Principio de incertidumbre

Principio fundamental de la física cuántica.

Regla de conmutación canónica para las variables de posición q y momento p de una partícula, 1927. pq − qp = h /2 πi . Principio de incertidumbre de Heisenberg, 1927.

El principio de incertidumbre , también conocido como principio de indeterminación de Heisenberg , es un concepto fundamental en la mecánica cuántica . Afirma que existe un límite en la precisión con la que se pueden conocer simultáneamente ciertos pares de propiedades físicas, como la posición y el momento. En otras palabras, cuanto más exactamente se mide una propiedad, menos exactamente se puede conocer la otra propiedad.

Más formalmente, el principio de incertidumbre es cualquiera de una variedad de desigualdades matemáticas que afirman un límite fundamental al producto de la precisión de ciertos pares de mediciones relacionadas en un sistema cuántico, como la posición , x , y el momento , p . ^[1] Estas variables pareadas se conocen como variables complementarias o variables canónicamente conjugadas .

Introducida por primera vez en 1927 por el físico alemán Werner Heisenberg , ^{[2] [3] [4] [5]} la desigualdad formal que relaciona la desviación estándar de la posición σ _x y la desviación estándar del momento σ _p fue derivada por Earle Hesse Kennard ^[6] más tarde ese año y por Hermann Weyl ^[7] en 1928:

${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}~~}$

donde ħ es la constante de Planck reducida , . ${\displaystyle {\frac {h}{2\pi }}~~}$

El principio de incertidumbre de la mecánica cuántica por excelencia se presenta en muchas formas además de la posición-momento. La relación energía-tiempo se utiliza ampliamente para relacionar la vida útil del estado cuántico con las amplitudes de energía medidas, pero su derivación formal está plagada de cuestiones confusas sobre la naturaleza del tiempo. El principio básico se ha extendido en numerosas direcciones; debe considerarse en muchos tipos de mediciones físicas fundamentales.

Posición-impulso

La superposición de varias ondas planas para formar un paquete de ondas. Este paquete de ondas se vuelve cada vez más localizado con la adición de muchas ondas. La transformada de Fourier es una operación matemática que separa un paquete de ondas en sus ondas planas individuales. Las ondas que se muestran aquí son reales sólo con fines ilustrativos; En mecánica cuántica la función de onda es generalmente compleja .

Es vital ilustrar cómo se aplica el principio a situaciones físicas relativamente inteligibles, ya que es indiscernible en las escalas macroscópicas ^[8] que experimentan los humanos. Dos marcos alternativos para la física cuántica ofrecen diferentes explicaciones para el principio de incertidumbre. La imagen de la mecánica ondulatoria del principio de incertidumbre es más intuitiva visualmente, pero la imagen más abstracta de la mecánica matricial lo formula de una manera que se generaliza más fácilmente.

Matemáticamente, en mecánica ondulatoria, la relación de incertidumbre entre posición y momento surge porque las expresiones de la función de onda en las dos bases ortonormales correspondientes en el espacio de Hilbert son transformadas de Fourier entre sí (es decir, la posición y el momento son variables conjugadas ). Una función distinta de cero y su transformada de Fourier no pueden localizarse claramente al mismo tiempo. ^[9] Una compensación similar entre las variaciones de los conjugados de Fourier surge en todos los sistemas subyacentes al análisis de Fourier, por ejemplo en las ondas sonoras: un tono puro es un pico agudo en una sola frecuencia, mientras que su transformada de Fourier da la forma de la onda sonora. en el dominio del tiempo, que es una onda sinusoidal completamente deslocalizada. En mecánica cuántica, los dos puntos clave son que la posición de la partícula toma la forma de una onda de materia y el momento es su conjugado de Fourier, asegurado por la relación de De Broglie p = ħk , donde k es el número de onda .

En mecánica matricial , la formulación matemática de la mecánica cuántica , cualquier par de operadores autoadjuntos no conmutantes que representen observables están sujetos a límites de incertidumbre similares. Un estado propio de un observable representa el estado de la función de onda para un determinado valor de medición (el valor propio). Por ejemplo, si se realiza una medición de un observable A , entonces el sistema se encuentra en un estado propio particular Ψ de ese observable. Sin embargo, el estado propio particular del observable A no tiene por qué ser un estado propio de otro observable B : si es así, entonces no tiene una medida asociada única, ya que el sistema no está en un estado propio de ese observable. ^[10]

Visualización

El principio de incertidumbre se puede visualizar utilizando las funciones de onda espaciales de posición y momento para una partícula sin espín con masa en una dimensión.

Cuanto más localizada sea la función de onda de posición-espacio, es más probable que la partícula se encuentre con las coordenadas de posición en esa región y, en consecuencia, la función de onda de momento-espacio está menos localizada, por lo que los posibles componentes de momento que podría tener la partícula están más extendidos. Por el contrario, cuanto más localizada sea la función de onda espacio-momento, más probable será que la partícula se encuentre con esos valores de componentes de momento en esa región y, en consecuencia, menos localizada será la función de onda espacio-posición, por lo que las coordenadas de posición que podría ocupar la partícula son más extendido. Estas funciones de onda son transformadas de Fourier entre sí: matemáticamente, el principio de incertidumbre expresa la relación entre variables conjugadas en la transformada.

Funciones de onda de posición x y momento p correspondientes a partículas cuánticas. La opacidad del color de las partículas corresponde a la densidad de probabilidad de encontrar la partícula con posición x o componente de momento p .
Arriba: Si se desconoce la longitud de onda λ , también lo son el momento p , el vector de onda k y la energía E (relaciones de De Broglie). Como la partícula está más localizada en el espacio de posiciones, Δ x es más pequeña que para Δ p _x .
Abajo: Si se conoce λ , también lo son p , k y E. Como la partícula está más localizada en el espacio de momento, Δ p es menor que para Δ x .

Interpretación de la mecánica ondulatoria.

Propagación de ondas de Broglie en 1d: la parte real de la amplitud compleja es azul, la parte imaginaria es verde. La probabilidad (mostrada como opacidad del color ) de encontrar la partícula en un punto x dado se extiende como una forma de onda, no hay una posición definida de la partícula. A medida que la amplitud aumenta por encima de cero, la curvatura invierte el signo, por lo que la amplitud comienza a disminuir nuevamente y viceversa; el resultado es una amplitud alterna: una onda.

Según la hipótesis de De Broglie , cada objeto del universo está asociado a una onda . Por lo tanto, todos los objetos, desde una partícula elemental hasta átomos, moléculas y hasta planetas y más allá, están sujetos al principio de incertidumbre.

La función de onda independiente del tiempo de una onda plana monomodo de número de onda k ₀ o momento p ₀ es

$${\displaystyle \psi (x)\propto e^{ik_{0}x}=e^{ip_{0}x/\hbar }~.}$$

La regla de Born establece que esto debe interpretarse como una función de amplitud de densidad de probabilidad en el sentido de que la probabilidad de encontrar la partícula entre a y b es

$${\displaystyle \operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x~.}$$

En el caso de la onda plana monomodo, es 1 si y 0 en caso contrario. En otras palabras, la posición de la partícula es extremadamente incierta en el sentido de que podría estar esencialmente en cualquier parte del paquete de ondas. ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$ ${\displaystyle X=x}$

Por otro lado, considere una función de onda que es una suma de muchas ondas , que podemos escribir como

$${\displaystyle \psi (x)\propto \sum _{n}A_{n}e^{ip_{n}x/\hbar }~,}$$

An representa la contribución relativa de _lap _nlímite del continuointegral

$${\displaystyle \psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp~,}$$

espacio de momentotransformada de Fourierxpvariables conjugadas^[11] ${\displaystyle \varphi (p)}$ ${\displaystyle \varphi (p)}$ ${\displaystyle \psi (x)}$

Una forma de cuantificar la precisión de la posición y el impulso es la desviación estándar  σ . Como es una función de densidad de probabilidad para la posición, calculamos su desviación estándar. ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$

La precisión de la posición se mejora, es decir, se reduce σ _x , mediante el uso de muchas ondas planas, debilitando así la precisión del impulso, es decir, se aumenta σ _p . Otra forma de expresar esto es que σ _x y σ _p tienen una relación inversa o al menos están acotados desde abajo. Este es el principio de incertidumbre, cuyo límite exacto es la cota de Kennard.

Prueba de la desigualdad de Kennard mediante mecánica ondulatoria

Estamos interesados ​​en las variaciones de posición y momento, definidas como

$${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx-\left(\int _{-\infty }^{\infty }x\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx\right)^{2}}$$

$${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }p^{2}\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp-\left(\int _{-\infty }^{\infty }p\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp\right)^{2}~.}$$

Sin pérdida de generalidad , asumiremos que los medios desaparecen, lo que equivale a un desplazamiento del origen de nuestras coordenadas. (A continuación se proporciona una prueba más general que no parte de esta suposición). Esto nos da la forma más simple

$${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx}$$

$${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }p^{2}\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp~.}$$

La función se puede interpretar como un vector en un espacio funcional . Podemos definir un producto interno para un par de funciones u ( x ) y v ( x ) en este espacio vectorial: ${\displaystyle f(x)=x\cdot \psi (x)}$

$${\displaystyle \langle u\mid v\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }u^{*}(x)\cdot v(x)\,dx,}$$

donde el asterisco denota el complejo conjugado .

