Espacios de posición y momento

Espacios físicos que representan posición e impulso, duales por transformada de Fourier.

En física y geometría , existen dos espacios vectoriales estrechamente relacionados , normalmente tridimensionales pero en general de cualquier dimensión finita.El espacio de posiciones (también espacio real o espacio de coordenadas ) es el conjunto de todos los vectores de posición r en el espacio euclidiano , y tiene dimensiones de longitud ; un vector de posición define un punto en el espacio. (Si el vector de posición de una partícula puntual varía con el tiempo, trazará un camino, la trayectoria de una partícula). El espacio de momento es el conjunto de todos los vectores de momento p que puede tener un sistema físico; el vector momento de una partícula corresponde a su movimiento, con unidades de [masa][longitud][tiempo] ⁻¹ .

Matemáticamente, la dualidad entre posición e impulso es un ejemplo de la dualidad de Pontryagin . En particular, si se da una función en el espacio de posición, f ( r ), entonces su transformada de Fourier obtiene la función en el espacio de momento, φ ( p ). Por el contrario, la transformada de Fourier inversa de una función espacial de momento es una función espacial de posición.

Estas cantidades e ideas trascienden toda la física clásica y cuántica, y un sistema físico se puede describir utilizando las posiciones de las partículas constituyentes o sus momentos; ambas formulaciones proporcionan de manera equivalente la misma información sobre el sistema en consideración. Es útil definir otra cantidad en el contexto de las ondas . El vector de onda k (o simplemente " k -vector") tiene dimensiones de longitud recíproca , lo que lo convierte en un análogo de la frecuencia angular ω que tiene dimensiones de tiempo recíproco . El conjunto de todos los vectores de onda es el espacio k . Por lo general , r es más intuitivo y simple que k , aunque lo contrario también puede ser cierto, como en la física del estado sólido .

La mecánica cuántica proporciona dos ejemplos fundamentales de la dualidad entre posición y momento, el principio de incertidumbre de Heisenberg Δ x Δ p ≥ ħ /2 que establece que la posición y el momento no pueden conocerse simultáneamente con precisión arbitraria, y la relación de De Broglie p = ħ k que establece El impulso y el vector de onda de una partícula libre son proporcionales entre sí. ^[1] En este contexto, cuando no es ambiguo, los términos " impulso " y "vector de onda" se utilizan indistintamente. Sin embargo, la relación de De Broglie no es cierta en un cristal.

Espacios de posición y momento en la mecánica clásica.

Mecánica lagrangiana

Muy a menudo en la mecánica lagrangiana , la L lagrangiana ( q , d q / dt , t ) está en el espacio de configuración , donde q = ( q ₁ , q ₂ ,..., q _n ) es una n - tupla de las coordenadas generalizadas . Las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange son

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\,,\quad {\dot {q}}_{i}\equiv {\frac {dq_{i}}{dt}}\,.}$$

(Un punto exagerado indica una derivada temporal ). Presentamos la definición de momento canónico para cada coordenada generalizada.

$${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\,,}$$

$${\displaystyle {\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\,.}$$

El lagrangiano también se puede expresar en espacio de momento , ^[2] L ′( p , d p / dt , t ), donde p = ( p ₁ , p ₂ , ..., p _n ) es una n -tupla de momentos generalizados. Se realiza una transformación de Legendre para cambiar las variables en el diferencial total del espacio de coordenadas generalizado Lagrangiano;

$${\displaystyle dL=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}dq_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}d{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt=\sum _{i=1}^{n}({\dot {p}}_{i}dq_{i}+p_{i}d{\dot {q}}_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,,}$$

L. regla del producto^{[nb 1]}

$${\displaystyle {\dot {p}}_{i}dq_{i}=d(q_{i}{\dot {p}}_{i})-q_{i}d{\dot {p}}_{i}}$$

$${\displaystyle p_{i}d{\dot {q}}_{i}=d({\dot {q}}_{i}p_{i})-{\dot {q}}_{i}dp_{i}}$$

$${\displaystyle d\left[L-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\right]=-\sum _{i=1}^{n}({\dot {q}}_{i}dp_{i}+q_{i}d{\dot {p}}_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,.}$$

