Prueba de Dini

En matemáticas , las pruebas de Dini y de Dini-Lipschitz son pruebas de alta precisión que se pueden utilizar para demostrar que la serie de Fourier de una función converge en un punto dado. Estas pruebas reciben su nombre de Ulisse Dini y Rudolf Lipschitz . ^[1]

Definición

Sea f una función en [0,2 π ], sea t un punto y sea δ un número positivo. Definimos el módulo de continuidad local en el punto t por

${\displaystyle \left.\right.\omega _{f}(\delta ;t)=\max _{|\varepsilon |\leq \delta }|f(t)-f(t+\varepsilon )|}$

Nótese que aquí consideramos que f es una función periódica, por ejemplo, si t = 0 y ε es negativo, entonces definimos f ( ε ) = f (2π + ε ) .

El módulo global de continuidad (o simplemente el módulo de continuidad ) se define por

${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=\max _{t}\omega _{f}(\delta ;t)}$

Con estas definiciones podemos enunciar los principales resultados:

Teorema (prueba de Dini): Suponga que una función f satisface en un punto t que

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\omega _{f}(\delta ;t)\,\mathrm {d} \delta <\infty .}$

Entonces la serie de Fourier de f converge en t a f ( t ) .

Por ejemplo, el teorema se cumple con ω _f = log ⁻² ( ⁠1/del⁠ ) ​​pero no se cumple con log ⁻¹ ( ⁠1/del⁠ ) ​​.

Teorema (prueba de Dini-Lipschitz): Suponga que una función f satisface

${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=o\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1}.}$

Entonces la serie de Fourier de f converge uniformemente a f .

En particular, cualquier función que obedezca una condición de Hölder satisface la prueba de Dini-Lipschitz.

Precisión

Ambas pruebas son las mejores de su tipo. Para la prueba de Dini-Lipschitz, es posible construir una función f con su módulo de continuidad que satisfaga la prueba con O en lugar de o , es decir

${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=O\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1}.}$

y la serie de Fourier de f diverge. Para la prueba de Dini, el enunciado de precisión es ligeramente más largo: dice que para cualquier función Ω tal que

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\Omega (\delta )\,\mathrm {d} \delta =\infty }$

existe una función f tal que

${\displaystyle \omega _{f}(\delta ;0)<\Omega (\delta )}$

y la serie de Fourier de f diverge en 0.

Véase también

• Convergencia de series de Fourier
• Continuidad de Dini
• Criterio de Dini

Referencias

1. Gustafson, Karl E. (1999), Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales y métodos del espacio de Hilbert, Courier Dover Publications, pág. 121, ISBN 978-0-486-61271-3