Imagen de Schrödinger

Formulación de la mecánica cuántica.

En física , el cuadro de Schrödinger o representación de Schrödinger es una formulación de la mecánica cuántica en la que los vectores de estado evolucionan en el tiempo, pero los operadores (observables y otros) son en su mayoría constantes con respecto al tiempo (una excepción es el hamiltoniano que puede cambiar si el posibles cambios). ^{[1] [2]} Esto difiere de la imagen de Heisenberg que mantiene los estados constantes mientras los observables evolucionan en el tiempo, y de la imagen de interacción en la que tanto los estados como los observables evolucionan en el tiempo. Las imágenes de Schrödinger y Heisenberg están relacionadas ya que las transformaciones activas y pasivas y las relaciones de conmutación entre operadores se conservan en el paso entre las dos imágenes. ${\displaystyle V}$

En la visión de Schrödinger , el estado de un sistema evoluciona con el tiempo. La evolución de un sistema cuántico cerrado se produce mediante un operador unitario , el operador de evolución temporal . Para la evolución temporal de un vector de estado en el momento t ₀ a un vector de estado en el momento t , el operador de evolución temporal se escribe comúnmente y se tiene ${\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle }$ ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$ ${\displaystyle U(t,t_{0})}$

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$

En el caso en que el hamiltoniano H del sistema no varía con el tiempo, el operador de evolución temporal tiene la forma

${\displaystyle U(t,t_{0})=e^{-iH\cdot (t-t_{0})/\hbar },}$

donde el exponente se evalúa mediante su serie de Taylor .

La imagen de Schrödinger es útil cuando se trata de un hamiltoniano H independiente del tiempo ; eso es, . ${\displaystyle \partial _{t}H=0}$

Fondo

En mecánica cuántica elemental, el estado de un sistema mecánico-cuántico está representado por una función de onda de valor complejo ψ ( x , t ) . De manera más abstracta, el estado puede representarse como un vector de estado, o ket . Este ket es un elemento de un espacio de Hilbert , un espacio vectorial que contiene todos los estados posibles del sistema. Un operador mecánico cuántico es una función que toma un ket y devuelve algún otro ket . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi '\rangle }$

Las diferencias entre las ideas de Schrödinger y Heisenberg sobre la mecánica cuántica giran en torno a cómo abordar los sistemas que evolucionan en el tiempo: la naturaleza dependiente del tiempo del sistema debe ser transmitida por alguna combinación de los vectores de estado y los operadores. Por ejemplo, un oscilador armónico cuántico puede estar en un estado en el que el valor esperado del momento oscila de forma sinusoidal en el tiempo. Entonces podemos preguntarnos si esta oscilación sinusoidal debería reflejarse en el vector de estado , en el operador de momento o en ambos. Las tres opciones son válidas; el primero muestra el cuadro de Schrödinger, el segundo el cuadro de Heisenberg y el tercero el cuadro de interacción. ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$

El operador de evolución del tiempo.

Definición

El operador de evolución temporal U ( t , t ₀ ) se define como el operador que actúa sobre el ket en el momento t ₀ para producir el ket en algún otro momento t :

$${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$$

Para sujetadores ,

$${\displaystyle \langle \psi (t)|=\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0}).}$$

Propiedades

Unitaridad

El operador de evolución temporal debe ser unitario . Porque la norma del Estado no debe cambiar con el tiempo. Eso es,

$${\displaystyle \langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle =\langle \psi (t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$$

Por lo tanto,

$${\displaystyle U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=I.}$$

Identidad

Cuando t  = t ₀ , U es el operador identidad , ya que

$${\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle =U(t_{0},t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$$

Cierre

La evolución temporal de t ₀ a t puede verse como una evolución temporal de dos pasos, primero desde t ₀ hasta un tiempo intermedio t ₁ y luego desde t ₁ hasta el tiempo final t . Por lo tanto,

$${\displaystyle U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0}).}$$

Ecuación diferencial para el operador de evolución temporal.

