Geometría simpléctica

Rama de la geometría diferencial y topología diferencial

Retrato de fase del oscilador de Van der Pol , un sistema unidimensional. El espacio de fases fue el objeto original de estudio en geometría simpléctica.

La geometría simpléctica es una rama de la geometría diferencial y la topología diferencial que estudia las variedades simplécticas ; es decir, variedades diferenciables dotadas de una 2-forma cerrada y no degenerada . La geometría simpléctica tiene su origen en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica donde el espacio de fases de ciertos sistemas clásicos adquiere la estructura de una variedad simpléctica. ^[1]

El término "simpléctico", introducido por Hermann Weyl , ^[2] es un calco de "complejo"; anteriormente, el "grupo simpléctico" había sido llamado el "grupo complejo de líneas". "Complejo" proviene del latín com-plexus , que significa "trenzado" (co- + plexus), mientras que simpléctico proviene del griego correspondiente sym-plektikos (συμπλεκτικός); en ambos casos la raíz proviene de la raíz indoeuropea *pleḱ- El nombre refleja las profundas conexiones entre las estructuras complejas y simplécticas.

Según el teorema de Darboux , las variedades simplécticas son isomorfas al espacio vectorial simpléctico estándar localmente, por lo que solo tienen invariantes globales (topológicos). "Topología simpléctica", que estudia las propiedades globales de las variedades simplécticas, se suele utilizar indistintamente con "geometría simpléctica".

Descripción general

El nombre "grupo complejo", que antes propuse en alusión a los complejos lineales, definidos por la desaparición de las formas bilineales antisimétricas, se ha vuelto cada vez más embarazoso debido a la colisión con la palabra "complejo" en la connotación de número complejo. Por lo tanto, propongo reemplazarlo por el adjetivo griego correspondiente "simpléctico". Dickson llamó al grupo "grupo lineal abeliano" en homenaje a Abel, quien lo estudió por primera vez.

Weyl (1939, pág. 165)

Una geometría simpléctica se define en un espacio par-dimensional suave que es una variedad diferenciable . En este espacio se define un objeto geométrico, la forma simpléctica 2 , que permite la medición de tamaños de objetos bidimensionales en el espacio . La forma simpléctica en la geometría simpléctica juega un papel análogo al del tensor métrico en la geometría de Riemann . Mientras que el tensor métrico mide longitudes y ángulos, la forma simpléctica mide áreas orientadas. ^[3]

La geometría simpléctica surgió del estudio de la mecánica clásica y un ejemplo de una estructura simpléctica es el movimiento de un objeto en una dimensión. Para especificar la trayectoria del objeto, se requiere tanto la posición q como el momento p , que forman un punto ( p , q ) en el plano euclidiano . En este caso, la forma simpléctica es ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle \omega =dp\wedge dq}$

y es una forma de área que mide el área A de una región S en el plano a través de la integración :

${\displaystyle A=\int _{S}\omega .}$

El área es importante porque a medida que los sistemas dinámicos conservativos evolucionan en el tiempo, esta área es invariante. ^[3]

Las geometrías simplécticas de dimensiones superiores se definen de forma análoga. Una geometría simpléctica de 2 n dimensiones está formada por pares de direcciones

${\displaystyle ((x_{1},x_{2}),(x_{3},x_{4}),\ldots (x_{2n-1},x_{2n}))}$

en una variedad 2 n -dimensional junto con una forma simpléctica

${\displaystyle \omega =dx_{1}\wedge dx_{2}+dx_{3}\wedge dx_{4}+\cdots +dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.}$

Esta forma simpléctica produce el tamaño de una región 2n-dimensional V en el espacio como la suma de las áreas de las proyecciones de V sobre cada uno de los planos formados por los pares de direcciones ^[3]

${\displaystyle A=\int _{V}\omega =\int _{V}dx_{1}\wedge dx_{2}+\int _{V}dx_{3}\wedge dx_{4}+\cdots +\int _{V}dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.}$

Comparación con la geometría de Riemann

La geometría simpléctica tiene varias similitudes y diferencias con la geometría de Riemann , que es el estudio de variedades diferenciables equipadas con 2-tensores simétricos no degenerados (llamados tensores métricos ). A diferencia del caso de Riemann, las variedades simplécticas no tienen invariantes locales como la curvatura . Esto es una consecuencia del teorema de Darboux que establece que una vecindad de cualquier punto de una variedad simpléctica de 2 n- dimensional es isomorfa a la estructura simpléctica estándar en un conjunto abierto de . Otra diferencia con la geometría de Riemann es que no toda variedad diferenciable necesita admitir una forma simpléctica; hay ciertas restricciones topológicas. Por ejemplo, toda variedad simpléctica es de dimensión par y orientable . Además, si M es una variedad simpléctica cerrada, entonces el segundo grupo de cohomología de De Rham H ² ( M ) no es trivial; Esto implica, por ejemplo, que la única n -esfera que admite una forma simpléctica es la 2-esfera . Un paralelo que se puede trazar entre ambos temas es la analogía entre las geodésicas en la geometría de Riemann y las curvas pseudoholomorfas en la geometría simpléctica: las geodésicas son curvas de longitud más corta (localmente), mientras que las curvas pseudoholomorfas son superficies de área mínima. Ambos conceptos juegan un papel fundamental en sus respectivas disciplinas. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

