Impulso

Propiedad de una masa en movimiento.

En la mecánica newtoniana , el impulso ( pl.: momentos o momentos ; más específicamente momento lineal o momento de traslación ) es el producto de la masa y la velocidad de un objeto. Es una cantidad vectorial , que posee una magnitud y una dirección. Si m es la masa de un objeto y v es su velocidad (también una cantidad vectorial), entonces el impulso del objeto p (del latín pellere "empujar, conducir") es: ${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} .}$

En el Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad de medida del momento es el kilogramo metro por segundo (kg⋅m/s), que equivale al newton-segundo .

La segunda ley del movimiento de Newton establece que la tasa de cambio del momento de un cuerpo es igual a la fuerza neta que actúa sobre él. El momento depende del sistema de referencia , pero en cualquier sistema inercial es una cantidad conservada , lo que significa que si un sistema cerrado no se ve afectado por fuerzas externas, su momento lineal total no cambia. El momento también se conserva en la relatividad especial (con una fórmula modificada) y, de forma modificada, en la electrodinámica , la mecánica cuántica , la teoría cuántica de campos y la relatividad general . Es una expresión de una de las simetrías fundamentales del espacio y el tiempo: la simetría traslacional .

Las formulaciones avanzadas de la mecánica clásica, lagrangiana y hamiltoniana , permiten elegir sistemas de coordenadas que incorporan simetrías y restricciones. En estos sistemas la cantidad conservada es el momento generalizado y, en general, es diferente del momento cinético definido anteriormente. El concepto de impulso generalizado se traslada a la mecánica cuántica, donde se convierte en un operador de una función de onda . Los operadores de impulso y posición están relacionados por el principio de incertidumbre de Heisenberg .

En sistemas continuos como campos electromagnéticos , dinámica de fluidos y cuerpos deformables , se puede definir una densidad de momento, y una versión continua de la conservación del momento conduce a ecuaciones como las ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos o la ecuación de momento de Cauchy para sólidos deformables. o fluidos.

Definición en mecánica clásica.

El momento es una cantidad vectorial : tiene magnitud y dirección. Dado que el impulso tiene una dirección, se puede utilizar para predecir la dirección resultante y la velocidad del movimiento de los objetos después de que chocan. A continuación, se describen las propiedades básicas del momento en una dimensión. Las ecuaciones vectoriales son casi idénticas a las ecuaciones escalares (ver múltiples dimensiones).

Partícula única

El momento de una partícula se representa convencionalmente con la letra p . Es el producto de dos cantidades, la masa de la partícula (representada por la letra m ) y su velocidad ( v ): ^[1]

p = metro v . {\displaystyle p=mv.}

La unidad de momento es el producto de las unidades de masa y velocidad. En unidades SI , si la masa está en kilogramos y la velocidad en metros por segundo, entonces el impulso está en kilogramos metros por segundo (kg⋅m/s). En unidades cgs , si la masa está en gramos y la velocidad en centímetros por segundo, entonces el impulso está en gramos centímetros por segundo (g⋅cm/s).

Al ser un vector, el impulso tiene magnitud y dirección. Por ejemplo, un modelo de avión de 1 kg, que viaja hacia el norte a 1 m/s en vuelo recto y nivelado, tiene un impulso de 1 kg⋅m/s hacia el norte medido con referencia al suelo.

Muchas partículas

El momento de un sistema de partículas es la suma vectorial de sus momentos. Si dos partículas tienen masas respectivas m ₁ y m ₂ y velocidades v ₁ y v ₂ , el momento total es

$${\displaystyle {\begin{aligned}p&=p_{1}+p_{2}\\&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\,.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle p=\sum _{i}m_{i}v_{i}.}$$

Un sistema de partículas tiene un centro de masa , un punto determinado por la suma ponderada de sus posiciones:

$${\displaystyle r_{\text{cm}}={\frac {m_{1}r_{1}+m_{2}r_{2}+\cdots }{m_{1}+m_{2}+\cdots }}={\frac {\sum _{i}m_{i}r_{i}}{\sum _{i}m_{i}}}.}$$

Si una o más partículas se mueven, el centro de masa del sistema generalmente también se moverá (a menos que el sistema esté en pura rotación a su alrededor). Si la masa total de las partículas es y el centro de masa se mueve a una velocidad v _cm , el momento del sistema es: ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle p=mv_{\text{cm}}.}$$

Esto se conoce como primera ley de Euler . ^{[2] [3]}

Relación con la fuerza

Si la fuerza neta F aplicada a una partícula es constante y se aplica durante un intervalo de tiempo Δ t , el momento de la partícula cambia en una cantidad

Δ p = F Δ t . {\displaystyle \Delta p=F\Delta t\,.}

En forma diferencial, ésta es la segunda ley de Newton ; la tasa de cambio del impulso de una partícula es igual a la fuerza instantánea F que actúa sobre ella, ^[1]

$${\displaystyle F={\frac {{\text{d}}p}{{\text{d}}t}}.}$$

Si la fuerza neta experimentada por una partícula cambia en función del tiempo, F ( t ) , el cambio en el momento (o impulso J ) entre los tiempos t ₁ y t ₂ es

$${\displaystyle \Delta p=J=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F(t)\,{\text{d}}t\,.}$$

El impulso se mide en las unidades derivadas del newton segundo (1 N⋅s = 1 kg⋅m/s) o dina segundo (1 dina⋅s = 1 g⋅cm/s)

Bajo el supuesto de masa constante m , equivale a escribir

$${\displaystyle F={\frac {{\text{d}}(mv)}{{\text{d}}t}}=m{\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}=ma,}$$

por tanto, la fuerza neta es igual a la masa de la partícula multiplicada por su aceleración . ^[1]

Ejemplo : un modelo de avión de 1 kg de masa acelera desde el reposo hasta una velocidad de 6 m/s hacia el norte en 2 s. La fuerza neta requerida para producir esta aceleración es de 3  newtons hacia el norte. El cambio de impulso es de 6 kg⋅m/s hacia el norte. La tasa de cambio del impulso es 3 (kg⋅m/s)/s hacia el norte, lo que equivale numéricamente a 3 newtons.

