Potencial escalar

Cuando la diferencia de energía potencial depende únicamente del desplazamiento

En física matemática , el potencial escalar describe la situación en la que la diferencia en las energías potenciales de un objeto en dos posiciones diferentes depende solo de las posiciones, no del camino tomado por el objeto al viajar de una posición a la otra. Es un campo escalar en tres espacios : un valor sin dirección ( escalar ) que depende solo de su ubicación. Un ejemplo conocido es la energía potencial debida a la gravedad .

Campo vectorial (derecha) y potencial escalar correspondiente (izquierda).

Un potencial escalar es un concepto fundamental en el análisis vectorial y la física (el adjetivo escalar se omite con frecuencia si no hay peligro de confusión con potencial vectorial ). El potencial escalar es un ejemplo de un campo escalar . Dado un campo vectorial F , el potencial escalar P se define de manera que: ^[1] donde ∇ P es el gradiente de P y la segunda parte de la ecuación es menos el gradiente para una función de las coordenadas cartesianas x, y, z . ^[a] En algunos casos, los matemáticos pueden usar un signo positivo delante del gradiente para definir el potencial. ^[2] Debido a esta definición de P en términos del gradiente, la dirección de F en cualquier punto es la dirección de la disminución más pronunciada de P en ese punto, su magnitud es la tasa de esa disminución por unidad de longitud. $${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla P=-\left({\frac {\partial P}{\partial x}},{\frac {\partial P}{\partial y}},{\frac {\partial P}{\partial z}}\right),}$$

Para que F pueda describirse únicamente en términos de un potencial escalar, cualquiera de las siguientes afirmaciones equivalentes debe ser verdadera:

1. ${\displaystyle -\int _{a}^{b}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} =P(\mathbf {b} )-P(\mathbf {a} ),}$donde la integración es sobre un arco de Jordan que pasa desde la ubicación a a la ubicación b y P ( b ) es P evaluado en la ubicación b .
2. ${\displaystyle \oint \mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} =0,}$donde la integral es sobre cualquier camino cerrado simple, también conocida como curva de Jordan .
3. ${\displaystyle {\nabla }\times {\mathbf {F} }=0.}$

La primera de estas condiciones representa el teorema fundamental del gradiente y es verdadera para cualquier campo vectorial que sea un gradiente de un campo escalar unidimensional diferenciable P . La segunda condición es un requisito de F para que pueda expresarse como el gradiente de una función escalar. La tercera condición reexpresa la segunda condición en términos del rotacional de F utilizando el teorema fundamental del rotacional . Un campo vectorial F que satisface estas condiciones se dice que es irrotacional (conservativo).

Pozo de potencial gravitacional de masa creciente donde F = –∇ P

Los potenciales escalares desempeñan un papel destacado en muchas áreas de la física y la ingeniería. El potencial de gravedad es el potencial escalar asociado a la gravedad por unidad de masa, es decir, la aceleración debida al campo, en función de la posición. El potencial de gravedad es la energía potencial gravitatoria por unidad de masa. En electrostática, el potencial eléctrico es el potencial escalar asociado al campo eléctrico , es decir, a la fuerza electrostática por unidad de carga . El potencial eléctrico es en este caso la energía potencial electrostática por unidad de carga. En dinámica de fluidos , los campos lamelares irrotacionales tienen un potencial escalar solo en el caso especial en que se trata de un campo laplaciano . Ciertos aspectos de la fuerza nuclear pueden describirse mediante un potencial de Yukawa . El potencial desempeña un papel destacado en las formulaciones lagrangianas y hamiltonianas de la mecánica clásica . Además, el potencial escalar es la cantidad fundamental en la mecánica cuántica .

No todos los campos vectoriales tienen un potencial escalar. Los que sí lo tienen se denominan conservativos , lo que corresponde a la noción de fuerza conservativa en física. Entre los ejemplos de fuerzas no conservativas se incluyen las fuerzas de fricción, las fuerzas magnéticas y, en mecánica de fluidos, un campo solenoidal o campo de velocidad. Sin embargo, según el teorema de descomposición de Helmholtz , todos los campos vectoriales se pueden describir en términos de un potencial escalar y un potencial vectorial correspondiente . En electrodinámica, los potenciales escalar y vectorial electromagnéticos se conocen juntos como el potencial electromagnético de cuatro potenciales .

