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Mecánica hamiltoniana

Sir William Rowan Hamilton

En física , la mecánica hamiltoniana es una reformulación de la mecánica lagrangiana que surgió en 1833. Introducida por Sir William Rowan Hamilton , [1] la mecánica hamiltoniana reemplaza las velocidades (generalizadas) utilizadas en la mecánica lagrangiana por momentos (generalizados) . Ambas teorías proporcionan interpretaciones de la mecánica clásica y describen los mismos fenómenos físicos.

La mecánica hamiltoniana tiene una estrecha relación con la geometría (en particular, la geometría simpléctica y las estructuras de Poisson ) y sirve como vínculo entre la mecánica clásica y la cuántica .

Descripción general

Coordenadas del espacio de fase (pag,q) y hamiltonianoh

Sea un sistema mecánico con el espacio de configuración y el lagrangiano suave. Seleccione un sistema de coordenadas estándar en Las cantidades se llaman momentos . (También momentos generalizados , momentos conjugados y momentos canónicos ). Para un instante de tiempo, la transformación de Legendre se define como el mapa que se supone tiene una inversa suave. Para un sistema con grados de libertad, la mecánica lagrangiana define la función de energía

La transformada de Legendre se convierte en una función conocida como hamiltoniana . El hamiltoniano satisface, lo que implica que donde las velocidades se encuentran a partir de la ecuación (-dimensional) que, por supuesto, tiene solución única para . El par (-dimensional) se llama coordenadas del espacio de fase . (También coordenadas canónicas ).

De la ecuación de Euler-Lagrange a las ecuaciones de Hamilton

En coordenadas del espacio de fase ⁠ ⁠ , la ecuación ( -dimensional) de Euler-Lagrange se convierte en las ecuaciones de Hamilton en dimensiones

Prueba

El hamiltoniano es la transformada de Legendre del lagrangiano , por lo que se tiene

y por lo tanto

Además, dado que las ecuaciones de Euler-Lagrange producen

Del principio de acción estacionaria a las ecuaciones de Hamilton

Sea el conjunto de caminos suaves para los cuales y La acción funcional se define mediante dónde y (ver arriba). Una trayectoria es un punto estacionario ( y por tanto es una ecuación de movimiento) si y sólo si la trayectoria en las coordenadas del espacio de fase obedece a las ecuaciones de Hamilton.

Interpretación física básica

Una interpretación simple de la mecánica hamiltoniana proviene de su aplicación a un sistema unidimensional que consta de una partícula no relativista de masa m . El valor del hamiltoniano es la energía total del sistema, en este caso la suma de la energía cinética y potencial , tradicionalmente denotadas como T y V , respectivamente. Aquí p es el momento mv y q es la coordenada espacial. Entonces T es función de p únicamente, mientras que V es función de q únicamente (es decir, T y V son escleronómicos ).

En este ejemplo, la derivada temporal de q es la velocidad, por lo que la primera ecuación de Hamilton significa que la velocidad de la partícula es igual a la derivada de su energía cinética con respecto a su momento. La derivada temporal del momento p es igual a la fuerza newtoniana , por lo que la segunda ecuación de Hamilton significa que la fuerza es igual al gradiente negativo de energía potencial.

Ejemplo

Un péndulo esférico consta de una masa m que se mueve sin fricción sobre la superficie de una esfera . Las únicas fuerzas que actúan sobre la masa son la reacción de la esfera y la gravedad . Las coordenadas esféricas se utilizan para describir la posición de la masa en términos de ( r , θ , φ ) , donde r es fijo, r = .

Péndulo esférico : ángulos y velocidades.

