Velocidad de escape

Concepto en mecánica celeste.

En mecánica celeste , la velocidad de escape o velocidad de escape es la velocidad mínima necesaria para que un objeto escape del contacto o de la órbita de un cuerpo primario , suponiendo:

• Trayectoria balística : no actúan otras fuerzas sobre el objeto, incluidas la propulsión y la fricción.
• No existen otros objetos que produzcan gravedad.

Aunque el término velocidad de escape es común, se describe con mayor precisión como rapidez que como velocidad porque es independiente de la dirección. Como la fuerza gravitacional entre dos objetos depende de su masa combinada, la velocidad de escape también depende de la masa. En el caso de los satélites artificiales y los objetos naturales pequeños, la masa del objeto representa una contribución insignificante a la masa combinada, por lo que a menudo se ignora.

La velocidad de escape varía con la distancia desde el centro del cuerpo primario, al igual que la velocidad de un objeto que viaja bajo la influencia gravitacional del cuerpo primario. Si un objeto está en una órbita circular o elíptica, su velocidad siempre es menor que la velocidad de escape a su distancia actual. Por el contrario, si está en una trayectoria hiperbólica, su velocidad siempre será mayor que la velocidad de escape a su distancia actual. (Se desacelerará a medida que se acerque a una distancia mayor, pero lo hará asintóticamente acercándose a una velocidad positiva). Un objeto en una trayectoria parabólica siempre viajará exactamente a la velocidad de escape en su distancia actual. Tiene energía cinética positiva equilibrada con precisión y energía potencial gravitacional negativa ; ^[a] siempre disminuirá la velocidad, acercándose asintóticamente a la velocidad cero, pero nunca se detendrá del todo. ^[1]

Los cálculos de la velocidad de escape se utilizan normalmente para determinar si un objeto permanecerá en la esfera de influencia gravitacional de un cuerpo determinado. Por ejemplo, en la exploración del sistema solar es útil saber si una sonda seguirá orbitando la Tierra o escapará a una órbita heliocéntrica . También es útil saber cuánto deberá reducir la velocidad una sonda para ser capturada gravitacionalmente por su cuerpo de destino. Los cohetes no tienen que alcanzar la velocidad de escape en una sola maniobra, y los objetos también pueden utilizar la asistencia de la gravedad para desviar energía cinética de los cuerpos grandes.

Los cálculos precisos de la trayectoria requieren tener en cuenta pequeñas fuerzas como la resistencia atmosférica , la presión de la radiación y el viento solar . Un cohete con empuje continuo o intermitente (o un objeto que sube a un ascensor espacial ) puede lograr escapar a cualquier velocidad distinta de cero, pero la cantidad mínima de energía necesaria para hacerlo es siempre la misma.

Cálculo

La velocidad de escape a una distancia d del centro de un cuerpo primario esféricamente simétrico (como una estrella o un planeta) con masa M viene dada por la fórmula ^{[2] [3]}

${\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{d}}}={\sqrt {2gd}}}$

dónde:

• G es la constante gravitacional universal ( G ≈ 6,67×10 ⁻¹¹ m ³ ·kg ⁻¹ ·s ⁻² )
• g = GM/d ² es la aceleración gravitacional local (o la gravedad superficial , cuando d = r ).

El valor GM se denomina parámetro gravitacional estándar , o μ , y a menudo se conoce con mayor precisión que G o M por separado.

Cuando se le da una velocidad inicial mayor que la velocidad de escape, el objeto se acercará asintóticamente al exceso de velocidad hiperbólica que satisface la ecuación: ^[4] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v_{e},}$ ${\displaystyle v_{\infty },}$

${\displaystyle {v_{\infty }}^{2}=V^{2}-{v_{e}}^{2}.}$

Tierra

Por ejemplo, en la superficie de la Tierra, la gravedad superficial es de aproximadamente 9,8 m/s ² (9,8 N/kg, 32 pies/s ² ), y la velocidad de escape de un objeto pequeño es de aproximadamente 11,186 km/s (40 270 km/h). ; 25.020 mph; 36.700 pies/s). ^[5] Esto es aproximadamente 33 veces la velocidad del sonido (Mach 33) y varias veces la velocidad de salida de una bala de rifle (hasta 1,7 km/s). A 9.000 km de altitud, la velocidad de escape es ligeramente inferior a 7,1 km/s. Estas velocidades son relativas a un sistema de referencia no giratorio; Lanzarlo cerca del ecuador en lugar de en los polos puede proporcionar un impulso.