Ejemplos y estructuras

Toda variedad de Kähler es también una variedad simpléctica. Hasta bien entrada la década de 1970, los expertos simplécticos no estaban seguros de si existían variedades simplécticas compactas no Kähler, pero desde entonces se han construido muchos ejemplos (el primero se debe a William Thurston ); en particular, Robert Gompf ha demostrado que todo grupo finitamente presentado se presenta como el grupo fundamental de alguna 4-variedad simpléctica, en marcado contraste con el caso de Kähler.

Se puede decir que la mayoría de las variedades simplécticas no son de Kähler y, por lo tanto, no tienen una estructura compleja integrable compatible con la forma simpléctica. Sin embargo, Mikhail Gromov hizo la importante observación de que las variedades simplécticas admiten una abundancia de estructuras casi complejas compatibles , de modo que satisfacen todos los axiomas para una variedad de Kähler excepto el requisito de que las funciones de transición sean holomorfas .

Gromov utilizó la existencia de estructuras casi complejas en variedades simplécticas para desarrollar una teoría de curvas pseudoholomórficas ^[4] , que ha llevado a una serie de avances en la topología simpléctica, incluyendo una clase de invariantes simplécticos ahora conocidos como invariantes de Gromov-Witten . Más tarde, utilizando la técnica de curva pseudoholomórfica, Andreas Floer inventó otra herramienta importante en geometría simpléctica conocida como la homología de Floer ^[5] .

Véase también

• Geometría de contacto
• Mecánica geométrica
• Mapa de momentos
• Geometría de Poisson
• Integración simpléctica
• Espacio vectorial simpléctico

Notas

1. Hartnett, Kevin (9 de febrero de 2017). "Una lucha para arreglar los cimientos de la geometría". Quanta Magazine .
2. Weyl, Hermann (1939). Los grupos clásicos. Sus invariantes y representaciones. Reimpreso por Princeton University Press (1997). ISBN 0-691-05756-7. MR0000255
3. McDuff, Dusa (2010), "¿Qué es la geometría simpléctica?", en Hobbs, Catherine; Paycha, Sylvie (eds.), Mujeres europeas en matemáticas: Actas de la 13.ª reunión general , World Scientific, págs. 33-51, CiteSeerX 10.1.1.433.1953 , ISBN  9789814277686
4. Gromov, Mikhael. "Curvas pseudoholomórficas en variedades simplécticas". Inventiones mathematicae 82.2 (1985): 307–347.
5. Floer, Andreas. "Teoría de Morse para intersecciones lagrangianas". Journal of Differential Geometry 28.3 (1988): 513–547.

Referencias

• Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). Fundamentos de mecánica . Londres: Benjamin-Cummings. ISBN 978-0-8053-0102-1.
• Arnold'd, VI (1986). "Первые шаги симплектической топологии" [Primeros pasos en la topología simpléctica]. Успехи математических наук (en ruso). 41 (6(252)): 3–18. doi :10.1070/RM1986v041n06ABEH004221. ISSN  0036-0279. S2CID  250908036 – vía Encuestas matemáticas rusas , 1986, 41:6, 1–21.
• McDuff, Dusa ; Salamon, D. (1998). Introducción a la topología simpléctica . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850451-1.
• Fomenko, AT (1995). Geometría simpléctica (2.ª ed.). Gordon y Breach. ISBN 978-2-88124-901-3. (Una introducción a nivel de pregrado).
• de Gosson, Maurice A. (2006). Geometría Simpléctica y Mecánica Cuántica . Basilea: Birkhäuser Verlag. ISBN 978-3-7643-7574-4.
• Weinstein, Alan (1981). "Geometría simpléctica" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 5 (1): 1–13. doi : 10.1090/s0273-0979-1981-14911-9 .
• Weyl, Hermann (1939). Los grupos clásicos. Sus invariantes y representaciones .Reimpreso por Princeton University Press (1997). ISBN 0-691-05756-7 . MR 0000255. 

Enlaces externos

• Medios relacionados con Geometría simpléctica en Wikimedia Commons
• "Estructura simpléctica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]