Potencial gravitacional

Estudio fundamental de la teoría del potencial

En mecánica clásica , el potencial gravitatorio es un potencial escalar que asocia a cada punto del espacio el trabajo ( energía transferida) por unidad de masa que sería necesario para mover un objeto hasta ese punto desde un punto de referencia fijo en el campo gravitatorio conservativo . Es análogo al potencial eléctrico , en el que la masa desempeña el papel de carga . El punto de referencia, donde el potencial es cero, está por convención infinitamente lejos de cualquier masa, lo que da como resultado un potencial negativo a cualquier distancia finita. Su similitud está correlacionada con que ambos campos asociados tienen fuerzas conservativas .

Matemáticamente, el potencial gravitatorio también se conoce como potencial newtoniano y es fundamental en el estudio de la teoría del potencial . También puede utilizarse para resolver los campos electrostáticos y magnetostáticos generados por cuerpos elipsoidales polarizados o cargados uniformemente. ^[1]

Energía potencial

El potencial gravitacional ( V ) en una ubicación es la energía potencial gravitacional ( U ) en esa ubicación por unidad de masa:

$${\displaystyle V={\frac {U}{m}},}$$

donde m es la masa del objeto. La energía potencial es igual (en magnitud, pero negativa) al trabajo realizado por el campo gravitatorio al mover un cuerpo a su posición dada en el espacio desde el infinito. Si el cuerpo tiene una masa de 1 kilogramo, entonces la energía potencial que se le asignará a ese cuerpo es igual al potencial gravitatorio. Por lo tanto, el potencial puede interpretarse como el negativo del trabajo realizado por el campo gravitatorio al mover una unidad de masa desde el infinito.

En algunas situaciones, las ecuaciones se pueden simplificar suponiendo un campo que es casi independiente de la posición. Por ejemplo, en una región cercana a la superficie de la Tierra, la aceleración gravitacional , g , se puede considerar constante. En ese caso, la diferencia de energía potencial entre una altura y otra está, en una buena aproximación, relacionada linealmente con la diferencia de altura: $${\displaystyle \Delta U\approx mg\Delta h.}$$

Forma matemática

El potencial gravitatorio V a una distancia x de una masa puntual de masa M se puede definir como el trabajo W que debe realizar un agente externo para llevar una unidad de masa desde el infinito hasta ese punto: ^{[2] [3] [4] [5]}

$${\displaystyle V(\mathbf {x} )={\frac {W}{m}}={\frac {1}{m}}\int _{\infty }^{x}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} ={\frac {1}{m}}\int _{\infty }^{x}{\frac {GmM}{x^{2}}}dx=-{\frac {GM}{x}},}$$donde G es la constante gravitacional y F es la fuerza gravitacional. El producto GM es el parámetro gravitacional estándar y a menudo se conoce con mayor precisión que G o M por separado. El potencial tiene unidades de energía por masa, por ejemplo, J/kg en el sistema MKS . Por convención, siempre es negativo donde está definido y, a medida que x tiende a infinito, se acerca a cero.

El campo gravitatorio y, por lo tanto, la aceleración de un cuerpo pequeño en el espacio que rodea al objeto masivo, es el gradiente negativo del potencial gravitatorio. Por lo tanto, el negativo de un gradiente negativo produce una aceleración positiva hacia un objeto masivo. Debido a que el potencial no tiene componentes angulares, su gradiente es donde x es un vector de longitud x que apunta desde la masa puntual hacia el cuerpo pequeño y es un vector unitario que apunta desde la masa puntual hacia el cuerpo pequeño. Por lo tanto, la magnitud de la aceleración sigue una ley del cuadrado inverso : $${\displaystyle \mathbf {a} =-{\frac {GM}{x^{3}}}\mathbf {x} =-{\frac {GM}{x^{2}}}{\hat {\mathbf {x} }},}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$ $${\displaystyle \|\mathbf {a} \|={\frac {GM}{x^{2}}}.}$$

El potencial asociado a una distribución de masas es la superposición de los potenciales de masas puntuales. Si la distribución de masas es una colección finita de masas puntuales, y si las masas puntuales están ubicadas en los puntos x ₁ , ..., x _n y tienen masas m ₁ , ..., m _n , entonces el potencial de la distribución en el punto x es $${\displaystyle V(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}-{\frac {Gm_{i}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\|}}.}$$

Puntos x y r , con r contenido en la masa distribuida (gris) y masa diferencial dm ( r ) ubicada en el punto r .

