Teorema de Darboux

Resultado fundacional en geometría simpléctica

En geometría diferencial , un campo de las matemáticas , el teorema de Darboux es un teorema que proporciona una forma normal para clases especiales de 1-formas diferenciales , generalizando parcialmente el teorema de integración de Frobenius . Recibe su nombre en honor a Jean Gaston Darboux ^[1], quien lo estableció como la solución del problema de Pfaff . ^[2]

Se trata de un resultado fundamental en varios campos, el principal de los cuales es la geometría simpléctica . De hecho, una de sus muchas consecuencias es que dos variedades simplécticas cualesquiera de la misma dimensión son localmente simplécticas entre sí. Es decir, cada variedad simpléctica de dimensión puede hacerse que se parezca localmente al espacio simpléctico lineal con su forma simpléctica canónica. ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

También existe una consecuencia análoga del teorema aplicado a la geometría de contacto .

Declaración

Supóngase que es una forma diferencial unidimensional en una variedad de dimensión tal que tiene rango constante . Entonces ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$ ${\displaystyle p}$

• Si está en todas partes, entonces hay un sistema local de coordenadas en el que ${\displaystyle \theta \wedge \left(\mathrm {d} \theta \right)^{p}=0}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n-p},y_{1},\ldots ,y_{p})}$ $${\displaystyle \theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{p}\,\mathrm {d} y_{p};}$$
• Si está en todas partes, entonces hay un sistema local de coordenadas en el que ${\displaystyle \theta \wedge \left(\mathrm {d} \theta \right)^{p}\neq 0}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n-p},y_{1},\ldots ,y_{p})}$ $${\displaystyle \theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{p}\,\mathrm {d} y_{p}+\mathrm {d} x_{p+1}.}$$

La prueba original de Darboux utilizó la inducción y puede presentarse de manera equivalente en términos de distribuciones ^[3] o de ideales diferenciales . ^[4] ${\displaystyle p}$

Teorema de Frobenius

El teorema de Darboux asegura que cualquier 1-forma tal que pueda escribirse como en algún sistema de coordenadas . ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle \theta \neq 0}$ ${\displaystyle \theta \wedge d\theta =0}$ ${\displaystyle \theta =dx_{1}}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$

Esto recupera una de las formulaciones del teorema de Frobenius en términos de formas diferenciales: si es el ideal diferencial generado por , entonces implica la existencia de un sistema de coordenadas donde es realmente generado por . ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset \Omega ^{*}(M)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta \wedge d\theta =0}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset \Omega ^{*}(M)}$ ${\displaystyle dx_{1}}$

Teorema de Darboux para variedades simplécticas

Supóngase que es una 2-forma simpléctica en una variedad -dimensional . En un entorno de cada punto de , por el lema de Poincaré , hay una 1-forma con . Además, satisface el primer conjunto de hipótesis del teorema de Darboux, y por lo tanto localmente hay un gráfico de coordenadas cerca en el que ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle n=2m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \theta =\omega }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{m}\,\mathrm {d} y_{m}.}$$

Tomando una derivada exterior ahora se muestra

$${\displaystyle \omega =\mathrm {d} \theta =\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} y_{1}+\ldots +\mathrm {d} x_{m}\wedge \mathrm {d} y_{m}.}$$

Se dice que el gráfico es un gráfico Darboux alrededor de . ^[5] La variedad puede estar cubierta por dichos gráficos. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$

Para decirlo de otra manera, identifíquese con dejando . Si es un gráfico de Darboux, entonces se puede escribir como el pullback de la forma simpléctica estándar en : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$ ${\displaystyle z_{j}=x_{j}+{\textit {i}}\,y_{j}}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle \omega =\varphi ^{*}\omega _{0}.\,}$

Una prueba moderna de este resultado, sin emplear la afirmación general de Darboux sobre las 1-formas, se realiza utilizando el truco de Moser . ^{[5] [6]}

Comparación con la geometría de Riemann

El teorema de Darboux para variedades simplécticas implica que no existen invariantes locales en la geometría simpléctica: siempre se puede tomar una base de Darboux válida cerca de cualquier punto dado. Esto contrasta marcadamente con la situación en la geometría de Riemann , donde la curvatura es un invariante local, lo que impide que la métrica sea localmente una suma de cuadrados de diferenciales de coordenadas.