En este contexto, cuando se toma a la Tierra como cuerpo primario, la velocidad de escape a veces se denomina "segunda velocidad cósmica" ^[6]

Energía requerida

Para un objeto de masa, la energía requerida para escapar del campo gravitacional de la Tierra es GMm/r , una función de la masa del objeto (donde r es el radio de la Tierra , nominalmente 6.371 kilómetros (3.959 mi), G es la constante gravitacional y M es la masa de la Tierra , M = 5,9736 × 10 ²⁴ kg ). Una cantidad relacionada es la energía orbital específica , que es esencialmente la suma de la energía cinética y potencial dividida por la masa. Un objeto ha alcanzado la velocidad de escape cuando la energía orbital específica es mayor o igual a cero. ${\displaystyle m}$

Conservacion de energia

Luna 1 , lanzada en 1959, fue el primer objeto artificial que alcanzó la velocidad de escape de la Tierra. ^[7] (Consulte la Lista de sondas del Sistema Solar para obtener más información).

La existencia de la velocidad de escape puede considerarse como una consecuencia de la conservación de la energía y de un campo energético de profundidad finita. Para un objeto con una energía total determinada, que se mueve sujeto a fuerzas conservadoras (como un campo de gravedad estático), solo es posible que el objeto alcance combinaciones de ubicaciones y velocidades que tengan esa energía total; los lugares que tienen una energía potencial mayor que ésta no pueden ser alcanzados en absoluto. Agregar velocidad (energía cinética) a un objeto expande la región de ubicaciones que puede alcanzar, hasta que, con suficiente energía, todas partes hasta el infinito se vuelven accesibles.

La fórmula para la velocidad de escape se puede derivar del principio de conservación de la energía. En aras de la simplicidad, a menos que se indique lo contrario, asumimos que un objeto escapará del campo gravitacional de un planeta esférico uniforme alejándose de él y que la única fuerza significativa que actúa sobre el objeto en movimiento es la gravedad del planeta. Imagine que una nave espacial de masa m está inicialmente a una distancia r del centro de masa del planeta, cuya masa es M , y su velocidad inicial es igual a su velocidad de escape, . En su estado final, estará a una distancia infinita del planeta y su velocidad será insignificante. La energía cinética K y la energía potencial gravitacional U _g son los únicos tipos de energía con los que lidiaremos (ignoraremos la resistencia de la atmósfera), por lo que, por conservación de la energía, ${\displaystyle v_{e}}$

${\displaystyle (K+U_{g})_{\text{initial}}=(K+U_{g})_{\text{final}}}$

Podemos establecer K _final = 0 porque la velocidad final es arbitrariamente pequeña, y U _{g  final} = 0 porque la energía potencial gravitacional final se define como cero a una gran distancia de un planeta, por lo que

${\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {}&{\frac {1}{2}}mv_{e}^{2}+{\frac {-GMm}{r}}=0+0\\[3pt]\Rightarrow {}&v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}\end{aligned}}}$

Relativista

El mismo resultado se obtiene mediante un cálculo relativista , en cuyo caso la variable r representa la coordenada radial o circunferencia reducida de la métrica de Schwarzschild . ^{[8] [9]}

Escenarios

Desde la superficie de un cuerpo

Una expresión alternativa para la velocidad de escape particularmente útil en la superficie del cuerpo es: ${\displaystyle v_{e}}$

${\displaystyle v_{e}={\sqrt {2gr\,}}}$

donde r es la distancia entre el centro del cuerpo y el punto en el que se calcula la velocidad de escape y g es la aceleración gravitacional a esa distancia (es decir, la gravedad superficial ). ^[10]

Para un cuerpo con una distribución de masa esféricamente simétrica, la velocidad de escape de la superficie es proporcional al radio suponiendo densidad constante y proporcional a la raíz cuadrada de la densidad promedio ρ. ${\displaystyle v_{e}}$

${\displaystyle v_{e}=Kr{\sqrt {\rho }}}$

dónde ${\textstyle K={\sqrt {{\frac {8}{3}}\pi G}}\approx 2.364\times 10^{-5}{\text{ m}}^{1.5}{\text{ kg}}^{-0.5}{\text{ s}}^{-1}}$

Esta velocidad de escape es relativa a un sistema de referencia no giratorio, no relativa a la superficie en movimiento del planeta o la luna, como se explica a continuación.

