Ordenamiento de rutas

Procedimiento de pedido de un producto a los operadores.

En física teórica , el ordenamiento de rutas es el procedimiento (o un metaoperador ) que ordena un producto de operadores según el valor de un parámetro elegido : ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}\left\{O_{1}(\sigma _{1})O_{2}(\sigma _{2})\cdots O_{N}(\sigma _{N})\right\}\equiv O_{p_{1}}(\sigma _{p_{1}})O_{p_{2}}(\sigma _{p_{2}})\cdots O_{p_{N}}(\sigma _{p_{N}}).}$

Aquí p es una permutación que ordena los parámetros por valor:

${\displaystyle p:\{1,2,\dots ,N\}\to \{1,2,\dots ,N\}}$

${\displaystyle \sigma _{p_{1}}\leq \sigma _{p_{2}}\leq \cdots \leq \sigma _{p_{N}}.}$

Por ejemplo:

${\displaystyle {\mathcal {P}}\left\{O_{1}(4)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{4}(1)\right\}=O_{4}(1)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{1}(4).}$

Ejemplos

Si un operador no se expresa simplemente como un producto, sino como una función de otro operador, primero debemos realizar una expansión de Taylor de esta función. Este es el caso del bucle de Wilson , que se define como una exponencial ordenada por trayectoria para garantizar que el bucle de Wilson codifique la holonomía de la conexión de calibre . El parámetro σ que determina el orden es un parámetro que describe el contorno y, debido a que el contorno es cerrado, el bucle de Wilson debe definirse como una traza para que sea invariante en cuanto a calibre .

Orden de tiempo

En la teoría cuántica de campos es útil tomar el producto de operadores ordenado en el tiempo . Esta operación se denota por . (Aunque a menudo se le llama "operador de ordenación del tiempo", estrictamente hablando no es ni un operador de estados ni un superoperador de operadores). ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

Para dos operadores A ( x ) y B ( y ) que dependen de las ubicaciones del espacio-tiempo x e y definimos:

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:={\begin{cases}A(x)B(y)&{\text{if }}\tau _{x}>\tau _{y},\\\pm B(y)A(x)&{\text{if }}\tau _{x}<\tau _{y}.\end{cases}}}$

Aquí y denotamos las coordenadas de tiempo escalares invariantes de los puntos x e y. ^[1] ${\displaystyle \tau _{x}}$ ${\displaystyle \tau _{y}}$

Explícitamente tenemos

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:=\theta (\tau _{x}-\tau _{y})A(x)B(y)\pm \theta (\tau _{y}-\tau _{x})B(y)A(x),}$

donde denota la función de paso de Heaviside y depende de si los operadores son de naturaleza bosónica o fermiónica . Si es bosónico, entonces siempre se elige el signo +; si es fermiónico, entonces el signo dependerá del número de intercambios de operadores necesarios para lograr el ordenamiento temporal adecuado. Tenga en cuenta que los factores estadísticos no entran aquí. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \pm }$

Dado que los operadores dependen de su ubicación en el espacio-tiempo (es decir, no solo en el tiempo), esta operación de ordenamiento temporal solo es independiente de las coordenadas si los operadores en puntos separados en forma espacial conmutan . Esta es la razón por la que es necesario utilizar en lugar de , ya que normalmente indica el índice temporal dependiente de las coordenadas del punto espacio-temporal. Tenga en cuenta que el orden del tiempo generalmente se escribe con el argumento del tiempo aumentando de derecha a izquierda. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{0}}$

En general, para el producto de n operadores de campo A ₁ ( t ₁ ), …, An ( t _n ), el producto de operadores ordenado en el tiempo _se define de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {T}}\{A_{1}(t_{1})A_{2}(t_{2})\cdots A_{n}(t_{n})\}&=\sum _{p}\theta (t_{p_{1}}>t_{p_{2}}>\cdots >t_{p_{n}})\varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})\\&=\sum _{p}\left(\prod _{j=1}^{n-1}\theta (t_{p_{j}}-t_{p_{j+1}})\right)\varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})\end{aligned}}}$

donde la suma recorre todo p' s y el grupo simétrico de n permutaciones de grados y

${\displaystyle \varepsilon (p)\equiv {\begin{cases}1&{\text{for bosonic operators,}}\\{\text{sign of the permutation}}&{\text{for fermionic operators.}}\end{cases}}}$

La matriz S en la teoría cuántica de campos es un ejemplo de producto ordenado en el tiempo. La matriz S, que transforma el estado en t = −∞ en un estado en t = +∞ , también puede considerarse como una especie de " holonomía ", análoga al bucle de Wilson . Obtenemos una expresión ordenada en el tiempo por el siguiente motivo:

Comenzamos con esta sencilla fórmula para la exponencial

${\displaystyle \exp h=\lim _{N\to \infty }\left(1+{\frac {h}{N}}\right)^{N}.}$

Consideremos ahora el operador de evolución discretizada

${\displaystyle S=\cdots (1+h_{+3})(1+h_{+2})(1+h_{+1})(1+h_{0})(1+h_{-1})(1+h_{-2})\cdots }$

¿Dónde está el operador de evolución en un intervalo de tiempo infinitesimal ? Los términos de orden superior pueden despreciarse en el límite . El operador está definido por ${\displaystyle 1+h_{j}}$ ${\displaystyle [j\varepsilon ,(j+1)\varepsilon ]}$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle h_{j}}$

${\displaystyle h_{j}={\frac {1}{i\hbar }}\int _{j\varepsilon }^{(j+1)\varepsilon }\,dt\int d^{3}x\,H({\vec {x}},t).}$

Tenga en cuenta que los operadores de evolución en los intervalos de tiempo "pasados" aparecen en el lado derecho del producto. Vemos que la fórmula es análoga a la identidad anterior satisfecha por la exponencial, y podemos escribir

${\displaystyle S={\mathcal {T}}\exp \left(\sum _{j=-\infty }^{\infty }h_{j}\right)={\mathcal {T}}\exp \left(\int dt\,d^{3}x\,{\frac {H({\vec {x}},t)}{i\hbar }}\right).}$

La única sutileza que tuvimos que incluir fue el operador de ordenamiento por tiempo porque los factores en el producto que definen S arriba también estaban ordenados por tiempo (y los operadores no viajan diariamente al trabajo en general) y el operador se asegura de que este ordenamiento se preserve. ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

Ver también

• Exponencial ordenado (esencialmente el mismo concepto)
• Teoría del calibre
• matriz S

Referencias

1. Steven Weinberg , La teoría cuántica de campos , vol. 3, Cambridge University Press, 1995, ISBN  0-521-55001-7 , pág. 143.