Teorema del binomio

Expansión algebraica de potencias de un binomio

${\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}}$

El coeficiente binomial aparece como la k -ésima entrada en la n -ésima fila del triángulo de Pascal (donde la parte superior es la 0ª fila ). Cada entrada es la suma de las dos anteriores. ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {0}{0}}}$

En álgebra elemental , el teorema del binomio (o expansión binomial ) describe la expansión algebraica de potencias de un binomio . Según el teorema, es posible expandir el polinomio ( x + y ) ⁿ en una suma que incluya términos de la forma ax ^b y ^c , donde los exponentes b y c son enteros no negativos con b + c = n , y el coeficiente a de cada término es un entero positivo específico dependiendo de n y b . Por ejemplo, para n = 4 ,

$${\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.}$$

El coeficiente a en el término de ax ^b y ^c se conoce como coeficiente binomial o (los dos tienen el mismo valor). Estos coeficientes para variar n y b se pueden ordenar para formar el triángulo de Pascal . Estos números también ocurren en combinatoria , donde da el número de combinaciones diferentes (es decir, subconjuntos) de b elementos que se pueden elegir de un conjunto de n elementos . Por eso se suele pronunciar como " n elige b ". ${\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{c}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}$

Historia

Los casos especiales del teorema del binomio se conocían al menos desde el siglo IV a. C., cuando el matemático griego Euclides mencionó el caso especial del teorema del binomio para el exponente . ^[1] El matemático griego Diofanto elevó al cubo varios binomios, incluido . ^[1] El método del matemático indio Aryabhata para encontrar raíces cúbicas, de alrededor del año 510 EC, sugiere que conocía la fórmula binomial para el exponente . ^[1] ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle x-1}$ ${\displaystyle n=3}$

Los coeficientes binomiales, como cantidades combinatorias que expresan el número de formas de seleccionar k objetos entre n sin reemplazo, eran de interés para los antiguos matemáticos indios. La primera referencia conocida a este problema combinatorio es el Chandaḥśāstra del letrista indio Pingala (c. 200 a. C.), que contiene un método para su solución. ^{[2] : 230} El comentarista Halayudha del siglo X d.C. explica este método. ^{[2] [ página necesaria ]} En el siglo VI d. C., los matemáticos indios probablemente sabían cómo expresar esto como un cociente , ^[3] y se puede encontrar una declaración clara de esta regla en el texto Lilavati del siglo XII de Bhaskara . ^[3] ${\textstyle {\frac {n!}{(n-k)!k!}}}$

La primera formulación conocida del teorema del binomio y de la tabla de coeficientes binomiales aparece en una obra de Al-Karaji , citada por Al-Samaw'al en su "al-Bahir". ^{[4] [5] [6]} Al-Karaji describió el patrón triangular de los coeficientes binomiales ^[7] y también proporcionó una prueba matemática tanto del teorema del binomio como del triángulo de Pascal, utilizando una forma temprana de inducción matemática . ^[7] El poeta y matemático persa Omar Khayyam probablemente estaba familiarizado con la fórmula en órdenes superiores, aunque muchas de sus obras matemáticas se han perdido. ^[1] Las expansiones binomiales de pequeños grados eran conocidas en los trabajos matemáticos del siglo XIII de Yang Hui ^[8] y también de Chu Shih-Chieh . ^{[1] Yang Hui atribuye el método a un texto de} Jia Xian mucho anterior al siglo XI , aunque esos escritos ahora también se han perdido. ^{[2] : 142}

En 1544, Michael Stifel introdujo el término "coeficiente binomial" y mostró cómo usarlos para expresar en términos de , mediante el "triángulo de Pascal". ^[9] Blaise Pascal estudió exhaustivamente el triángulo del mismo nombre en su Traité du Triangle Arithmétique . ^[10] Sin embargo, el patrón de números ya era conocido por los matemáticos europeos de finales del Renacimiento, incluidos Stifel, Niccolò Fontana Tartaglia y Simon Stevin . ^[9] ${\displaystyle (1+x)^{n}}$ ${\displaystyle (1+x)^{n-1}}$

A Isaac Newton generalmente se le atribuye el descubrimiento del teorema del binomio generalizado, válido para cualquier exponente real, en 1665. ^{[9] [11]} Fue descubierto de forma independiente en 1670 por James Gregory . ^[12]

Declaración

Según el teorema, la expansión de cualquier potencia entera no negativa n del binomio x + y es una suma de la forma

$${\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},}$$

coeficiente binomial ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1}}.}$$