Conservación

En un sistema cerrado (uno que no intercambia materia con su entorno y sobre el que no actúan fuerzas externas), el impulso total permanece constante. Este hecho, conocido como ley de conservación del momento , está implícito en las leyes del movimiento de Newton . ^{[4] [5]} Supongamos, por ejemplo, que dos partículas interactúan. Como lo explica la tercera ley, las fuerzas entre ellos son iguales en magnitud pero opuestas en dirección. Si las partículas están numeradas 1 y 2, la segunda ley establece que F ₁ =d p _​​1/d ty F ₂ =d p _​​2/d t. Por lo tanto,

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}p_{1}}{{\text{d}}t}}=-{\frac {{\text{d}}p_{2}}{{\text{d}}t}},}$$

$${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(p_{1}+p_{2}\right)=0.}$$

Si las velocidades de las partículas son u ₁ y u ₂ antes de la interacción, y después son v ₁ y v ₂ , entonces

metro 1 tu 1 + metro 2 tu 2 = metro 1 v 1 + metro 2 v 2 . {\ Displaystyle m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2} = m_ {1} v_ {1} + m_ {2} v_ {2}.}

Esta ley se cumple por muy complicada que sea la fuerza entre partículas. De manera similar, si hay varias partículas, el momento intercambiado entre cada par de partículas suma cero, por lo que el cambio total en el momento es cero. La conservación del momento total de varias partículas que interactúan se puede expresar como ^[4]

$${\displaystyle m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}+m_{3}v_{3}+...=constant.}$$

Esta ley de conservación se aplica a todas las interacciones, incluidas las colisiones (tanto elásticas como inelásticas ) y separaciones causadas por fuerzas explosivas. ^[4] También se puede generalizar a situaciones en las que las leyes de Newton no se cumplen, por ejemplo en la teoría de la relatividad y en la electrodinámica . ^[6]

Dependencia del marco de referencia

El impulso es una cantidad mensurable y la medición depende del marco de referencia . Por ejemplo: si un avión de 1000 kg de masa vuela por el aire a una velocidad de 50 m/s, su impulso se puede calcular en 50.000 kg.m/s. Si el avión vuela con un viento en contra de 5 m/s, su velocidad relativa a la superficie de la Tierra es de sólo 45 m/s y su impulso se puede calcular en 45.000 kg.m/s. Ambos cálculos son igualmente correctos. En ambos marcos de referencia, se encontrará que cualquier cambio en el momento es consistente con las leyes relevantes de la física.

Supongamos que x es una posición en un sistema de referencia inercial. Desde el punto de vista de otro sistema de referencia, moviéndose a una velocidad constante u con respecto al otro, la posición (representada por una coordenada prima) cambia con el tiempo como

$${\displaystyle x'=x-ut\,.}$$

Esto se llama transformación galileana .

Si una partícula se mueve a una velocidadd x/d t= v en el primer marco de referencia, en el segundo, se mueve a gran velocidad

$${\displaystyle v'={\frac {{\text{d}}x'}{{\text{d}}t}}=v-u\,.}$$

Como u no cambia, el segundo sistema de referencia también es un sistema inercial y las aceleraciones son las mismas:

$${\displaystyle a'={\frac {{\text{d}}v'}{{\text{d}}t}}=a\,.}$$

Por tanto, el impulso se conserva en ambos sistemas de referencia. Además, mientras la fuerza tenga la misma forma, en ambos sistemas, la segunda ley de Newton no cambia. Fuerzas como la gravedad newtoniana, que dependen únicamente de la distancia escalar entre objetos, satisfacen este criterio. Esta independencia del marco de referencia se llama relatividad newtoniana o invariancia galileana . ^[7]

Un cambio de sistema de referencia puede, a menudo, simplificar los cálculos del movimiento. Por ejemplo, en una colisión de dos partículas, se puede elegir un sistema de referencia en el que una partícula comienza en reposo. Otro sistema de referencia comúnmente utilizado es el sistema del centro de masa , uno que se mueve con el centro de masa. En este marco, el impulso total es cero.

Aplicación a las colisiones

Si dos partículas, cada una de ellas con un momento conocido, chocan y coalescen, se puede utilizar la ley de conservación del momento para determinar el momento del cuerpo fusionado. Si el resultado de la colisión es que las dos partículas se separan, la ley no es suficiente para determinar el momento de cada partícula. Si se conoce el momento de una partícula después de la colisión, la ley se puede utilizar para determinar el momento de la otra partícula. Alternativamente, si se conoce la energía cinética combinada después de la colisión, la ley se puede utilizar para determinar el momento de cada partícula después de la colisión. ^[8] La energía cinética normalmente no se conserva. Si se conserva, la colisión se denomina colisión elástica ; si no, se trata de una colisión inelástica .

Colisiones elásticas

Colisión elástica de masas iguales.

Colisión elástica de masas desiguales.