Con este producto interno definido, observamos que la varianza de la posición se puede escribir como

$${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\langle f\mid f\rangle ~.}$$

Podemos repetir esto para el momento interpretando la función como un vector, pero también podemos aprovechar el hecho de que y son transformadas de Fourier entre sí. Evaluamos la transformada inversa de Fourier mediante integración por partes : ${\displaystyle {\tilde {g}}(p)=p\cdot \varphi (p)}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \varphi (p)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {g}}(p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }p\cdot \varphi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {1}{2\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[p\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi (\chi )e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \right]\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {i}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\cancel {\left.\psi (\chi )e^{-ip\chi /\hbar }\right|_{-\infty }^{\infty }}}-\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \right]\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {-i}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \,e^{ipx/\hbar }\,dp\\&=\left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\cdot \psi (x),\end{aligned}}}$$

donde el término cancelado desaparece porque la función de onda desaparece en el infinito. A menudo, el término se denomina operador de impulso en el espacio de posiciones. Aplicando el teorema de Parseval , vemos que la varianza del momento se puede escribir como ${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{dx}}}$

$${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\tilde {g}}(p)|^{2}\,dp=\int _{-\infty }^{\infty }|g(x)|^{2}\,dx=\langle g\mid g\rangle .}$$

La desigualdad de Cauchy-Schwarz afirma que

$${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}=\langle f\mid f\rangle \cdot \langle g\mid g\rangle \geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}~.}$$

El módulo al cuadrado de cualquier número complejo z se puede expresar como

$${\displaystyle |z|^{2}={\Big (}{\text{Re}}(z){\Big )}^{2}+{\Big (}{\text{Im}}(z){\Big )}^{2}\geq {\Big (}{\text{Im}}(z){\Big )}^{2}=\left({\frac {z-z^{\ast }}{2i}}\right)^{2}.}$$

dejamos y y los sustituimos en la ecuación anterior para obtener ${\displaystyle z=\langle f|g\rangle }$ ${\displaystyle z^{*}=\langle g\mid f\rangle }$

$${\displaystyle |\langle f\mid g\rangle |^{2}\geq \left({\frac {\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle }{2i}}\right)^{2}~.}$$

Sólo queda evaluar estos productos internos.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle ={}&\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\,x\cdot \left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\,\psi (x)\,dx\\&{}-\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\,\left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\cdot x\,\psi (x)\,dx\\={}&i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\left[\left(-x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)+{\frac {d(x\psi (x))}{dx}}\right]\,dx\\={}&i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\left[\left(-x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)+\psi (x)+\left(x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)\right]\,dx\\={}&i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\psi (x)\,dx\\={}&i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx\\={}&i\hbar \end{aligned}}}$$

Reemplazando esto con las desigualdades anteriores, obtenemos

$${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}\geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}\geq \left({\frac {\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle }{2i}}\right)^{2}=\left({\frac {i\hbar }{2i}}\right)^{2}={\frac {\hbar ^{2}}{4}}}$$

o sacando la raíz cuadrada

$${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}~.}$$

con igualdad si y sólo si p y x son linealmente dependientes. Tenga en cuenta que la única física involucrada en esta prueba fue que y son funciones de onda para la posición y el momento, que son transformadas de Fourier entre sí. Un resultado similar sería válido para cualquier par de variables conjugadas. ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \varphi (p)}$

Interpretación de la mecánica matricial.

(Referencia ^[11] )

En mecánica matricial, observables como la posición y el momento están representados por operadores autoadjuntos. Al considerar pares de observables, una cantidad importante es el conmutador . Para un par de operadores  y , se define su conmutador como ${\displaystyle {\hat {B}}}$

$${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}.}$$

relación de conmutación canónica

$${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar .}$$

El significado físico de la no conmutatividad puede entenderse considerando el efecto del conmutador sobre los estados propios de posición y momento . Sea un estado propio de posición derecho con un valor propio constante x ₀ . Por definición, esto significa que al aplicar el conmutador a se obtiene ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {x}}|\psi \rangle =x_{0}|\psi \rangle .}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

$${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle ,}$$

Îoperador de identidad

Supongamos, en aras de la prueba por contradicción , que también es un estado propio de impulso recto, con valor propio constante p ₀ . Si esto fuera cierto, entonces se podría escribir ${\displaystyle |\psi \rangle }$

$${\displaystyle ({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =(x_{0}{\hat {I}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =0.}$$

$${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle \neq 0.}$$

Cuando se mide un estado, se proyecta sobre un estado propio en base al observable relevante. Por ejemplo, si se mide la posición de una partícula, entonces el estado equivale a un estado propio de posición. Sin embargo , esto significa que el estado no es un estado propio de impulso, sino que puede representarse como una suma de múltiples estados propios de base de impulso. En otras palabras, el impulso debe ser menos preciso. Esta precisión puede cuantificarse mediante las desviaciones estándar,

$${\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\langle {\hat {x}}^{2}\rangle -\langle {\hat {x}}\rangle ^{2}}}}$$

$${\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\langle {\hat {p}}^{2}\rangle -\langle {\hat {p}}\rangle ^{2}}}.}$$

Como en la interpretación anterior de la mecánica ondulatoria, se ve un equilibrio entre las respectivas precisiones de los dos, cuantificadas por el principio de incertidumbre.

Ejemplos

(Referencias ^[11] )

Estados estacionarios del oscilador armónico cuántico

Considere un oscilador armónico cuántico unidimensional. Es posible expresar los operadores de posición e impulso en términos de los operadores de creación y aniquilación :

$${\displaystyle {\hat {x}}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}(a+a^{\dagger })}$$

$${\displaystyle {\hat {p}}=i{\sqrt {\frac {m\omega \hbar }{2}}}(a^{\dagger }-a).}$$

Usando las reglas estándar para los operadores de creación y aniquilación en los estados propios de energía,

$${\displaystyle a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle }$$

$${\displaystyle a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle ,}$$

$${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{m\omega }}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$$

$${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\hbar m\omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\,.}$$

$${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}=\hbar \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\geq {\frac {\hbar }{2}}.~}$$

En particular, el límite de Kennard ^[6] anterior está saturado para el estado fundamental n = 0 , para el cual la densidad de probabilidad es solo la distribución normal .

Osciladores armónicos cuánticos con condición inicial gaussiana

Densidades de probabilidad de posición (azul) y momento (rojo) para una distribución gaussiana inicial. De arriba a abajo, las animaciones muestran los casos Ω = ω , Ω = 2 ω y Ω = ω /2 . Tenga en cuenta la compensación entre los anchos de las distribuciones.

En un oscilador armónico cuántico de frecuencia angular característica ω , coloque un estado que esté desplazado del fondo del potencial por algún desplazamiento x ₀ como

$${\displaystyle \psi (x)=\left({\frac {m\Omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp {\left(-{\frac {m\Omega (x-x_{0})^{2}}{2\hbar }}\right)},}$$

ωpropagador

$${\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(x_{0}\cos {(\omega t)},{\frac {\hbar }{2m\Omega }}\left(\cos ^{2}(\omega t)+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right)}$$

$${\displaystyle |\Phi (p,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(-mx_{0}\omega \sin(\omega t),{\frac {\hbar m\Omega }{2}}\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right),}$$

μσ ²identidades trigonométricas ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}\sigma _{p}&={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)}}\\&={\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)\cos {(4\omega t)}}}\end{aligned}}}$$

De las relaciones

$${\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\geq 2,\quad |\cos(4\omega t)|\leq 1,}$$

Ω = ω

$${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)}}={\frac {\hbar }{2}}.}$$

Estados coherentes

Un estado coherente es un estado propio derecho del operador de aniquilación ,

$${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle ,}$$

estados de Fock

$${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle }$$

En la imagen donde el estado coherente es una partícula masiva en un oscilador armónico cuántico, los operadores de posición y momento pueden expresarse en términos de operadores de aniquilación en las mismas fórmulas anteriores y usarse para calcular las varianzas.

$${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{2m\omega }},}$$

$${\displaystyle \sigma _{p}^{2}={\frac {\hbar m\omega }{2}}.}$$

$${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}\,{\sqrt {\frac {\hbar m\omega }{2}}}={\frac {\hbar }{2}}.}$$

estado coherente comprimido ${\textstyle {\sqrt {\hbar /2}}}$

Partícula en una caja

Considere una partícula en una caja unidimensional de longitud . Las funciones propias en el espacio de posición y momento son ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle \psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin(k_{n}x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}t},&0<x<L,\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$$

$${\displaystyle \varphi _{n}(p,t)={\sqrt {\frac {\pi L}{\hbar }}}\,\,{\frac {n\left(1-(-1)^{n}e^{-ikL}\right)e^{-i\omega _{n}t}}{\pi ^{2}n^{2}-k^{2}L^{2}}},}$$

relación de Broglie ${\textstyle \omega _{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar n^{2}}{8L^{2}m}}}$ ${\displaystyle p=\hbar k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}$$

$${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}.}$$

Por tanto, el producto de las desviaciones estándar es

$${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}.}$$

${\displaystyle n=1,\,2,\,3,\,\ldots }$ ${\textstyle {\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}}$ ${\displaystyle n=1}$

$${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{3}}-2}}\approx 0.568\hbar >{\frac {\hbar }{2}}.}$$

Impulso constante

Densidad de probabilidad del espacio de posición de un estado inicialmente gaussiano que se mueve con un impulso constante y mínimamente incierto en el espacio libre

Supongamos que una partícula tiene inicialmente una función de onda espacial de momento descrita por una distribución normal alrededor de un momento constante p ₀ según

$${\displaystyle \varphi (p)=\left({\frac {x_{0}}{\hbar {\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}\exp \left({\frac {-x_{0}^{2}(p-p_{0})^{2}}{2\hbar ^{2}}}\right),}$$

adimensionalización ${\textstyle x_{0}={\sqrt {\hbar /m\omega _{0}}}}$ ${\displaystyle \omega _{0}>0}$

$${\displaystyle \Phi (p,t)=\left({\frac {x_{0}}{\hbar {\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}\exp \left({\frac {-x_{0}^{2}(p-p_{0})^{2}}{2\hbar ^{2}}}-{\frac {ip^{2}t}{2m\hbar }}\right),}$$

$${\displaystyle \Psi (x,t)=\left({\frac {1}{x_{0}{\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}{\frac {e^{-x_{0}^{2}p_{0}^{2}/2\hbar ^{2}}}{\sqrt {1+i\omega _{0}t}}}\,\exp \left(-{\frac {(x-ix_{0}^{2}p_{0}/\hbar )^{2}}{2x_{0}^{2}(1+i\omega _{0}t)}}\right).}$$

Dado que y , esto puede interpretarse como una partícula que se mueve con un impulso constante con una precisión arbitrariamente alta. Por otro lado, la desviación estándar de la posición es ${\displaystyle \langle p(t)\rangle =p_{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{p}(t)=\hbar /({\sqrt {2}}x_{0})}$

$${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {x_{0}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+\omega _{0}^{2}t^{2}}}}$$

$${\displaystyle \sigma _{x}(t)\sigma _{p}(t)={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {1+\omega _{0}^{2}t^{2}}}}$$

Principio de incertidumbre del tiempo de energía.