Esta fórmula también se conoce como fórmula binomial o identidad binomial . Usando notación de suma , se puede escribir de manera más concisa como

$${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.}$$

La expresión final se deriva de la anterior por la simetría de xey en la primera expresión, y en comparación se deduce que la secuencia de coeficientes binomiales en la fórmula es simétrica , ${\textstyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}.}$

Una variante simple de la fórmula binomial se obtiene sustituyendo y por 1 , de modo que involucre sólo una variable . De esta forma, la fórmula dice

$${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{n}&={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n}\\[4mu]&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}.{\vphantom {\Bigg )}}\end{aligned}}}$$

Ejemplos

Estos son los primeros casos del teorema del binomio:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{0}&=1,\\[8pt](x+y)^{1}&=x+y,\\[8pt](x+y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2},\\[8pt](x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7},\\[8pt](x+y)^{8}&=x^{8}+8x^{7}y+28x^{6}y^{2}+56x^{5}y^{3}+70x^{4}y^{4}+56x^{3}y^{5}+28x^{2}y^{6}+8xy^{7}+y^{8}.\end{aligned}}}$$

( x + y ) ⁿn.ésima

• los exponentes de x en los términos son n , n − 1, ..., 2, 1, 0 (el último término contiene implícitamente x ⁰ = 1 );
• los exponentes de y en los términos son 0, 1, 2, ..., n − 1, n (el primer término contiene implícitamente y ⁰ = 1 );
• los coeficientes forman la n- ésima fila del triángulo de Pascal;
• antes de combinar términos semejantes, hay 2 ⁿ términos x ⁱ y ^j en la expansión (no se muestran);
• después de combinar términos semejantes, hay n + 1 términos y sus coeficientes suman 2 ⁿ .

Un ejemplo que ilustra los dos últimos puntos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy&(2^{3}{\text{ terms}})\\&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}&(3+1{\text{ terms}})\end{aligned}}}$$

${\displaystyle 1+3+3+1=2^{3}}$

Un ejemplo simple con un valor positivo específico de y :

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x+2)^{3}&=x^{3}+3x^{2}(2)+3x(2)^{2}+2^{3}\\&=x^{3}+6x^{2}+12x+8.\end{aligned}}}$$

Un ejemplo simple con un valor negativo específico de y :

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x-2)^{3}&=x^{3}-3x^{2}(2)+3x(2)^{2}-2^{3}\\&=x^{3}-6x^{2}+12x-8.\end{aligned}}}$$

Explicación geométrica

Visualización de la expansión binomial hasta la 4ta potencia.

Para valores positivos de a y b , el teorema del binomio con n = 2 es el hecho geométricamente evidente de que un cuadrado de lado a + b se puede cortar en un cuadrado de lado a , un cuadrado de lado b y dos rectángulos de lado a. y B . Con n = 3 , el teorema establece que un cubo de lado a + b se puede cortar en un cubo de lado a , un cubo de lado b , tres cajas rectangulares a × a × b y tres cajas rectangulares a × b × b . .

En cálculo , esta imagen también proporciona una prueba geométrica de la derivada ^[13] si uno establece e interpreta b como un cambio infinitesimal en a , entonces esta imagen muestra el cambio infinitesimal en el volumen de un hipercubo de n dimensiones , donde el coeficiente de el término lineal (en ) es el área de las n caras, cada una de dimensión n − 1 : ${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}:}$ ${\displaystyle a=x}$ ${\displaystyle b=\Delta x,}$ ${\displaystyle (x+\Delta x)^{n},}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle nx^{n-1},}$

$${\displaystyle (x+\Delta x)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}\Delta x+{\binom {n}{2}}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots .}$$

definición de la derivadacociente de diferencias ${\displaystyle (\Delta x)^{2}}$ ${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1},}$

"La tasa de cambio infinitesimal en el volumen de un n -cubo a medida que varía la longitud de los lados es el área de n de sus ( n − 1) -caras dimensionales".

Si uno integra esta imagen, que corresponde a la aplicación del teorema fundamental del cálculo , se obtiene la fórmula de cuadratura de Cavalieri , la integral ; consulte la prueba de la fórmula de cuadratura de Cavalieri para obtener más detalles. ^[13] ${\displaystyle \textstyle {\int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}}}$

Coeficientes binomiales

Los coeficientes que aparecen en el desarrollo binomial se denominan coeficientes binomiales . Suelen escribirse y pronunciarse " n elige k ". ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}},}$

Fórmulas

El coeficiente de x ^{n − k} y ^k viene dado por la fórmula

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\;(n-k)!}},}$$

factorial n !