Si la distribución de masa se da como una medida de masa dm en el espacio euclidiano tridimensional R ³ , entonces el potencial es la convolución de − G /| r | con dm . ^{[ cita requerida ]} En buenos casos ^{[ aclaración necesaria ]} esto es igual a la integral donde | x − r | es la distancia entre los puntos x y r . Si hay una función ρ ( r ) que representa la densidad de la distribución en r , de modo que dm ( r ) = ρ ( r ) dv ( r ) , donde dv ( r ) es el elemento de volumen euclidiano , entonces el potencial gravitacional es la integral de volumen $${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\|\mathbf {x} -\mathbf {r} \|}}\,dm(\mathbf {r} ),}$$ $${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\|\mathbf {x} -\mathbf {r} \|}}\,\rho (\mathbf {r} )dv(\mathbf {r} ).}$$

Si V es una función potencial que proviene de una distribución de masa continua ρ ( r ), entonces ρ se puede recuperar utilizando el operador de Laplace , Δ : Esto se cumple puntualmente siempre que ρ sea continua y sea cero fuera de un conjunto acotado. En general, la medida de masa dm se puede recuperar de la misma manera si el operador de Laplace se toma en el sentido de distribuciones . Como consecuencia, el potencial gravitatorio satisface la ecuación de Poisson . Véase también la función de Green para la ecuación de Laplace de tres variables y el potencial newtoniano . $${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi G}}\Delta V(\mathbf {x} ).}$$

La integral puede expresarse en términos de funciones trascendentales conocidas para todas las formas elipsoidales, incluidas las simétricas y degeneradas. ^[6] Estas incluyen la esfera, donde los tres semiejes son iguales; los esferoides achatados (ver referencia elipsoide ) y alargados, donde dos semiejes son iguales; los degenerados donde un semieje es infinito (el cilindro elíptico y circular) y la lámina ilimitada donde dos semiejes son infinitos. Todas estas formas se utilizan ampliamente en las aplicaciones de la integral del potencial gravitacional (aparte de la constante G , con 𝜌 siendo una densidad de carga constante) al electromagnetismo.

Simetría esférica

Una distribución de masa esféricamente simétrica se comporta ante un observador completamente fuera de la distribución como si toda la masa estuviera concentrada en el centro y, por lo tanto, efectivamente como una masa puntual , según el teorema de las capas . En la superficie de la Tierra, la aceleración viene dada por la llamada gravedad estándar g , aproximadamente 9,8 m/s ² , aunque este valor varía ligeramente con la latitud y la altitud. La magnitud de la aceleración es un poco mayor en los polos que en el ecuador porque la Tierra es un esferoide achatado .

Dentro de una distribución de masas esféricamente simétrica, es posible resolver la ecuación de Poisson en coordenadas esféricas . Dentro de un cuerpo esférico uniforme de radio R , densidad ρ y masa m , la fuerza gravitacional g dentro de la esfera varía linealmente con la distancia r desde el centro, lo que da como resultado el potencial gravitacional dentro de la esfera, que es ^{[7] [8]} que se conecta de manera diferenciable con la función de potencial para el exterior de la esfera (ver la figura en la parte superior). $${\displaystyle V(r)={\frac {2}{3}}\pi G\rho \left[r^{2}-3R^{2}\right]={\frac {Gm}{2R^{3}}}\left[r^{2}-3R^{2}\right],\qquad r\leq R,}$$

Relatividad general

En la relatividad general , el potencial gravitatorio se reemplaza por el tensor métrico . Cuando el campo gravitatorio es débil y las fuentes se mueven muy lentamente en comparación con la velocidad de la luz, la relatividad general se reduce a la gravedad newtoniana y el tensor métrico se puede expandir en términos del potencial gravitatorio. ^[9]

Expansión multipolar

El potencial en un punto x está dado por $${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}\ dm(\mathbf {r} ).}$$

Ilustración de una distribución de masa (gris) con el centro de masa como origen de los vectores x y r y el punto en el que se calcula el potencial en la cabeza del vector x .

