Convergencia de series de Fourier

Problema matemático en el análisis armónico clásico.

En matemáticas , la cuestión de si la serie de Fourier de una función periódica converge a una función dada se investiga en un campo conocido como análisis armónico clásico , una rama de las matemáticas puras . La convergencia no se da necesariamente en el caso general y deben cumplirse ciertos criterios para que se produzca.

La determinación de la convergencia requiere la comprensión de la convergencia puntual , la convergencia uniforme , la convergencia absoluta , los espacios L p , los métodos de sumabilidad y la media de Cesàro .

Preliminares

Considere f una función integrable en el intervalo [0, 2 π ] . Para tal f, los coeficientes de Fourier están definidos por la fórmula ${\displaystyle {\widehat {f}}(n)}$

${\displaystyle {\widehat {f}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-int}\,\mathrm {d} t,\quad n\in \mathbb {Z} .}$

Es común describir la conexión entre f y su serie de Fourier mediante

${\displaystyle f\sim \sum _{n}{\widehat {f}}(n)e^{int}.}$

La notación ~ aquí significa que la suma representa la función en algún sentido. Para investigar esto más detenidamente, se deben definir las sumas parciales:

${\displaystyle S_{N}(f;t)=\sum _{n=-N}^{N}{\widehat {f}}(n)e^{int}.}$

La pregunta de si una serie de Fourier converge es: ¿las funciones (que son funciones de la variable t que omitimos en la notación) convergen a f y en qué sentido? ¿Existen condiciones para garantizar tal o cual tipo de convergencia? ${\displaystyle S_{N}(f)}$

Antes de continuar, es necesario introducir el núcleo de Dirichlet . Tomando la fórmula de , insertándola en la fórmula de y haciendo algo de álgebra se obtiene que ${\displaystyle {\widehat {f}}(n)}$ ${\displaystyle S_{N}}$

${\displaystyle S_{N}(f)=f*D_{N}}$

donde ∗ representa la convolución periódica y es el núcleo de Dirichlet, que tiene una fórmula explícita, ${\displaystyle D_{N}}$

${\displaystyle D_{n}(t)={\frac {\sin((n+{\frac {1}{2}})t)}{\sin(t/2)}}.}$

El núcleo de Dirichlet no es un núcleo positivo y, de hecho, su norma diverge, a saber

${\displaystyle \int |D_{n}(t)|\,\mathrm {d} t\to \infty }$

un hecho que juega un papel crucial en la discusión. La norma de D _n en L ¹ ( T ) coincide con la norma del operador de convolución con D _n , que actúa sobre el espacio C ( T ) de funciones periódicas continuas, o con la norma del funcional lineal f  → ( S _n f )(0) en C ( T ). Por tanto, esta familia de funcionales lineales en C ( T ) es ilimitada, cuando n  → ∞.

Magnitud de los coeficientes de Fourier

En las aplicaciones, suele resultar útil conocer el tamaño del coeficiente de Fourier.

Si es una función absolutamente continua , ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {K \over |n|}}$

para una constante que sólo depende de . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$

Si es una función de variación acotada , ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {{\rm {var}}(f) \over 2\pi |n|}.}$

Si ${\displaystyle f\in C^{p}}$

${\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {\|f^{(p)}\|_{L_{1}} \over |n|^{p}}.}$

Si y tiene módulo de continuidad ^{[ cita necesaria ]} , ${\displaystyle f\in C^{p}}$ ${\displaystyle f^{(p)}}$ ${\displaystyle \omega _{p}}$

${\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {\omega (2\pi /n) \over |n|^{p}}}$

y por lo tanto, si está en la clase α-Hölder ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {K \over |n|^{\alpha }}.}$

Convergencia puntual

Superposición de funciones de base de onda sinusoidal (abajo) para formar una onda en diente de sierra (arriba); las funciones básicas tienen longitudes de onda λ/ k ( k =entero) más cortas que la longitud de onda λ del propio diente de sierra (excepto k =1). Todas las funciones básicas tienen nodos en los nodos del diente de sierra, pero todas, excepto las fundamentales, tienen nodos adicionales. La oscilación alrededor del diente de sierra se llama fenómeno de Gibbs.

Se conocen muchas condiciones suficientes para que la serie de Fourier de una función converja en un punto dado x , por ejemplo si la función es diferenciable en x . Incluso una discontinuidad de salto no plantea un problema: si la función tiene derivadas izquierda y derecha en x , entonces la serie de Fourier converge al promedio de los límites izquierdo y derecho (pero véase el fenómeno de Gibbs ).