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}=\prod _{\ell =1}^{k}{\frac {n-\ell +1}{\ell }}=\prod _{\ell =0}^{k-1}{\frac {n-\ell }{k-\ell }}}$$

kfracciónnúmero entero ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

Interpretación combinatoria

El coeficiente binomial se puede interpretar como el número de formas de elegir k elementos de un conjunto de n elementos. Esto está relacionado con los binomios por la siguiente razón: si escribimos ( x + y ) ⁿ como producto ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

$${\displaystyle (x+y)(x+y)(x+y)\cdots (x+y),}$$

ley distributivaxyx ⁿxx ^{n −2} y ²ycombinar términos semejantesx ^{n −2} y ²2n

Pruebas

Prueba combinatoria

Desarrollar ( x + y ) ⁿ produce la suma de los 2 ⁿ productos de la forma e ₁ e ₂ ... e _n donde cada e _i es x o  y . Reordenar los factores muestra que cada producto es igual a x ^{n − k} y ^k para algún k entre 0 y  n . Para un k dado , se demuestra que lo siguiente es igual en sucesión:

• el número de términos iguales a x ^{n − k} y ^k en la expansión
• el número de cadenas x , y de n caracteres que tienen y exactamente en k posiciones
• el número de k subconjuntos de elementos de {1, 2, ..., n }
• ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}},}$ya sea por definición, o por un breve argumento combinatorio si uno se define como ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {n!}{k!(n-k)!}}.}$

Esto demuestra el teorema del binomio.

Ejemplo

El coeficiente de xy ² en

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=(x+y)(x+y)(x+y)\\&=xxx+xxy+xyx+{\underline {xyy}}+yxx+{\underline {yxy}}+{\underline {yyx}}+yyy\\&=x^{3}+3x^{2}y+{\underline {3xy^{2}}}+y^{3}\end{aligned}}}$$

x , yy ${\displaystyle {\tbinom {3}{2}}=3}$

$${\displaystyle xyy,\;yxy,\;yyx,}$$

{1, 2, 3}

$${\displaystyle \{2,3\},\;\{1,3\},\;\{1,2\},}$$

y

prueba inductiva

La inducción produce otra prueba del teorema del binomio. Cuando n = 0 , ambos lados son iguales a 1 , ya que x ⁰ = 1 y ahora supongamos que la igualdad se cumple para un n dado ; lo demostraremos para n + 1 . Para j , k ≥ 0 , sea [ f ( x , y )] _{j , k} el coeficiente de x ^j y ^k en el polinomio f ( x , y ) . Según la hipótesis inductiva, ( x + y ) ⁿ es un polinomio en x e y tal que [( x + y ) ⁿ ] _{j , k} es si j + k = n y 0 en caso contrario. La identidad ${\displaystyle {\tbinom {0}{0}}=1.}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

$${\displaystyle (x+y)^{n+1}=x(x+y)^{n}+y(x+y)^{n}}$$

( x + y ) ^{n +1}xy

$${\displaystyle [(x+y)^{n+1}]_{j,k}=[(x+y)^{n}]_{j-1,k}+[(x+y)^{n}]_{j,k-1},}$$

j + k = n + 1( j − 1) + k = nj + ( k − 1) = n

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}={\binom {n+1}{k}},}$$

la identidad de Pascal^[14]j + k ≠ n + 1( j – 1) + k ≠ nj + ( k – 1) ≠ n0 + 0 = 0

$${\displaystyle (x+y)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}x^{n+1-k}y^{k},}$$

n + 1n

Generalizaciones

Teorema del binomio generalizado de Newton

Alrededor de 1665, Isaac Newton generalizó el teorema del binomio para permitir exponentes reales distintos de los números enteros no negativos. (La misma generalización también se aplica a los exponentes complejos ). En esta generalización, la suma finita se reemplaza por una serie infinita . Para hacer esto, es necesario dar significado a los coeficientes binomiales con un índice superior arbitrario, lo que no se puede hacer usando la fórmula habitual con factoriales. Sin embargo, para un número arbitrario r , se puede definir

$${\displaystyle {r \choose k}={\frac {r(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {(r)_{k}}{k!}},}$$

símbolo de Pochhammerfactorial descendenterxeyreales| x | > | y | ^{[Nota 1]}r ${\displaystyle (\cdot )_{k}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{r}&=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\cdots .\end{aligned}}}$$

Cuando r es un entero no negativo, los coeficientes binomiales para k > r son cero, por lo que esta ecuación se reduce al teorema binomial habitual, y hay como máximo r + 1 términos distintos de cero. Para otros valores de r , la serie normalmente tiene infinitos términos distintos de cero.