El potencial se puede desarrollar en una serie de polinomios de Legendre . Representa los puntos x y r como vectores de posición relativos al centro de masas. El denominador en la integral se expresa como la raíz cuadrada del cuadrado para dar donde, en la última integral, r = | r | y θ es el ángulo entre x y r . $${\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {x} )&=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\sqrt {|\mathbf {x} |^{2}-2\mathbf {x} \cdot \mathbf {r} +|\mathbf {r} |^{2}}}}\,dm(\mathbf {r} )\\&=-{\frac {1}{|\mathbf {x} |}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\sqrt {1-2{\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\cos \theta +\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}}}}\,dm(\mathbf {r} )\end{aligned}}}$$

(Véase "forma matemática".) El integrando puede ser expandido como una serie de Taylor en Z = r /| x | , mediante el cálculo explícito de los coeficientes. Una forma menos laboriosa de lograr el mismo resultado es utilizando el teorema binomial generalizado . ^[10] La serie resultante es la función generadora de los polinomios de Legendre: válida para | X | ≤ 1 y | Z | < 1 . Los coeficientes P _n son los polinomios de Legendre de grado n . Por lo tanto, los coeficientes de Taylor del integrando están dados por los polinomios de Legendre en X = cos  θ . Así que el potencial puede ser expandido en una serie que es convergente para posiciones x tales que r < | x | para todos los elementos de masa del sistema (es decir, fuera de una esfera, centrada en el centro de masa, que encierra el sistema): La integral es el componente del centro de masa en la dirección x ; esto se desvanece porque el vector x emana del centro de masa. Entonces, al poner la integral bajo el signo de la sumatoria se obtiene $${\displaystyle \left(1-2XZ+Z^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\ =\sum _{n=0}^{\infty }Z^{n}P_{n}(X)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {x} )&=-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{n}P_{n}(\cos \theta )\,dm(\mathbf {r} )\\&=-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \left(1+\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)\cos \theta +\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}{\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{2}}+\cdots \right)\,dm(\mathbf {r} )\end{aligned}}}$$ ${\textstyle \int r\cos(\theta )\,dm}$ $${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-{\frac {GM}{|\mathbf {x} |}}-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}{\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{2}}dm(\mathbf {r} )+\cdots }$$

Esto demuestra que el alargamiento del cuerpo provoca un potencial menor en la dirección del alargamiento, y un potencial mayor en direcciones perpendiculares, en comparación con el potencial debido a una masa esférica, si comparamos casos con la misma distancia al centro de masas. (Si comparamos casos con la misma distancia a la superficie , ocurre lo contrario).

Valores numéricos

El valor absoluto del potencial gravitatorio en una serie de lugares con respecto a la gravitación de ^{[ aclaración necesaria ]} la Tierra , el Sol y la Vía Láctea se da en la siguiente tabla; es decir, un objeto en la superficie de la Tierra necesitaría 60 MJ/kg para "salir" del campo gravitatorio de la Tierra, otros 900 MJ/kg para salir también del campo gravitatorio del Sol y más de 130 GJ/kg para salir del campo gravitatorio de la Vía Láctea. El potencial es la mitad del cuadrado de la velocidad de escape .

Compare la gravedad en estos lugares .