El criterio de Dirichlet-Dini establece que: si ƒ es 2 π –periódico, localmente integrable y satisface

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\left|{\frac {f(x_{0}+t)+f(x_{0}-t)}{2}}-\ell \right|{\frac {\mathrm {d} t}{t}}<\infty ,}$

entonces (S _n f )( x ₀ ) converge a ℓ. Esto implica que para cualquier función f de cualquier clase de Hölder α  > 0, la serie de Fourier converge en todas partes a f ( x ).

También se sabe que para cualquier función periódica de variación acotada , la serie de Fourier converge en todas partes. Véase también prueba Dini . En general, los criterios más comunes para la convergencia puntual de una función periódica f son los siguientes:

• Si f satisface una condición de Holder, entonces su serie de Fourier converge uniformemente.
• Si f es de variación acotada, entonces su serie de Fourier converge en todas partes.
• Si f es continua y sus coeficientes de Fourier son absolutamente sumables, entonces la serie de Fourier converge uniformemente.

Existen funciones continuas cuya serie de Fourier converge puntualmente pero no de manera uniforme; véase Antoni Zygmund, Serie trigonométrica , vol. 1, Capítulo 8, Teorema 1.13, pág. 300.

Sin embargo, la serie de Fourier de una función continua no necesita converger puntualmente. Quizás la prueba más sencilla utiliza la no acotación del núcleo de Dirichlet en L ¹ ( T ) y el principio de acotación uniforme de Banach-Steinhaus . Como es típico de los argumentos de existencia que invocan el teorema de la categoría de Baire , esta demostración no es constructiva. Se muestra que la familia de funciones continuas cuya serie de Fourier converge en un x dado es de primera categoría de Baire , en el espacio de Banach de funciones continuas sobre el círculo.

Entonces, en cierto sentido, la convergencia puntual es atípica y, para la mayoría de las funciones continuas, la serie de Fourier no converge en un punto dado. Sin embargo, el teorema de Carleson muestra que para una función continua dada, la serie de Fourier converge en casi todas partes.

También es posible dar ejemplos explícitos de una función continua cuya serie de Fourier diverge en 0: por ejemplo, la función f par y periódica 2π definida para todo x en [0,π] por ^[1]

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sin \left[\left(2^{n^{3}}+1\right){\frac {x}{2}}\right].}$

Convergencia uniforme

Supongamos que y tiene módulo de continuidad ; entonces las sumas parciales de la serie de Fourier convergen a la función con velocidad ^[2] ${\displaystyle f\in C^{p}}$ ${\displaystyle f^{(p)}}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle |f(x)-(S_{N}f)(x)|\leq K{\ln N \over N^{p}}\omega (2\pi /N)}$

para una constante que no depende de , ni , ni . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle N}$

Este teorema, demostrado por primera vez por D Jackson, dice, por ejemplo, que si se satisface la condición de -Hölder , entonces ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle |f(x)-(S_{N}f)(x)|\leq K{\ln N \over N^{\alpha }}.}$

Si es periódica y absolutamente continua en , entonces la serie de Fourier de converge uniformemente, pero no necesariamente de manera absoluta, a . ^[3] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Convergencia absoluta

Una función ƒ tiene una serie de Fourier absolutamente convergente si

${\displaystyle \|f\|_{A}:=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(n)|<\infty .}$

Obviamente, si esta condición se cumple, entonces converge absolutamente para cada t y, por otro lado, es suficiente que converja absolutamente incluso para un solo t , entonces esta condición se cumple. En otras palabras, para la convergencia absoluta no hay cuestión de dónde converge absolutamente la suma: si converge absolutamente en un punto, lo hará en todas partes. ${\displaystyle (S_{N}f)(t)}$ ${\displaystyle (S_{N}f)(t)}$

La familia de todas las funciones con series de Fourier absolutamente convergentes es el álgebra de Banach (la operación de multiplicación en álgebra es una simple multiplicación de funciones). Se llama álgebra de Wiener , en honor a Norbert Wiener , quien demostró que si ƒ tiene series de Fourier absolutamente convergentes y nunca es cero, entonces 1/ ƒ tiene series de Fourier absolutamente convergentes. La demostración original del teorema de Wiener fue difícil; Israel Gelfand propuso una simplificación utilizando la teoría de las álgebras de Banach . Finalmente, Donald J. Newman dio una breve prueba elemental en 1975.