Una colisión elástica es aquella en la que ninguna energía cinética se transforma en calor o alguna otra forma de energía. Pueden ocurrir colisiones perfectamente elásticas cuando los objetos no se tocan entre sí, como por ejemplo en la dispersión atómica o nuclear, donde la repulsión eléctrica mantiene a los objetos separados. Una maniobra de resortera de un satélite alrededor de un planeta también puede considerarse como una colisión perfectamente elástica. Un choque entre dos bolas de billar es un buen ejemplo de choque casi totalmente elástico, debido a su alta rigidez , pero cuando los cuerpos entran en contacto siempre hay cierta disipación . ^[9]

Una colisión elástica frontal entre dos cuerpos se puede representar mediante velocidades en una dimensión, a lo largo de una línea que pasa por los cuerpos. Si las velocidades son u ₁ y u ₂ antes de la colisión y v ₁ y v ₂ después, las ecuaciones que expresan la conservación del momento y la energía cinética son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\\{\tfrac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}&={\tfrac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\,.\end{aligned}}}$$

Un cambio de sistema de referencia puede simplificar el análisis de una colisión. Por ejemplo, supongamos que hay dos cuerpos de igual masa m , uno estacionario y el otro se acerca al otro con una velocidad v (como en la figura). El centro de masa se mueve a gran velocidad.v/2y ambos cuerpos se mueven hacia él a gran velocidadv/2. Debido a la simetría, después de la colisión ambos deben alejarse del centro de masa a la misma velocidad. Sumando la velocidad del centro de masa a ambos, encontramos que el cuerpo que se movía ahora está detenido y el otro se aleja con velocidad v . Los cuerpos han intercambiado sus velocidades. Independientemente de las velocidades de los cuerpos, un cambio al centro de masa nos lleva a la misma conclusión. Por tanto, las velocidades finales vienen dadas por ^[4]

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}&=u_{2}\\v_{2}&=u_{1}\,.\end{aligned}}}$$

En general, cuando se conocen las velocidades iniciales, las velocidades finales vienen dadas por ^[10]

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}&=\left({\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{1}+\left({\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{2}\\v_{2}&=\left({\frac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{2}+\left({\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{1}\,.\end{aligned}}}$$

Si un cuerpo tiene una masa mucho mayor que el otro, su velocidad se verá poco afectada por una colisión, mientras que el otro cuerpo experimentará un gran cambio.

Colisiones inelásticas

una colisión perfectamente inelástica entre masas iguales

En una colisión inelástica, parte de la energía cinética de los cuerpos que chocan se convierte en otras formas de energía (como calor o sonido ). Los ejemplos incluyen colisiones de tráfico , ^[11] en las que el efecto de la pérdida de energía cinética puede verse en los daños a los vehículos; los electrones pierden parte de su energía en favor de los átomos (como en el experimento de Franck-Hertz ); ^[12] y aceleradores de partículas en los que la energía cinética se convierte en masa en forma de nuevas partículas.

En una colisión perfectamente inelástica (como la de un insecto que golpea un parabrisas), ambos cuerpos tienen el mismo movimiento después. Una colisión frontal inelástica entre dos cuerpos se puede representar mediante velocidades en una dimensión, a lo largo de una línea que pasa por los cuerpos. Si las velocidades son u ₁ y u ₂ antes de la colisión, entonces en una colisión perfectamente inelástica ambos cuerpos viajarán con velocidad v después de la colisión. La ecuación que expresa la conservación del momento es:

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=\left(m_{1}+m_{2}\right)v\,.\end{aligned}}}$$

Si un cuerpo está inmóvil para empezar (por ejemplo ), la ecuación para la conservación del momento es ${\displaystyle u_{2}=0}$

$${\displaystyle m_{1}u_{1}=\left(m_{1}+m_{2}\right)v\,,}$$

entonces

$${\displaystyle v={\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}u_{1}\,.}$$

En una situación diferente, si el marco de referencia se mueve a una velocidad final tal que , los objetos quedarían en reposo mediante una colisión perfectamente inelástica y el 100% de la energía cinética se convertiría en otras formas de energía. En este caso, las velocidades iniciales de los cuerpos serían distintas de cero, o los cuerpos tendrían que carecer de masa. ${\displaystyle v=0}$

Una medida de la inelasticidad de la colisión es el coeficiente de restitución CR , definido como la _relación entre la velocidad relativa de separación y la velocidad relativa de aproximación. Al aplicar esta medida a una pelota que rebota en una superficie sólida, esto se puede medir fácilmente usando la siguiente fórmula: ^[13]

$${\displaystyle C_{\text{R}}={\sqrt {\frac {\text{bounce height}}{\text{drop height}}}}\,.}$$

Las ecuaciones de momento y energía también se aplican a los movimientos de objetos que comienzan juntos y luego se separan. Por ejemplo, una explosión es el resultado de una reacción en cadena que transforma la energía potencial almacenada en forma química, mecánica o nuclear en energía cinética, energía acústica y radiación electromagnética. Los cohetes también utilizan la conservación del impulso: el propulsor se empuja hacia afuera, ganando impulso, y se imparte al cohete un impulso igual y opuesto. ^[14]

Múltiples dimensiones

Colisión elástica bidimensional. No hay movimiento perpendicular a la imagen, por lo que sólo se necesitan dos componentes para representar las velocidades y los momentos. Los dos vectores azules representan velocidades después de la colisión y se suman vectorialmente para obtener la velocidad inicial (roja).

El movimiento real tiene dirección y velocidad y debe representarse mediante un vector . En un sistema de coordenadas con ejes x , y , z , la velocidad tiene componentes v _x en la dirección x , v _y en la dirección y , v _z en la dirección z . El vector está representado por un símbolo en negrita: ^[15]

$${\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right).}$$

De manera similar, el momento es una cantidad vectorial y está representado por un símbolo en negrita:

$${\displaystyle \mathbf {p} =\left(p_{x},p_{y},p_{z}\right).}$$

Las ecuaciones de las secciones anteriores funcionan en forma vectorial si los escalares p y v se reemplazan por vectores p y v . Cada ecuación vectorial representa tres ecuaciones escalares. Por ejemplo,

$${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$$

representa tres ecuaciones: ^[15]

$${\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}&=mv_{x}\\p_{y}&=mv_{y}\\p_{z}&=mv_{z}.\end{aligned}}}$$

Las ecuaciones de energía cinética son excepciones a la regla de sustitución anterior. Las ecuaciones siguen siendo unidimensionales, pero cada escalar representa la magnitud del vector , por ejemplo,

$${\displaystyle v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\,.}$$

Cada ecuación vectorial representa tres ecuaciones escalares. A menudo se pueden elegir las coordenadas de modo que sólo se necesiten dos componentes, como en la figura. Cada componente se puede obtener por separado y los resultados se pueden combinar para producir un resultado vectorial. ^[15]

Se puede utilizar una construcción simple que involucra el marco del centro de masa para mostrar que si una esfera elástica estacionaria es golpeada por una esfera en movimiento, las dos se dirigirán en ángulo recto después de la colisión (como en la figura). ^[dieciséis]

Objetos de masa variable.