Ahora, el diferencial total del espacio de momento Lagrangiano L ′ es

$${\displaystyle dL'=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}dp_{i}+{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}d{\dot {p}}_{i}\right)+{\frac {\partial L'}{\partial t}}dt}$$

LL

$${\displaystyle L'=L-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\,,\quad -{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}\,,\quad -q_{i}={\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}\,.}$$

La combinación de las dos últimas ecuaciones da el espacio de momento Ecuaciones de Euler-Lagrange

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}={\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}\,.}$$

La ventaja de la transformación de Legendre es que en el proceso se obtiene la relación entre las funciones nuevas y antiguas y sus variables. Tanto la forma de coordenadas como la de momento de la ecuación son equivalentes y contienen la misma información sobre la dinámica del sistema. Esta forma puede resultar más útil cuando el momento o el momento angular entran en el lagrangiano.

Mecánica hamiltoniana

En la mecánica hamiltoniana , a diferencia de la mecánica lagrangiana que utiliza todas las coordenadas o los momentos, las ecuaciones de movimiento hamiltonianas colocan las coordenadas y los momentos en pie de igualdad. Para un sistema con hamiltoniano H ( q , p , t ), las ecuaciones son

$${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\,,\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\,.}$$

Espacios de posición y momento en mecánica cuántica.

En mecánica cuántica , una partícula se describe mediante un estado cuántico . Este estado cuántico se puede representar como una superposición (es decir, una combinación lineal como una suma ponderada ) de estados básicos . En principio, uno es libre de elegir el conjunto de estados básicos, siempre que abarquen el espacio. Si se eligen las funciones propias del operador de posición como un conjunto de funciones base, se habla de un estado como una función de onda ψ ( r ) en el espacio de posiciones (nuestra noción ordinaria de espacio en términos de longitud ). La conocida ecuación de Schrödinger en términos de la posición r es un ejemplo de mecánica cuántica en la representación de la posición. ^[3]

Al elegir las funciones propias de un operador diferente como un conjunto de funciones básicas, se puede llegar a varias representaciones diferentes del mismo estado. Si se eligen las funciones propias del operador de momento como un conjunto de funciones básicas, se dice que la función de onda resultante es la función de onda en el espacio de momento. ^[3] ${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$

Una característica de la mecánica cuántica es que los espacios de fase pueden ser de diferentes tipos: de variable discreta, de rotor y de variable continua. La siguiente tabla resume algunas relaciones involucradas en los tres tipos de espacios de fase. ^[4]

Comparación y resumen de relaciones entre variables conjugadas en espacios de fase de variable discreta (DV), rotor (ROT) y variable continua (CV) (tomado de arXiv:1709.04460). Los espacios de fase más físicamente relevantes consisten en combinaciones de estos tres. Cada espacio de fase consta de posición y momento, cuyos valores posibles se toman de un grupo abeliano localmente compacto y su dual. Un estado de la mecánica cuántica se puede representar completamente en términos de cualquiera de las variables, y la transformación utilizada para pasar entre los espacios de posición y de momento es, en cada uno de los tres casos, una variante de la transformada de Fourier. La tabla utiliza notación de soporte así como terminología matemática que describe las relaciones de conmutación canónicas (CCR).

Relación entre espacio y espacio recíproco

La representación del momento de una función de onda está muy relacionada con la transformada de Fourier y el concepto de dominio de frecuencia . Dado que una partícula de la mecánica cuántica tiene una frecuencia proporcional al momento (la ecuación de De Broglie dada anteriormente), describir la partícula como una suma de sus componentes de momento equivale a describirla como una suma de componentes de frecuencia (es decir, una transformada de Fourier). ^[5] Esto queda claro cuando nos preguntamos cómo podemos transformarnos de una representación a otra.

Funciones y operadores en el espacio de posiciones.