Por ejemplo, r = 1/2 da la siguiente serie para la raíz cuadrada:

$${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots .}$$

Tomando r = −1 , la serie binomial generalizada da la fórmula de la serie geométrica , válida para | x | < 1 :

$${\displaystyle (1+x)^{-1}={\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\cdots .}$$

De manera más general, con r = − s , tenemos para | x | < 1 : ^[15]

$${\displaystyle {\frac {1}{(1+x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{-s \choose k}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}(-1)^{k}x^{k}.}$$

Entonces, por ejemplo, cuando s = 1/2 ,

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .}$$

Reemplazar x con -x produce:

$${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}(-1)^{k}(-x)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}x^{k}.}$$

Entonces, por ejemplo, cuando s = 1/2 , tenemos para | x | < 1 :

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x}}}=1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}+{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}+{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .}$$

Otras generalizaciones

El teorema del binomio generalizado se puede extender al caso en el que xey son números complejos. Para esta versión, se debe asumir nuevamente | x | > | y | ^{[Nota 1]} y defina las potencias de x + y y x usando una rama holomorfa de log definida en un disco abierto de radio | x | centrado en x . El teorema del binomio generalizado es válido también para los elementos x e y de un álgebra de Banach siempre que xy = yx , y x sea invertible, y ‖ y / x ‖ < 1 .

Una versión del teorema del binomio es válida para la siguiente familia de polinomios similares al símbolo de Pochhammer : para una constante real dada c , defina y ${\displaystyle x^{(0)}=1}$

$${\displaystyle x^{(n)}=\prod _{k=1}^{n}[x+(k-1)c]}$$

^[16] ${\displaystyle n>0.}$

$${\displaystyle (a+b)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{(n-k)}b^{(k)}.}$$

c = 0

De manera más general, se dice que una secuencia de polinomios es de tipo binomial si ${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$

• ${\displaystyle \deg p_{n}=n}$para todos , ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle p_{0}(0)=1}$, y
• ${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)p_{n-k}(y)}$para todos , , y . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle n}$

Se dice que un operador en el espacio de polinomios es el operador base de la secuencia si y para todos . Una secuencia es binomial si y sólo si su operador base es un operador Delta . ^[17] Al escribir para el desplazamiento por operador, los operadores Delta correspondientes a las familias de polinomios "Pochhammer" anteriores son la diferencia hacia atrás para , la derivada ordinaria para y la diferencia directa para . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle Qp_{0}=0}$ ${\displaystyle Qp_{n}=np_{n-1}}$ ${\displaystyle n\geqslant 1}$ ${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle E^{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle I-E^{-c}}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle E^{-c}-I}$ ${\displaystyle c<0}$

Teorema multinomial

El teorema del binomio se puede generalizar para incluir potencias de sumas con más de dos términos. La versión general es

$${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}},}$$

donde la suma se toma sobre todas las secuencias de índices enteros no negativos k ₁ a k _m tales que la suma de todos los k _i es  n . (Para cada término de la expansión, los exponentes deben sumar  n ). Los coeficientes se conocen como coeficientes multinomiales y se pueden calcular mediante la fórmula ${\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}}$

$${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}}.}$$

Combinatoriamente, el coeficiente multinomial cuenta el número de formas diferentes de dividir un conjunto de n elementos en subconjuntos disjuntos de tamaños k ₁ , ..., k _m . ${\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}}$

Teorema multibinomial

Cuando se trabaja en más dimensiones, suele resultar útil trabajar con productos de expresiones binomiales. Según el teorema del binomio esto es igual a

$${\displaystyle (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\dotsm (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\sum _{k_{1}=0}^{n_{1}}\dotsm \sum _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}x_{1}^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}\dotsc {\binom {n_{d}}{k_{d}}}x_{d}^{k_{d}}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}.}$$

