Multiplicador (análisis de Fourier)

En el análisis de Fourier , un operador multiplicador es un tipo de operador lineal , o de transformación de funciones . Estos operadores actúan sobre una función alterando su transformada de Fourier . Específicamente multiplican la transformada de Fourier de una función por una función específica conocida como multiplicador o símbolo . En ocasiones, el término operador multiplicador se abrevia simplemente a multiplicador . ^[1] En términos simples, el multiplicador reforma las frecuencias involucradas en cualquier función. Esta clase de operadores resulta ser amplia: la teoría general muestra que un operador invariante de traducción en un grupo que obedece algunas condiciones de regularidad (muy leves) puede expresarse como un operador multiplicador, y viceversa. ^[2] Muchos operadores familiares, como las traducciones y la diferenciación , son operadores multiplicadores, aunque hay muchos ejemplos más complicados como la transformada de Hilbert .

En el procesamiento de señales , un operador multiplicador se denomina " filtro ", y el multiplicador es la respuesta de frecuencia del filtro (o función de transferencia ).

En un contexto más amplio, los operadores multiplicadores son casos especiales de operadores multiplicadores espectrales, que surgen del cálculo funcional de un operador (o familia de operadores conmutantes). También son casos especiales de operadores pseudodiferenciales , y más generalmente de operadores integrales de Fourier . Hay preguntas naturales en este campo que aún están abiertas, como la caracterización de los operadores multiplicadores acotados L ^p (ver más abajo).

Los operadores multiplicadores no están relacionados con los multiplicadores de Lagrange , excepto que ambos involucran la operación de multiplicación.

Para obtener los antecedentes necesarios sobre la transformada de Fourier , consulte esa página. Se pueden encontrar antecedentes importantes adicionales en las páginas Norma del operador y Espacio L p .

Ejemplos

En el contexto de funciones periódicas definidas en el círculo unitario , la transformada de Fourier de una función es simplemente la secuencia de sus coeficientes de Fourier . Para ver que la diferenciación se puede realizar como multiplicador, considere la serie de Fourier para la derivada de una función periódica. Después de usar la integración por partes en la definición del coeficiente de Fourier tenemos que ${\displaystyle f(t).}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(f')(n)=\int _{-\pi }^{\pi }f'(t)e^{-int}\,dt=\int _{-\pi }^{\pi }(in)f(t)e^{-int}\,dt=in\cdot {\mathcal {F}}(f)(n)}$.

Entonces, formalmente, se deduce que la serie de Fourier para la derivada es simplemente la serie de Fourier para multiplicado por un factor . Esto es lo mismo que decir que la diferenciación es un operador multiplicador con multiplicador . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle in}$ ${\displaystyle in}$

Un ejemplo de operador multiplicador que actúa sobre funciones en la recta real es la transformada de Hilbert . Se puede demostrar que la transformada de Hilbert es un operador multiplicador cuyo multiplicador está dado por , donde sgn es la función signum . ${\displaystyle m(\xi )=-i\operatorname {sgn} (\xi )}$

Finalmente otro ejemplo importante de multiplicador es la función característica del cubo unitario que surge en el estudio de las "sumas parciales" para la transformada de Fourier (ver Convergencia de series de Fourier ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Definición

Los operadores multiplicadores se pueden definir en cualquier grupo G para el cual también esté definida la transformada de Fourier (en particular, en cualquier grupo abeliano localmente compacto ). La definición general es la siguiente. Si es una función suficientemente regular , denotemos su transformada de Fourier (donde está el dual de Pontryagin de G ). Denotemos otra función, a la que llamaremos multiplicador . Entonces el operador multiplicador asociado a este símbolo m se define mediante la fórmula ${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\hat {f}}:{\hat {G}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle m:{\hat {G}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T=T_{m}}$

${\displaystyle {\widehat {Tf}}(\xi ):=m(\xi ){\hat {f}}(\xi ).}$

En otras palabras, la transformada de Fourier de Tf a una frecuencia ξ viene dada por la transformada de Fourier de f a esa frecuencia, multiplicada por el valor del multiplicador a esa frecuencia. Esto explica la terminología "multiplicador".