El lagrangiano para este sistema es [2]

Así, el hamiltoniano es donde y En términos de coordenadas y momentos, el hamiltoniano lee Las ecuaciones de Hamilton dan la evolución temporal de las coordenadas y conjugan los momentos en cuatro ecuaciones diferenciales de primer orden, Momentum , que corresponde a la componente vertical del momento angular , es una constante de movimiento. Esto es consecuencia de la simetría rotacional del sistema alrededor del eje vertical. Al estar ausente del hamiltoniano, el acimut es una coordenada cíclica , lo que implica la conservación de su momento conjugado.

Derivando las ecuaciones de Hamilton

Las ecuaciones de Hamilton se pueden derivar mediante un cálculo con el lagrangiano ⁠ ⁠ , posiciones generalizadas q i y velocidades generalizadas.qyo , donde⁠⁠.[3]Aquí trabajamosfuera del caparazón, lo que significa que⁠⁠,⁠⁠,⁠⁠son coordenadas independientes en el espacio de fase, que no están obligadas a seguir ninguna ecuación de movimiento (en particular,no es una derivada de). Eldiferencial totaldel lagrangiano es: Las coordenadas de momento generalizadas se definieron como, por lo que podemos reescribir la ecuación como:

Después de reordenar se obtiene:

El término entre paréntesis en el lado izquierdo es simplemente el hamiltoniano definido anteriormente, por lo tanto:

También se puede calcular el diferencial total del hamiltoniano con respecto a las coordenadas , , en lugar de , , , obteniendo:

Ahora podemos equiparar estas dos expresiones para ⁠ ⁠ , una en términos de ⁠ ⁠ y la otra en términos de ⁠ ⁠ :

Dado que estos cálculos son diferentes, se pueden equiparar los coeficientes respectivos de ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ en los dos lados:

En el caparazón, se sustituyen funciones paramétricas que definen una trayectoria en el espacio de fase con velocidades , obedeciendo las ecuaciones de Lagrange :

Reorganizar y escribir en términos de on-shell da:

Por tanto, las ecuaciones de Lagrange son equivalentes a las ecuaciones de Hamilton:

En el caso de independiente del tiempo y , es decir , las ecuaciones de Hamilton constan de 2 n ecuaciones diferenciales de primer orden , mientras que las ecuaciones de Lagrange constan de n ecuaciones de segundo orden. Las ecuaciones de Hamilton generalmente no reducen la dificultad de encontrar soluciones explícitas, pero de ellas se pueden derivar resultados teóricos importantes, porque las coordenadas y los momentos son variables independientes con roles casi simétricos.

Las ecuaciones de Hamilton tienen otra ventaja sobre las ecuaciones de Lagrange: si un sistema tiene simetría, de modo que alguna coordenada no ocurre en el hamiltoniano (es decir, una coordenada cíclica ), la coordenada de momento correspondiente se conserva a lo largo de cada trayectoria, y esa coordenada se puede reducir a una constante en las otras ecuaciones del conjunto. Esto reduce efectivamente el problema de n coordenadas a ( n − 1) coordenadas: esta es la base de la reducción simpléctica en geometría. En el marco lagrangiano, la conservación del impulso también sigue inmediatamente; sin embargo, todas las velocidades generalizadas todavía ocurren en el lagrangiano, y aún debe resolverse un sistema de ecuaciones en n coordenadas. [4]

Los enfoques lagrangiano y hamiltoniano proporcionan la base para resultados más profundos en la mecánica clásica y sugieren formulaciones análogas en la mecánica cuántica : la formulación de integral de trayectoria y la ecuación de Schrödinger .

Propiedades del hamiltoniano

Hamiltoniano como energía total del sistema.

En su aplicación a un sistema dado, a menudo se considera que el hamiltoniano es

donde es la energía cinética y es la energía potencial. Usar esta relación puede ser más sencillo que calcular primero el lagrangiano y luego derivar el hamiltoniano del lagrangiano. Sin embargo, la relación no es cierta para todos los sistemas.

La relación es válida para sistemas no relativistas cuando se satisfacen todas las condiciones siguientes [5] [6]

donde es el tiempo, es el número de grados de libertad del sistema y cada uno es una función escalar arbitraria de .

