Gráfico de una porción bidimensional del potencial gravitacional dentro y alrededor de un cuerpo esférico uniforme. Los puntos de inflexión de la sección transversal están en la superficie del cuerpo.
En mecánica clásica , el potencial gravitacional es un campo escalar que asocia a cada punto del espacio el trabajo ( energía transferida) por unidad de masa que sería necesario para mover un objeto hasta ese punto desde un punto de referencia fijo. Es análogo al potencial eléctrico en el que la masa desempeña el papel de carga . El punto de referencia, donde el potencial es cero, está por convención infinitamente lejos de cualquier masa, lo que resulta en un potencial negativo a cualquier distancia finita.
En matemáticas, el potencial gravitacional también se conoce como potencial newtoniano y es fundamental en el estudio de la teoría del potencial . También se puede utilizar para resolver los campos electrostáticos y magnetostáticos generados por cuerpos elipsoidales polarizados o cargados uniformemente. [1]
Energía potencial
El potencial gravitacional ( V ) en una ubicación es la energía potencial gravitacional ( U ) en esa ubicación por unidad de masa:
donde m es la masa del objeto. La energía potencial es igual (en magnitud, pero negativa) al trabajo realizado por el campo gravitacional que mueve un cuerpo a su posición determinada en el espacio desde el infinito. Si el cuerpo tiene una masa de 1 kilogramo, entonces la energía potencial que se le debe asignar a ese cuerpo es igual al potencial gravitacional. Entonces, el potencial puede interpretarse como el negativo del trabajo realizado por el campo gravitacional que mueve una unidad de masa desde el infinito.
En algunas situaciones, las ecuaciones se pueden simplificar suponiendo un campo que es casi independiente de la posición. Por ejemplo, en una región cercana a la superficie de la Tierra, la aceleración gravitacional , g , puede considerarse constante. En ese caso, la diferencia de energía potencial de una altura a otra está, en una buena aproximación, linealmente relacionada con la diferencia de altura:
forma matemática
El potencial gravitacional V a una distancia x de una masa puntual de masa M se puede definir como el trabajo W que debe realizar un agente externo para llevar una unidad de masa desde el infinito hasta ese punto: [2] [3] [ 4] [5]
El campo gravitacional y, por tanto, la aceleración de un cuerpo pequeño en el espacio alrededor del objeto masivo, es el gradiente negativo del potencial gravitacional. Así, lo negativo de un gradiente negativo produce una aceleración positiva hacia un objeto masivo. Como el potencial no tiene componentes angulares, su gradiente es
El potencial asociado con una distribución de masa es la superposición de los potenciales de masas puntuales. Si la distribución de masa es una colección finita de masas puntuales, y si las masas puntuales están ubicadas en los puntos x 1 , ..., x n y tienen masas m 1 , ..., m n , entonces el potencial de la distribución en el punto x es
Puntos x y r , con r contenido en la masa distribuida (gris) y la masa diferencial dm ( r ) ubicada en el punto r .
Si V es una función potencial proveniente de una distribución de masa continua ρ ( r ), entonces ρ se puede recuperar usando el operador de Laplace , Δ :
La integral se puede expresar en términos de funciones trascendentales conocidas para todas las formas elipsoidales, incluidas las simétricas y degeneradas. [6] Estos incluyen la esfera, donde los tres semiejes son iguales; los esferoides achatados (ver elipsoide de referencia ) y alargados, donde dos semiejes son iguales; los degenerados donde un semieje es infinito (el cilindro elíptico y circular) y la hoja ilimitada donde dos semiejes son infinitos. Todas estas formas se utilizan ampliamente en las aplicaciones de la integral de potencial gravitacional (aparte de la constante G , siendo 𝜌 una densidad de carga constante) al electromagnetismo.
simetría esférica
Una distribución de masa esféricamente simétrica se comporta ante un observador completamente fuera de la distribución como si toda la masa estuviera concentrada en el centro y, por lo tanto, efectivamente como una masa puntual , según el teorema de la capa . En la superficie de la Tierra, la aceleración viene dada por la llamada gravedad estándar g , aproximadamente 9,8 m/s 2 , aunque este valor varía ligeramente con la latitud y la altitud. La magnitud de la aceleración es un poco mayor en los polos que en el ecuador porque la Tierra es un esferoide achatado .
Dentro de una distribución de masa esféricamente simétrica, es posible resolver la ecuación de Poisson en coordenadas esféricas . Dentro de un cuerpo esférico uniforme de radio R , densidad ρ y masa m , la fuerza gravitacional g dentro de la esfera varía linealmente con la distancia r desde el centro, dando el potencial gravitacional dentro de la esfera, que es [7] [8]
Relatividad general
En la relatividad general , el potencial gravitacional se sustituye por el tensor métrico . Cuando el campo gravitacional es débil y las fuentes se mueven muy lentamente en comparación con la velocidad de la luz, la relatividad general se reduce a la gravedad newtoniana y el tensor métrico se puede expandir en términos del potencial gravitacional. [9]
Expansión multipolar
El potencial en un punto x está dado por
Ilustración de una distribución de masa (gris) con el centro de masa como origen de los vectores x y r y el punto en el que se calcula el potencial en la cabeza del vector x .
El potencial se puede expandir en una serie de polinomios de Legendre . Representa los puntos x y r como vectores de posición relativos al centro de masa. El denominador en la integral se expresa como la raíz cuadrada del cuadrado para dar
r = | r |θxr
(Ver "forma matemática".) El integrando se puede expandir como una serie de Taylor en Z = r //| x | , mediante cálculo explícito de los coeficientes. Una forma menos laboriosa de lograr el mismo resultado es utilizando el teorema del binomio generalizado . [10] La serie resultante es la función generadora de los polinomios de Legendre:
| X | ≤ 1| Z | < 1P nnX = cos θxr < | x |
xx
Esto muestra que el alargamiento del cuerpo provoca un potencial menor en la dirección del alargamiento y un potencial mayor en direcciones perpendiculares, en comparación con el potencial debido a una masa esférica, si comparamos casos con la misma distancia al centro de masa. (Si comparamos casos con la misma distancia a la superficie , ocurre lo contrario).
Valores numéricos
El valor absoluto del potencial gravitacional en varios lugares con respecto a la gravitación de [ se necesita aclaración ] la Tierra , el Sol y la Vía Láctea se proporciona en la siguiente tabla; es decir, un objeto en la superficie de la Tierra necesitaría 60 MJ/kg para "abandonar" el campo de gravedad de la Tierra, otros 900 MJ/kg para abandonar también el campo de gravedad del Sol y más de 130 GJ/kg para abandonar el campo de gravedad de la Vía Láctea. El potencial es la mitad del cuadrado de la velocidad de escape .
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