El concepto de impulso juega un papel fundamental a la hora de explicar el comportamiento de objetos de masa variable, como un cohete que expulsa combustible o una estrella que acumula gas. Al analizar un objeto de este tipo, se trata la masa del objeto como una función que varía con el tiempo: m ( t ) . Por tanto, el impulso del objeto en el instante t es p ( t ) = m ( t ) v ( t ) . Entonces se podría intentar invocar la segunda ley del movimiento de Newton diciendo que la fuerza externa F sobre el objeto está relacionada con su momento p ( t ) por F =dp _/d t, pero esto es incorrecto, al igual que la expresión relacionada que se encuentra al aplicar la regla del producto are ( mv ) _/d t: ^[17]

$${\displaystyle F=m(t){\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}+v(t){\frac {{\text{d}}m}{{\text{d}}t}}.{\text{(incorrect)}}}$$

Esta ecuación no describe correctamente el movimiento de objetos de masa variable. La ecuación correcta es

$${\displaystyle F=m(t){\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}-u{\frac {{\text{d}}m}{{\text{d}}t}},}$$

donde u es la velocidad de la masa expulsada/acretada como se ve en el marco de reposo del objeto . ^[17] Esto es distinto de v , que es la velocidad del objeto mismo visto en un marco inercial.

Esta ecuación se deriva al realizar un seguimiento tanto del impulso del objeto como del impulso de la masa expulsada/acumulada ( d m ). Cuando se consideran juntos, el objeto y la masa ( d m ) constituyen un sistema cerrado en el que se conserva el momento total.

$${\displaystyle P(t+{\text{d}}t)=(m-{\text{d}}m)(v+{\text{d}}v)+{\text{d}}m(v-u)=mv+m{\text{d}}v-u{\text{d}}m=P(t)+m{\text{d}}v-u{\text{d}}m}$$

Relativista

invariancia de Lorentz

La física newtoniana supone que el tiempo y el espacio absolutos existen fuera de cualquier observador; esto da lugar a la invariancia galileana . También da como resultado una predicción de que la velocidad de la luz puede variar de un sistema de referencia a otro. Esto es contrario a lo observado. En la teoría especial de la relatividad , Einstein mantiene el postulado de que las ecuaciones de movimiento no dependen del sistema de referencia, pero supone que la velocidad de la luz c es invariante. Como resultado, la posición y el tiempo en dos sistemas de referencia están relacionados mediante la transformación de Lorentz en lugar de la transformación de Galileo . ^[18]

Considere, por ejemplo, un sistema de referencia que se mueve respecto de otro con una velocidad v en la dirección x . La transformación de Galileo da las coordenadas del marco móvil como

$${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=t\\x'&=x-vt\end{aligned}}}$$

mientras que la transformación de Lorentz da ^[19]

$${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\,\end{aligned}}}$$

donde γ es el factor de Lorentz :

γ = 1 1 - v 2 / c 2 . {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.}

La segunda ley de Newton, con masa fija, no es invariante bajo una transformación de Lorentz. Sin embargo, se puede hacer invariante haciendo que la masa inercial m de un objeto sea función de la velocidad:

$${\displaystyle m=\gamma m_{0}\,;}$$

m ₀ es la masa invariante del objeto. ^[20]

El impulso modificado,

$${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma m_{0}\mathbf {v} \,,}$$

Obedece la segunda ley de Newton:

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\,.}$$

Dentro del dominio de la mecánica clásica, el impulso relativista se aproxima mucho al impulso newtoniano: a baja velocidad, γ m ₀ v es aproximadamente igual a m ₀ v , la expresión newtoniana para el impulso.

Formulación de cuatro vectores

En la teoría de la relatividad especial, las cantidades físicas se expresan en términos de cuatro vectores que incluyen el tiempo como cuarta coordenada junto con las tres coordenadas espaciales. Estos vectores generalmente se representan con letras mayúsculas, por ejemplo R para posición. La expresión del momento de cuatro depende de cómo se expresan las coordenadas. El tiempo puede expresarse en sus unidades normales o multiplicarse por la velocidad de la luz de modo que todos los componentes del cuatro vector tengan dimensiones de longitud. Si se utiliza la última escala, un intervalo de tiempo adecuado , τ , definido por ^[21]

$${\displaystyle c^{2}{\text{d}}\tau ^{2}=c^{2}{\text{d}}t^{2}-{\text{d}}x^{2}-{\text{d}}y^{2}-{\text{d}}z^{2}\,,}$$

es invariante bajo transformaciones de Lorentz (en esta expresión y en lo que sigue se ha utilizado la firma métrica (+ − − −) , diferentes autores usan diferentes convenciones). Matemáticamente, esta invariancia se puede garantizar de dos maneras: tratando los cuatro vectores como vectores euclidianos y multiplicando el tiempo por √ −1 ; o manteniendo el tiempo como una cantidad real e incrustando los vectores en un espacio de Minkowski . ^[22] En un espacio de Minkowski, el producto escalar de dos cuatro vectores U = ( U ₀ , U ₁ , U ₂ , U ₃ ) y V = ( V ₀ , V ₁ , V ₂ , V ₃ ) se define como

$${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {V} =U_{0}V_{0}-U_{1}V_{1}-U_{2}V_{2}-U_{3}V_{3}\,.}$$

En todos los sistemas de coordenadas, la velocidad relativista ( contravariante ) de cuatro velocidades está definida por

$${\displaystyle \mathbf {U} \equiv {\frac {{\text{d}}\mathbf {R} }{{\text{d}}\tau }}=\gamma {\frac {{\text{d}}\mathbf {R} }{{\text{d}}t}}\,,}$$

y el cuatro impulso (contravariante) es

PAG = metro 0 U , {\displaystyle \mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} \,,}

donde m ₀ es la masa invariante. Si R = ( c t , x , y , z ) (en el espacio de Minkowski), entonces

$${\displaystyle \mathbf {P} =\gamma m_{0}\left(c,\mathbf {v} \right)=(mc,\mathbf {p} )\,.}$$

Usando la equivalencia masa-energía de Einstein , E = m c ² , esto se puede reescribir como

$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)\,.}$$

Por tanto, la conservación del momento de cuatro es invariante de Lorentz e implica conservación tanto de masa como de energía.