En palabras, esto significa que la relación es verdadera si no contiene el tiempo como variable explícita (es escleronómica ), no contiene la velocidad generalizada como variable explícita y cada término de es cuadrático en velocidad generalizada.

Prueba

Antes de esta demostración, es importante abordar una ambigüedad en la notación matemática relacionada. Si bien se puede utilizar un cambio de variables para igualar , es importante tenerlo en cuenta . En este caso, el lado derecho siempre se evalúa como 0. Para realizar un cambio de variables dentro de una derivada parcial, se debe utilizar la regla de la cadena multivariable . Por tanto, para evitar ambigüedades, se deben indicar los argumentos de función de cualquier término dentro de una derivada parcial.

Además, esta prueba utiliza la notación para implicar que .

Prueba

A partir de las definiciones del hamiltoniano, de los momentos generalizados y del lagrangiano para un sistema de grados de libertad

Sustituyendo los momentos generalizados en el hamiltoniano se obtiene

Sustituyendo el lagrangiano en el resultado se obtiene

Ahora supongamos que

y también asumir que

La aplicación de estos supuestos da como resultado

A continuación supongamos que T es de la forma

donde cada uno es una función escalar arbitraria de .

Diferenciando esto con respecto a , , se obtiene

Dividir la suma, evaluar la derivada parcial y volver a unir la suma da

Sumar (esto multiplicado por ) da como resultado

Esta simplificación es el resultado del teorema de la función homogénea de Euler .

Por tanto, el hamiltoniano se convierte en

Aplicación a sistemas de masas puntuales.

Para un sistema de masas puntuales, el requisito de que sea cuadrático en velocidad generalizada siempre se cumple en el caso en que , que es un requisito de todos modos.

Prueba

Considere la energía cinética de un sistema de N masas puntuales. Si se supone que , entonces se puede demostrar que (Ver Aplicación Esclerónoma § ). Por lo tanto, la energía cinética es

La regla de la cadena para muchas variables se puede utilizar para expandir la velocidad.

Resultando en

Esto es de la forma requerida.

Conservacion de energia

Si se cumplen las condiciones para , entonces la conservación del hamiltoniano implica conservación de energía. Esto requiere la condición adicional de que no contenga el tiempo como variable explícita.

Con respecto a la formulación extendida de Euler-Lagrange (Ver Mecánica lagrangiana § Extensiones para incluir fuerzas no conservativas ), la función de disipación de Rayleigh representa la disipación de energía por naturaleza. Por tanto, la energía no se conserva cuando . Esto es similar al potencial dependiente de la velocidad.

En resumen, los requisitos que debe cumplir un sistema no relativista son [5] [6]

  1. es una función cuadrática homogénea en

Hamiltoniano de una partícula cargada en un campo electromagnético.

Una ilustración suficiente de la mecánica hamiltoniana la proporciona el hamiltoniano de una partícula cargada en un campo electromagnético . En coordenadas cartesianas, el lagrangiano de una partícula clásica no relativista en un campo electromagnético es (en unidades SI ): donde q es la carga eléctrica de la partícula, φ es el potencial escalar eléctrico y Ai son los componentes del potencial magnético. potencial vectorial que puede depender explícitamente de y .

Este lagrangiano, combinado con la ecuación de Euler-Lagrange , produce la ley de fuerza de Lorentz y se denomina acoplamiento mínimo .

Los momentos canónicos están dados por:

El hamiltoniano, como transformación de Legendre del lagrangiano, es por tanto:

Esta ecuación se utiliza frecuentemente en mecánica cuántica .

Bajo transformación de calibre : donde f ( r , t ) es cualquier función escalar del espacio y el tiempo. El lagrangiano antes mencionado, los momentos canónicos y la transformada hamiltoniana como: que todavía produce la misma ecuación de Hamilton:

En mecánica cuántica, la función de onda también sufrirá una transformación de grupo U(1) local [7] durante la Transformación de Gauge, lo que implica que todos los resultados físicos deben ser invariantes bajo transformaciones U(1) locales.

