Integral singular

En matemáticas , las integrales singulares son fundamentales para el análisis armónico y están íntimamente relacionadas con el estudio de ecuaciones diferenciales parciales. En términos generales, una integral singular es un operador integral.

${\displaystyle T(f)(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy,}$

cuya función nuclear K  : R ⁿ × R ⁿ  →  R es singular a lo largo de la diagonal x  =  y . Específicamente, la singularidad es tal que | K ( x ,  y )| es de tamaño | x  −  y | ^{− n} asintóticamente como | x  −  y | → 0. Dado que, en general, estas integrales pueden no ser absolutamente integrables, una definición rigurosa debe definirlas como el límite de la integral sobre | y  −  x | > ε como ε → 0, pero en la práctica esto es un tecnicismo. Por lo general, se requieren suposiciones adicionales para obtener resultados como su acotación en L ^p ( R ⁿ ).

La transformada de Hilbert

El operador integral singular arquetípico es la transformada de Hilbert H. Está dado por convolución contra el núcleo K ( x ) = 1/(π x ) para x en R . Más precisamente,

${\displaystyle H(f)(x)={\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|x-y|>\varepsilon }{\frac {1}{x-y}}f(y)\,dy.}$

Los análogos de dimensiones superiores más sencillos de estos son las transformadas de Riesz , que reemplazan K ( x ) = 1/ x con

${\displaystyle K_{i}(x)={\frac {x_{i}}{|x|^{n+1}}}}$

donde i = 1, ..., n y es el i -ésimo componente de x en R ⁿ . Todos estos operadores están acotados en L ^p y satisfacen estimaciones de tipo débil (1, 1). ^[1] ${\displaystyle x_{i}}$

Integrales singulares de tipo convolucional

Una integral singular de tipo convolucional es un operador T definido por convolución con un núcleo K que es localmente integrable en R ⁿ \{0}, en el sentido de que

Supongamos que el núcleo satisface:

1. La condición de tamaño en la transformada de Fourier de K

   ${\displaystyle {\hat {K}}\in L^{\infty }(\mathbf {R} ^{n})}$

2. La condición de suavidad : para algunos C  > 0,

   ${\displaystyle \sup _{y\neq 0}\int _{|x|>2|y|}|K(x-y)-K(x)|\,dx\leq C.}$

Entonces se puede demostrar que T está acotado por L ^p ( R ⁿ ) y satisface una estimación de tipo débil (1, 1).

La propiedad 1. es necesaria para garantizar que la convolución ( 1 ) con la distribución templada pv  K dada por la integral del valor principal

${\displaystyle \operatorname {p.v.} \,\,K[\phi ]=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\epsilon }\phi (x)K(x)\,dx}$

es un multiplicador de Fourier bien definido en L ² . Ninguna de las propiedades 1. o 2. es necesariamente fácil de verificar y existe una variedad de condiciones suficientes. Normalmente en las solicitudes también existe una condición de cancelación.

${\displaystyle \int _{R_{1}<|x|<R_{2}}K(x)\,dx=0,\ \forall R_{1},R_{2}>0}$

lo cual es bastante fácil de comprobar. Es automático, por ejemplo, si K es una función impar . Si además se supone 2. y la siguiente condición de tamaño

${\displaystyle \sup _{R>0}\int _{R<|x|<2R}|K(x)|\,dx\leq C,}$

entonces se puede demostrar que se sigue 1.

La condición de suavidad 2. también suele ser difícil de comprobar en principio; se puede utilizar la siguiente condición suficiente de un grano K :

• ${\displaystyle K\in C^{1}(\mathbf {R} ^{n}\setminus \{0\})}$
• ${\displaystyle |\nabla K(x)|\leq {\frac {C}{|x|^{n+1}}}}$

Observe que estas condiciones se cumplen para las transformadas de Hilbert y Riesz, por lo que este resultado es una extensión de esos resultados. ^[2]

Integrales singulares de tipo no convolucional

Estos son operadores aún más generales. Sin embargo, dado que nuestros supuestos son tan débiles, no es necesariamente cierto que estos operadores estén acotados en L ^p .

Núcleos de Calderón-Zygmund

Una función K  : R ⁿ × R ⁿ → R se dice que es un núcleo de Calderón – Zygmund si satisface las siguientes condiciones para algunas constantes C  > 0 y δ  > 0. ^[2]

1. ${\displaystyle |K(x,y)|\leq {\frac {C}{|x-y|^{n}}}}$

2. ${\displaystyle |K(x,y)-K(x',y)|\leq {\frac {C|x-x'|^{\delta }}{{\bigl (}|x-y|+|x'-y|{\bigr )}^{n+\delta }}}{\text{ whenever }}|x-x'|\leq {\frac {1}{2}}\max {\bigl (}|x-y|,|x'-y|{\bigr )}}$

3. ${\displaystyle |K(x,y)-K(x,y')|\leq {\frac {C|y-y'|^{\delta }}{{\bigl (}|x-y|+|x-y'|{\bigr )}^{n+\delta }}}{\text{ whenever }}|y-y'|\leq {\frac {1}{2}}\max {\bigl (}|x-y'|,|x-y|{\bigr )}}$

Integrales singulares de tipo no convolucional

Se dice que T es un operador integral singular de tipo no convolucional asociado al núcleo K de Calderón-Zygmund si

${\displaystyle \int g(x)T(f)(x)\,dx=\iint g(x)K(x,y)f(y)\,dy\,dx,}$

siempre que f y g sean suaves y tengan soporte disjunto. ^[2] Dichos operadores no necesitan estar limitados a L ^p

Operadores Calderón-Zygmund

Una integral singular de tipo no convolucional T asociada a un núcleo K de Calderón-Zygmund se denomina operador de Calderón-Zygmund cuando está acotado en L ² , es decir, existe un C  > 0 tal que

${\displaystyle \|T(f)\|_{L^{2}}\leq C\|f\|_{L^{2}},}$

para todos los soportes lisos y compactos ƒ.

