Serie trigonométrica

Suma de senos y cosenos con frecuencias corales.

En matemáticas, una serie trigonométrica es una serie infinita de la forma

${\displaystyle A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cos {nx}+B_{n}\sin {nx},}$

donde es la variable y y son coeficientes . Es una versión infinita de un polinomio trigonométrico . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{A_{n}\}}$ ${\displaystyle \{B_{n}\}}$

Una serie trigonométrica se llama serie de Fourier de la función integrable si los coeficientes tienen la forma: ${\textstyle f}$

${\displaystyle A_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }\!f(x)\cos {nx}\,dx}$

${\displaystyle B_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!f(x)\sin {nx}\,dx}$

Ejemplos

La serie de Fourier para la función de identidad sufre el fenómeno de Gibbs cerca de los extremos del intervalo periódico.

Cada serie de Fourier da un ejemplo de serie trigonométrica. Deje que la función activada se amplíe periódicamente (ver onda en diente de sierra ). Entonces sus coeficientes de Fourier son: ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\cos {nx}\,dx=0,\quad n\geq 0.\\[4pt]B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\sin {nx}\,dx\\[4pt]&=-{\frac {x}{n\pi }}\cos {nx}+{\frac {1}{n^{2}\pi }}\sin {nx}{\Bigg \vert }_{x=-\pi }^{\pi }\\[5mu]&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}$

Lo que da un ejemplo de una serie trigonométrica:

${\displaystyle 2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin {nx}=2\sin {x}-{\frac {2}{2}}\sin {2x}+{\frac {2}{3}}\sin {3x}-{\frac {2}{4}}\sin {4x}+\cdots }$

La serie trigonométrica sen 2 x  / log 2 + sen 3 x  / log 3 + sen 4 x  / log 4 + ... no es una serie de Fourier.

Sin embargo, lo contrario es falso: no todas las series trigonométricas son series de Fourier. Las series

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\sin {nx}}{\log {n}}}={\frac {\sin {2x}}{\log {2}}}+{\frac {\sin {3x}}{\log {3}}}+{\frac {\sin {4x}}{\log {4}}}+\cdots }$

es una serie trigonométrica que converge para todos pero no es una serie de Fourier . ^[1] Aquí para y todos los demás coeficientes son cero. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle B_{n}={\frac {1}{\log(n)}}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

Unicidad de las series trigonométricas.

La unicidad y los ceros de las series trigonométricas fue un área activa de investigación en la Europa del siglo XIX. Primero, Georg Cantor demostró que si una serie trigonométrica es convergente a una función en el intervalo , que es idénticamente cero, o más generalmente, es distinta de cero en un número finito de puntos como máximo, entonces los coeficientes de la serie son todos cero. ^[2] ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$

Más tarde, Cantor demostró que incluso si el conjunto S distinto de cero es infinito, pero el conjunto derivado S' de S es finito, entonces los coeficientes son todos cero. De hecho, demostró un resultado más general. Sea S ₀ = S y sea S _k+1 el conjunto derivado de S _k . Si hay un número finito n para el cual S _n es finito, entonces todos los coeficientes son cero. Más tarde, Lebesgue demostró que si hay un ordinal α contablemente infinito tal que S _α es finito, entonces los coeficientes de la serie son todos cero. El trabajo de Cantor sobre el problema de la unicidad lo llevó a inventar números ordinales transfinitos , que aparecían como subíndices α en S _α . ^[3] ${\displaystyle f}$

Notas

1. Resistente, Godfrey Harold ; Rogosinski, Werner Wolfgang (1956) [1ª ed. 1944]. Serie Fourier (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 4–5.
2. http://www.math.caltech.edu/papers/uniqueness.pdf ^{[ URL básica PDF ]}
3. Cooke, Roger (1993), "Singularidad de las series trigonométricas y la teoría descriptiva de conjuntos, 1870-1985", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 45 (4): 281–334, doi :10.1007/BF01886630, S2CID  122744778.

Referencias

• Bari, Nina Karlovna (1964). Tratado sobre series trigonométricas . vol. 1. Traducido por Mullins, Margaret F. Pergamon.
• Zygmund, Antoni (1968). Serie trigonométrica . vol. 1 y 2 (segunda edición reimpresa). Prensa de la Universidad de Cambridge. SEÑOR  0236587.

Ver también

• Teorema de Denjoy-Luzin