Ancho de línea del espectro energético frente a vida útil

Una relación de incertidumbre energía-tiempo como

$${\displaystyle \Delta E\Delta t\gtrsim \hbar /2,}$$

^{[12][13] [14][15] [16]} ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta E}$ ${\displaystyle \tau _{\sqrt {1/2}}}$ ${\displaystyle \Delta E}$

$${\displaystyle \tau _{\sqrt {1/2}}\Delta E=\pi \hbar /4.}$$

distribución de energía de Briet-Wigner^[17]

Un significado heurístico informal del principio es el siguiente: ^{[18] : 68} Un estado que sólo existe por un corto tiempo no puede tener una energía definida. Para tener una energía definida, la frecuencia del estado debe definirse con precisión, y esto requiere que el estado permanezca durante muchos ciclos, el recíproco de la precisión requerida. Por ejemplo, en espectroscopia , los estados excitados tienen una vida finita. Según el principio de incertidumbre tiempo-energía, no tienen una energía definida y, cada vez que se desintegran, la energía que liberan es ligeramente diferente. La energía promedio del fotón saliente tiene un pico en la energía teórica del estado, pero la distribución tiene un ancho finito llamado ancho de línea natural . Los estados de rápida decadencia tienen un ancho de línea amplio, mientras que los estados de lenta decadencia tienen un ancho de línea estrecho. ^[19] El mismo efecto de ancho de línea también hace que sea difícil especificar la masa en reposo de partículas inestables y de rápida descomposición en la física de partículas . Cuanto más rápido se desintegra la partícula (cuanto más corta es su vida útil), menos segura es su masa (cuanto mayor es el ancho de la partícula ).

El tiempo en la mecánica cuántica

El concepto de "tiempo" en la mecánica cuántica plantea muchos desafíos. ^[20] No existe una teoría cuántica de la medición del tiempo; La relatividad es fundamental para el tiempo y difícil de incluir en la mecánica cuántica. ^[12] Si bien la posición y el momento están asociados con una sola partícula, el tiempo es una propiedad del sistema: no tiene ningún operador necesario para la relación de Robertson-Schrödinger. ^[1] El tratamiento matemático de los sistemas cuánticos estables e inestables difiere. ^[21] Estos factores se combinan para hacer que los principios de incertidumbre energía-tiempo sean controvertidos.

Se pueden distinguir tres nociones de "tiempo": ^[12] externa, intrínseca y observable. El experimentador ve el tiempo externo o de laboratorio; el tiempo intrínseco se infiere mediante cambios en variables dinámicas, como las manecillas de un reloj o el movimiento de una partícula libre; El tiempo observable se refiere al tiempo como observable, la medición de eventos separados en el tiempo.

Un principio externo de incertidumbre tiempo-energía-tiempo podría decir que medir la energía de un sistema cuántico con precisión requiere un intervalo de tiempo . ^[14] Sin embargo , Yakir Aharonov y David Bohm ^{[22] [12]} han demostrado que, en algunos sistemas cuánticos, la energía se puede medir con precisión en un tiempo arbitrariamente corto: los principios de incertidumbre del tiempo externo no son universales. ${\displaystyle \Delta E}$ ${\displaystyle \Delta t>h/\Delta E}$

El tiempo intrínseco es la base de varias formulaciones de relaciones de incertidumbre energía-tiempo, incluida la relación Mandelstam-Tamm que se analiza en la siguiente sección. Un sistema físico con un tiempo intrínseco que coincide estrechamente con el tiempo externo del laboratorio se denomina "reloj". ^{[20] : 31}

El tiempo observable, que mide el tiempo entre dos eventos, sigue siendo un desafío para las teorías cuánticas; Se han logrado algunos avances utilizando conceptos de medición positivos valorados por el operador . ^[12]

Mandelstam-Tamm

En 1945, Leonid Mandelstam e Igor Tamm derivaron una relación de incertidumbre tiempo-energía no relativista , como sigue. ^{[23] [12]} De la mecánica de Heisenberg, el teorema de Ehrenfest generalizado para un observable B sin dependencia temporal explícita, representado por un operador autoadjunto, relaciona la dependencia temporal del valor promedio de con el promedio de su conmutador con el hamiltoniano: ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

$${\displaystyle {\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}={\frac {i}{\hbar }}\langle [{\hat {H}},{\hat {B}}]\rangle }$$

Luego, el valor de se sustituye en la relación de incertidumbre de Roberston por el operador de energía y : ${\displaystyle \langle [{\hat {H}},{\hat {B}}]\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

$${\displaystyle \sigma _{H}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {H}},{\hat {B}}]\rangle \right|}$$

$${\displaystyle \sigma _{H}{\frac {\sigma _{B}}{\left|{\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}\right|}}\geq {\frac {\hbar }{2}},}$$

${\displaystyle \sigma _{H}}$ ${\displaystyle \sigma _{B}}$ ${\displaystyle \Delta E\equiv \sigma _{E}}$

$${\displaystyle \tau _{B}\equiv {\frac {\sigma _{B}}{\left|{\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}\right|}},}$$

tecuación de Schrödinger^{[24] : 230} ${\displaystyle \Delta E\ \tau _{B}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$ ${\displaystyle \tau _{B}}$ ${\displaystyle \tau _{B}}$ ${\displaystyle \langle {\hat {B}}\rangle ,}$

• El momento en que una partícula cuántica libre pasa por un punto en el espacio es más incierto a medida que la energía del estado se controla con mayor precisión: dado que la dispersión del tiempo está relacionada con la dispersión de la posición de la partícula y la dispersión de la energía está relacionada con la dispersión del momento, esta relación es directamente relacionado con la incertidumbre posición-momento. ^{[25] : 144} ${\displaystyle \Delta T=\hbar /2\Delta E.}$
• Una partícula Delta , un compuesto cuasiestable de quarks relacionados con protones y neutrones, tiene una vida útil de 10 ^{a 23} s, por lo que su masa medida equivalente a energía , 1232 MeV/c ² , varía en más o menos 120 MeV/c ² ; esta variación es intrínseca y no está causada por errores de medición. ^{[25] : 144}
• Dos estados de energía, con energías superpuestas para crear un estado compuesto: ${\displaystyle \psi _{1},_{2}}$ ${\displaystyle E_{1},_{2},}$

$${\displaystyle \Psi (x,t)=a\psi _{1}(x)e^{-iE_{1}t/h}+b\psi _{2}(x)e^{-iE_{2}t/h}.}$$

La amplitud de probabilidad de este estado tiene un término de interferencia dependiente del tiempo:

$${\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}=a^{2}|\psi _{1}(x)|^{2}+b^{2}|\psi _{2}(x)|^{2}+2ab\cos({\frac {E_{2}-E_{1}}{\hbar }}t).}$$

El período de oscilación varía inversamente con la diferencia de energía, . ^{[25] : 144} ${\displaystyle \tau =2\pi \hbar /(E_{2}-E_{1})}$

Cada ejemplo tiene un significado diferente para la incertidumbre temporal, según el observable y el estado utilizado.

Teoría cuántica de campos

Algunas formulaciones de la teoría cuántica de campos utilizan pares temporales electrón-positrón en sus cálculos llamados partículas virtuales . La masa-energía y la vida útil de estas partículas están relacionadas por la relación de incertidumbre energía-tiempo. La energía de un sistema cuántico no se conoce con suficiente precisión como para limitar su comportamiento a una historia única y simple. Por lo tanto, la influencia de todas las historias debe incorporarse en los cálculos cuánticos, incluidos aquellos con energía mucho mayor o mucho menor que la media de la distribución de energía medida/calculada.

El principio de incertidumbre energía-tiempo no viola temporalmente la conservación de la energía ; no implica que se pueda "tomar prestada" energía del universo siempre que se "devuelva" en un corto período de tiempo. ^{[25] : 145} La energía del universo no es un parámetro exactamente conocido en todo momento. ^[1] Cuando los eventos ocurren en intervalos de tiempo muy cortos, hay incertidumbre en la energía de estos eventos.