Partícula cargada relativista en un campo electromagnético.

El lagrangiano relativista para una partícula ( masa en reposo y carga ) viene dado por:

Por tanto, el momento canónico de la partícula es , es decir, la suma del momento cinético y el momento potencial.

Resolviendo para la velocidad, obtenemos

Entonces el hamiltoniano es

Esto da como resultado la ecuación de fuerza (equivalente a la ecuación de Euler-Lagrange ) de la cual se puede derivar

La derivación anterior hace uso de la identidad del cálculo vectorial :

Una expresión equivalente para el hamiltoniano en función del momento relativista (cinético), ⁠ ⁠ , es

Esto tiene la ventaja de que el momento cinético se puede medir experimentalmente, mientras que el momento canónico no. Observe que el hamiltoniano ( energía total ) puede verse como la suma de la energía relativista (cinética+reposo) , , más la energía potencial , .

De la geometría simpléctica a las ecuaciones de Hamilton

Geometría de los sistemas hamiltonianos.

El hamiltoniano puede inducir una estructura simpléctica en una variedad uniforme de dimensiones pares M 2 n de varias formas equivalentes, siendo la más conocida la siguiente: [8]

Como una forma 2 simpléctica cerrada no degenerada ω . Según el teorema de Darboux , en una pequeña vecindad alrededor de cualquier punto de M existen coordenadas locales adecuadas ( coordenadas canónicas o simplécticas ) en las que la forma simpléctica se convierte en: La forma induce un isomorfismo natural del espacio tangente con el espacio cotangente : . Esto se hace asignando un vector a la forma 1 , donde para todos . Debido a la bilinealidad y la no degeneración de , y al hecho de que , el mapeo es de hecho un isomorfismo lineal . Este isomorfismo es natural porque no cambia con el cambio de coordenadas. Repitiendo sobre todo , terminamos con un isomorfismo entre el espacio de dimensión infinita de campos vectoriales suaves y el de formas 1 suaves. Por cada y ,  

(En términos algebraicos, se diría que los módulos -y son isomorfos). Si , entonces, para cada fijo , y . Se conoce como campo vectorial hamiltoniano . La ecuación diferencial respectiva se llama ecuación de Hamilton . Aquí y es el valor (dependiente del tiempo) del campo vectorial en .

Un sistema hamiltoniano puede entenderse como un haz de fibras E en el tiempo R , siendo la fibra E t el espacio de posición en el tiempo tR. El lagrangiano es, por tanto, una función del haz de chorros J sobre E ; tomar la transformada de Legendre por fibras del lagrangiano produce una función en el paquete dual a lo largo del tiempo cuya fibra en t es el espacio cotangente T E t , que viene equipado con una forma simpléctica natural , y esta última función es el hamiltoniano. La correspondencia entre la mecánica lagrangiana y la hamiltoniana se logra con la forma única tautológica .

Cualquier función H suave de valor real en una variedad simpléctica se puede utilizar para definir un sistema hamiltoniano . La función H se conoce como "la hamiltoniana" o "la función de energía". La variedad simpléctica se denomina entonces espacio de fases . El hamiltoniano induce un campo vectorial especial en la variedad simpléctica, conocido como campo vectorial hamiltoniano .

El campo vectorial hamiltoniano induce un flujo hamiltoniano en la variedad. Esta es una familia de transformaciones de la variedad de un solo parámetro (el parámetro de las curvas se llama comúnmente "el tiempo"); es decir, una isotopía de simplectomorfismos , empezando por la identidad. Según el teorema de Liouville , cada simplectomorfismo conserva la forma del volumen en el espacio de fases . El conjunto de simplectomorfismos inducidos por el flujo hamiltoniano se denomina comúnmente "la mecánica hamiltoniana" del sistema hamiltoniano.