Se puede demostrar que tales operadores, de hecho, también están acotados en todo L ^p con 1 <  p  < ∞.

El teorema de T ( b )

El teorema T ( b ) proporciona condiciones suficientes para que un operador integral singular sea un operador de Calderón-Zygmund, es decir, para que un operador integral singular asociado a un núcleo de Calderón-Zygmund esté acotado en L ² . Para poder expresar el resultado primero debemos definir algunos términos.

Un golpe normalizado es una función suave φ sobre R ⁿ soportada en una bola de radio 1 y centrada en el origen tal que | ∂ ^α  φ ( x )| ≤ 1, para todos los índices múltiples | α | ≤  n  + 2. Denota por τ ^x ( φ )( y ) =  φ ( y  −  x ) y φ _r ( x ) =  r ^{− n} φ ( x / r ) para todo x en R ⁿ y r  > 0. Se dice que el operador está débilmente acotado si existe una constante C tal que

${\displaystyle \left|\int T{\bigl (}\tau ^{x}(\varphi _{r}){\bigr )}(y)\tau ^{x}(\psi _{r})(y)\,dy\right|\leq Cr^{-n}}$

para todos los golpes normalizados φ y ψ . Se dice que una función es acretiva si existe una constante c  > 0 tal que Re( b )( x ) ≥  c para todo x en R . Denota por M _b el operador dado por la multiplicación por una función b .

El teorema T ( b ) establece que un operador integral singular T asociado a un núcleo de Calderón-Zygmund está acotado en L ² si satisface las tres condiciones siguientes para algunas funciones acretivas acotadas b ₁ y b ₂ : ^[3]

1. ${\displaystyle M_{b_{2}}TM_{b_{1}}}$está débilmente delimitado;
2. ${\displaystyle T(b_{1})}$está en BMO ;
3. ${\displaystyle T^{t}(b_{2}),}$está en BMO , donde T ^t es el operador de transposición  de T.

Ver también

• Operadores integrales singulares en curvas cerradas

Notas

1. Stein, Elías (1993). "Análisis armónicos". Prensa de la Universidad de Princeton.
2. Grafakos, Loukas (2004), "7", Análisis de Fourier clásico y moderno , Nueva Jersey: Pearson Education, Inc.
3. David; Semes; Diario (1985). "Opérateurs de Calderón – Zygmund, fonctions para-accrétives et interpolation" (en francés). vol. 1. Revista Matemática Iberoamericana. págs. 1–56.

Referencias

• Calderón, AP ; Zygmund, A. (1952), "Sobre la existencia de ciertas integrales singulares", Acta Mathematica , 88 (1): 85–139, doi : 10.1007/BF02392130 , ISSN  0001-5962, MR  0052553, Zbl  0047.10201.
• Calderón, AP ; Zygmund, A. (1956), "Sobre integrales singulares", American Journal of Mathematics , 78 (2), The Johns Hopkins University Press: 289–309, doi :10.2307/2372517, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372517, MR  0084633 , Zbl  0072.11501.
• Coifman, Ronald ; Meyer, Yves (1997), Wavelets: Calderón-Zygmund y operadores multilineales , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 48, Cambridge University Press, págs. xx+315, ISBN 0-521-42001-6, SEÑOR  1456993, Zbl  0916.42023.
• Mikhlin, Solomon G. (1948), "Ecuaciones integrales singulares", UMN , 3 (25): 29–112, SEÑOR  0027429(en ruso ).
• Mikhlin, Solomon G. (1965), Integrales singulares multidimensionales y ecuaciones integrales , Serie internacional de monografías en matemáticas puras y aplicadas, vol. 83, Oxford – Londres – Edimburgo – Nueva York – París – Frankfurt : Pergamon Press , págs. XII+255, MR  0185399, Zbl  0129.07701.
• Mikhlin, Salomón G .; Prössdorf, Siegfried (1986), Operadores integrales singulares, Berlín – Heidelberg – Nueva York : Springer Verlag , p. 528, ISBN 0-387-15967-3, SEÑOR  0867687, Zbl  0612.47024, (edición europea: ISBN 3-540-15967-3 ). 
• Stein, Elias (1970), Integrales singulares y propiedades de diferenciabilidad de funciones, Princeton Mathematical Series, vol. 30, Princeton, Nueva Jersey : Princeton University Press , págs. XIV+287, ISBN 0-691-08079-8, SEÑOR  0290095, Zbl  0207.13501

enlaces externos

• Stein, Elias M. (octubre de 1998). «Integrales singulares: Los roles de Calderón y Zygmund» (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 45 (9): 1130-1140.