Esto se puede escribir de manera más concisa, mediante notación de índices múltiples , como

$${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}$$

Gobierno general de Leibniz

La regla general de Leibniz da la n -ésima derivada de un producto de dos funciones en una forma similar a la del teorema del binomio: ^[18]

$${\displaystyle (fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x).}$$

Aquí, el superíndice ( n ) indica la enésima derivada de una función . Si se establece f ( x ) = e ^ax y g ( x ) = e ^bx , cancelar el factor común de e ^{( a + b ) x} de cada término da el teorema del binomio ordinario. ^[19] ${\displaystyle f^{(n)}(x)={\tfrac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)}$

Aplicaciones

Identidades de múltiples ángulos

Para los números complejos, el teorema del binomio se puede combinar con la fórmula de De Moivre para producir fórmulas de ángulos múltiples para el seno y el coseno . Según la fórmula de De Moivre,

$${\displaystyle \cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)=\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}.}$$

Usando el teorema del binomio, la expresión de la derecha se puede expandir y luego las partes real e imaginaria se pueden tomar para obtener fórmulas para cos( nx ) y sin( nx ) . Por ejemplo, desde

$${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x=(\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)+i(2\cos x\sin x),}$$

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{2}=\cos(2x)+i\sin(2x)}$

$${\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x,}$$

$${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x,}$$

$${\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x.}$$

$${\displaystyle \cos(nx)=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{k/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x}$$

$${\displaystyle \sin(nx)=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{(k-1)/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x.}$$

polinomios de Chebyshev

Serie para e

El número e a menudo se define mediante la fórmula

$${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$$

Al aplicar el teorema del binomio a esta expresión se obtiene la serie infinita habitual para e . En particular:

$${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{n \choose 1}{\frac {1}{n}}+{n \choose 2}{\frac {1}{n^{2}}}+{n \choose 3}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{n \choose n}{\frac {1}{n^{n}}}.}$$

El késimo término de esta suma es

$${\displaystyle {n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}}$$

Como n → ∞ , la expresión racional de la derecha se acerca a 1 , y por lo tanto

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.}$$

Esto indica que e se puede escribir como una serie:

$${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots .}$$

De hecho, dado que cada término de la expansión binomial es una función creciente de n , del teorema de convergencia monótona para series se deduce que la suma de esta serie infinita es igual a  e .

Probabilidad

El teorema binomial está estrechamente relacionado con la función de masa de probabilidad de la distribución binomial negativa . La probabilidad de que una colección (contable) de ensayos independientes de Bernoulli con probabilidad de éxito no suceda es ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in S}}$ ${\displaystyle p\in [0,1]}$

${\displaystyle P\left(\bigcap _{t\in S}X_{t}^{C}\right)=(1-p)^{|S|}=\sum _{n=0}^{|S|}{|S| \choose n}(-p)^{n}.}$

Un límite superior para esta cantidad es ^[20] ${\displaystyle e^{-p|S|}.}$

En álgebra abstracta

El teorema del binomio es válido de forma más general para dos elementos xey en un anillo , o incluso en un semianillo , siempre que xy = yx . Por ejemplo, es válido para dos matrices n × n , siempre que esas matrices conmuten; esto es útil para calcular potencias de una matriz. ^[21]

El teorema del binomio se puede enunciar diciendo que la secuencia polinómica {1, x , x ² , x ³ ,...} es de tipo binomial .

En la cultura popular

• El teorema del binomio se menciona en la Canción del mayor general de la ópera cómica Los piratas de Penzance .
• Sherlock Holmes describe al profesor Moriarty como quien escribió un tratado sobre el teorema del binomio .
• El poeta portugués Fernando Pessoa , utilizando el heterónimo Álvaro de Campos , escribió que "el Binomio de Newton es tan hermoso como la Venus de Milo . La verdad es que poca gente se da cuenta". ^[22]
• En la película de 2014 The Imitation Game , Alan Turing hace referencia al trabajo de Isaac Newton sobre el teorema del binomio durante su primer encuentro con el comandante Denniston en Bletchley Park.

Ver también

• Portal de matemáticas

• Aproximación binomial
• Distribución binomial
• Teorema del inverso del binomio
• La aproximación de Stirling
• teorema de curtiduría
• Polinomios que calculan sumas de potencias de progresiones aritméticas.
• teorema del binomio q

Notas

1. Esto es para garantizar la convergencia. Dependiendo de r , la serie también puede converger a veces cuando | x | = | y | .