La estructura simpléctica induce un corchete de Poisson . El corchete de Poisson le da al espacio de funciones en la variedad la estructura de un álgebra de Lie .

Si F y G son funciones suaves en M, entonces la función suave ω ( J ( dF ), J ( dG )) está definida correctamente; se llama grupo de Poisson de funciones F y G y se denota { F , G } . El soporte de Poisson tiene las siguientes propiedades:

  1. bilinealidad
  2. antisimetría
  3. Regla de Leibniz :
  4. Identidad de Jacobi :
  5. no degeneración: si el punto x en M no es crítico para F, entonces existe una función suave G tal que ⁠ ⁠ .

Dada una función f, si existe una distribución de probabilidad ρ , entonces (dado que la velocidad espacial de fase tiene divergencia cero y la probabilidad se conserva) se puede demostrar que su derivada convectiva es cero, por lo que

Esto se llama teorema de Liouville . Cada función suave G sobre la variedad simpléctica genera una familia de simplectomorfismos de un parámetro y si { G , H } = 0 , entonces G se conserva y los simplectomorfismos son transformaciones de simetría .

Un hamiltoniano puede tener múltiples cantidades conservadas G i . Si la variedad simpléctica tiene dimensión 2 n y hay n cantidades conservadas funcionalmente independientes G i que están en involución (es decir, { G i , G j } = 0 ), entonces el hamiltoniano es integrable de Liouville . El teorema de Liouville-Arnold dice que, localmente, cualquier hamiltoniano integrable de Liouville puede transformarse mediante un simplectomorfismo en un nuevo hamiltoniano con las cantidades conservadas G i como coordenadas; las nuevas coordenadas se llaman coordenadas de ángulo de acción . El hamiltoniano transformado depende sólo de G i y, por tanto , las ecuaciones de movimiento tienen la forma simple para alguna función F. [9] Existe todo un campo que se centra en pequeñas desviaciones de los sistemas integrables regidos por el teorema KAM .

La integrabilidad de los campos vectoriales hamiltonianos es una cuestión abierta. En general, los sistemas hamiltonianos son caóticos ; Los conceptos de medida, integridad, integrabilidad y estabilidad están mal definidos.

variedades de Riemann

Un caso especial importante consiste en aquellos hamiltonianos que son formas cuadráticas , es decir, hamiltonianos que pueden escribirse como donde ⟨, ⟩ q es un producto interno que varía suavemente en las fibras T.
q
Q
, el espacio cotangente al punto q en el espacio de configuración , a veces llamado comemétrica. Este hamiltoniano se compone íntegramente del término cinético .

Si se considera una variedad de Riemann o una variedad pseudo-riemanniana , la métrica de Riemann induce un isomorfismo lineal entre los paquetes tangente y cotangente. (Ver Isomorfismo musical ). Usando este isomorfismo, se puede definir una cometrica. (En coordenadas, la matriz que define la comética es la inversa de la matriz que define la métrica). Las soluciones de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi para este hamiltoniano son entonces las mismas que las geodésicas de la variedad. En particular, el flujo hamiltoniano en este caso es lo mismo que el flujo geodésico . La existencia de tales soluciones y la integridad del conjunto de soluciones se analizan en detalle en el artículo sobre geodésicas . Véase también Geodésicas como flujos hamiltonianos .

Variedades subriemannianas

Cuando la cometrica es degenerada, entonces no es invertible. En este caso, no se tiene una variedad de Riemann, como tampoco se tiene una métrica. Sin embargo, el hamiltoniano todavía existe. En el caso en que la cometrica sea degenerada en cada punto q de la variedad espacial de configuración Q , de modo que el rango de la cometrica sea menor que la dimensión de la variedad Q , se tiene una variedad subriemanniana .