Supongamos que tenemos una función de onda tridimensional en el espacio de posición ψ ( r ) , entonces podemos escribir estas funciones como una suma ponderada de funciones de base ortogonales ψ _j ( r ) :

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\sum _{j}\phi _{j}\psi _{j}(\mathbf {r} )}$$

integral

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\int _{\mathbf {k} {\text{-space}}}\phi (\mathbf {k} )\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k} }$$

ψ ( r ) ${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle \psi }$

En mecánica cuántica, el operador de momento viene dado por

$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}}$$

cálculo matricialdominiofunciones propias

$${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$

valores propios ħ k

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathbf {k} {\text{-space}}}\phi (\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k} }$$

^[6]

Funciones y operadores en el espacio de impulso.

Por el contrario, una función de onda tridimensional en el espacio de momento se puede expresar como una suma ponderada de funciones de base ortogonales . ${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle \phi _{j}(\mathbf {k} )}$

$${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )=\sum _{j}\psi _{j}\phi _{j}(\mathbf {k} ),}$$

$${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )=\int _{\mathbf {r} {\text{-space}}}\psi (\mathbf {r} )\phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k} )\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} .}$$

El operador de posición viene dado por

$${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}=i{\frac {\partial }{\partial \mathbf {k} }}}$$

$${\displaystyle \phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k} )={\frac {1}{\left({\sqrt {2\pi }}\right)^{3}}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$

valores propios r^[6] ${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )}$

$${\displaystyle \phi (\mathbf {k} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathbf {r} {\text{-space}}}\psi (\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} .}$$

Equivalencia unitaria entre operador de posición y momento

Los operadores r y p son unitariamente equivalentes , y el operador unitario viene dado explícitamente por la transformada de Fourier, es decir, una rotación de un cuarto de ciclo en el espacio de fase, generada por el oscilador hamiltoniano. Por tanto, tienen el mismo espectro . En lenguaje físico, p que actúa sobre funciones de onda espaciales de momento es lo mismo que r que actúa sobre funciones de onda espaciales de posición (bajo la imagen de la transformada de Fourier).

Espacio recíproco y cristales.

Para un electrón (u otra partícula ) en un cristal, su valor de k casi siempre se relaciona con su momento cristalino , no con su momento normal. Por lo tanto, k y p no son simplemente proporcionales sino que desempeñan papeles diferentes. Consulte la teoría de perturbaciones k·p para ver un ejemplo. El impulso del cristal es como una envoltura de onda que describe cómo varía la onda de una celda unitaria a la siguiente, pero no proporciona ninguna información sobre cómo varía la onda dentro de cada celda unitaria.

Cuando k se relaciona con el impulso cristalino en lugar del impulso verdadero, el concepto de espacio k sigue siendo significativo y extremadamente útil, pero difiere en varios aspectos del espacio k no cristalino discutido anteriormente. Por ejemplo, en el espacio k de un cristal , hay un conjunto infinito de puntos llamado red recíproca que son "equivalentes" a k = 0 (esto es análogo al aliasing ). Asimismo, la " primera zona de Brillouin " es un volumen finito de k -espacio, tal que cada k posible es "equivalente" exactamente a un punto en esta región.

Ver también

• Espacio de fase
• Espacio recíproco
• Espacio de configuración
• Transformada fraccionaria de Fourier

Notas a pie de página

1. Para dos funciones u y v , el diferencial del producto es d ( uv ) = udv + vdu .

Referencias

1. Eisberg, R.; Resnick, R. (1985). Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2ª ed.). John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-87373-0.
2. Mano, Louis N; Finch, Janet D (1998). Mecánica Analítica. pag. 190.ISBN _ 978-0-521-57572-0.
3. Peleg, Y.; Pnini, R.; Zaarur, E.; Hecht, E. (2010). Mecánica cuántica (Serie de esquemas de Schaum) (2ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-162358-2.
4. Alberto, Víctor V; Pascazio, Saverio; Devoret, Michel H (2017). "Espacios de fase generales: de variables discretas a límites del rotor y del continuo". Revista de Física A: Matemática y Teórica . 50 (50): 504002. arXiv : 1709.04460 . doi :10.1088/1751-8121/aa9314. S2CID  119290497.
5. Abers, E. (2004). Mecánica cuántica . Addison Wesley, Prentice Hall Inc. ISBN 978-0-13-146100-0.
6. R. Penrose (2007). El camino a la realidad . Libros antiguos. ISBN 978-0-679-77631-4.