Condiciones de integrabilidad

Si F es un campo vectorial conservativo (también llamado irrotacional , libre de rizo o potencial ), y sus componentes tienen derivadas parciales continuas , el potencial de F con respecto a un punto de referencia r ₀ se define en términos de la integral de línea : donde C es una trayectoria parametrizada de r ₀ a r , $${\displaystyle V(\mathbf {r} )=-\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =-\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt,}$$ $${\displaystyle \mathbf {r} (t),a\leq t\leq b,\mathbf {r} (a)=\mathbf {r_{0}} ,\mathbf {r} (b)=\mathbf {r} .}$$

El hecho de que la integral de línea dependa de la trayectoria C solo a través de sus puntos terminales r ₀ y r es, en esencia, la propiedad de independencia de trayectoria de un campo vectorial conservativo. El teorema fundamental de las integrales de línea implica que si V se define de esta manera, entonces F = –∇ V , de modo que V es un potencial escalar del campo vectorial conservativo F . El potencial escalar no está determinado solo por el campo vectorial: de hecho, el gradiente de una función no se ve afectado si se le agrega una constante. Si V se define en términos de la integral de línea, la ambigüedad de V refleja la libertad en la elección del punto de referencia r ₀ .

Altitud como energía potencial gravitatoria

campo gravitacional uniforme cerca de la superficie de la Tierra

Representación gráfica de un corte bidimensional del potencial gravitatorio en el interior y alrededor de un cuerpo esférico uniforme. Los puntos de inflexión del corte transversal se encuentran en la superficie del cuerpo.

Un ejemplo es el campo gravitatorio (casi) uniforme cerca de la superficie de la Tierra. Tiene una energía potencial donde U es la energía potencial gravitatoria y h es la altura sobre la superficie. Esto significa que la energía potencial gravitatoria en un mapa de contornos es proporcional a la altitud. En un mapa de contornos, el gradiente negativo bidimensional de la altitud es un campo vectorial bidimensional, cuyos vectores siempre son perpendiculares a los contornos y también perpendiculares a la dirección de la gravedad. Pero en la región montañosa representada por el mapa de contornos, el gradiente negativo tridimensional de U siempre apunta directamente hacia abajo en la dirección de la gravedad; F . Sin embargo, una pelota que rueda cuesta abajo no puede moverse directamente hacia abajo debido a la fuerza normal de la superficie de la colina, que cancela el componente de la gravedad perpendicular a la superficie de la colina. El componente de la gravedad que queda para mover la pelota es paralelo a la superficie: donde θ es el ángulo de inclinación y el componente de F _S perpendicular a la gravedad es Esta fuerza F _P , paralela al suelo, es mayor cuando θ es 45 grados. $${\displaystyle U=mgh}$$ $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {S} }=-mg\ \sin \theta }$$ $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {P} }=-mg\ \sin \theta \ \cos \theta =-{1 \over 2}mg\sin 2\theta .}$$

Sea Δ h el intervalo uniforme de altitud entre los contornos en el mapa de contornos, y sea Δ x la distancia entre dos contornos. Entonces , de modo que Sin embargo, en un mapa de contornos, el gradiente es inversamente proporcional a Δ x , que no es similar a la fuerza F _P : la altitud en un mapa de contornos no es exactamente un campo potencial bidimensional. Las magnitudes de las fuerzas son diferentes, pero las direcciones de las fuerzas son las mismas en un mapa de contornos así como en la región montañosa de la superficie de la Tierra representada por el mapa de contornos. $${\displaystyle \theta =\tan ^{-1}{\frac {\Delta h}{\Delta x}}}$$ $${\displaystyle F_{P}=-mg{\Delta x\,\Delta h \over \Delta x^{2}+\Delta h^{2}}.}$$

Presión como potencial de flotación

En mecánica de fluidos , un fluido en equilibrio, pero en presencia de un campo gravitatorio uniforme, está atravesado por una fuerza de flotación uniforme que anula la fuerza gravitatoria: así es como el fluido mantiene su equilibrio. Esta fuerza de flotación es el gradiente negativo de presión : $${\displaystyle \mathbf {f_{B}} =-\nabla p.}$$

Como la fuerza de flotación apunta hacia arriba, en dirección opuesta a la gravedad, la presión en el fluido aumenta hacia abajo. La presión en una masa de agua estática aumenta proporcionalmente a la profundidad bajo la superficie del agua. Las superficies de presión constante son planos paralelos a la superficie, que pueden caracterizarse como el plano de presión cero.