Referencias

1. Coolidge, JL (1949). "La historia del teorema del binomio". El Mensual Matemático Estadounidense . 56 (3): 147-157. doi :10.2307/2305028. JSTOR  2305028.
2. C Jean-Claude Martzloff; SSWilson; J. Gernet; J. Dhombres (1987). Una historia de las matemáticas chinas . Saltador.
3. Biggs, NL (1979). "Las raíces de la combinatoria". Historia de las Matemáticas . 6 (2): 109-136. doi : 10.1016/0315-0860(79)90074-0 .
4. Yadegari, Mohammad (1980). "El teorema del binomio: un concepto generalizado en las matemáticas islámicas medievales". Historia Matemática . 7 (4): 401–406. doi : 10.1016/0315-0860(80)90004-X .
5. Stillwell, John (2015). "Domar lo desconocido. Una historia del álgebra ... por Victor J. Katz y Karen Hunger Parshall". Boletín de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas (Reseña del libro). 52 (4): 725–731. doi : 10.1090/S0273-0979-2015-01491-6 . pag. 727: Sin embargo, el álgebra avanzó en otros aspectos. Alrededor del año 1000, al-Karaji enunció el teorema del binomio.
6. Erupción, Roshdi (1994). El desarrollo de las matemáticas árabes: entre la aritmética y el álgebra. Kluwer. pag. 63.ISBN _ 0-7923-2565-6.
7. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
8. Landau, James A. (8 de mayo de 1999). "Archivo de la lista de correo de Historia Matemática: Re: [HM] Triángulo de Pascal". Archivos de Historia Matemática . Archivado desde el original (correo electrónico de la lista de correo) el 24 de febrero de 2021 . Consultado el 13 de abril de 2007 .
9. Kline, Morris (1972). Historia del pensamiento matemático . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 273.
10. Katz, Víctor (2009). "14.3: Probabilidad elemental". Una historia de las matemáticas: una introducción . Addison-Wesley. pag. 491.ISBN _ 978-0-321-38700-4.
11. Bourbaki, N. (18 de noviembre de 1998). Elementos de la Historia de las Matemáticas Tapa blanda . J. Meldrum (Traductor). ISBN 978-3-540-64767-6.
12. Stillwell, John (2010). Las matemáticas y su historia (tercera ed.). Saltador. pag. 186.ISBN _ 978-1-4419-6052-8.
13. Barth, Nils R. (2004). "Calcular la fórmula de cuadratura de Cavalieri mediante una simetría del n -Cubo". El Mensual Matemático Estadounidense . 111 (9): 811–813. doi :10.2307/4145193. ISSN  0002-9890. JSTOR  4145193.
14. Teorema del binomio: pruebas inductivas Archivado el 24 de febrero de 2015 en Wayback Machine.
15. Weisstein, Eric W. "Serie binomial negativa". Wolfram MathWorld .
16. Sokolowsky, Dan; Rennie, Basil C. (febrero de 1979). "Problema 352". Crux Mathematicorum . 5 (2): 55–56.
17. Aigner, Martin (1997) [Reimpresión de la edición de 1979]. Teoría combinatoria . Saltador. pag. 105.ISBN _ 3-540-61787-6.
18. Olver, Peter J. (2000). Aplicaciones de grupos de Lie a ecuaciones diferenciales. Saltador. págs. 318–319. ISBN 9780387950006.
19. Spivey, Michael Z. (2019). El arte de demostrar identidades binomiales . Prensa CRC. pag. 71.ISBN _ 978-1351215800.
20. Portada, Thomas M.; Thomas, Joy A. (1 de enero de 2001). Compresión de datos . John Wiley & Sons, Inc. pág. 320. doi :10.1002/0471200611.ch5. ISBN 9780471200611.
21. Artin, Álgebra , 2.a edición, Pearson, 2018, ecuación (4.7.11).
22. "Arquivo Pessoa: Obra Édita - O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo". arquivopessoa.net.

Otras lecturas

• Bolsa, Amulya Kumar (1966). "Teorema del binomio en la antigua India". Indian J. Historia Ciencia . 1 (1): 68–74.
• Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren (1994). "(5) Coeficientes binomiales". Matemáticas concretas (2ª ed.). Addison Wesley. págs. 153-256. ISBN 978-0-201-55802-9. OCLC  17649857.

enlaces externos

• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Binomio de Newton", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Teorema binomial de Stephen Wolfram y "Teorema binomial (paso a paso)" de Bruce Colletti y Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project , 2007.
• Este artículo incorpora material de la prueba inductiva del teorema del binomio en PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .