Trayectoria

Ruta de un objeto en movimiento

Ilustración que muestra la trayectoria direccional de una bala disparada contra un objetivo cuesta arriba.

Una trayectoria o trayectoria de vuelo es el camino que sigue un objeto con masa en movimiento a través del espacio en función del tiempo. En la mecánica clásica , la trayectoria está definida por la mecánica hamiltoniana mediante coordenadas canónicas ; por lo tanto, una trayectoria completa está definida por la posición y el impulso , simultáneamente.

La masa podría ser un proyectil o un satélite . ^[1] Por ejemplo, puede ser una órbita : la trayectoria de un planeta , asteroide o cometa mientras viaja alrededor de una masa central .

En teoría del control , una trayectoria es un conjunto de estados de un sistema dinámico ordenados en el tiempo (ver, por ejemplo, el mapa de Poincaré ). En matemáticas discretas , una trayectoria es una secuencia de valores calculada mediante la aplicación iterada de un mapeo a un elemento de su fuente. ${\displaystyle (f^{k}(x))_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

Física de trayectorias.

Un ejemplo familiar de trayectoria es la trayectoria de un proyectil, como una pelota o una piedra lanzada. En un modelo significativamente simplificado, el objeto se mueve sólo bajo la influencia de un campo de fuerza gravitacional uniforme . Esta puede ser una buena aproximación para una roca que se lanza a distancias cortas, por ejemplo a la superficie de la Luna . En esta simple aproximación, la trayectoria toma la forma de una parábola . Generalmente, al determinar trayectorias, puede ser necesario tener en cuenta las fuerzas gravitacionales no uniformes y la resistencia del aire ( resistencia y aerodinámica ). Este es el foco de la disciplina de balística .

Uno de los logros notables de la mecánica newtoniana fue la derivación de las leyes del movimiento planetario de Kepler . En el campo gravitacional de una masa puntual o una masa extendida esféricamente-simétrica (como el Sol ), la trayectoria de un objeto en movimiento es una sección cónica , generalmente una elipse o una hipérbola . ^[a] Esto concuerda con las órbitas observadas de planetas , cometas y naves espaciales artificiales con una aproximación razonablemente buena, aunque si un cometa pasa cerca del Sol, también se ve influenciado por otras fuerzas como el viento solar y la presión de la radiación . que modifican la órbita y hacen que el cometa expulse material al espacio.

La teoría de Newton se desarrolló más tarde hasta convertirse en la rama de la física teórica conocida como mecánica clásica . Emplea las matemáticas del cálculo diferencial (que también fue iniciado por Newton en su juventud). A lo largo de los siglos, innumerables científicos han contribuido al desarrollo de estas dos disciplinas. La mecánica clásica se convirtió en la demostración más destacada del poder del pensamiento racional, es decir, de la razón , tanto en la ciencia como en la tecnología. Ayuda a comprender y predecir una enorme variedad de fenómenos ; Las trayectorias son sólo un ejemplo.

Considere una partícula de masa que se mueve en un campo potencial . Físicamente hablando, la masa representa la inercia y el campo representa fuerzas externas de un tipo particular conocido como "conservador". Dada en cada posición relevante, hay una manera de inferir la fuerza asociada que actuaría en esa posición, digamos a partir de la gravedad. Sin embargo, no todas las fuerzas pueden expresarse de esta manera. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

El movimiento de la partícula se describe mediante la ecuación diferencial de segundo orden.

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {x}}(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\nabla V({\vec {x}}(t)){\text{ with }}{\vec {x}}=(x,y,z).}$

En el lado derecho, la fuerza está dada en términos de , el gradiente del potencial, tomado en posiciones a lo largo de la trayectoria. Esta es la forma matemática de la segunda ley del movimiento de Newton : la fuerza es igual a la masa multiplicada por la aceleración, para tales situaciones. ${\displaystyle \nabla V}$

Ejemplos

Gravedad uniforme, sin arrastre ni viento

Trayectorias de una masa lanzada con un ángulo de 70°,
 sin arrastre
 con arrastre de Stokes
 con arrastre de Newton

El caso ideal de movimiento de un proyectil en un campo gravitacional uniforme en ausencia de otras fuerzas (como la resistencia del aire) fue investigado por primera vez por Galileo Galilei . Ignorar la acción de la atmósfera en la configuración de una trayectoria habría sido considerado una hipótesis inútil por investigadores de mentalidad práctica a lo largo de toda la Edad Media en Europa . Sin embargo, al anticipar la existencia del vacío , que luego sería demostrada en la Tierra por su colaborador Evangelista Torricelli ^{[ cita requerida ]} , Galileo pudo iniciar la futura ciencia de la mecánica . ^{[ cita necesaria ]} En un vacío cercano, como ocurre, por ejemplo, en la Luna , su trayectoria parabólica simplificada resulta esencialmente correcta.

