot y_{1}}[{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{1}}^{\sigma _{1}}(-i\partial \!\!\!/_{y_{1}}+m)]_{\beta _{1}}\langle \beta '\ \mathrm {out} |\mathrm {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1}){\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

El resto de los estados de entrada y salida se pueden extraer y reducir de la misma manera, lo que finalmente resulta en

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |\alpha \ \mathrm {in} \rangle =\int \!\prod _{j=1}^{n}\mathrm {d} ^{4}x_{j}{\frac {i\mathrm {e} ^{-ip_{j}x_{j}}}{\sqrt {Z}}}[(i{\partial \!\!\!/}_{x_{j}}+m)u_{{\textbf {p}}_{j}}^{s_{j}}]_{\alpha _{j}}\prod _{l=1}^{n'}\mathrm {d} ^{4}y_{l}{\frac {i\mathrm {e} ^{ik_{l}y_{l}}}{\sqrt {Z}}}[{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{l}}^{\sigma _{l}}(-i{\partial \!\!\!/}_{y_{l}}+m)]_{\beta _{l}}\langle 0|\mathrm {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1})...\Psi _{\beta _{n'}}(y_{n'}){\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})...{\bar {\Psi }}_{\alpha _{n}}(x_{n})]|0\rangle .}$

Se puede realizar el mismo procedimiento para la dispersión de partículas de tipo d, para las cuales 's se reemplazan por 's, y 's y 's se intercambian. ${\displaystyle u_{\textbf {p}}^{s}}$ ${\displaystyle v_{\textbf {p}}^{s}}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle {\bar {\Psi }}}$

Normalización de la intensidad del campo

La razón del factor de normalización Z en la definición de campos de entrada y salida se puede entender tomando la relación entre el vacío y el estado de una sola partícula con cuatro momentos en la capa: ${\displaystyle |p\rangle }$

${\displaystyle \langle 0|\varphi (x)|p\rangle ={\sqrt {Z}}\langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle +\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(x-y)\langle 0|j(y)|p\rangle }$

Recordando que tanto φ como φ _in son campos escalares con su transformada de Lorentz según:

${\displaystyle \varphi (x)=e^{iP\cdot x}\varphi (0)e^{-iP\cdot x}}$

donde P ^μ es el operador de cuatro momentos, podemos escribir:

${\displaystyle e^{-ip\cdot x}\langle 0|\varphi (0)|p\rangle ={\sqrt {Z}}e^{-ip\cdot x}\langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(0)|p\rangle +\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(x-y)\langle 0|j(y)|p\rangle }$

Aplicando el operador de Klein-Gordon ∂ ² + m ² en ambos lados, recordando que el p de cuatro momentos está en la capa y que Δ _ret es la función de Green del operador, obtenemos:

${\displaystyle 0=0+\int \mathrm {d} ^{4}y\delta ^{4}(x-y)\langle 0|j(y)|p\rangle ;\quad \Leftrightarrow \quad \langle 0|j(x)|p\rangle =0}$

Entonces llegamos a la relación:

${\displaystyle \langle 0|\varphi (x)|p\rangle ={\sqrt {Z}}\langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle }$

lo que explica la necesidad del factor Z. El campo interno es un campo libre, por lo que solo puede conectar estados de una partícula con el vacío. Es decir, su valor esperado entre el vacío y un estado de muchas partículas es nulo. Por otro lado, el campo interactivo también puede conectar estados de muchas partículas al vacío, gracias a la interacción, por lo que los valores esperados en los dos lados de la última ecuación son diferentes y necesitan un factor de normalización intermedio. El lado derecho se puede calcular explícitamente, expandiendo el campo in en los operadores de creación y aniquilación:

${\displaystyle \langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle =\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}q}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}(2\omega _{q})^{\frac {1}{2}}}}e^{-iq\cdot x}\langle 0|a_{\mathrm {in} }(\mathbf {q} )|p\rangle =\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}q}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}e^{-iq\cdot x}\langle 0|a_{\mathrm {in} }(\mathbf {q} )a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {p} )|0\rangle }$

Usando la relación de conmutación entre a _in y obtenemos: ${\displaystyle a_{\mathrm {in} }^{\dagger }}$

${\displaystyle \langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle ={\frac {e^{-ip\cdot x}}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}}$

conduciendo a la relación:

${\displaystyle \langle 0|\varphi (0)|p\rangle ={\sqrt {\frac {Z}{(2\pi )^{3}}}}}$

mediante el cual se puede calcular el valor de Z , siempre que se sepa cómo calcularlo . ${\displaystyle \langle 0|\varphi (0)|p\rangle }$

Notas

1. Se puede encontrar una derivación pedagógica de la fórmula de reducción LSZ en Peskin y Schroeder, Sección 7.2, ^[2] también en Srednicki, Sección I.5, ^[3] en Weinberg, págs. 436–438, ^[4] en Ticciati, sección 10.5 (usado para denotar operadores de creación), ^[5] o en notas de conferencias de Skaar, Universidad de Oslo. ^[6] ${\displaystyle \varphi ^{\prime }(f,t)}$
2. Sacar a los operadores del ordenamiento temporal no es del todo trivial ya que ni ni conmuta con el ordenamiento temporal . Sin embargo, cuando aplicamos los operadores diferencial e integral, los problemas se cancelan y el operador combinado conmuta con el ordenamiento temporal. ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {\Box }}+m^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {\int }}dx^{0}}$ ${\displaystyle \mathrm {T} }$

Referencias

1. Lehmann, H.; Symanzik, K.; Zimmermann, W. (enero de 1955). "Zur Formulierung quantisierter Feldtheorien". Il Nuovo Cimento (en alemán). Sociedad Italiana de Física. 1 (1): 205–225. Código Bib : 1955NCimS...1..205L. doi :10.1007/BF02731765. S2CID  121373082.
2. Peskin; Schroeder (4 de mayo de 2018). Una introducción a la teoría cuántica de campos. Prensa CRC. doi :10.1201/9780429503559. ISBN 978-0-429-50355-9.
3. Srednicki, Mark (2007). Teoría cuántica de campos. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. doi :10.1017/cbo9780511813917. ISBN 978-0-511-81391-7.
4. Weinberg, Steven (1995). La teoría cuántica de campos: volumen 1: fundamentos. vol. 1. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. doi :10.1017/cbo9781139644167. ISBN 978-0-521-67053-1.
5. Ticciati, Robin (1999). Teoría cuántica de campos para matemáticos. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. doi :10.1017/CBO9780511526428. ISBN 9780511526428.
6. Skaar, Johannes (2023). «La matriz S y la fórmula de reducción LSZ» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 9 de octubre de 2023.