Tenga en cuenta que la definición anterior sólo define Tf implícitamente; Para recuperar Tf explícitamente es necesario invertir la transformada de Fourier. Esto se puede hacer fácilmente si tanto f como m son suficientemente suaves e integrables. Uno de los principales problemas en este tema es determinar, para cualquier multiplicador m especificado , si el operador multiplicador de Fourier correspondiente continúa estando bien definido cuando f tiene una regularidad muy baja, por ejemplo si solo se supone que se encuentra en un L ^p espacio. Consulte la discusión sobre el "problema de acotación" a continuación. Como mínimo, normalmente se requiere que el multiplicador m sea acotado y mensurable ; esto es suficiente para establecer límites, pero en general no es lo suficientemente fuerte como para establecer límites en otros espacios. ${\displaystyle L^{2}}$

Se puede ver el operador multiplicador T como la composición de tres operadores, a saber, la transformada de Fourier, la operación de multiplicación puntual por m y luego la transformada inversa de Fourier. De manera equivalente, T es la conjugación del operador de multiplicación puntual mediante la transformada de Fourier. Por tanto, se puede pensar en los operadores multiplicadores como operadores diagonalizados por la transformada de Fourier.

Operadores multiplicadores en grupos comunes

Ahora especializamos la definición general anterior en grupos específicos G. Primero, considere que las funciones del círculo unitario en G pueden considerarse funciones periódicas 2π en la línea real. En este grupo, el dual de Pontryagin es el grupo de números enteros. La transformada de Fourier (para funciones f suficientemente regulares ) viene dada por ${\displaystyle G=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} ;}$ ${\displaystyle {\hat {G}}=\mathbb {Z} .}$

${\displaystyle {\hat {f}}(n):={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-int}dt}$

y la transformada inversa de Fourier viene dada por

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(n)e^{int}.}$

Un multiplicador en esta configuración es simplemente una secuencia de números, y el operador asociado a este multiplicador viene dado por la fórmula ${\displaystyle (m_{n})_{n=-\infty }^{\infty }}$ ${\displaystyle T=T_{m}}$

${\displaystyle (Tf)(t):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }m_{n}{\hat {f}}(n)e^{int},}$

al menos para elecciones suficientemente bien comportadas del multiplicador y la función f . ${\displaystyle (m_{n})_{n=-\infty }^{\infty }}$

Ahora sea G un espacio euclidiano . Aquí el grupo dual también es euclidiano, y las transformadas de Fourier y la inversa de Fourier vienen dadas por las fórmulas ${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\hat {G}}=\mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\xi ):={}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \xi }dx\\f(x)={}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi .\end{aligned}}}$

Un multiplicador en esta configuración es una función y el operador multiplicador asociado está definido por ${\displaystyle m:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle T=T_{m}}$

${\displaystyle Tf(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}m(\xi ){\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi ,}$

nuevamente suponiendo supuestos de regularidad y acotación suficientemente fuertes sobre el multiplicador y la función.

En el sentido de distribuciones , no hay diferencia entre operadores multiplicadores y operadores de convolución ; cada multiplicador T también se puede expresar en la forma Tf = f ∗ K para alguna distribución K , conocida como núcleo de convolución de T. Desde este punto de vista, la traducción por una cantidad x ₀ es convolución con una función delta de Dirac δ(· −  x ₀ ), la diferenciación es convolución con δ'. En la siguiente tabla se dan más ejemplos.

Diagramas

Más ejemplos

En el círculo unitario

La siguiente tabla muestra algunos ejemplos comunes de operadores multiplicadores en el círculo unitario. ${\displaystyle G=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} .}$

En el espacio euclidiano

La siguiente tabla muestra algunos ejemplos comunes de operadores multiplicadores en el espacio euclidiano . ${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$

Consideraciones Generales

El mapa es un homomorfismo de C*-álgebras . Esto se deduce que la suma de dos operadores multiplicadores y es un operador multiplicador con multiplicador , la composición de estos dos operadores multiplicadores es un operador multiplicador con multiplicador y el adjunto de un operador multiplicador es otro operador multiplicador con multiplicador . ${\displaystyle m\mapsto T_{m}}$ ${\displaystyle T_{m}}$ ${\displaystyle T_{m'}}$ ${\displaystyle m+m'}$ ${\displaystyle mm',}$ ${\displaystyle T_{m}}$ ${\displaystyle {\overline {m}}}$

En particular, vemos que dos operadores multiplicadores cualesquiera conmutan entre sí. Se sabe que los operadores multiplicadores son invariantes en la traducción. A la inversa, se puede demostrar que cualquier operador lineal invariante en la traducción que esté acotado en L ² ( G ) es un operador multiplicador.