En el análisis que sigue, derivamos la ecuación de movimiento de un proyectil medido desde un sistema inercial en reposo con respecto al suelo. Asociado al marco hay un sistema de coordenadas derecho con su origen en el punto de lanzamiento del proyectil. El eje es tangente al suelo y el eje es perpendicular a él (paralelo a las líneas del campo gravitacional). Sea la aceleración de la gravedad . En relación con el terreno plano, sea la velocidad horizontal inicial y la velocidad vertical inicial . También se mostrará que el alcance es y la altitud máxima es . El alcance máximo para una velocidad inicial dada se obtiene cuando , es decir, el ángulo inicial es 45 . Este alcance es , y la altitud máxima en el alcance máximo es . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle v_{h}=v\cos(\theta )}$ ${\displaystyle v_{v}=v\sin(\theta )}$ ${\displaystyle 2v_{h}v_{v}/g}$ ${\displaystyle v_{v}^{2}/2g}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{h}=v_{v}}$ ${\displaystyle ^{\circ }}$ ${\displaystyle v^{2}/g}$ ${\displaystyle v^{2}/(4g)}$

Derivación de la ecuación de movimiento.

Supongamos que el movimiento del proyectil se mide desde un marco de caída libre que se encuentra en ( x , y ) = (0,0) en  t  = 0. La ecuación de movimiento del proyectil en este marco (según el principio de equivalencia ) sería . Las coordenadas de este sistema de caída libre, con respecto a nuestro sistema inercial, serían . Eso es, . ${\displaystyle y=x\tan(\theta )}$ ${\displaystyle y=-gt^{2}/2}$ ${\displaystyle y=-g(x/v_{h})^{2}/2}$

Ahora, traduciendo nuevamente al sistema inercial, las coordenadas del proyectil se convierten en: ${\displaystyle y=x\tan(\theta )-g(x/v_{h})^{2}/2}$

${\displaystyle y=-{g\sec ^{2}\theta \over 2v_{0}^{2}}x^{2}+x\tan \theta ,}$

(donde v ₀ es la velocidad inicial, es el ángulo de elevación y g es la aceleración de la gravedad). ${\displaystyle \theta }$

Alcance y altura

Trayectorias de proyectiles lanzados con diferentes ángulos de elevación pero con la misma velocidad de 10 m/s en el vacío y un campo gravitatorio uniforme hacia abajo de 10 m/s ² . Los puntos están a intervalos de 0,05 s y la longitud de sus colas es linealmente proporcional a su velocidad. t = tiempo desde el lanzamiento, T = tiempo de vuelo, R = alcance y H = punto más alto de la trayectoria (indicado con flechas).

El rango , R , es la mayor distancia que recorre el objeto a lo largo del eje x en el sector I. La velocidad inicial , vi _, es la velocidad a la que se lanza dicho objeto desde el punto de origen. El ángulo inicial , θ _i , es el ángulo con el que se suelta dicho objeto. La g es la atracción gravitacional respectiva sobre el objeto dentro de un medio nulo.

${\displaystyle R={v_{i}^{2}\sin 2\theta _{i} \over g}}$

La altura , h , es la mayor altura parabólica que alcanza dicho objeto dentro de su trayectoria

${\displaystyle h={v_{i}^{2}\sin ^{2}\theta _{i} \over 2g}}$

Ángulo de elevación

Un ejemplo que muestra cómo calcular la trayectoria de una bala.