Si pertenece a una clase α-Hölder para α > 1/2 entonces ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \|f\|_{A}\leq c_{\alpha }\|f\|_{{\rm {Lip}}_{\alpha }},\qquad \|f\|_{K}:=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }|n||{\widehat {f}}(n)|^{2}\leq c_{\alpha }\|f\|_{{\rm {Lip}}_{\alpha }}^{2}}$

para la constante en la condición de Hölder , una constante que sólo depende de ; es la norma del álgebra de Kerin. Observe que aquí el 1/2 es esencial: hay funciones de 1/2-Hölder que no pertenecen al álgebra de Wiener. Además, este teorema no puede mejorar la cota más conocida del tamaño del coeficiente de Fourier de una función α-Hölder, que es sólo y luego no sumable. ${\displaystyle \|f\|_{{\rm {Lip}}_{\alpha }}}$ ${\displaystyle c_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \|f\|_{K}}$ ${\displaystyle O(1/n^{\alpha })}$

Si ƒ es de variación acotada y pertenece a una clase α-Hölder para algún α > 0, pertenece al álgebra de Wiener. ^{[ cita necesaria ]}

Convergencia de normas

El caso más simple es el de L 2 , que es una transcripción directa de los resultados generales del espacio de Hilbert . Según el teorema de Riesz-Fischer , si ƒ es integrable al cuadrado, entonces

${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\int _{0}^{2\pi }\left|f(x)-S_{N}(f)(x)\right|^{2}\,\mathrm {d} x=0}$

es decir ,  converge a ƒ en la norma de L ² . Es fácil ver que lo contrario también es cierto: si el límite anterior es cero, ƒ debe estar en L ² . Entonces esta es una condición si y sólo si . ${\displaystyle S_{N}f}$

Si 2 en los exponentes anteriores se reemplaza con algo de p , la pregunta se vuelve mucho más difícil. Resulta que la convergencia aún se cumple si 1 < p  < ∞. En otras palabras, para ƒ en L p ,  converge a ƒ en la norma L ^p . La prueba original utiliza propiedades de funciones holomorfas y espacios de Hardy , y otra prueba, debida a Salomon Bochner, se basa en el teorema de interpolación de Riesz-Thorin . Para p  = 1 e infinito, el resultado no es verdadero. La construcción de un ejemplo de divergencia en L ¹ fue realizada por primera vez por Andrey Kolmogorov (ver más abajo). Para el infinito, el resultado es un corolario del principio de acotación uniforme . ${\displaystyle S_{N}(f)}$

Si el operador de suma parcial S _N se reemplaza por un núcleo de sumabilidad adecuado (por ejemplo, la suma de Fejér obtenida por convolución con el núcleo de Fejér ), se pueden aplicar técnicas analíticas funcionales básicas para demostrar que la convergencia de normas se cumple para 1 ≤  p  < ∞.

Convergencia en casi todas partes

El problema de si la serie de Fourier de cualquier función continua converge en casi todas partes fue planteado por Nikolai Lusin en la década de 1920. Fue resuelto positivamente en 1966 por Lennart Carleson . Su resultado, ahora conocido como teorema de Carleson , dice que la expansión de Fourier de cualquier función en L ² converge casi en todas partes. Más tarde, Richard Hunt generalizó esto a L ^p para cualquier p  > 1.

Por el contrario, Andrey Kolmogorov , siendo estudiante a la edad de 19 años, en su primer trabajo científico, construyó un ejemplo de una función en L ¹ cuya serie de Fourier diverge en casi todas partes (posteriormente mejorada para divergir en todas partes).

Jean-Pierre Kahane y Yitzhak Katznelson demostraron que para cualquier conjunto dado E de medida cero, existe una función continua ƒ tal que la serie de Fourier de ƒ no converge en ningún punto de E.

Sumabilidad

¿La secuencia 0,1,0,1,0,1,... (las sumas parciales de la serie de Grandi ) converge a1/2? Esto no parece una generalización muy irrazonable de la noción de convergencia. Por lo tanto decimos que cualquier secuencia es Cesàro sumable a algún a if ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}s_{k}=a.}$

Donde con denotamos la k -ésima suma parcial : ${\displaystyle s_{k}}$

${\displaystyle s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}=\sum _{n=1}^{k}a_{n}}$

No es difícil ver que si una secuencia converge a algún a entonces también es Cesàro sumable a él.

Para discutir la sumabilidad de las series de Fourier, debemos reemplazarlas con una noción apropiada. Por eso definimos ${\displaystyle S_{N}}$

${\displaystyle K_{N}(f;t)={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}S_{n}(f;t),\quad N\geq 1,}$

y pregunte: ¿ converge a f ? ya no está asociado con el núcleo de Dirichlet, sino con el núcleo de Fejér , es decir ${\displaystyle K_{N}(f)}$ ${\displaystyle K_{N}}$

${\displaystyle K_{N}(f)=f*F_{N}\,}$

¿Dónde está el núcleo de Fejér? ${\displaystyle F_{N}}$

${\displaystyle F_{N}={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}D_{n}.}$

La principal diferencia es que el núcleo de Fejér es un núcleo positivo. El teorema de Fejér establece que la secuencia anterior de sumas parciales converge uniformemente a ƒ . Esto implica propiedades de convergencia mucho mejores.