Si el líquido tiene un vórtice vertical (cuyo eje de rotación es perpendicular a la superficie), entonces el vórtice provoca una depresión en el campo de presión. La superficie del líquido dentro del vórtice es atraída hacia abajo, al igual que cualquier superficie de igual presión que permanezca paralela a la superficie del líquido. El efecto es más fuerte dentro del vórtice y disminuye rápidamente con la distancia desde el eje del vórtice.

La fuerza de flotación debida a un fluido sobre un objeto sólido sumergido y rodeado por ese fluido se puede obtener integrando el gradiente de presión negativa a lo largo de la superficie del objeto: $${\displaystyle F_{B}=-\oint _{S}\nabla p\cdot \,d\mathbf {S} .}$$

Potencial escalar en el espacio euclidiano

En el espacio euclidiano tridimensional , ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ el potencial escalar de un campo vectorial irrotacional E está dado por donde dV ( r' ) es un elemento de volumen infinitesimal con respecto a r' . Entonces Esto se cumple siempre que E sea continua y se desvanezca asintóticamente a cero hacia el infinito, decayendo más rápido que 1/ r y si la divergencia de E también se desvanece hacia el infinito, decayendo más rápido que 1/ r ² . $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\operatorname {div} \mathbf {E} (\mathbf {r} ')}{\left\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right\|}}\,dV(\mathbf {r} ')}$$ $${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \Phi =-{\frac {1}{4\pi }}\mathbf {\nabla } \int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\operatorname {div} \mathbf {E} (\mathbf {r} ')}{\left\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right\|}}\,dV(\mathbf {r} ')}$$

Escrito de otra manera, sea el potencial newtoniano . Esta es la solución fundamental de la ecuación de Laplace , lo que significa que el laplaciano de Γ es igual al negativo de la función delta de Dirac : Entonces el potencial escalar es la divergencia de la convolución de E con Γ : $${\displaystyle \Gamma (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}{\frac {1}{\|\mathbf {r} \|}}}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\Gamma (\mathbf {r} )+\delta (\mathbf {r} )=0.}$$ $${\displaystyle \Phi =\operatorname {div} (\mathbf {E} *\Gamma ).}$$

De hecho, la convolución de un campo vectorial irrotacional con un potencial invariante a la rotación también es irrotacional. Para un campo vectorial irrotacional G , se puede demostrar que Por lo tanto, como se requiere. $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {G} =\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot {}\mathbf {G} ).}$$ $${\displaystyle \nabla \operatorname {div} (\mathbf {E} *\Gamma )=\nabla ^{2}(\mathbf {E} *\Gamma )=\mathbf {E} *\nabla ^{2}\Gamma =-\mathbf {E} *\delta =-\mathbf {E} }$$

De manera más general, la fórmula se cumple en el espacio euclidiano n -dimensional ( n > 2 ) con el potencial newtoniano dado entonces por donde ω _n es el volumen de la unidad n -esfera. La prueba es idéntica. Alternativamente, la integración por partes (o, más rigurosamente, las propiedades de convolución ) da $${\displaystyle \Phi =\operatorname {div} (\mathbf {E} *\Gamma )}$$ $${\displaystyle \Gamma (\mathbf {r} )={\frac {1}{n(n-2)\omega _{n}\|\mathbf {r} \|^{n-2}}}}$$ $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{n\omega _{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {\mathbf {E} (\mathbf {r} ')\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\|^{n}}}\,dV(\mathbf {r} ').}$$

Véase también

• Teorema del gradiente
• Teorema fundamental del análisis vectorial
• Líneas y superficies equipotenciales (isopotenciales)

Notas

1. La segunda parte de esta ecuación sólo es válida para coordenadas cartesianas, otros sistemas de coordenadas como las coordenadas cilíndricas o esféricas tendrán representaciones más complicadas, derivadas del teorema fundamental del gradiente .

Referencias

1. Goldstein, Herbert. Mecánica clásica (2.ª ed.). Págs. 3-4. ISBN 978-0-201-02918-5.
2. Véase [1] para un ejemplo en el que el potencial se define sin un negativo. Otras referencias como Louis Leithold, The Calculus with Analytic Geometry (5.ª ed.), pág. 1199Evite utilizar el término potencial al resolver una función a partir de su gradiente.

Enlaces externos

• Medios relacionados con Potencial escalar en Wikimedia Commons