En términos de ángulo de elevación y velocidad inicial : ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v_{h}=v\cos \theta ,\quad v_{v}=v\sin \theta \;}$

dando el rango como

${\displaystyle R=2v^{2}\cos(\theta )\sin(\theta )/g=v^{2}\sin(2\theta )/g\,.}$

Esta ecuación se puede reorganizar para encontrar el ángulo para un rango requerido

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\sin ^{-1}\left({\frac {gR}{v^{2}}}\right)}$(Ecuación II: ángulo de lanzamiento del proyectil)

Tenga en cuenta que la función seno es tal que existen dos soluciones para un rango dado . El ángulo que da el rango máximo se puede encontrar considerando la derivada o con respecto a y poniéndola en cero. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d_{h}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\mathrm {d} R \over \mathrm {d} \theta }={2v^{2} \over g}\cos(2\theta )=0}$

que tiene una solución no trivial en , o . El alcance máximo es entonces . En este ángulo , la altura máxima obtenida es . ${\displaystyle 2\theta =\pi /2=90^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta =45^{\circ }}$ ${\displaystyle R_{\max }=v^{2}/g\,}$ ${\displaystyle \sin(\pi /2)=1}$ ${\displaystyle {v^{2} \over 4g}}$

Para encontrar el ángulo que da la altura máxima para una velocidad determinada, calcula la derivada de la altura máxima con respecto a , es decir, que es cero cuando . Entonces la altura máxima se obtiene cuando el proyectil se dispara hacia arriba. ${\displaystyle H=v^{2}\sin ^{2}(\theta )/(2g)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathrm {d} H \over \mathrm {d} \theta }=v^{2}2\cos(\theta )\sin(\theta )/(2g)}$ ${\displaystyle \theta =\pi /2=90^{\circ }}$ ${\displaystyle H_{\mathrm {max} }={v^{2} \over 2g}}$

Objetos en órbita

Si en lugar de una fuerza gravitacional uniforme hacia abajo consideramos dos cuerpos que orbitan con gravitación mutua entre ellos, obtenemos las leyes del movimiento planetario de Kepler . La derivación de estos fue uno de los principales trabajos de Isaac Newton y proporcionó gran parte de la motivación para el desarrollo del cálculo diferencial .

Atrapar pelotas

Si un proyectil, como una pelota de béisbol o de críquet, viaja en una trayectoria parabólica, con una resistencia del aire insignificante, y si un jugador se coloca de manera que pueda atraparlo mientras desciende, verá que su ángulo de elevación aumenta continuamente a lo largo de su vuelo. La tangente del ángulo de elevación es proporcional al tiempo transcurrido desde que la pelota fue lanzada al aire, generalmente al ser golpeada con un bate. Incluso cuando la pelota está realmente descendiendo, cerca del final de su vuelo, su ángulo de elevación visto por el jugador continúa aumentando. Por tanto, el jugador lo ve como si estuviera ascendiendo verticalmente a velocidad constante. Encontrar el lugar desde donde la pelota parece elevarse de manera constante ayuda al jugador a posicionarse correctamente para realizar la atrapada. Si está demasiado cerca del bateador que ha golpeado la pelota, ésta parecerá elevarse a un ritmo acelerado. Si está demasiado lejos del bateador, éste parecerá desacelerar rápidamente y luego descender.

Notas

1. Teóricamente es posible que una órbita sea una línea recta radial, un círculo o una parábola. Se trata de casos límite que tienen una probabilidad nula de ocurrir en la realidad.

Ver también

• Trayectoria de cruce de popa
• Desplazamiento (geometría)
• invariancia galileana
• Órbita (dinámica)
• Órbita (teoría de grupos)
• trayectoria orbital
• fugoide
• órbita planetaria
• Parcela de chuleta de cerdo
• Movimiento de proyectiles
• Alcance de un proyectil
• Cuerpo rígido
• linea mundial

Referencias

1. Meta, Rohit. "11". Los principios de la física . pag. 378.

enlaces externos

• Subprograma Flash de movimiento de proyectiles Archivado el 14 de septiembre de 2008 en Wayback Machine :)
• calculadora de trayectoria
• Una simulación interactiva del movimiento de un proyectil.
• Projectile Lab, simulador de trayectoria JavaScript
• Movimiento de proyectil parabólico: disparar un dardo tranquilizante inofensivo a un mono que cae por Roberto Castilla-Meléndez, Roxana Ramírez-Herrera y José Luis Gómez-Muñoz, The Wolfram Demonstrations Project .
• Trayectoria, MundoCiencia.
• Simulación de movimiento de proyectiles en Java, con resistencia del aire de primer orden. Archivado el 3 de julio de 2012 en Wayback Machine.
• Simulación de movimiento de proyectiles en Java; soluciones de focalización, parábola de la seguridad.