Incertidumbre cuántica intrínseca

Históricamente, el principio de incertidumbre se ha confundido ^{[26] [27]} con un efecto relacionado en física , llamado efecto observador , que señala que las mediciones de ciertos sistemas no se pueden realizar sin afectar al sistema, ^{[28] [29]} es decir, sin cambiar algo en un sistema. Heisenberg utilizó tal efecto de observador a nivel cuántico (ver más abajo) como una "explicación" física de la incertidumbre cuántica. ^[30] Sin embargo, desde entonces ha quedado más claro que el principio de incertidumbre es inherente a las propiedades de todos los sistemas ondulatorios , ^[31] y que surge en la mecánica cuántica simplemente debido a la naturaleza ondulatoria de todos los objetos cuánticos. ^[32] Por lo tanto, el principio de incertidumbre en realidad establece una propiedad fundamental de los sistemas cuánticos y no es una declaración sobre el éxito observacional de la tecnología actual. ^[33]

Formalismo matemático

A partir de la derivación de Kennard de la incertidumbre posición-momento, Howard Percy Robertson desarrolló ^{[34] [1]} una formulación para operadores hermitianos arbitrarios expresados ​​en términos de su desviación estándar ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}$

$${\displaystyle \sigma _{\mathcal {O}}={\sqrt {\langle {\hat {\mathcal {O}}}^{2}\rangle -\langle {\hat {\mathcal {O}}}\rangle ^{2}}},}$$

valor esperadoconmutador ${\displaystyle \langle {\mathcal {O}}\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

$${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}},}$$

y la relación de incertidumbre de Robertson está dada por

$${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|={\frac {1}{2}}\left|\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|,}$$

Edwin Schrödinger. ^[35] mostró cómo permitir la correlación entre los operadores, dando una desigualdad más fuerte, conocida como relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger , ^{[36] [1]}

${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left|{\frac {1}{2}}\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|^{2},}$

donde se utiliza el anticonmutador . ${\displaystyle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}={\hat {A}}{\hat {B}}+{\hat {B}}{\hat {A}}}$

Prueba de la relación de incertidumbre de Schrödinger

La derivación que se muestra aquí incorpora y se basa en las que se muestran en Robertson, ^[34] Schrödinger ^[36] y libros de texto estándar como Griffiths. ^{[25] : 138} Para cualquier operador hermitiano , según la definición de varianza , tenemos ${\displaystyle {\hat {A}}}$

$${\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\langle ({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi |({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi \rangle .}$$

dejamos y así ${\displaystyle |f\rangle =|({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi \rangle }$

$${\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\langle f\mid f\rangle \,.}$$

Del mismo modo, para cualquier otro operador hermitiano en el mismo estado ${\displaystyle {\hat {B}}}$

$${\displaystyle \sigma _{B}^{2}=\langle ({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle =\langle g\mid g\rangle }$$

para ${\displaystyle |g\rangle =|({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle .}$

Por tanto, el producto de las dos desviaciones se puede expresar como

Para relacionar los dos vectores y , utilizamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz ^[37] que se define como ${\displaystyle |f\rangle }$ ${\displaystyle |g\rangle }$

$${\displaystyle \langle f\mid f\rangle \langle g\mid g\rangle \geq |\langle f\mid g\rangle |^{2},}$$

y por lo tanto la ecuación ( 1 ) se puede escribir como

Como en general es un número complejo, utilizamos el hecho de que el módulo al cuadrado de cualquier número complejo se define como , donde es el conjugado complejo de . El módulo al cuadrado también se puede expresar como ${\displaystyle \langle f\mid g\rangle }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|^{2}=zz^{*}}$ ${\displaystyle z^{*}}$ ${\displaystyle z}$

dejamos y y los sustituimos en la ecuación anterior para obtener ${\displaystyle z=\langle f\mid g\rangle }$ ${\displaystyle z^{*}=\langle g\mid f\rangle }$

El producto interno se escribe explícitamente como ${\displaystyle \langle f\mid g\rangle }$

$${\displaystyle \langle f\mid g\rangle =\langle ({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle ,}$$

y usando el hecho de que y son operadores hermitianos, encontramos ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle f\mid g\rangle &=\langle \Psi |({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle \\[4pt]&=\langle \Psi \mid ({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {A}}\langle {\hat {B}}\rangle -{\hat {B}}\langle {\hat {A}}\rangle +\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle \\[4pt]&=\langle \Psi \mid {\hat {A}}{\hat {B}}\Psi \rangle -\langle \Psi \mid {\hat {A}}\langle {\hat {B}}\rangle \Psi \rangle -\langle \Psi \mid {\hat {B}}\langle {\hat {A}}\rangle \Psi \rangle +\langle \Psi \mid \langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \Psi \rangle \\[4pt]&=\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle +\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \\[4pt]&=\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle .\end{aligned}}}$$

De manera similar se puede demostrar que ${\displaystyle \langle g\mid f\rangle =\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle .}$

Así, tenemos

$${\displaystyle \langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle =\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\rangle +\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle =\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle }$$

y

$${\displaystyle \langle f\mid g\rangle +\langle g\mid f\rangle =\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle +\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle =\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -2\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle .}$$

Ahora sustituimos las dos ecuaciones anteriores nuevamente en la ecuación. ( 4 ) y obtener

$${\displaystyle |\langle f\mid g\rangle |^{2}={\Big (}{\frac {1}{2}}\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle {\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle {\Big )}^{2}\,.}$$

Sustituyendo lo anterior en la ecuación ( 2 ) obtenemos la relación de incertidumbre de Schrödinger

$${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq {\sqrt {{\Big (}{\frac {1}{2}}\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle {\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle {\Big )}^{2}}}.}$$

Esta prueba tiene un problema ^[38] relacionado con los dominios de los operadores involucrados. Para que la prueba tenga sentido, el vector tiene que estar en el dominio del operador ilimitado , lo cual no siempre es el caso. De hecho, la relación de incertidumbre de Robertson es falsa si es una variable angular y es la derivada con respecto a esta variable. En este ejemplo, el conmutador es una constante distinta de cero (al igual que en la relación de incertidumbre de Heisenberg) y, sin embargo, hay estados en los que el producto de las incertidumbres es cero. ^[39] (Consulte la sección de contraejemplos a continuación). Este problema se puede superar utilizando un método variacional para la prueba, ^{[40] [41]} o trabajando con una versión exponenciada de las relaciones de conmutación canónicas. ^[39] ${\displaystyle {\hat {B}}|\Psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Tenga en cuenta que en la forma general de la relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger, no es necesario suponer que los operadores y sean operadores autoadjuntos . Basta suponer que son operadores meramente simétricos . (La distinción entre estas dos nociones generalmente se pasa por alto en la literatura de física, donde el término hermitiano se utiliza para una o ambas clases de operadores. Véase el capítulo 9 del libro de Hall ^[42] para una discusión detallada de esta importante pero técnica distinción. ) ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Estados mixtos

La relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger puede generalizarse de forma sencilla para describir estados mixtos .

$${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left|{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (\rho \{A,B\})-\operatorname {tr} (\rho A)\operatorname {tr} (\rho B)\right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\operatorname {tr} (\rho [A,B])\right|^{2}.}$$

Las relaciones de incertidumbre Maccone-Pati

La relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger puede ser trivial si se elige el estado del sistema como estado propio de uno de los observables. Las relaciones de incertidumbre más fuertes demostradas por Lorenzo Maccone y Arun K. Pati dan límites no triviales a la suma de las varianzas de dos observables incompatibles. ^[43] (Trabajos anteriores sobre relaciones de incertidumbre formuladas como la suma de varianzas incluyen, por ejemplo, la Ref. ^[44] debida a Yichen Huang.) Para dos observables que no conmutan y la primera relación de incertidumbre más fuerte viene dada por ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle \sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}\geq \pm i\langle \Psi \mid [A,B]|\Psi \rangle +\mid \langle \Psi \mid (A\pm iB)\mid {\bar {\Psi }}\rangle |^{2},}$$

${\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\langle \Psi |A^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid A\mid \Psi \rangle ^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{B}^{2}=\langle \Psi |B^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid B\mid \Psi \rangle ^{2}}$ ${\displaystyle |{\bar {\Psi }}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle \pm i\langle \Psi \mid [A,B]\mid \Psi \rangle }$

La segunda relación de incertidumbre más fuerte está dada por

$${\displaystyle \sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}\geq {\frac {1}{2}}|\langle {\bar {\Psi }}_{A+B}\mid (A+B)\mid \Psi \rangle |^{2}}$$

${\displaystyle |{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle |{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle (A+B)}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle (A+B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

Mejora de la relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger basada en descomposiciones de la matriz de densidad

La incertidumbre de Robertson-Schrödinger se puede mejorar observando que debe ser válida para todos los componentes en cualquier descomposición de la matriz de densidad dada como ${\displaystyle \varrho _{k}}$

$${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}\varrho _{k}.}$$

${\displaystyle p_{k}\geq 0}$ ${\displaystyle \sum _{k}p_{k}=1}$

$${\displaystyle \sum _{k}a_{k}\sum _{k}b_{k}\geq \left(\sum _{k}{\sqrt {a_{k}b_{k}}}\right)^{2}}$$

^[45] ${\displaystyle a_{k},b_{k}\geq 0}$

$${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left[\sum _{k}p_{k}L(\varrho _{k})\right]^{2},}$$

$${\displaystyle L(\varrho )={\sqrt {\left|{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (\rho \{A,B\})-\operatorname {tr} (\rho A)\operatorname {tr} (\rho B)\right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\operatorname {tr} (\rho [A,B])\right|^{2}}}.}$$

$${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left[\max _{p_{k},\varrho _{k}}\sum _{k}p_{k}L(\varrho _{k})\right]^{2},}$$

^[45]

Con argumentos similares, se puede derivar una relación con un techo convexo en el lado derecho ^[45]

$${\displaystyle \sigma _{A}^{2}F_{Q}[\varrho ,B]\geq 4\left[\min _{p_{k},\Psi _{k}}\sum _{k}p_{k}L(\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert )\right]^{2}}$$

información cuántica de Fisher ${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,B]}$

$${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert .}$$

información cuántica de Fisher^{[46] [47]}

Se sigue una desigualdad más simple sin techo convexo ^[48]

$${\displaystyle \sigma _{A}^{2}F_{Q}[\varrho ,B]\geq \vert \langle i[A,B]\rangle \vert ^{2},}$$

$${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,B]\leq 4\sigma _{B},}$$

Espacio de fase

En la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica, la relación de Robertson-Schrödinger se deriva de una condición de positividad en una función estrella-cuadrado real. Dada una función de Wigner con producto estrella ★ y una función f , lo siguiente es generalmente cierto: ^[49] ${\displaystyle W(x,p)}$

$${\displaystyle \langle f^{*}\star f\rangle =\int (f^{*}\star f)\,W(x,p)\,dx\,dp\geq 0~.}$$

Eligiendo llegamos a ${\displaystyle f=a+bx+cp}$

$${\displaystyle \langle f^{*}\star f\rangle ={\begin{bmatrix}a^{*}&b^{*}&c^{*}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x\star x\rangle &\langle x\star p\rangle \\\langle p\rangle &\langle p\star x\rangle &\langle p\star p\rangle \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\geq 0~.}$$

Dado que esta condición de positividad es cierta para todos a , b y c , se deduce que todos los valores propios de la matriz no son negativos.