La magnitud del impulso de cuatro vectores es igual a m ₀ c :

$${\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}=\mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =\gamma ^{2}m_{0}^{2}\left(c^{2}-v^{2}\right)=(m_{0}c)^{2}\,,}$$

y es invariante en todos los marcos de referencia.

La relación relativista energía-momento se cumple incluso para partículas sin masa como los fotones; estableciendo m ₀ = 0 se deduce que

$${\displaystyle E=pc\,.}$$

En un juego de "billar" relativista, si una partícula estacionaria es golpeada por una partícula en movimiento en una colisión elástica, las trayectorias formadas por las dos posteriormente formarán un ángulo agudo. Esto es diferente al caso no relativista en el que viajan en ángulos rectos. ^[23]

El cuatro momento de una onda plana se puede relacionar con un cuatro vector de onda ^[24]

$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)=\hbar \mathbf {K} =\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)}$$

Para una partícula, la relación entre componentes temporales, E = ħ ω , es la relación de Planck-Einstein , y la relación entre componentes espaciales, p = ħ k , describe una onda de materia de De Broglie .

generalizado

Las leyes de Newton pueden ser difíciles de aplicar a muchos tipos de movimiento porque el movimiento está limitado por restricciones . Por ejemplo, una cuenta de un ábaco está obligada a moverse a lo largo de su alambre y la masa de un péndulo está obligada a oscilar a una distancia fija del pivote. Muchas de estas restricciones se pueden incorporar cambiando las coordenadas cartesianas normales a un conjunto de coordenadas generalizadas que pueden ser menos numerosas. ^[25] Se han desarrollado métodos matemáticos refinados para resolver problemas de mecánica en coordenadas generalizadas. Introducen un momento generalizado , también conocido como momento canónico o conjugado , que amplía los conceptos de momento lineal y momento angular . Para distinguirlo del momento generalizado, el producto de la masa y la velocidad también se denomina momento mecánico , cinético o cinemático . ^{[6] [26] [27]} Los dos métodos principales se describen a continuación.

Mecánica lagrangiana

En mecánica lagrangiana , un lagrangiano se define como la diferencia entre la energía cinética T y la energía potencial V :

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V\,.}$$

Si las coordenadas generalizadas se representan como un vector q = ( q ₁ , q ₂ , ... , q _N ) y la diferenciación temporal se representa mediante un punto sobre la variable, entonces las ecuaciones de movimiento (conocidas como Lagrange o Euler– Las ecuaciones de Lagrange ) son un conjunto de N ecuaciones: ^[28]

$${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{j}}}=0\,.}$$

Si una coordenada q _i no es una coordenada cartesiana, el componente de momento generalizado asociado p _i no necesariamente tiene las dimensiones de un momento lineal. Incluso si q _i es una coordenada cartesiana, p _i no será lo mismo que el momento mecánico si el potencial depende de la velocidad. ^[6] Algunas fuentes representan el momento cinemático mediante el símbolo Π . ^[29]

En este marco matemático, un impulso generalizado está asociado con las coordenadas generalizadas. Sus componentes se definen como

$${\displaystyle p_{j}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\,.}$$

Se dice que cada componente p _j es el momento conjugado de la coordenada q _j .

Ahora bien, si una coordenada dada q _i no aparece en el lagrangiano (aunque podría aparecer su derivada temporal), entonces p _j es constante. Ésta es la generalización de la conservación del impulso. ^[6]

Incluso si las coordenadas generalizadas son sólo las coordenadas espaciales ordinarias, los momentos conjugados no son necesariamente las coordenadas de momento ordinarias. Un ejemplo se encuentra en la sección sobre electromagnetismo.

Mecánica hamiltoniana

En la mecánica hamiltoniana , el lagrangiano (una función de coordenadas generalizadas y sus derivadas) se reemplaza por un hamiltoniano que es función de coordenadas generalizadas y de momento. El hamiltoniano se define como

$${\displaystyle {\mathcal {H}}\left(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t\right)=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {L}}\left(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t\right)\,,}$$

donde el impulso se obtiene diferenciando el lagrangiano como se indicó anteriormente. Las ecuaciones de movimiento hamiltonianas son ^[30]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {q}}_{i}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\\-{\dot {p}}_{i}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}\\-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}&={\frac {{\text{d}}{\mathcal {H}}}{{\text{d}}t}}\,.\end{aligned}}}$$

Como en la mecánica lagrangiana, si una coordenada generalizada no aparece en la hamiltoniana, su componente de momento conjugado se conserva. ^[31]

Simetría y conservación

La conservación del impulso es una consecuencia matemática de la homogeneidad ( simetría de desplazamiento ) del espacio (la posición en el espacio es la cantidad canónica conjugada del impulso). Es decir, la conservación del impulso es consecuencia del hecho de que las leyes de la física no dependen de la posición; Este es un caso especial del teorema de Noether . ^[32] Para sistemas que no tienen esta simetría, puede que no sea posible definir la conservación del momento. Los ejemplos en los que no se aplica la conservación del momento incluyen los espacio-tiempos curvos en la relatividad general ^[33] o los cristales de tiempo en la física de la materia condensada . ^{[34] [35] [36] [37]}