La diferencia es que el teorema de Darboux establece que se puede hacer que la métrica adopte la forma estándar en un entorno completo alrededor de . En la geometría de Riemann, la métrica siempre se puede hacer que adopte la forma estándar en cualquier punto dado, pero no siempre en un entorno alrededor de ese punto. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle p}$

Teorema de Darboux para variedades de contacto

Otro caso particular se recupera cuando ; si en todas partes, entonces es una forma de contacto . Se puede dar una prueba más simple, como en el caso de las estructuras simplécticas, utilizando el truco de Moser . ^[7] ${\displaystyle n=2p+1}$ ${\displaystyle \theta \wedge \left(\mathrm {d} \theta \right)^{p}\neq 0}$ ${\displaystyle \theta }$

El teorema de Darboux-Weinstein

Alan Weinstein demostró que el teorema de Darboux para variedades simpléticas se puede fortalecer para que se aplique a un entorno de una subvariedad : ^[8]

Sea una variedad suave dotada de dos formas simplécticas y , y sea una subvariedad cerrada. Si , entonces existe un entorno de en y un difeomorfismo tal que . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle N\subset M}$ ${\displaystyle \left.\omega _{1}\right|_{N}=\left.\omega _{2}\right|_{N}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:U\to U}$ ${\displaystyle f^{*}\omega _{2}=\omega _{1}}$

El teorema de Darboux estándar se recupera cuando es un punto y es la estructura simpléctica estándar en un gráfico de coordenadas. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$

Este teorema también es válido para variedades de Banach de dimensión infinita .

Véase también

• Teorema de Carathéodory-Jacobi-Lie , una generalización de este teorema.
• El truco de Moser
• Base simpléctica

Referencias

1. Darboux, Gastón (1882). "Sur le problème de Pfaff" [Sobre el problema de Pfaff]. Toro. Ciencia. Matemáticas. (en francés). 6 : 14–36, 49–68. JFM  05.0196.01.
2. Pfaff, Johann Friedrich (1814-1815). "Methodus generalis, aequationes differentiarum parcialium nec non aequationes diferenciales vulgates, ultrasque primi ordinis, inter quotcunque variables, complete integrandi" [Un método general para integrar completamente ecuaciones diferenciales parciales, así como ecuaciones diferenciales ordinarias, de orden superior a uno, con cualquier número de variables]. Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften en Berlín (en latín): 76–136.
3. Sternberg, Shlomo (1964). Lecciones sobre geometría diferencial. Prentice Hall . pp. 140-141. ISBN. 9780828403160.
4. Bryant, Robert L. ; Chern, SS ; Gardner, Robert B. ; Goldschmidt, Hubert L.; Griffiths, PA (1991). "Sistemas diferenciales exteriores". Publicaciones del Instituto de Investigación en Ciencias Matemáticas . doi :10.1007/978-1-4613-9714-4. ISSN  0940-4740.
5. McDuff, Dusa ; Salamon, Dietmar (22 de junio de 2017). Introducción a la topología simpléctica. Vol. 1. Oxford University Press . doi :10.1093/oso/9780198794899.001.0001. ISBN 978-0-19-879489-9.
6. Cannas Silva, Ana (2008). Lecciones de geometría simpléctica. Springer . doi :10.1007/978-3-540-45330-7. ISBN . 978-3-540-42195-5.
7. Geiges, Hansjörg (2008). Introducción a la topología de contacto. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press . pp. 67–68. doi :10.1017/cbo9780511611438. ISBN . 978-0-521-86585-2.
8. Weinstein, Alan (1971). "Variedades simplécticas y sus subvariedades lagrangianas". Avances en Matemáticas . 6 (3): 329–346. doi : 10.1016/0001-8708(71)90020-X .

Enlaces externos

• G. Darboux, "Sobre el problema de Pfaff", traducido por DH Delphenich
• G. Darboux, "Sobre el problema de Pfaff (cont.)", traducido por DH Delphenich