De un cuerpo giratorio

La velocidad de escape relativa a la superficie de un cuerpo en rotación depende de la dirección en la que viaja el cuerpo que escapa. Por ejemplo, como la velocidad de rotación de la Tierra es de 465 m/s en el ecuador , un cohete lanzado tangencialmente desde el ecuador de la Tierra hacia el este requiere una velocidad inicial de aproximadamente 10,735 km/s en relación con la superficie en movimiento en el punto de lanzamiento para escapar. mientras que un cohete lanzado tangencialmente desde el ecuador de la Tierra hacia el oeste requiere una velocidad inicial de aproximadamente 11,665 km/s con respecto a esa superficie en movimiento . La velocidad de la superficie disminuye con el coseno de la latitud geográfica, por lo que las instalaciones de lanzamiento espacial suelen estar situadas lo más cerca posible del ecuador, por ejemplo, el Cabo Cañaveral americano (latitud 28°28′ N) y el Centro Espacial de la Guayana Francesa (latitud 5° 14′ N).

Consideraciones prácticas

En la mayoría de las situaciones no es práctico alcanzar la velocidad de escape casi instantáneamente, debido a la aceleración implicada, y también porque si hay atmósfera, las velocidades hipersónicas implicadas (en la Tierra una velocidad de 11,2 km/s, o 40.320 km/h) serían hacen que la mayoría de los objetos se quemen debido al calentamiento aerodinámico o se rompan por la resistencia atmosférica . Para una órbita de escape real, una nave espacial acelerará constantemente fuera de la atmósfera hasta alcanzar la velocidad de escape apropiada para su altitud (que será menor que en la superficie). En muchos casos, la nave espacial puede colocarse primero en una órbita de estacionamiento (por ejemplo, una órbita terrestre baja entre 160 y 2.000 km) y luego acelerarse hasta alcanzar la velocidad de escape a esa altitud, que será ligeramente menor (aproximadamente 11,0 km/s a una órbita terrestre baja de 200 km). Sin embargo, el cambio adicional requerido en la velocidad es mucho menor porque la nave espacial ya tiene una velocidad orbital significativa (en la órbita terrestre baja la velocidad es de aproximadamente 7,8 km/s, o 28.080 km/h).

De un cuerpo en órbita

La velocidad de escape a una altura dada es multiplicada por la velocidad en una órbita circular a la misma altura (compare esto con la ecuación de velocidad en una órbita circular ). Esto corresponde al hecho de que la energía potencial con respecto al infinito de un objeto en dicha órbita es menos dos veces su energía cinética, mientras que para escapar la suma de la energía potencial y cinética debe ser al menos cero. La velocidad correspondiente a la órbita circular a veces se denomina primera velocidad cósmica , mientras que en este contexto la velocidad de escape se denomina segunda velocidad cósmica . ^[11] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Para un cuerpo en una órbita elíptica que desea acelerar hasta una órbita de escape, la velocidad requerida variará y será mayor en el periapsis , cuando el cuerpo está más cerca del cuerpo central. Sin embargo, la velocidad orbital del cuerpo también será máxima en este punto, y el cambio de velocidad requerido será mínimo, como se explica por el efecto Oberth .

Velocidad de escape baricéntrica

La velocidad de escape se puede medir en relación con el otro cuerpo central o en relación con el centro de masa o baricentro del sistema de cuerpos. Así, para sistemas de dos cuerpos, el término velocidad de escape puede ser ambiguo, pero normalmente se entiende como la velocidad de escape baricéntrica del cuerpo menos masivo. La velocidad de escape generalmente se refiere a la velocidad de escape de partículas de prueba de masa cero . Para partículas de prueba de masa cero tenemos que las velocidades de escape "relativas a otras" y "baricéntricas" son las mismas, es decir, . Pero cuando no podemos despreciar la masa más pequeña (digamos ), llegamos a fórmulas ligeramente diferentes. Como el sistema tiene que obedecer la ley de conservación del momento, vemos que tanto la masa mayor como la menor deben acelerarse en el campo gravitacional. En relación con el centro de masa, la velocidad de la masa más grande ( , para planeta) se puede expresar en términos de la velocidad de la masa más pequeña ( , para cohete). Obtenemos . La velocidad de escape 'baricéntrica' ahora se convierte en : mientras que la velocidad de escape 'relativa al otro' se convierte en : . ${\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{d}}}}$
${\displaystyle m}$
${\displaystyle v_{p}}$ ${\displaystyle v_{r}}$ ${\displaystyle v_{p}=-{\frac {m}{M}}v_{r}}$
${\displaystyle v_{r}={\sqrt {\frac {2GM^{2}}{d(M+m)}}}\approx {\sqrt {\frac {2GM}{d}}}}$ ${\displaystyle v_{r}-v_{p}={\sqrt {\frac {2G(m+M)}{d}}}\approx {\sqrt {\frac {2GM}{d}}}}$

Altura de trayectorias de menor velocidad.