El problema de la acotación de L p

El problema de acotación de L ^p (para cualquier p en particular ) para un grupo dado G consiste, en pocas palabras, en identificar los multiplicadores m tales que el operador multiplicador correspondiente esté acotado de L ^p ( G ) a L ^p ( G ). Estos multiplicadores suelen denominarse simplemente " multiplicadores L ^p ". Tenga en cuenta que como los operadores multiplicadores son siempre lineales, dichos operadores están acotados si y sólo si son continuos . En general, este problema se considera extremadamente difícil, pero muchos casos especiales pueden tratarse. El problema depende en gran medida de p , aunque existe una relación de dualidad : si y 1 ≤ p , q ≤ ∞, entonces un operador multiplicador está acotado a L ^p si y sólo si está acotado a L ^q . ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$

El teorema de Riesz-Thorin muestra que si un operador multiplicador está acotado en dos espacios L ^p diferentes , entonces también está acotado en todos los espacios intermedios. Por lo tanto, obtenemos que el espacio de multiplicadores es más pequeño para L ¹ y L ^∞ y crece a medida que uno se acerca a L ² , que tiene el mayor espacio de multiplicadores.

Limitación en L 2

Este es el caso más fácil. El teorema de Parseval permite resolver este problema completamente y obtener que una función m es un multiplicador L ² ( G ) si y sólo si es acotada y mensurable.

Acotación en L 1 o L ∞

Este caso es más complicado que el caso hilbertiano ( L ² ), pero está completamente resuelto. Lo siguiente es cierto:

Teorema : En el espacio euclidiano una función es un multiplicador L ¹ (equivalentemente un multiplicador L ^∞ ) si y sólo si existe una medida finita de Borel μ tal que m es la transformada de Fourier de μ. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle m(\xi )}$

(La parte "si" es un cálculo simple. La parte "sólo si" aquí es más complicada).

Acotación en L p para 1 < p < ∞

En este caso general, no se han establecido condiciones necesarias y suficientes para la acotación, ni siquiera para el espacio euclidiano o el círculo unitario. Sin embargo, se conocen varias condiciones necesarias y varias condiciones suficientes. Por ejemplo, se sabe que para que un operador multiplicador esté acotado incluso en un solo espacio L ^p , el multiplicador debe ser acotado y mensurable (esto se desprende de la caracterización de los multiplicadores L ² anterior y de la propiedad de inclusión). Sin embargo, esto no es suficiente excepto cuando p = 2.

Los resultados que dan condiciones suficientes para la acotación se conocen como teoremas del multiplicador . A continuación se dan tres de estos resultados.

Teorema del multiplicador de Marcinkiewicz

Sea una función acotada que es continuamente diferenciable en cada conjunto de la forma ^{[ se necesita aclaración ]} para y tiene derivada tal que ${\displaystyle m:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left(-2^{j+1},-2^{j}\right)\cup \left(2^{j},2^{j+1}\right)}$ ${\displaystyle j\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sup _{j\in \mathbb {Z} }\left(\int _{-2^{j+1}}^{-2^{j}}\left|m'(\xi )\right|\,d\xi +\int _{2^{j}}^{2^{j+1}}\left|m'(\xi )\right|\,d\xi \right)<\infty .}$

Entonces m es un multiplicador L ^p para todo 1 < p < ∞.

Teorema del multiplicador de Mikhlin

Sea m una función acotada que es suave excepto posiblemente en el origen, y tal que la función está acotada para todos los números enteros : entonces m es un multiplicador L ^p para todo 1 < p < ∞ . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle |x|^{k}\left|\nabla ^{k}m\right|}$ ${\textstyle 0\leq k\leq {\frac {n}{2}}+1}$

Este es un caso especial del teorema del multiplicador de Hörmander-Mikhlin.

Las demostraciones de estos dos teoremas son bastante complicadas e involucran técnicas de la teoría de Calderón-Zygmund y el teorema de interpolación de Marcinkiewicz : para la demostración original, véase Mikhlin (1956) o Mikhlin (1965, págs. 225-240).