Eliminamos el índice t ₀ en el operador de evolución temporal con la convención de que t ₀ = 0 y lo escribimos como U ( t ). La ecuación de Schrödinger es

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle =H|\psi (t)\rangle ,}$$

HhamiltonianoU ${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t)|\psi (0)\rangle }$

$${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)|\psi (0)\rangle =HU(t)|\psi (0)\rangle .}$$

Dado que es un ket constante (el estado ket en t = 0 ), y dado que la ecuación anterior es cierta para cualquier ket constante en el espacio de Hilbert, el operador de evolución temporal debe obedecer a la ecuación ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}U(t)=HU(t).}$$

Si el hamiltoniano es independiente del tiempo, la solución a la ecuación anterior es ^{[nota 1]}

$${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }.}$$

Dado que H es un operador, esta expresión exponencial debe evaluarse mediante su serie de Taylor :

$${\displaystyle e^{-iHt/\hbar }=1-{\frac {iHt}{\hbar }}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {Ht}{\hbar }}\right)^{2}+\cdots .}$$

Por lo tanto,

$${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle .}$$

Tenga en cuenta que es un ket arbitrario. Sin embargo, si el ket inicial es un estado propio del hamiltoniano, con valor propio E : ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$

$${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\psi (0)\rangle .}$$

Los estados propios del hamiltoniano son estados estacionarios : sólo adquieren un factor de fase general a medida que evolucionan con el tiempo.

Si el hamiltoniano depende del tiempo, pero los hamiltonianos en diferentes momentos conmutan, entonces el operador de evolución del tiempo se puede escribir como

$${\displaystyle U(t)=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right),}$$

Si el hamiltoniano depende del tiempo, pero los hamiltonianos en diferentes momentos no conmutan, entonces el operador de evolución del tiempo se puede escribir como

$${\displaystyle U(t)=\mathrm {T} \exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right),}$$

de ordenación del tiemposerie DysonFreeman Dyson

La alternativa a la imagen de Schrödinger es cambiar a un sistema de referencia giratorio, que a su vez es girado por el propagador. Dado que la rotación ondulatoria ahora la asume el propio sistema de referencia, una función de estado no perturbada parece ser verdaderamente estática. Esta es la imagen de Heisenberg .

Comparación resumida de la evolución en todas las imágenes.

Para un hamiltoniano H _S independiente del tiempo , donde H _0,S es el hamiltoniano libre,

Ver también

• Ecuación de Hamilton-Jacobi
• Imagen de interacción
• imagen de heisenberg
• Formulación del espacio de fases.
• povm
• Formulación matemática de la mecánica cuántica.
• Schrödinger funcional

Notas

1. En t = 0 , U ( t ) debe reducirse al operador de identidad.

1. Parker, CB (1994). Enciclopedia de Física McGraw Hill (2ª ed.). McGraw-Hill. págs.786, 1261. ISBN 0-07-051400-3.
2. Y. Peleg; R. Pnini; E. Zaarur; E. Hecht (2010). Mecánica cuántica . Serie de esquemas de Schuam (2ª ed.). McGraw-Hill. pag. 70.ISBN​ 978-0-07-162358-2.

Referencias

• Cohen-Tannoudji, Claude ; Bernardo Diu; Frank Laloé (1977). Mecánica Cuántica (Volumen Uno) . París: Wiley. págs. 312–314. ISBN 0-471-16433-X.
• Albert Messiah , 1966. Mecánica cuántica (Vol. I), traducción al inglés del francés por GM Temmer. Holanda del Norte, John Wiley & Sons.
• Merzbacher E. , Mecánica cuántica (3ª ed., John Wiley 1998) p. 430–1 ISBN 0-471-88702-1 
• LD Landau , EM Lifshitz (1977). Mecánica cuántica: teoría no relativista . vol. 3 (3ª ed.). Prensa de Pérgamo . ISBN 978-0-08-020940-1.copia en línea
• R. Shankar (1994); Principios de la mecánica cuántica , Plenum Press, ISBN 978-0-306-44790-7 . 
• JJ Sakurai (1993); Mecánica cuántica moderna (edición revisada), ISBN 978-0-201-53929-5 .