Familia de funciones
En matemáticas, un núcleo de sumabilidad es una familia o secuencia de funciones periódicas integrables que satisfacen un determinado conjunto de propiedades, que se enumeran a continuación. Ciertos núcleos, como el núcleo de Fejér , son particularmente útiles en el análisis de Fourier . Los núcleos de sumabilidad están relacionados con la aproximación de la identidad ; las definiciones de una aproximación de la identidad varían, [1] pero a veces la definición de una aproximación de la identidad se considera la misma que para un núcleo de sumabilidad.
Definición
Sea . Un núcleo de sumabilidad es una secuencia en que satisface
- (uniformemente delimitado)
- como , para cada .
Nótese que si para todos , es decir, es un núcleo de sumabilidad positivo , entonces el segundo requisito se sigue automáticamente del primero.
Con la convención más usual , la primera ecuación se convierte en , y el límite superior de integración en la tercera ecuación debe extenderse a , de modo que la condición 3 anterior debe ser
como , para cada .
Esto expresa el hecho de que la masa se concentra alrededor del origen a medida que aumenta.
También se puede considerar en lugar de ; entonces (1) y (2) se integran sobre , y (3) sobre .
Ejemplos
Convoluciones
Sea un núcleo de sumabilidad y denote la operación de convolución .
- Si (funciones continuas en ), entonces en , es decir uniformemente, como . En el caso del núcleo de Fejer esto se conoce como teorema de Fejér .
- Si , entonces en , como .
- Si es simétrico radialmente decreciente y , entonces ae puntualmente , como . Esto utiliza la función máxima de Hardy-Littlewood . Si no es simétrico radialmente decreciente, pero la simetrización decreciente satisface , entonces la convergencia de ae todavía se cumple, utilizando un argumento similar.
Referencias
- ^ Pereyra, María; Ward, Lesley (2012). Análisis armónico: de Fourier a Wavelets . American Mathematical Society. pág. 90.