Ignorando todos los factores distintos de la fuerza gravitacional entre el cuerpo y el objeto, un objeto proyectado verticalmente a una velocidad desde la superficie de un cuerpo esférico con velocidad de escape y radio alcanzará una altura máxima que satisfaga la ecuación ^[12] ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{e}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle v=v_{e}{\sqrt {\frac {h}{R+h}}}\ ,}$

lo cual, resolviendo h da como resultado

${\displaystyle h={\frac {x^{2}}{1-x^{2}}}\ R\ ,}$

¿Dónde está la relación entre la velocidad original y la velocidad de escape? ${\textstyle x=v/v_{e}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{e}.}$

A diferencia de la velocidad de escape, la dirección (verticalmente hacia arriba) es importante para alcanzar la altura máxima.

Trayectoria

Si un objeto alcanza exactamente la velocidad de escape, pero no se dirige directamente hacia afuera del planeta, seguirá una trayectoria o trayectoria curva. Aunque esta trayectoria no tiene una forma cerrada, se la puede denominar órbita. Suponiendo que la gravedad es la única fuerza significativa en el sistema, la velocidad de este objeto en cualquier punto de la trayectoria será igual a la velocidad de escape en ese punto debido a la conservación de la energía, su energía total siempre debe ser 0, lo que implica que siempre tiene velocidad de escape; vea la derivación arriba. La forma de la trayectoria será una parábola cuyo foco se sitúa en el centro de masa del planeta. Un escape real requiere un rumbo con una trayectoria que no se cruce con el planeta o su atmósfera, ya que esto provocaría que el objeto se estrellara. Al alejarse de la fuente, este camino se denomina órbita de escape . Las órbitas de escape se conocen como órbitas C3 = 0. C3 es la energía característica , = − GM /2 a , donde a es el semieje mayor , que es infinito para trayectorias parabólicas.

Si el cuerpo tiene una velocidad mayor que la velocidad de escape entonces su camino formará una trayectoria hiperbólica y tendrá un exceso de velocidad hiperbólica, equivalente a la energía extra que tiene el cuerpo. Un delta- v adicional relativamente pequeño por encima del necesario para acelerar hasta la velocidad de escape puede dar como resultado una velocidad relativamente grande en el infinito. Algunas maniobras orbitales aprovechan este hecho. Por ejemplo, en un lugar donde la velocidad de escape es de 11,2 km/s, la suma de 0,4 km/s produce un exceso de velocidad hiperbólica de 3,02 km/s:

${\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {V^{2}-{v_{e}}^{2}}}={\sqrt {(11.6{\text{ km/s}})^{2}-(11.2{\text{ km/s}})^{2}}}\approx 3.02{\text{ km/s}}.}$

Si un cuerpo en órbita circular (o en el periapsis de una órbita elíptica) acelera a lo largo de su dirección de viaje para escapar de la velocidad, el punto de aceleración formará el periapsis de la trayectoria de escape. La dirección final del viaje será de 90 grados con respecto a la dirección en el punto de aceleración. Si el cuerpo acelera más allá de la velocidad de escape, la dirección final de viaje será en un ángulo menor y estará indicada por una de las asíntotas de la trayectoria hiperbólica que está tomando ahora. Esto significa que el momento de la aceleración es fundamental si la intención es escapar en una dirección particular.

Si la velocidad en el periapsis es v , entonces la excentricidad de la trayectoria viene dada por:

${\displaystyle e=2(v/v_{e})^{2}-1}$

Esto es válido para trayectorias elípticas, parabólicas e hiperbólicas. Si la trayectoria es hiperbólica o parabólica, asintóticamente se acercará a un ángulo desde la dirección del periapsis, con ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \sin \theta =1/e.}$

La velocidad se acercará asintóticamente

${\displaystyle {\sqrt {v^{2}-v_{e}^{2}}}.}$

Lista de velocidades de escape

En esta tabla, la mitad izquierda da la velocidad de escape de la superficie visible (que puede ser gaseosa como en el caso de Júpiter, por ejemplo), en relación con el centro del planeta o la luna (es decir, no en relación con su superficie en movimiento). En la mitad derecha, V _e se refiere a la velocidad relativa al cuerpo central (por ejemplo, el sol), mientras que V _te es la velocidad (en la superficie visible del cuerpo más pequeño) en relación al cuerpo más pequeño (planeta o luna). ).

Las dos últimas columnas dependerán precisamente de en qué parte de la órbita se alcance la velocidad de escape, ya que las órbitas no son exactamente circulares (particularmente Mercurio y Plutón).