Electromagnético

Partícula en un campo

En las ecuaciones de Maxwell , las fuerzas entre partículas están mediadas por campos eléctricos y magnéticos. La fuerza electromagnética ( fuerza de Lorentz ) sobre una partícula con carga q debido a una combinación de campo eléctrico E y campo magnético B es

F = q ( mi + v × segundo ) . {\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B}).}

(en unidades SI ). ^{[38] : 2} Tiene un potencial eléctrico φ ( r , t ) y un potencial vectorial magnético A ( r , t ) . ^[29] En el régimen no relativista, su impulso generalizado es

$${\displaystyle \mathbf {P} =m\mathbf {\mathbf {v} } +q\mathbf {A} ,}$$

mientras que en la mecánica relativista esto se convierte en

$${\displaystyle \mathbf {P} =\gamma m\mathbf {\mathbf {v} } +q\mathbf {A} .}$$

La cantidad V = q A a veces se denomina impulso potencial . ^{[39] [40] [41]} Es el impulso debido a la interacción de la partícula con los campos electromagnéticos. El nombre es una analogía con la energía potencial U = q φ , que es la energía debida a la interacción de la partícula con los campos electromagnéticos. Estas cantidades forman un cuatro vectores, por lo que la analogía es coherente; Además, el concepto de impulso potencial es importante para explicar el llamado impulso oculto de los campos electromagnéticos. ^[42]

Conservación

En la mecánica newtoniana, la ley de conservación del impulso se puede derivar de la ley de acción y reacción , que establece que toda fuerza tiene una fuerza recíproca igual y opuesta. En algunas circunstancias, las partículas cargadas en movimiento pueden ejercer fuerzas entre sí en direcciones no opuestas. ^[43] Sin embargo, el momento combinado de las partículas y el campo electromagnético se conserva.

Vacío

La fuerza de Lorentz imparte un impulso a la partícula, por lo que, según la segunda ley de Newton, la partícula debe impartir un impulso a los campos electromagnéticos. ^[44]

En el vacío, el impulso por unidad de volumen es

$${\displaystyle \mathbf {g} ={\frac {1}{\mu _{0}c^{2}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} \,,}$$

donde μ ₀ es la permeabilidad al vacío y c es la velocidad de la luz . La densidad de momento es proporcional al vector de Poynting S , que da la tasa direccional de transferencia de energía por unidad de área: ^{[44] [45]}

$${\displaystyle \mathbf {g} ={\frac {\mathbf {S} }{c^{2}}}\,.}$$

Si se quiere conservar el impulso en el volumen V en una región Q , los cambios en el impulso de la materia a través de la fuerza de Lorentz deben equilibrarse con cambios en el impulso del campo electromagnético y la salida del impulso. Si P _mech es el momento de todas las partículas en Q , y las partículas se tratan como un continuo, entonces la segunda ley de Newton da

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}\mathbf {P} _{\text{mech}}}{{\text{d}}t}}=\iiint \limits _{Q}\left(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \right){\text{d}}V\,.}$$

El momento electromagnético es

$${\displaystyle \mathbf {P} _{\text{field}}={\frac {1}{\mu _{0}c^{2}}}\iiint \limits _{Q}\mathbf {E} \times \mathbf {B} \,dV\,,}$$

y la ecuación para la conservación de cada componente i del impulso es

$${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(\mathbf {P} _{\text{mech}}+\mathbf {P} _{\text{field}}\right)_{i}=\iint \limits _{\sigma }\left(\sum \limits _{j}T_{ij}n_{j}\right){\text{d}}\Sigma \,.}$$

El término de la derecha es una integral sobre el área de la superficie Σ de la superficie σ que representa el flujo de impulso dentro y fuera del volumen, y n _j es un componente de la superficie normal de S. La cantidad Ti _j se llama tensor _de tensión de Maxwell , definida como ^[44]

$${\displaystyle T_{ij}\equiv \epsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right)\,.}$$

Medios de comunicación

Los resultados anteriores son para las ecuaciones microscópicas de Maxwell, aplicables a fuerzas electromagnéticas en el vacío (o en una escala muy pequeña en los medios). Es más difícil definir la densidad de momento en los medios porque la división en electromagnética y mecánica es arbitraria. La definición de densidad de momento electromagnético se modifica para

$${\displaystyle \mathbf {g} ={\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {E} \times \mathbf {H} ={\frac {\mathbf {S} }{c^{2}}}\,,}$$

donde el campo H H está relacionado con el campo B y la magnetización M por

$${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}\left(\mathbf {H} +\mathbf {M} \right)\,.}$$

El tensor de tensión electromagnética depende de las propiedades del medio. ^[44]

Mecánica cuántica

En mecánica cuántica , el impulso se define como un operador autoadjunto de la función de onda . El principio de incertidumbre de Heisenberg define límites sobre la precisión con la que se pueden conocer a la vez el impulso y la posición de un único sistema observable. En mecánica cuántica, la posición y el momento son variables conjugadas .

Para una sola partícula descrita en la base de posición, el operador de momento se puede escribir como

$${\displaystyle \mathbf {p} ={\hbar \over i}\nabla =-i\hbar \nabla \,,}$$

donde ∇ es el operador de gradiente , ħ es la constante de Planck reducida e i es la unidad imaginaria . Esta es una forma común de operador de impulso, aunque el operador de impulso en otras bases puede adoptar otras formas. Por ejemplo, en el espacio de momento , el operador de momento está representado por la ecuación de valor propio

$${\displaystyle \mathbf {p} \psi (p)=p\psi (p)\,,}$$

donde el operador p que actúa sobre una función propia de onda ψ ( p ) produce esa función de onda multiplicada por el valor propio p , de manera análoga a la forma en que el operador de posición que actúa sobre una función de onda ψ ( x ) produce esa función de onda multiplicada por el valor propio x .