Multiplicadores radiales

Para multiplicadores radiales , se conoce una condición necesaria y suficiente para la acotación para algún rango parcial de . Deja y . Supongamos que es un multiplicador radial apoyado de forma compacta lejos del origen. Entonces es un multiplicador si y sólo si la transformada de Fourier de pertenece a . ${\displaystyle L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\textstyle 1<p<2{\frac {n-1}{n+1}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$

Este es un teorema de Heo, Nazarov y Seeger . ^[3] También proporcionaron una condición necesaria y suficiente que es válida sin el supuesto de soporte compacto en . ${\displaystyle m}$

Ejemplos

Las traducciones son operadores acotados en cualquier L ^p . La diferenciación no está limitada a ningún L ^p . La transformada de Hilbert está limitada sólo para p estrictamente entre 1 y ∞. El hecho de que sea ilimitada en L ^∞ es fácil, ya que es bien sabido que la transformada de Hilbert de una función escalonada es ilimitada. La dualidad da lo mismo para p = 1 . Sin embargo, los teoremas del multiplicador de Marcinkiewicz y Mikhlin muestran que la transformada de Hilbert está acotada en L ^p para todo 1 < p < ∞ .

Otro caso interesante en el círculo unitario es cuando la secuencia que se propone como multiplicador es constante para n en cada uno de los conjuntos y Del teorema del multiplicador de Marcinkiewicz (adaptado al contexto del círculo unitario) vemos que cualquier secuencia de este tipo ( también se supone que está acotado, por supuesto) ^{[ se necesita aclaración ]} es un multiplicador para cada 1 < p < ∞ . ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \left\{2^{n},\ldots ,2^{n+1}-1\right\}}$ ${\displaystyle \left\{-2^{n+1}+1,\ldots ,-2^{n}\right\}.}$

En una dimensión, el operador multiplicador de disco (ver tabla anterior) está acotado en L ^p para cada 1 < p < ∞ . Sin embargo, en 1972, Charles Fefferman mostró el sorprendente resultado de que en dos dimensiones o más, el operador multiplicador de disco no está acotado en L ^p para cada p ≠ 2 . El problema correspondiente a los multiplicadores de Bochner-Riesz está sólo parcialmente resuelto; véase también la conjetura de Bochner-Riesz . ${\displaystyle S_{R}^{0}}$ ${\displaystyle S_{R}^{0}}$

Ver también

• Lema de Calderón-Zygmund
• teorema de marcinkiewicz
• Integrales singulares
• Operadores integrales singulares de tipo convolucional.

Notas

1. Duoandikoetxea 2001, apartado 3.5.
2. Stein 1970, Capítulo II.
3. Hola, Yaryong; Nazarov, Fëdor; Seeger, Andrés. Multiplicadores radiales de Fourier de grandes dimensiones. Acta Matemáticas. 206 (2011), núm. 1, 55--92. doi:10.1007/s11511-011-0059-x. https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485892528

Trabajos citados

• Duoandikoetxea, Javier (2001), Análisis de Fourier , Sociedad Matemática Americana, ISBN 0-8218-2172-5
• Stein, Elias M. (1970), Integrales singulares y propiedades de diferenciabilidad de funciones , Princeton University Press

Referencias generales

• Grafakos, Loukas (2008), Análisis clásico de Fourier (2ª ed.), Springer, ISBN 978-0-387-09431-1
• Katznelson, Yitzhak (2004), Introducción al análisis armónico , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54359-0
• Hörmander, Lars (1960), "Estimaciones de operadores invariantes de traducción en espacios L ^p ", Acta Mathematica , 104 : 93–140, doi : 10.1007/bf02547187
• Hörmander, Lars (1990), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales, I. Teoría de la distribución y análisis de Fourier (2ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-52343-X
• Mikhlin, Solomon G. (1956), "Sobre los multiplicadores de las integrales de Fourier", Doklady Akademii Nauk SSSR , 109 : 701–703, Zbl  0073.08402(en ruso ).
• Mikhlin, Solomon G. (1965), Integrales singulares multidimensionales y ecuaciones integrales , Serie internacional de monografías en matemáticas puras y aplicadas, vol. 83, Prensa de Pérgamo , Zbl  0129.07701. Contiene un estudio exhaustivo de todos los resultados conocidos en el momento de la publicación, incluido un esbozo de la historia.
• Rudin, Walter (1962), Análisis de Fourier sobre grupos , Interscience
• Torchinsky, Alberto (2004), Métodos de variables reales en análisis armónicos , Dover, ISBN 0-486-43508-3