El hamiltoniano en este caso se conoce como hamiltoniano subriemanniano . Cada uno de estos hamiltonianos determina de forma única la cometrica y viceversa. Esto implica que cada variedad subriemanniana está determinada únicamente por su hamiltoniano subriemanniano, y que lo contrario es cierto: cada variedad subriemanniana tiene un hamiltoniano subriemanniano único. La existencia de geodésicas subriemannianas viene dada por el teorema de Chow-Rashevskii .

El grupo de Heisenberg continuo y de valor real proporciona un ejemplo simple de variedad subriemanniana. Para el grupo de Heisenberg, el hamiltoniano viene dado por p z no participa en el hamiltoniano.

Álgebras de Poisson

Los sistemas hamiltonianos se pueden generalizar de varias maneras. En lugar de simplemente observar el álgebra de funciones suaves sobre una variedad simpléctica , la mecánica hamiltoniana se puede formular sobre álgebras de Poisson reales unitales conmutativas generales . Un estado es un funcional lineal continuo en el álgebra de Poisson (equipado con alguna topología adecuada ) tal que para cualquier elemento A del álgebra, A 2 se asigna a un número real no negativo.

Una generalización adicional la da la dinámica de Nambu .

Generalización a la mecánica cuántica mediante el corchete de Poisson.

Las ecuaciones de Hamilton anteriores funcionan bien para la mecánica clásica , pero no para la mecánica cuántica , ya que las ecuaciones diferenciales analizadas suponen que se puede especificar la posición exacta y el momento de la partícula simultáneamente en cualquier momento. Sin embargo, las ecuaciones pueden generalizarse aún más para luego extenderse y aplicarse tanto a la mecánica cuántica como a la mecánica clásica, mediante la deformación del álgebra de Poisson sobre p y q al álgebra de corchetes de Moyal .

Específicamente, la forma más general de la ecuación de Hamilton dice donde f es alguna función de p y q , y H es el hamiltoniano. Para conocer las reglas para evaluar un corchete de Poisson sin recurrir a ecuaciones diferenciales, consulte Álgebra de Lie ; Un corchete de Poisson es el nombre del corchete de Lie en un álgebra de Poisson . Estos corchetes de Poisson pueden luego extenderse a corchetes de Moyal que corresponden a un álgebra de Lie no equivalente, como lo demuestra Hilbrand J. Groenewold , y así describir la difusión mecánica cuántica en el espacio de fases (consulte Formulación del espacio de fases y transformada de Wigner-Weyl ). Este enfoque más algebraico no sólo permite, en última instancia, extender las distribuciones de probabilidad en el espacio de fase a distribuciones de cuasi probabilidad de Wigner , sino que, en la configuración clásica del simple corchete de Poisson, también proporciona más poder para ayudar a analizar las cantidades conservadas relevantes en un sistema.

Ver también

Referencias

  1. ^ Hamilton, William Rowan, señor (1833). Sobre un método general para expresar las trayectorias de la luz y de los planetas mediante los coeficientes de una función característica. Impreso por PD Hardy. OCLC  68159539.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  2. ^ Landau y Lifshitz 1976, págs. 33-34
  3. Esta derivación sigue la línea indicada en Arnol'd 1989, págs. 65–66.
  4. ^ Goldstein, Poole y Safko 2002, págs. 347–349
  5. ^ ab Malham 2016, págs. 49–50
  6. ^ ab Landau y Lifshitz 1976, pág. 14
  7. ^ Zinn-Justin, Jean; Guida, Ricardo (4 de diciembre de 2008). "Invariancia de calibre". Scholarpedia . 3 (12): 8287. Código bibliográfico : 2008SchpJ...3.8287Z. doi : 10.4249/scholarpedia.8287 . ISSN  1941-6016.
  8. ^ Arnol'd, Kozlov y Neĩshtadt 1988, §3. Mecánica hamiltoniana.
  9. ^ Arnold'd, Kozlov y Neĩshtadt 1988

Otras lecturas

enlaces externos