En matemáticas , el potencial newtoniano o potencial de Newton es un operador en el cálculo vectorial que actúa como inverso del laplaciano negativo , en funciones que son suaves y decaen con suficiente rapidez en el infinito. Como tal, es un objeto de estudio fundamental en la teoría potencial . En su naturaleza general, es un operador integral singular , definido por convolución con una función que tiene una singularidad matemática en el origen, el núcleo newtoniano que es la solución fundamental de la ecuación de Laplace . Lleva el nombre de Isaac Newton , quien la descubrió por primera vez y demostró que era una función armónica en el caso especial de tres variables , donde sirvió como potencial gravitacional fundamental en la ley de gravitación universal de Newton . En la teoría del potencial moderna, el potencial newtoniano se considera un potencial electrostático .
El potencial newtoniano de una función integrable soportada compactamente se define como la convolución
Aquí ω d es el volumen de la unidad d -bola (a veces las convenciones de signos pueden variar; compárese (Evans 1998) y (Gilbarg & Trudinger 1983)). Por ejemplo, porque tenemos
El potencial newtoniano w de f es una solución de la ecuación de Poisson
El potencial newtoniano se define más ampliamente como la convolución
Si f es una función continua con soporte compacto (o, más generalmente, una medida finita) que es rotacionalmente invariante , entonces la convolución de f con Γ satisface para x fuera del soporte de f
En dimensión d = 3, esto se reduce al teorema de Newton de que la energía potencial de una masa pequeña fuera de una distribución de masa esféricamente simétrica mucho más grande es la misma que si toda la masa del objeto más grande estuviera concentrada en su centro.
Cuando la medida μ está asociada a una distribución de masa en una hipersuperficie S suficientemente suave (una superficie de Lyapunov de clase Hölder C 1,α ) que divide R d en dos regiones D + y D − , entonces se hace referencia al potencial newtoniano de μ . como un potencial de capa simple . Los potenciales de capa simples son continuos y resuelven la ecuación de Laplace excepto en S. Aparecen naturalmente en el estudio de la electrostática en el contexto del potencial electrostático asociado a una distribución de carga en una superficie cerrada. Si d μ = f d H es el producto de una función continua en S con la medida de Hausdorff ( d − 1)-dimensional , entonces en un punto y de S , la derivada normal sufre una discontinuidad de salto f ( y ) al cruzar el capa. Además, la derivada normal de w es una función continua bien definida en S. Esto hace que las capas simples sean particularmente adecuadas para el estudio del problema de Neumann para la ecuación de Laplace.