Los valores propios no negativos implican entonces una condición correspondiente de no negatividad en el determinante ,

$${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x\star x\rangle &\langle x\star p\rangle \\\langle p\rangle &\langle p\star x\rangle &\langle p\star p\rangle \end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x^{2}\rangle &\left\langle xp+{\frac {i\hbar }{2}}\right\rangle \\\langle p\rangle &\left\langle xp-{\frac {i\hbar }{2}}\right\rangle &\langle p^{2}\rangle \end{bmatrix}}\geq 0~,}$$

$${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}=\left(\langle x^{2}\rangle -\langle x\rangle ^{2}\right)\left(\langle p^{2}\rangle -\langle p\rangle ^{2}\right)\geq \left(\langle xp\rangle -\langle x\rangle \langle p\rangle \right)^{2}+{\frac {\hbar ^{2}}{4}}~.}$$

Ejemplos

Dado que las relaciones de Robertson y Schrödinger son para operadores generales, las relaciones se pueden aplicar a dos observables cualesquiera para obtener relaciones de incertidumbre específicas. A continuación se detallan algunas de las relaciones más comunes que se encuentran en la literatura.

• Relación de incertidumbre posición-momento lineal : para los operadores de posición y momento lineal, la relación de conmutación canónica implica la desigualdad de Kennard desde arriba: ${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$
  $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$$
• Relación de incertidumbre del momento angular : Para dos componentes ortogonales del operador del momento angular total de un objeto:
  $${\displaystyle \sigma _{J_{i}}\sigma _{J_{j}}\geq {\frac {\hbar }{2}}{\big |}\langle J_{k}\rangle {\big |},}$$
  donde i , j , k _son distintos y Ji denota momento angular a lo largo del eje x _i . Esta relación implica que, a menos que los tres componentes desaparezcan juntos, sólo se puede definir con precisión arbitraria un componente del momento angular de un sistema, normalmente el componente paralelo a un campo externo (magnético o eléctrico). Además, para una elección , en multipletes de momento angular, ψ = | j , m ⟩, limita el invariante de Casimir (momento angular al cuadrado, ) desde abajo y, por lo tanto, produce restricciones útiles como j ( j + 1) ≥ m ( m + 1) y, por lo tanto , j ≥ m , entre otras. ${\displaystyle [J_{x},J_{y}]=i\hbar \varepsilon _{xyz}J_{z}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}=J_{x}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}=J_{y}}$ ${\displaystyle \langle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}\rangle }$

• Para el número de electrones en un superconductor y la fase de su parámetro de orden Ginzburg-Landau ^{[50] [51]}
  $${\displaystyle \Delta N\,\Delta \varphi \geq 1.}$$

Limitaciones

La derivación de la desigualdad de Robertson para operadores y requiere y por definir. Hay sistemas cuánticos donde estas condiciones no son válidas. ^[52] Un ejemplo es una partícula cuántica en un anillo , donde la función de onda depende de una variable angular en el intervalo . Definir operadores de "posición" y "momento" y por ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi }$ ${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

$${\displaystyle {\hat {A}}\psi (\theta )=\theta \psi (\theta ),\quad \theta \in [0,2\pi ],}$$

$${\displaystyle {\hat {B}}\psi =-i\hbar {\frac {d\psi }{d\theta }},}$$

^[53] ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=i\hbar }$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi =i\hbar \psi }$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi }$ ${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi }$ ${\displaystyle \psi }$

Ahora sea cualquiera de los estados propios de , que están dados por . Estos estados son normalizables, a diferencia de los estados propios del operador de momento en la recta. Además, el operador está acotado, ya que abarca un intervalo acotado. Así, en el estado , la incertidumbre de es cero y la incertidumbre de es finita, de modo que ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle \psi (\theta )=e^{2\pi in\theta }}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}=0.}$$

^[39] ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Para los operadores habituales de posición y momento y en la línea real, no pueden ocurrir tales contraejemplos. Mientras y estén definidos en el estado , el principio de incertidumbre de Heisenberg se mantiene, incluso si no está en el dominio de o de . ^[54] ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$ ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ${\displaystyle \sigma _{p}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {X}}{\hat {P}}}$ ${\displaystyle {\hat {P}}{\hat {X}}}$

Relaciones de incertidumbre adicionales

límite de heisenberg

En metrología cuántica , y especialmente en interferometría , el límite de Heisenberg es la velocidad óptima a la que la precisión de una medición puede escalar con la energía utilizada en la medición. Normalmente, se trata de la medición de una fase (aplicada a un brazo de un divisor de haz ) y la energía viene dada por el número de fotones utilizados en un interferómetro . Aunque algunos afirman haber superado el límite de Heisenberg, esto refleja un desacuerdo sobre la definición del recurso de escala. ^[55] Definido adecuadamente, el límite de Heisenberg es una consecuencia de los principios básicos de la mecánica cuántica y no puede ser superado, aunque el límite débil de Heisenberg sí puede ser superado. ^[56]

Errores sistemáticos y estadísticos.

Las desigualdades anteriores se centran en la imprecisión estadística de los observables cuantificados por la desviación estándar . La versión original de Heisenberg, sin embargo, trataba del error sistemático , una perturbación del sistema cuántico producida por el aparato de medición, es decir, un efecto del observador. ${\displaystyle \sigma }$

Si dejamos representar el error (es decir, la inexactitud ) de una medición de un observable A y la perturbación producida en una medición posterior de la variable conjugada B por la medición anterior de A , entonces la desigualdad propuesta por Ozawa ^[27] , que abarca ambos errores sistemáticos y estadísticos - se cumple: ${\displaystyle \varepsilon _{A}}$ ${\displaystyle \eta _{B}}$

${\displaystyle \varepsilon _{A}\,\eta _{B}+\varepsilon _{A}\,\sigma _{B}+\sigma _{A}\,\eta _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

El principio de incertidumbre de Heisenberg, tal como se describió originalmente en la formulación de 1927, menciona solo el primer término de la desigualdad de Ozawa, con respecto al error sistemático . Usando la notación anterior para describir el efecto de error/perturbación de mediciones secuenciales (primero A , luego B ), podría escribirse como

${\displaystyle \varepsilon _{A}\,\eta _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

La derivación formal de la relación de Heisenberg es posible pero está lejos de ser intuitiva. No fue propuesta por Heisenberg, sino formulada de manera matemáticamente consistente sólo en los últimos años. ^{[57] [58]} Además, debe destacarse que la formulación de Heisenberg no tiene en cuenta los errores estadísticos intrínsecos y . Cada vez hay más pruebas experimentales ^{[31] [59] [60] [61]} de que la incertidumbre cuántica total no puede describirse únicamente mediante el término de Heisenberg, sino que requiere la presencia de los tres términos de la desigualdad de Ozawa. ${\displaystyle \sigma _{A}}$ ${\displaystyle \sigma _{B}}$

Utilizando el mismo formalismo, ^[1] también es posible introducir otro tipo de situación física, a menudo confundida con la anterior, es decir, el caso de mediciones simultáneas ( A y B al mismo tiempo):

${\displaystyle \varepsilon _{A}\,\varepsilon _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

Las dos medidas simultáneas en A y B son necesariamente ^[62] poco nítidas o débiles .

También es posible derivar una relación de incertidumbre que, como la de Ozawa, combine los componentes de error estadístico y sistemático, pero mantenga una forma muy cercana a la desigualdad original de Heisenberg. Añadiendo Robertson ^[1]

${\displaystyle \sigma _{A}\,\sigma _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

y relaciones Ozawa obtenemos

$${\displaystyle \varepsilon _{A}\eta _{B}+\varepsilon _{A}\,\sigma _{B}+\sigma _{A}\,\eta _{B}+\sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|.}$$

$${\displaystyle (\varepsilon _{A}+\sigma _{A})\,(\eta _{B}+\sigma _{B})\,\geq \,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|.}$$

$${\displaystyle {\bar {\varepsilon }}_{A}\,\equiv \,(\varepsilon _{A}+\sigma _{A})}$$

inexactitudA

$${\displaystyle {\bar {\eta }}_{B}\,\equiv \,(\eta _{B}+\sigma _{B})}$$

fluctuación resultanteB^[63]errores sistemáticos como estadísticos

${\displaystyle {\bar {\varepsilon }}_{A}\,{\bar {\eta }}_{B}\,\geq \,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

Principio de incertidumbre entrópica cuántica

Para muchas distribuciones, la desviación estándar no es una forma particularmente natural de cuantificar la estructura. Por ejemplo, las relaciones de incertidumbre en las que uno de los observables es un ángulo tienen poco significado físico para fluctuaciones mayores a un período. ^{[41] [64] [65] [66]} Otros ejemplos incluyen distribuciones altamente bimodales o distribuciones unimodales con varianza divergente.

Una solución que supera estos problemas es una incertidumbre basada en la incertidumbre entrópica en lugar del producto de varianzas. Mientras formulaba la interpretación de la mecánica cuántica de muchos mundos en 1957, Hugh Everett III conjeturó una extensión más fuerte del principio de incertidumbre basada en la certeza entrópica. ^[67] Esta conjetura, también estudiada por II Hirschman ^[68] y probada en 1975 por W. Beckner ^[69] y por Iwo Bialynicki-Birula y Jerzy Mycielski ^[70] es que, para dos pares de transformadas de Fourier adimensionales y normalizadas f ( a ) y g ( b ) donde

${\displaystyle f(a)=\int _{-\infty }^{\infty }g(b)\ e^{2\pi iab}\,db}$   y    ${\displaystyle \,\,\,g(b)=\int _{-\infty }^{\infty }f(a)\ e^{-2\pi iab}\,da}$

las entropías de información de Shannon

$${\displaystyle H_{a}=\int _{-\infty }^{\infty }f(a)\log(f(a))\,da,}$$

$${\displaystyle H_{b}=\int _{-\infty }^{\infty }g(b)\log(g(b))\,db}$$

${\displaystyle H_{a}+H_{b}\geq \log(e/2)}$

donde los logaritmos pueden estar en cualquier base.

Las funciones de distribución de probabilidad asociadas con la función de onda de posición ψ ( x ) y la función de onda de momento φ ( x ) tienen dimensiones de longitud inversa y momento respectivamente, pero las entropías pueden volverse adimensionales mediante

$${\displaystyle H_{x}=-\int |\psi (x)|^{2}\ln \left(x_{0}\,|\psi (x)|^{2}\right)dx=-\left\langle \ln \left(x_{0}\,\left|\psi (x)\right|^{2}\right)\right\rangle }$$

$${\displaystyle H_{p}=-\int |\varphi (p)|^{2}\ln(p_{0}\,|\varphi (p)|^{2})\,dp=-\left\langle \ln(p_{0}\left|\varphi (p)\right|^{2})\right\rangle }$$

x ₀p ₀relación de transformada de Fourierψ ( x )φ ( p )

${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log \left({\frac {e\,h}{2\,x_{0}\,p_{0}}}\right)}$

donde h es la constante de Planck .

Dependiendo de la elección del producto x ₀ p ₀ , la expresión se puede escribir de muchas maneras. Si x ₀ p ₀ se elige como h , entonces

$${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log \left({\frac {e}{2}}\right)}$$

Si, en cambio, se elige que x ₀ p ₀ sea ħ , entonces

$${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log(e\,\pi )}$$

Si se elige que x ₀ y p ₀ sean la unidad en cualquier sistema de unidades que se utilice, entonces

$${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log \left({\frac {e\,h}{2}}\right)}$$

h^[71]

El principio de incertidumbre entrópica cuántica es más restrictivo que el principio de incertidumbre de Heisenberg. De las desigualdades logarítmicas inversas de Sobolev ^[72]

$${\displaystyle H_{x}\leq {\frac {1}{2}}\log(2e\pi \sigma _{x}^{2}/x_{0}^{2})~,}$$

$${\displaystyle H_{p}\leq {\frac {1}{2}}\log(2e\pi \sigma _{p}^{2}/p_{0}^{2})~,}$$

más fuerte que el basado en las desviaciones estándar

$${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}\exp \left(H_{x}+H_{p}-\log \left({\frac {e\,h}{2\,x_{0}\,p_{0}}}\right)\right)\geq {\frac {\hbar }{2}}~.}$$

En otras palabras, el principio de incertidumbre de Heisenberg es una consecuencia del principio de incertidumbre entrópica cuántica, pero no al revés. Algunas observaciones sobre estas desigualdades. Primero, la elección de la base e es una cuestión de convención popular en física. Alternativamente, el logaritmo puede estar en cualquier base, siempre que sea consistente en ambos lados de la desigualdad. En segundo lugar, recordemos que se ha utilizado la entropía de Shannon , no la entropía cuántica de von Neumann . Finalmente, la distribución normal satura la desigualdad, y es la única distribución con esta propiedad, porque es la distribución de probabilidad de máxima entropía entre aquellas con varianza fija (ver aquí para prueba).

Un aparato de medición tendrá una resolución finita determinada por la discretización de sus posibles salidas en contenedores, con la probabilidad de estar dentro de uno de los contenedores dada por la regla de Born. Consideraremos la situación experimental más común, en la que los contenedores son de tamaño uniforme. Sea δx una medida de la resolución espacial. Tomamos que el contenedor cero esté centrado cerca del origen, posiblemente con un pequeño desplazamiento constante c . La probabilidad de encontrarse dentro del intervalo j de ancho δx es

$${\displaystyle \operatorname {P} [x_{j}]=\int _{(j-1/2)\delta x-c}^{(j+1/2)\delta x-c}|\psi (x)|^{2}\,dx}$$

Para tener en cuenta esta discretización, podemos definir la entropía de Shannon de la función de onda para un aparato de medición dado como

$${\displaystyle H_{x}=-\sum _{j=-\infty }^{\infty }\operatorname {P} [x_{j}]\ln \operatorname {P} [x_{j}].}$$

Según la definición anterior, la relación de incertidumbre entrópica es

$${\displaystyle H_{x}+H_{p}>\ln \left({\frac {e}{2}}\right)-\ln \left({\frac {\delta x\delta p}{h}}\right).}$$

Aquí observamos que δx δp / h es un volumen de espacio de fase infinitesimal típico utilizado en el cálculo de una función de partición . La desigualdad también es estricta y no saturada. Los esfuerzos para mejorar este límite son un área activa de investigación.

Relación de incertidumbre con tres componentes del momento angular.

Para una partícula de espín, se cumple la siguiente relación de incertidumbre ${\displaystyle j}$

$${\displaystyle \sigma _{J_{x}}^{2}+\sigma _{J_{y}}^{2}+\sigma _{J_{z}}^{2}\geq j,}$$

${\displaystyle J_{l}}$

$${\displaystyle \langle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}\rangle =j(j+1),}$$

$${\displaystyle \langle J_{x}\rangle ^{2}+\langle J_{y}\rangle ^{2}+\langle J_{z}\rangle ^{2}\leq j.}$$

^{[45] [73]}

$${\displaystyle \sigma _{J_{x}}^{2}+\sigma _{J_{y}}^{2}+F_{Q}[\varrho ,J_{z}]/4\geq j,}$$

${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,J_{z}]}$

Análisis armónico

En el contexto del análisis armónico , una rama de las matemáticas, el principio de incertidumbre implica que no se puede localizar al mismo tiempo el valor de una función y su transformada de Fourier. A saber, se cumple la siguiente desigualdad,

$${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi \right)\geq {\frac {\|f\|_{2}^{4}}{16\pi ^{2}}}.}$$

Otras desigualdades de incertidumbre matemática, incluida la incertidumbre entrópica anterior , se mantienen entre una función f y su transformada de Fourier ƒ̂ : ^{[74] [75] [76]}

$${\displaystyle H_{x}+H_{\xi }\geq \log(e/2)}$$

Procesamiento de la señal

En el contexto del procesamiento de señales , y en particular del análisis tiempo-frecuencia , los principios de incertidumbre se denominan límite de Gabor , en honor a Dennis Gabor , o, a veces, límite de Heisenberg-Gabor . El resultado básico, que se desprende del "teorema de Benedicts", a continuación, es que una función no puede ser limitada en el tiempo y en la banda (una función y su transformada de Fourier no pueden tener dominio acotado ) . Más precisamente, el producto tiempo-ancho de banda o duración-ancho de banda satisface

$${\displaystyle \sigma _{{\text{energy}},t}\cdot \sigma _{{\text{energy}},f}\geq {\frac {1}{4\pi }}\approx 0.08{\text{ cycles}},}$$

^[77]gaussianaonda de Gaborancho completo a la mitad del máximopulso de ancho de banda limitado ${\displaystyle \sigma _{{\text{energy}},t}}$ ${\displaystyle \sigma _{{\text{energy}},f}}$ ${\displaystyle \sigma _{t}\sigma _{f}=1/2\pi }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 2\ln 2/\pi \approx 0.44}$

Dicho alternativamente, "No se puede localizar simultáneamente de forma nítida una señal (función f ) tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia ( ƒ̂ , su transformada de Fourier)".

Cuando se aplica a filtros , el resultado implica que no se puede lograr una alta resolución temporal y resolución de frecuencia al mismo tiempo; un ejemplo concreto son los problemas de resolución de la transformada de Fourier de corto tiempo : si se utiliza una ventana amplia, se logra una buena resolución de frecuencia a costa de la resolución temporal, mientras que una ventana estrecha tiene el compromiso opuesto.

Teoremas alternativos dan resultados cuantitativos más precisos y, en el análisis tiempo-frecuencia, en lugar de interpretar los dominios (unidimensionales) de tiempo y frecuencia por separado, se interpreta el límite como un límite inferior en el soporte de una función en (2 -dimensional) plano tiempo-frecuencia. En la práctica, el límite de Gabor limita la resolución simultánea de tiempo-frecuencia que se puede lograr sin interferencias; es posible lograr una resolución más alta, pero a costa de que los diferentes componentes de la señal interfieran entre sí.

Como resultado, para analizar señales donde los transitorios son importantes, a menudo se utiliza la transformada wavelet en lugar de la de Fourier.

Transformada discreta de Fourier

Sea una secuencia de N números complejos y su transformada discreta de Fourier . ${\displaystyle \left\{\mathbf {x_{n}} \right\}:=x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N-1}}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {X_{k}} \right\}:=X_{0},X_{1},\ldots ,X_{N-1},}$

Denote por el número de elementos distintos de cero en la secuencia de tiempo y por el número de elementos distintos de cero en la secuencia de frecuencia . Entonces, ${\displaystyle \|x\|_{0}}$ ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N-1}}$ ${\displaystyle \|X\|_{0}}$ ${\displaystyle X_{0},X_{1},\ldots ,X_{N-1}}$

$${\displaystyle \|x\|_{0}\cdot \|X\|_{0}\geq N.}$$

Esta desigualdad es marcada , y se logra la igualdad cuando x o X es una masa de Dirac, o más generalmente cuando x es un múltiplo distinto de cero de un peine de Dirac sustentado en un subgrupo de enteros módulo N (en cuyo caso X también es un peine de Dirac sustentado en un subgrupo complementario, y viceversa).

De manera más general, si T y W son subconjuntos de los números enteros módulo N , denotemos el operador limitador de tiempo y los operadores limitadores de banda , respectivamente. Entonces ${\displaystyle L_{T},R_{W}:\ell ^{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )\to \ell ^{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )}$

$${\displaystyle \|L_{T}R_{W}\|^{2}\leq {\frac {|T||W|}{|G|}}}$$

norma del operadorN.la reconstrucción de señales^[78] ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )}$

Cuando N es un número primo , se cumple una desigualdad más fuerte:

$${\displaystyle \|x\|_{0}+\|X\|_{0}\geq N+1.}$$

Terence Tao^[79]

teorema de benedicks

Amrein-Berthier ^[80] y el teorema de Benedicks ^[81] dicen intuitivamente que el conjunto de puntos donde f es distinto de cero y el conjunto de puntos donde ƒ̂ es distinto de cero no pueden ser ambos pequeños.

Específicamente, es imposible que una función f en L ² ( R ) y su transformada de Fourier ƒ̂ estén soportadas en conjuntos de medidas finitas de Lebesgue . Una versión más cuantitativa es ^{[82] [83]}

$${\displaystyle \|f\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{d})}\leq Ce^{C|S||\Sigma |}{\bigl (}\|f\|_{L^{2}(S^{c})}+\|{\hat {f}}\|_{L^{2}(\Sigma ^{c})}{\bigr )}~.}$$

Se espera que el factor Ce ^{C | S || Σ |} puede ser reemplazado por Ce ^{C (| S || Σ |) 1/ d} , que solo se conoce si S o Σ son convexos.

Principio de incertidumbre de Hardy

El matemático GH Hardy formuló el siguiente principio de incertidumbre: ^[84] no es posible que f y ƒ̂ sean ambos "decrecientes muy rápidamente". Específicamente, si f in es tal que ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle |f(x)|\leq C(1+|x|)^{N}e^{-a\pi x^{2}}}$$

$${\displaystyle |{\hat {f}}(\xi )|\leq C(1+|\xi |)^{N}e^{-b\pi \xi ^{2}}}$$

ab > 1, f = 0ab = 1P≤ N ${\displaystyle C>0,N}$

$${\displaystyle f(x)=P(x)e^{-a\pi x^{2}}.}$$

Posteriormente se mejoró de la siguiente manera: si es tal que ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{d})}$

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)||{\hat {f}}(\xi )|{\frac {e^{\pi |\langle x,\xi \rangle |}}{(1+|x|+|\xi |)^{N}}}\,dx\,d\xi <+\infty ~,}$$

$${\displaystyle f(x)=P(x)e^{-\pi \langle Ax,x\rangle }~,}$$

P( N − d )/2A es una matriz definida positiva d × d

Este resultado fue expuesto en las obras completas de Beurling sin pruebas y demostrado en Hörmander ^[85] (el caso ) y Bonami, Demange y Jaming ^[86] para el caso general. Tenga en cuenta que la versión de Hörmander-Beurling implica el caso ab > 1 en el teorema de Hardy, mientras que la versión de Bonami-Demange-Jaming cubre toda la fuerza del teorema de Hardy. Una prueba diferente del teorema de Beurling basada en el teorema de Liouville apareció en la ref. ^[87] ${\displaystyle d=1,N=0}$

Una descripción completa del caso ab <1 , así como la siguiente extensión a las distribuciones de clases de Schwartz, aparece en la ref. ^[88]

Teorema  :  si una distribución templada es tal que ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})}$

$${\displaystyle e^{\pi |x|^{2}}f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})}$$

y

$${\displaystyle e^{\pi |\xi |^{2}}{\hat {f}}\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})~,}$$

entonces

$${\displaystyle f(x)=P(x)e^{-\pi \langle Ax,x\rangle }~,}$$

para algún polinomio P conveniente y una matriz definida positiva real A de tipo d × d .

Historia

En 1925, Heisenberg publicó la primera teoría de la mecánica cuántica, ahora conocida como mecánica matricial. Trabajando con Max Born y Pascual Jordan , continuó desarrollando la teoría cada vez más exitosa. ^{[89] : II:267} Un aspecto central de esta teoría era la no conmutatividad : la teoría implicaba que el orden relativo de la medición de la posición y el momento era significativo.

Werner Heisenberg y Niels Bohr

En marzo de 1926, mientras trabajaba en el instituto de Bohr, Heisenberg se dio cuenta de que la no conmutatividad implica el principio de incertidumbre. Escribiendo a Wolfgang Pauli en febrero de 1927, desarrolló los conceptos básicos. ^[90]

En su célebre artículo de 1927 " Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik " ("Sobre el contenido perceptual de la cinemática y la mecánica teórica cuántica"), Heisenberg estableció esta expresión como la cantidad mínima de perturbación del momento inevitable causada por cualquier medición de posición, ^{[ 2]} pero no dio una definición precisa de las incertidumbres Δx y Δ p . En cambio, dio algunas estimaciones plausibles para cada caso por separado. Su artículo hizo un análisis en términos de un microscopio que Bohr demostró que era incorrecto; Heisenberg incluyó un apéndice a la publicación.

En su conferencia de Chicago de 1930 ^[91] refinó su principio:

Trabajos posteriores ampliaron el concepto. Dos variables cualesquiera que no conmuten no pueden medirse simultáneamente: cuanto más precisamente se conoce una, con menos precisión se puede conocer la otra. Heisenberg escribió:

Puede expresarse en su forma más simple como sigue: nunca se pueden conocer con perfecta exactitud los dos factores importantes que determinan el movimiento de una de las partículas más pequeñas: su posición y su velocidad. Es imposible determinar con precisión tanto la posición como la dirección y velocidad de una partícula en el mismo instante . ^[92]

Kennard ^{[6] [1] : 204} en 1927 demostró por primera vez la desigualdad moderna:

donde ħ =h/2 π, y σ _x , σ _p son las desviaciones estándar de posición y momento. (Heisenberg solo demostró la relación ( A2 ) para el caso especial de estados gaussianos. ^[91] ) En 1929, Robertson generalizó la desigualdad a todos los observables y en 1930 Schrödinger amplió la forma para permitir una covarianza distinta de cero de los operadores; este resultado se conoce como desigualdad de Robertson-Schrödinger. ^{[1] : 204}

Terminología y traducción

A lo largo del cuerpo principal de su artículo original de 1927, escrito en alemán, Heisenberg utilizó la palabra "Ungenauigkeit", ^[2] para describir el principio teórico básico. Sólo en la nota final utilizó la palabra "Unsicherheit". Más tarde siempre utilizó "Unbestimmtheit". Sin embargo, cuando se publicó la versión en inglés del libro de texto de Heisenberg, Los principios físicos de la teoría cuántica , en 1930, sólo se utilizó la palabra inglesa "incertidumbre", y se convirtió en el término en el idioma inglés. ^[93]

El microscopio de Heisenberg.

Microscopio de rayos gamma de Heisenberg para localizar un electrón (mostrado en azul). El rayo gamma entrante (que se muestra en verde) es dispersado por el electrón hasta el ángulo de apertura θ del microscopio . Los rayos gamma dispersos se muestran en rojo. La óptica clásica muestra que la posición del electrón sólo puede resolverse hasta una incertidumbre Δ x que depende de θ y de la longitud de onda λ de la luz entrante.

El principio es bastante contrario a la intuición, por lo que hubo que asegurar a los primeros estudiantes de la teoría cuántica que las medidas ingenuas para violarlo siempre serían impracticables. Una forma en que Heisenberg ilustró originalmente la imposibilidad intrínseca de violar el principio de incertidumbre es utilizando el efecto de observador de un microscopio imaginario como dispositivo de medición. ^[91]

Imagina a un experimentador tratando de medir la posición y el impulso de un electrón disparándole un fotón . ^{[94] : 49–50}

• Problema 1: si el fotón tiene una longitud de onda corta y, por lo tanto, un gran impulso, la posición se puede medir con precisión. Pero el fotón se dispersa en una dirección aleatoria, transfiriendo una cantidad grande e incierta de impulso al electrón. Si el fotón tiene una longitud de onda larga y un momento bajo, la colisión no altera mucho el momento del electrón, pero la dispersión revelará su posición sólo vagamente.
• Problema 2 – Si se utiliza una gran apertura para el microscopio, la ubicación del electrón se puede resolver bien (ver criterio de Rayleigh ); pero según el principio de conservación del impulso , el impulso transversal del fotón entrante afecta el impulso de la línea de luz del electrón y, por lo tanto, el nuevo impulso del electrón se resuelve mal. Si se utiliza una apertura pequeña, la precisión de ambas resoluciones es al revés.

La combinación de estas compensaciones implica que no importa qué longitud de onda del fotón y tamaño de apertura se utilicen, el producto de la incertidumbre en la posición medida y el momento medido es mayor o igual a un límite inferior, que es (hasta un pequeño factor numérico ) igual a la constante de Planck . ^[95] A Heisenberg no le importó formular el principio de incertidumbre como un límite exacto, y prefirió usarlo en su lugar, como una declaración cuantitativa heurística, corregida hasta pequeños factores numéricos, lo que hace inevitable la radicalmente nueva no conmutatividad de la mecánica cuántica.

Reacciones críticas

De hecho, los detractores consideraron inicialmente la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica y el principio de incertidumbre de Heisenberg como objetivos gemelos. Según la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica, no existe una realidad fundamental que describa el estado cuántico , sólo una prescripción para calcular los resultados experimentales. No hay forma de decir cuál es fundamentalmente el estado de un sistema, sólo cuál podría ser el resultado de las observaciones.