Tanto para objetos masivos como sin masa, el momento relativista está relacionado con la constante de fase β por ^[46]

$${\displaystyle p=\hbar \beta }$$

La radiación electromagnética (incluida la luz visible , la luz ultravioleta y las ondas de radio ) es transportada por fotones . Aunque los fotones (el aspecto partícula de la luz) no tienen masa, todavía tienen impulso. Esto da lugar a aplicaciones como la vela solar . El cálculo del impulso de la luz dentro de medios dieléctricos es algo controvertido (ver Controversia Abraham-Minkowski ). ^{[47] [48]}

En cuerpos y fluidos deformables.

Conservación en un continuo

Movimiento de un cuerpo material.

En campos como la dinámica de fluidos y la mecánica de sólidos , no es factible seguir el movimiento de átomos o moléculas individuales. En cambio, los materiales deben aproximarse mediante un continuo en el que hay una partícula o paquete de fluido en cada punto al que se le asigna el promedio de las propiedades de los átomos en una pequeña región cercana. En particular, tiene una densidad ρ y una velocidad v que dependen del tiempo t y de la posición r . El impulso por unidad de volumen es ρ v . ^[49]

Considere una columna de agua en equilibrio hidrostático . Todas las fuerzas que actúan sobre el agua están en equilibrio y el agua está inmóvil. En cualquier gota de agua hay dos fuerzas en equilibrio. La primera es la gravedad, que actúa directamente sobre cada átomo y molécula del interior. La fuerza gravitacional por unidad de volumen es ρ g , donde g es la aceleración gravitacional . La segunda fuerza es la suma de todas las fuerzas ejercidas sobre su superficie por el agua circundante. La fuerza desde abajo es mayor que la fuerza desde arriba justo en la cantidad necesaria para equilibrar la gravedad. La fuerza normal por unidad de área es la presión p . La fuerza promedio por unidad de volumen dentro de la gota es el gradiente de presión, por lo que la ecuación de equilibrio de fuerzas es ^[50]

$${\displaystyle -\nabla p+\rho \mathbf {g} =0\,.}$$

Si las fuerzas no están equilibradas, la gota se acelera. Esta aceleración no es simplemente la derivada parcial∂v _/∂t _porque el líquido en un volumen dado cambia con el tiempo. En cambio, se necesita la derivada material : ^[51]

$${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\equiv {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\,.}$$

Aplicada a cualquier cantidad física, la derivada material incluye la tasa de cambio en un punto y los cambios debidos a la advección a medida que el fluido pasa más allá del punto. Por unidad de volumen, la tasa de cambio en el impulso es igual a ρDv _/D t. Esto es igual a la fuerza neta sobre la gota.

Las fuerzas que pueden cambiar el impulso de una gota incluyen el gradiente de presión y la gravedad, como se indicó anteriormente. Además, las fuerzas superficiales pueden deformar la gota. En el caso más simple, un esfuerzo cortante τ , ejercido por una fuerza paralela a la superficie de la gota, es proporcional a la tasa de deformación o tasa de deformación . Tal esfuerzo cortante ocurre si el fluido tiene un gradiente de velocidad porque el fluido se mueve más rápido de un lado que del otro. Si la velocidad en la dirección x varía con z , la fuerza tangencial en la dirección x por unidad de área normal a la dirección z es

$${\displaystyle \sigma _{zx}=-\mu {\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\,,}$$

donde μ es la viscosidad . Este también es un flujo , o flujo por unidad de área, del momento x a través de la superficie. ^[52]

Incluyendo el efecto de la viscosidad, las ecuaciones de balance de momento para el flujo incompresible de un fluido newtoniano son

$${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-{\boldsymbol {\nabla }}p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\rho \mathbf {g} .\,}$$

Éstas se conocen como ecuaciones de Navier-Stokes . ^[53]

Las ecuaciones de balance de momento se pueden extender a materiales más generales, incluidos los sólidos. Para cada superficie con normal en la dirección i y fuerza en la dirección j , hay un componente de tensión σ _{i j} . Los nueve componentes forman el tensor de tensión de Cauchy σ , que incluye tanto la presión como el corte. La conservación local del impulso se expresa mediante la ecuación del impulso de Cauchy :

$${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} \,,}$$

donde f es la fuerza del cuerpo . ^[54]

La ecuación del momento de Cauchy es ampliamente aplicable a las deformaciones de sólidos y líquidos. La relación entre las tensiones y la tasa de deformación depende de las propiedades del material (ver Tipos de viscosidad ).

ondas acusticas

Una perturbación en un medio da lugar a oscilaciones u ondas que se propagan lejos de su fuente. En un fluido, los pequeños cambios en la presión p a menudo pueden describirse mediante la ecuación de la onda acústica :

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}p\,,}$$

donde c es la velocidad del sonido . En un sólido, se pueden obtener ecuaciones similares para la propagación de la presión ( ondas P ) y el corte ( ondas S ). ^[55]

El flujo, o transporte por unidad de área, de un componente de momento ρ v _j por una velocidad v _i es igual a ρ v _j v _j . ^{[ dudoso ]} En la aproximación lineal que conduce a la ecuación acústica anterior, el promedio temporal de este flujo es cero. Sin embargo, los efectos no lineales pueden dar lugar a un promedio distinto de cero. ^[56] Es posible que se produzca un flujo de impulso aunque la onda en sí no tenga un impulso medio. ^[57]

Historia del concepto

Ímpetu

Juan Filopono

Aproximadamente en el año 530 d.C., Juan Filopono desarrolló un concepto de impulso en Sobre la física , un comentario a la Física de Aristóteles . Aristóteles afirmó que todo lo que se mueve debe ser mantenido en movimiento por algo. Por ejemplo, una pelota lanzada debe mantenerse en movimiento mediante movimientos del aire. Filópono señaló lo absurdo de la afirmación de Aristóteles de que el movimiento de un objeto es promovido por el mismo aire que se resiste a su paso. En cambio, propuso que se impartiera un impulso al objeto en el acto de arrojarlo. ^[58]