Véase también

• Aplicaciones de los polinomios de Legendre en física
• Parámetro gravitacional estándar ( GM )
• Geoide
• Geopotencial
• Modelo geopotencial

Notas

1. Solivérez, CE (2016). Electrostática y magnetostática de cuerpos elipsoidales polarizados: el método del tensor de despolarización (1.ª ed. en inglés). Información científica gratuita. ISBN 978-987-28304-0-3.
2. Marion, JB; Thornton, ST (1995). Dinámica clásica de partículas y sistemas (4.ª ed.). Harcourt Brace & Company. pág. 192. ISBN 0-03-097302-3.
3. Arfken, George B.; Weber, Hans J. (2005). Métodos matemáticos para físicos, edición internacional para estudiantes (6.ª ed.). Academic Press , pág. 72. ISBN 978-0-08-047069-6.
4. Sang, David; Jones, Graham; Chadha, Gurinder; Woodside, Richard; Stark, Will; Gill, Aidan (2014). Cambridge International AS and A Level Physics Coursebook (edición ilustrada). Cambridge University Press . p. 276. ISBN 978-1-107-69769-0.
5. Muncaster, Roger (1993). Física de nivel avanzado (edición ilustrada). Nelson Thornes . p. 106. ISBN 978-0-7487-1584-8.
6. MacMillan, WD (1958). La teoría del potencial . Dover Press.
7. Lowrie, William Lowrie (2011). Guía para estudiantes de ecuaciones geofísicas. Cambridge University Press. pág. 69. ISBN 978-1-139-49924-8.Extracto de la página 68
8. Sanchez-Lavega, Agustin (2011). Introducción a las atmósferas planetarias (edición ilustrada). CRC Press. p. 19. ISBN 978-1-4200-6735-4.Extracto de la página 19
9. Grøn, Øyvind; Hervik, Sigbjorn (2007), Teoría general de la relatividad de Einstein: con aplicaciones modernas en cosmología, Springer Science & Business Media, pág. 201, ISBN 978-0-387-69200-5
10. Wylie, CR Jr. (1960). Matemáticas avanzadas para ingeniería (2.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill . pág. 454 [Teorema 2, Sección 10.8].

Referencias

• Vladimirov, V. S. (1971), Ecuaciones de la física matemática , Traducido del ruso por Audrey Littlewood. Editado por Alan Jeffrey. Matemáticas puras y aplicadas, vol. 3, Nueva York: Marcel Dekker Inc., MR  0268497.
• Wang, WX (1988). "El potencial de un esferoide homogéneo en un sistema de coordenadas esferoidales. I. En un punto exterior". J. Phys. A: Math. Gen . 21 (22): 4245–4250. Bibcode :1988JPhA...21.4245W. doi :10.1088/0305-4470/21/22/026.
• Milon, T. (1990). "Una nota sobre el potencial de un elipsoide homogéneo en coordenadas elipsoidales". J. Phys. A: Math. Gen. 23 ( 4): 581–584. doi :10.1088/0305-4470/23/4/027.
• Rastall, Peter (1991). Postprincipia: Gravitación para físicos y astrónomos . World Scientific . Págs. 7 y siguientes. ISBN . 981-02-0778-6.
• Conway, John T. (2000). "Soluciones exactas para el potencial gravitatorio de una familia de esferoides heterogéneos". Mon. Not. R. Astron. Soc . 316 (3): 555–558. Bibcode :2000MNRAS.316..555C. doi : 10.1046/j.1365-8711.2000.03524.x .
• Cohl, HS; Tohline, JE; Rau, ARP (2000). "Desarrollos en la determinación del potencial gravitacional utilizando funciones toroidales". Astron. Nachr . 321 (5/6): 363–372. Bibcode :2000AN....321..363C. doi :10.1002/1521-3994(200012)321:5/6<363::AID-ASNA363>3.0.CO;2-X.
• Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (2003), Dinámica clásica de partículas y sistemas (5.ª ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-40896-1.
• Zhu, Lupeia (1988). "Gravedad y estructura de densidad de la Tierra". Departamento de Ciencias Atmosféricas y de la Tierra. EAS-437 Dinámica de la Tierra . Universidad de San Luis. Instituto Tecnológico de California. Archivado desde el original el 26 de julio de 2011. Consultado el 25 de marzo de 2009 .
• Charles D. Ghilani (28 de noviembre de 2006). "El campo gravitatorio de la Tierra". Programa de Ingeniería Topográfica de la Universidad Estatal de Pensilvania. Archivado desde el original el 18 de julio de 2011. Consultado el 25 de marzo de 2009 .
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