Albert Einstein creía que la aleatoriedad es un reflejo de nuestra ignorancia de alguna propiedad fundamental de la realidad, mientras que Niels Bohr creía que las distribuciones de probabilidad son fundamentales e irreducibles, y dependen de qué mediciones elegimos realizar. Einstein y Bohr debatieron durante muchos años sobre el principio de incertidumbre.

Observador ideal e imparcial

Wolfgang Pauli llamó a la objeción fundamental de Einstein al principio de incertidumbre "el ideal del observador imparcial" (frase traducida del alemán):

"Así como la Luna tiene una posición definida", me dijo Einstein el invierno pasado, "miremos o no a la Luna, lo mismo debe ser válido también para los objetos atómicos, ya que no es posible una distinción clara entre éstos y los objetos macroscópicos. Observación "No se puede crear un elemento de la realidad como una posición, debe haber algo contenido en la descripción completa de la realidad física que corresponda a la posibilidad de observar una posición, incluso antes de que la observación se haya realizado realmente". Espero haber citado a Einstein correctamente; Siempre es difícil citar de memoria a alguien con quien no se está de acuerdo. Es precisamente este tipo de postulado el que llamo el ideal del observador imparcial.

—  Carta de Pauli a Niels Bohr, 15 de febrero de 1955 ^[96]

la rendija de einstein

El primero de los experimentos mentales de Einstein que desafió el principio de incertidumbre fue el siguiente:

Considere una partícula que pasa a través de una rendija de ancho d . La rendija introduce una incertidumbre en el impulso de aproximadamenteh/dporque la partícula atraviesa la pared. Pero determinemos el momento de la partícula midiendo el retroceso de la pared. Al hacerlo, encontramos el momento de la partícula con precisión arbitraria mediante la conservación del momento.

La respuesta de Bohr fue que la pared también es mecánica cuántica, y que para medir el retroceso con precisión Δ p , se debe conocer el momento de la pared con esta precisión antes de que la partícula la atraviese. Esto introduce una incertidumbre en la posición de la pared y por tanto en la posición de la rendija igual ah/Δpag _, y si el impulso de la pared se conoce con suficiente precisión para medir el retroceso, la posición de la rendija es lo suficientemente incierta como para no permitir una medición de la posición.

Richard Feynman realiza un análisis similar con partículas que se difractan a través de múltiples rendijas . ^[97]

La caja de Einstein

Bohr estuvo presente cuando Einstein propuso el experimento mental que se conoce como la caja de Einstein . Einstein argumentó que "la ecuación de incertidumbre de Heisenberg implicaba que la incertidumbre en el tiempo estaba relacionada con la incertidumbre en la energía, estando relacionado el producto de las dos con la constante de Planck". ^[98] Consideremos, dijo, una caja ideal, revestida de espejos para que pueda contener luz indefinidamente. La caja podía pesarse antes de que un mecanismo de relojería abriera un obturador ideal en el instante elegido para permitir que escapara un solo fotón. "Ahora sabemos, explicó Einstein, exactamente el momento en que el fotón salió de la caja". ^[99] "Ahora, pesa de nuevo la caja. El cambio de masa indica la energía de la luz emitida. De esta manera, dijo Einstein, se podría medir la energía emitida y el momento en que fue liberada con cualquier precisión deseada, en contradicción con el principio de incertidumbre." ^[98]

Bohr pasó una noche en vela considerando este argumento y finalmente se dio cuenta de que era erróneo. Señaló que si la caja fuera pesada, digamos con un resorte y una aguja en una balanza, "dado que la caja debe moverse verticalmente con un cambio en su peso, habrá incertidumbre en su velocidad vertical y por lo tanto, incertidumbre en su velocidad vertical". su altura sobre la mesa... Además, la incertidumbre sobre la elevación sobre la superficie de la Tierra dará como resultado una incertidumbre en la velocidad del reloj", ^[100] debido a la propia teoría de Einstein sobre el efecto de la gravedad en el tiempo . "A través de esta cadena de incertidumbres, Bohr demostró que el experimento de la caja de luz de Einstein no podía medir simultáneamente exactamente la energía del fotón y el tiempo de su escape." ^[101]

Paradoja del EPR para partículas entrelazadas

En 1935, Einstein, Boris Podolsky y Nathan Rosen publicaron un análisis de partículas entrelazadas espacialmente separadas (paradoja EPR). ^[102] Según EPR, se podría medir la posición de una de las partículas entrelazadas y el momento de la segunda partícula, y a partir de esas mediciones deducir la posición y el momento de ambas partículas con cualquier precisión, violando el principio de incertidumbre. Para evitar tal posibilidad, la medición de una partícula debe modificar instantáneamente la distribución de probabilidad de la otra partícula, posiblemente violando el principio de localidad . ^[103]

En 1964, John Stewart Bell demostró que este supuesto puede ser refutado, ya que implicaría una cierta desigualdad entre las probabilidades de diferentes experimentos. Los resultados experimentales confirman las predicciones de la mecánica cuántica, descartando el supuesto básico de EPR de variables locales ocultas .

La crítica de Popper

El filósofo científico Karl Popper abordó el problema de la indeterminación como un realista lógico y metafísico . ^[104] No estaba de acuerdo con la aplicación de las relaciones de incertidumbre a partículas individuales en lugar de a conjuntos de partículas idénticamente preparadas, refiriéndose a ellas como "relaciones estadísticas de dispersión". ^{[104] [105]} En esta interpretación estadística, se puede realizar una medición particular con precisión arbitraria sin invalidar la teoría cuántica.

En 1934, Popper publicó Zur Kritik der Ungenauigkeitsrelationen ( Crítica de las relaciones de incertidumbre ) en Naturwissenschaften , ^[106] y en el mismo año Logik der Forschung (traducido y actualizado por el autor como La lógica del descubrimiento científico en 1959), esbozando sus argumentos. para la interpretación estadística. En 1982, desarrolló aún más su teoría en la teoría cuántica y el cisma en la física , escribiendo:

Las fórmulas [de Heisenberg] son, sin lugar a dudas, fórmulas estadísticas derivables de la teoría cuántica. Pero habitualmente han sido mal interpretadas por aquellos teóricos cuánticos que decían que estas fórmulas pueden interpretarse como determinantes de algún límite superior a la precisión de nuestras mediciones . [énfasis original] ^[107]

Popper propuso un experimento para falsar las relaciones de incertidumbre, aunque luego retiró su versión inicial después de discusiones con Carl Friedrich von Weizsäcker , Heisenberg y Einstein; Este experimento influyó en la formulación de la paradoja EPR. ^{[104] [108]}

Libre albedrío

Algunos científicos, entre ellos Arthur Compton ^[109] y Martin Heisenberg ^[110], han sugerido que el principio de incertidumbre, o al menos la naturaleza probabilística general de la mecánica cuántica, podría ser evidencia del modelo de libre albedrío en dos etapas. Sin embargo, una crítica es que, aparte del papel básico de la mecánica cuántica como base de la química, los mecanismos biológicos no triviales que requieren mecánica cuántica son poco probables, debido al rápido tiempo de decoherencia de los sistemas cuánticos a temperatura ambiente. ^[111] Los defensores de esta teoría comúnmente dicen que esta decoherencia se supera mediante subespacios libres de decoherencia y de detección que se encuentran en las células biológicas. ^[111]

Termodinámica

Hay razones para creer que violar el principio de incertidumbre también implica fuertemente la violación de la segunda ley de la termodinámica . ^[112] Véase la paradoja de Gibbs .

Rechazo del principio

Los principios de incertidumbre relacionan las partículas cuánticas (electrones, por ejemplo) con conceptos clásicos (posición y momento). Esto supone que las partículas cuánticas tienen posición y momento. Edwin C. Kemble señaló ^{[113] : 244} en 1937 que tales propiedades no pueden verificarse experimentalmente y suponer que existen da lugar a muchas contradicciones; de manera similar, Rudolf Haag señala que la posición en la mecánica cuántica es un atributo de una interacción, digamos entre un electrón y un detector, no una propiedad intrínseca. ^{[114] [115] : 111} Desde este punto de vista, el principio de incertidumbre no es una propiedad cuántica fundamental sino un concepto "heredado del lenguaje de nuestros antepasados", como dice Kemble.

Aplicaciones

Dado que el principio de incertidumbre es un resultado tan básico en la mecánica cuántica, los experimentos típicos en mecánica cuántica observan rutinariamente aspectos del mismo. Todas las formas de espectroscopia , incluida la física de partículas, utilizan la relación para relacionar el ancho de línea de energía medido con la vida útil de los estados cuánticos. Sin embargo, ciertos experimentos pueden probar deliberadamente una forma particular del principio de incertidumbre como parte de su programa de investigación principal. Estos incluyen, por ejemplo, pruebas de relaciones de incertidumbre número-fase en sistemas superconductores ^[116] o de óptica cuántica ^[117] . Las aplicaciones que dependen del principio de incertidumbre para su funcionamiento incluyen tecnología de ruido extremadamente bajo, como la requerida en los interferómetros de ondas gravitacionales . ^[118]

Ver también

• Relación de conmutación canónica
• Principio de correspondencia
• Transformada discreta de Fourier # Principios de incertidumbre
• Introducción a la mecánica cuántica.
• Principio de incertidumbre de Küpfmüller
• Efecto observador (física)
• Indeterminación cuántica
• Túnel cuántico
• Física y más allá (los recuerdos de Heisenberg)
• Relaciones de incertidumbre más fuertes
• Medición débil

Referencias

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enlaces externos

• "Principio de incertidumbre", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Entrada de la Enciclopedia de Filosofía de Stanford