Ibn Sina

Ibn Sina
(980-1037)

En 1020, Ibn Sīnā (también conocido por su nombre latinizado Avicena) leyó a Filópono y publicó su propia teoría del movimiento en El libro de la curación . Estuvo de acuerdo en que el impulso lo imparte el lanzador al proyectil; pero a diferencia de Filopono, que creía que era una virtud temporal que decaería incluso en el vacío, la veía como una virtud persistente que requería fuerzas externas, como la resistencia del aire, para disiparla. ^{[59] [60] [61]}

Peter Olivi, Jean Buridan

En los siglos XIII y XIV, Peter Olivi y Jean Buridan leyeron y refinaron la obra de Philoponus, y posiblemente la de Ibn Sīnā. ^[61] Buridan, quien alrededor de 1350 fue nombrado rector de la Universidad de París, se refirió a que el impulso era proporcional al peso multiplicado por la velocidad. Además, la teoría de Buridan era diferente de la de su predecesor en que no consideraba que el impulso se autodisipara, afirmando que un cuerpo sería detenido por las fuerzas de la resistencia del aire y la gravedad que podrían oponerse a su impulso. ^{[62] [63]}

Cantidad de movimiento

René Descartes

En Principios de Filosofía ( Principia Philosophiae ) de 1644, el filósofo francés René Descartes definió la "cantidad de movimiento" ( latín : quantitas motus ) como el producto del tamaño y la velocidad, ^[64] y afirmó que la cantidad total de movimiento en el universo se conserva. ^{[64] [65]}

René Descartes
(1596-1650)

Si x tiene el doble de tamaño que y y se mueve la mitad de rápido, entonces hay la misma cantidad de movimiento en cada uno.

[Dios] creó la materia, junto con su movimiento... simplemente dejando que las cosas sigan su curso, preserva la misma cantidad de movimiento... como lo puso allí al principio.

Esto no debe leerse como una declaración de la ley moderna de conservación del impulso , ya que Descartes no tenía un concepto de masa distinto del peso y el tamaño. (El concepto de masa, a diferencia del peso, fue introducido por Newton en 1686.) ^[66] Más importante aún, creía que lo que se conserva es la rapidez y no la velocidad. Entonces, para Descartes, si un objeto en movimiento rebotara en una superficie, cambiando su dirección pero no su velocidad, no habría ningún cambio en su cantidad de movimiento. ^{[67] [68] [69]} Galileo , en sus Dos nuevas ciencias (publicado en 1638), utilizó la palabra italiana impeto para describir de manera similar la cantidad de movimiento de Descartes.

Christian Huygens

Christian Huygens
(1629-1695)

En el siglo XVII, Christiaan Huygens concluyó bastante pronto que las leyes de Descartes para la colisión elástica de dos cuerpos debían ser erróneas y formuló las leyes correctas. ^[70] Un paso importante fue su reconocimiento de la invariancia galileana de los problemas. ^[71] Sus opiniones tardaron muchos años en circular. Se los transmitió personalmente a William Brouncker y Christopher Wren en Londres, en 1661. ^[72] Lo que Spinoza escribió a Henry Oldenburg sobre ellos, en 1666 durante la Segunda Guerra Anglo-Holandesa , fue guardado. ^[73] De hecho, Huygens los había elaborado en un manuscrito De motu corporum ex percussione en el período 1652-1656. La guerra terminó en 1667 y Huygens anunció sus resultados a la Royal Society en 1668. Los publicó en el Journal des sçavans en 1669. ^[74]

Impulso

Juan Wallis

En 1670, John Wallis , en Mechanica sive De Motu, Tractatus Geometricus , estableció la ley de conservación del impulso: "el estado inicial del cuerpo, ya sea de reposo o de movimiento, persistirá" y "Si la fuerza es mayor que la resistencia, se producirá movimiento". ^[75] Wallis utilizó el impulso para la cantidad de movimiento y la vis para la fuerza.

Gottfried Leibniz

En 1686, Gottfried Wilhelm Leibniz , en Discurso sobre la metafísica , presentó un argumento contra la construcción cartesiana de la conservación de la "cantidad de movimiento" utilizando el ejemplo de dejar caer bloques de diferentes tamaños a diferentes distancias. Señala que la fuerza se conserva pero no la cantidad de movimiento, interpretada como el producto del tamaño y la velocidad de un objeto. ^[76]

isaac newton

Isaac Newton
(1642-1727)

En 1687, Isaac Newton , en Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica , al igual que Wallis, mostró una búsqueda similar de palabras para usar con el impulso matemático. Su Definición II define quantitas motus , "cantidad de movimiento", como "que surge de la velocidad y la cantidad de materia conjuntamente", lo que lo identifica como impulso. ^[77] Así, cuando en la Ley II se refiere a mutatio motus , "cambio de movimiento", siendo proporcional a la fuerza impresa, generalmente se entiende que significa impulso y no movimiento. ^[78]

Juan Jennings

En 1721, John Jennings publicó Miscellanea , donde se atestigua el impulso en su sentido matemático actual, cinco años antes de la edición final de los Principia Mathematica de Newton . El momento M o "cantidad de movimiento" se definía para los estudiantes como "un rectángulo", el producto de Q y V , donde Q es "cantidad de material" y V es "velocidad".s/t. ^[79]

En 1728, la Cyclopedia afirma:

El momento , ímpetu o cantidad de movimiento de cualquier cuerpo, es el factum [es decir, el producto] de su velocidad (o el espacio que se mueve en un tiempo determinado, ver Movimiento ) multiplicado por su masa.

Ver también

• Portal de física

• Momento angular
• Impulso cristalino
• Cañón galileo
• Compactación por momento
• Transferencia de impulso
• la cuna de Newton
• Espacio de posición y momento

Referencias

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enlaces externos

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