• Si ƒ es continua en t, entonces la serie de Fourier de ƒ es sumable en t a ƒ ( t ). Si ƒ es continua, su serie de Fourier es uniformemente sumable (es decir, converge uniformemente a ƒ ). ${\displaystyle K_{N}(f)}$
• Para cualquier integrable ƒ , converge a ƒ en la norma. ${\displaystyle K_{N}(f)}$ ${\displaystyle L^{1}}$
• No existe el fenómeno de Gibbs.

Los resultados sobre sumabilidad también pueden implicar resultados sobre convergencia regular. Por ejemplo, aprendemos que si ƒ es continua en t , entonces la serie de Fourier de ƒ no puede converger a un valor diferente de ƒ ( t ). Puede converger a ƒ ( t ) o divergir. Esto se debe a que, si converge a algún valor x , también es sumable a él, por lo que, a partir de la primera propiedad de sumabilidad anterior, x  = ƒ ( t ). ${\displaystyle S_{N}(f;t)}$

orden de crecimiento

El orden de crecimiento del núcleo de Dirichlet es logarítmico, es decir

${\displaystyle \int |D_{N}(t)|\,\mathrm {d} t={\frac {4}{\pi ^{2}}}\log N+O(1).}$

Consulte la notación O grande para conocer la notación O (1). El valor real es difícil de calcular (ver Zygmund 8.3) y casi inútil. El hecho de que para alguna constante c tengamos ${\displaystyle 4/\pi ^{2}}$

${\displaystyle \int |D_{N}(t)|\,\mathrm {d} t>c\log N+O(1)}$

Esto queda bastante claro cuando se examina la gráfica del núcleo de Dirichlet. La integral sobre el n -ésimo pico es mayor que c / n y, por lo tanto, la estimación de la suma armónica da la estimación logarítmica.

Esta estimación implica versiones cuantitativas de algunos de los resultados anteriores. Para cualquier función continua f y cualquier t se tiene

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {S_{N}(f;t)}{\log N}}=0.}$

Sin embargo, para cualquier orden de crecimiento ω( n ) menor que log, esto ya no es válido y es posible encontrar una función continua f tal que para algún t ,

${\displaystyle \varlimsup _{N\to \infty }{\frac {S_{N}(f;t)}{\omega (N)}}=\infty .}$

El problema equivalente de la divergencia en todas partes está abierto. Sergei Konyagin logró construir una función integrable tal que por cada uno tiene

${\displaystyle \varlimsup _{N\to \infty }{\frac {S_{N}(f;t)}{\sqrt {\log N}}}=\infty .}$

No se sabe si este ejemplo es el mejor posible. El único límite conocido desde la otra dirección es log n .

Múltiples dimensiones

Al examinar el problema equivalente en más de una dimensión, es necesario especificar el orden preciso de suma que se utiliza. Por ejemplo, en dos dimensiones, se puede definir

${\displaystyle S_{N}(f;t_{1},t_{2})=\sum _{|n_{1}|\leq N,|n_{2}|\leq N}{\widehat {f}}(n_{1},n_{2})e^{i(n_{1}t_{1}+n_{2}t_{2})}}$

que se conocen como "sumas parciales cuadradas". Reemplazando la suma anterior con

${\displaystyle \sum _{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}\leq N^{2}}}$

dar lugar a "sumas parciales circulares". La diferencia entre estas dos definiciones es bastante notable. Por ejemplo, la norma del núcleo de Dirichlet correspondiente para sumas parciales cuadradas es del orden de mientras que para sumas parciales circulares es del orden de . ${\displaystyle \log ^{2}N}$ ${\displaystyle {\sqrt {N}}}$

Muchos de los resultados verdaderos para una dimensión son incorrectos o desconocidos en múltiples dimensiones. En particular, el equivalente del teorema de Carleson todavía está abierto para sumas parciales circulares. En casi todas partes, Charles Fefferman estableció alrededor de 1970 la convergencia de "sumas parciales cuadradas" (así como sumas parciales poligonales más generales) en múltiples dimensiones .

Notas

1. Gourdon, Xavier (2009). Les maths en tête. Analizar (2ème édition) (en francés). Elipses. pag. 264.ISBN​ 978-2729837594.
2. Jackson (1930), p21 y siguientes.
3. Stromberg (1981), Ejercicio 6 (d) en la p. 519 y Ejercicio 7 (c) en la p. 520.