Deducir la velocidad de escape mediante cálculo

Sea G la constante gravitacional y sea M la masa de la Tierra (u otro cuerpo gravitante) y m la masa del cuerpo o proyectil que escapa. A una distancia r del centro de gravitación el cuerpo siente una fuerza de atracción.

${\displaystyle F=G{\frac {Mm}{r^{2}}}.}$

Por lo tanto , el trabajo necesario para mover el cuerpo una pequeña distancia dr contra esta fuerza está dado por

${\displaystyle dW=F\,dr=G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr.}$

El trabajo total necesario para mover el cuerpo desde la superficie r ₀ del cuerpo gravitante hasta el infinito es entonces ^[17]

${\displaystyle W=\int _{r_{0}}^{\infty }G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr=G{\frac {Mm}{r_{0}}}=mgr_{0}.}$

Para realizar este trabajo para llegar al infinito, la energía cinética mínima del cuerpo en el momento de la partida debe igualar este trabajo, por lo que la velocidad de escape v ₀ satisface

${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}=G{\frac {Mm}{r_{0}}},}$

lo que resulta en

${\displaystyle v_{0}={\sqrt {\frac {2GM}{r_{0}}}}={\sqrt {2gr_{0}}}.}$

Ver también

• Agujero negro : un objeto con una velocidad de escape mayor que la velocidad de la luz
• Energía característica (C ₃ )
• Presupuesto Delta-v : velocidad necesaria para realizar maniobras.
• Tirachinas gravitacional : una técnica para cambiar de trayectoria
• Pozo de gravedad
• Lista de objetos artificiales en órbita heliocéntrica
• Lista de objetos artificiales que abandonan el Sistema Solar
• La bala de cañón de Newton
• Efecto Oberth : la quema de propulsor en lo profundo de un campo de gravedad produce un mayor cambio en la energía cinética.
• problema de dos cuerpos

Notas

1. La energía potencial gravitacional se define como cero a una distancia infinita.

Referencias

1. Giancoli, Douglas C. (2008). Física para científicos e ingenieros con física moderna. Addison-Wesley . pag. 199.ISBN​ 978-0-13-149508-1.
2. Jim Breithaupt (2000). Nueva comprensión de la física para el nivel avanzado (edición ilustrada). Nelson Thornes. pag. 231.ISBN​ 978-0-7487-4314-8.Extracto de la página 231
3. Khatri, Poudel, Gautam, MK, PR, AK (2010). Principios de la Física . Katmandú: Publicación Ayam. págs.170, 171. ISBN 9789937903844.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; Blanco, Jerry E. (1971). Fundamentos de la astrodinámica (edición ilustrada). Corporación de mensajería . pag. 39.ISBN​ 978-0-486-60061-1.
5. Lai, Shu T. (2011). Fundamentos de la carga de naves espaciales: interacciones de naves espaciales con plasmas espaciales. Prensa de la Universidad de Princeton . pag. 240.ISBN​ 978-1-4008-3909-4.
6. Anil K. Maini; Varsha Agrawal (2007). Tecnología satelital: principios y aplicaciones (edición ilustrada). John Wiley e hijos. pag. 56.ISBN​ 978-0-470-03335-7.Extracto de la página 56
7. "NASA - NSSDC - Nave espacial - Detalles". Archivado desde el original el 2 de junio de 2019 . Consultado el 21 de agosto de 2019 .
8. Taylor, Edwin F.; Wheeler, John Archibald; Bertschinger, Edmundo (2010). Explorando los agujeros negros: Introducción a la relatividad general (2ª edición revisada). Addison-Wesley. págs. 2–22. ISBN 978-0-321-51286-4.Capítulo de muestra, página 2-22 Archivado el 21 de julio de 2017 en Wayback Machine.
9. Choquet-Bruhat, Yvonne (2015). Introducción a la relatividad general, los agujeros negros y la cosmología (edición ilustrada). Prensa de la Universidad de Oxford . págs. 116-117. ISBN 978-0-19-966646-1.
10. Bate, Mueller y White, pag. 35
11. Teodorescu, PP (2007). Sistemas mecánicos, modelos clásicos. Springer, Japón. pag. 580.ISBN​ 978-1-4020-5441-9., Sección 2.2.2, pág. 580
12. Bajaj, NK (2015). Física completa: JEE Main. Educación McGraw-Hill . pag. 6.12. ISBN 978-93-392-2032-7.Ejemplo 21, página 6.12
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14. "A las Voyagers y escapar del Sol". Iniciativa de Estudios Interestelares. 25 de febrero de 2015 . Consultado el 3 de febrero de 2023 .
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enlaces externos

• Calculadora de velocidad de escape
• Calculadora numérica de velocidad de escape basada en web