Referencias

Libros de texto

• Dunham Jackson La teoría de la aproximación , Publicación del Coloquio AMS Volumen XI, Nueva York 1930.
• Nina K. Bary, Tratado sobre series trigonométricas , vols. Yo, II. Traducción autorizada por Margaret F. Mullins. Un libro de prensa de Pérgamo. The Macmillan Co., Nueva York 1964.
• Antoni Zygmund, Serie trigonométrica , vol. Yo, II. Tercera edicion. Con prólogo de Robert A. Fefferman. Biblioteca de Matemáticas de Cambridge. Prensa de la Universidad de Cambridge, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-89053-5 
• Yitzhak Katznelson, Introducción al análisis armónico , tercera edición. Prensa de la Universidad de Cambridge, Cambridge, 2004. ISBN 0-521-54359-2 
• Karl R. Stromberg, Introducción al análisis clásico , Wadsworth International Group, 1981. ISBN 0-534-98012-0 

El libro de Katznelson es el que utiliza la terminología y el estilo más modernos de los tres. Las fechas de publicación originales son: Zygmund en 1935, Bari en 1961 y Katznelson en 1968. Sin embargo, el libro de Zygmund se amplió enormemente en su segunda publicación en 1959.

Artículos a que se refiere el texto.

• Paul du Bois-Reymond , "Ueber die Fourierschen Reihen", Nachr. Kon. Ges. Wiss. Gotinga 21 (1873), 571–582.

Ésta es la primera prueba de que la serie de Fourier de una función continua puede divergir. En alemán

• Andrey Kolmogorov , "Une série de Fourier – Lebesgue divergente presque partout", Fundamenta Mathematicae 4 (1923), 324–328.
• Andrey Kolmogorov, "Une série de Fourier – Lebesgue divergente partout", CR Acad. Ciencia. París 183 (1926), 1327-1328

La primera es una construcción de una función integrable cuya serie de Fourier diverge en casi todas partes. El segundo es un fortalecimiento de la divergencia en todas partes. En francés.

• Lennart Carleson , "Sobre la convergencia y el crecimiento de sumas parciales de series de Fourier", Acta Math. 116 (1966) 135-157.
• Richard A. Hunt , "Sobre la convergencia de las series de Fourier", Expansiones ortogonales y sus análogos continuos (Proc. Conf., Edwardsville, Illinois, 1967), 235–255. Universidad del Sur de Illinois. Prensa, Carbondale, Illinois.
• Charles Louis Fefferman , "Convergencia puntual de series de Fourier", Ann. de Matemáticas. 98 (1973), 551–571.
• Michael Lacey y Christoph Thiele , "Una prueba de acotación del operador Carleson", Math. Res. Letón. 7:4 (2000), 361–370.
• Ole G. Jørsboe y Leif Mejlbro, El teorema de Carleson-Hunt en series de Fourier . Apuntes de conferencias sobre matemáticas 911, Springer-Verlag, Berlín-Nueva York, 1982. ISBN 3-540-11198-0 

Este es el artículo original de Carleson, donde demuestra que la expansión de Fourier de cualquier función continua converge en casi todas partes; el artículo de Hunt donde lo generaliza a espacios; dos intentos de simplificar la prueba; y un libro que ofrece una exposición independiente del mismo. ${\displaystyle L^{p}}$

• Dunham Jackson , Series de Fourier y polinomios ortogonales , 1963
• DJ Newman, "Una prueba sencilla del teorema 1/f de Wiener", Proc. América. Matemáticas. Soc. 48 (1975), 264–265.
• Jean-Pierre Kahane y Yitzhak Katznelson , "Sur les ensembles de divergence des séries trigonométriques", Studia Math. 26 (1966), 305–306

En este artículo los autores muestran que para cualquier conjunto de medida cero existe una función continua en el círculo cuya serie de Fourier diverge en ese conjunto. En francés.

• Sergei Vladimirovich Konyagin , "Sobre la divergencia de series trigonométricas de Fourier en todas partes", CR Acad. Ciencia. París 329 (1999), 693–697.
• Jean-Pierre Kahane, Algunas series aleatorias de funciones , segunda edición. Prensa de la Universidad de Cambridge, 1993. ISBN 0-521-45602-9 

El artículo de Konyagin demuestra el resultado de la divergencia discutido anteriormente. En el libro de Kahane se puede encontrar una prueba más sencilla que proporciona sólo log log  n . ${\displaystyle {\sqrt {\log n}}}$