Núcleo de Dirichlet

Concepto en el análisis matemático

En análisis matemático , el núcleo de Dirichlet , llamado así en honor al matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet , es la colección de funciones periódicas definidas como

$${\displaystyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)\right)={\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)x\right)}{\sin(x/2)}},}$$donde n es cualquier entero no negativo . Las funciones kernel son periódicas con período . ${\displaystyle 2\pi }$

Gráfico restringido a un período de los primeros núcleos de Dirac que muestra su convergencia a una de las distribuciones delta de Dirac del peine de Dirac . ${\displaystyle [-L,L],~L=\pi ,~}$

La importancia del núcleo de Dirichlet proviene de su relación con las series de Fourier . La convolución de D _n ( x ) con cualquier función f de periodo 2 π es la aproximación de la serie de Fourier de grado n a f , es decir, tenemos donde es el k ésimo coeficiente de Fourier de  f . Esto implica que para estudiar la convergencia de las series de Fourier es suficiente estudiar las propiedades del núcleo de Dirichlet. $${\displaystyle (D_{n}*f)(x)=\int _{-\pi }^{\pi }f(y)D_{n}(x-y)\,dy=2\pi \sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx},}$$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}\,dx}$$

Gráfico restringido a un período de los primeros núcleos de Dirichlet (multiplicado por ). ${\displaystyle 2\pi }$

yo1norma de la función kernel

De particular importancia es el hecho de que la norma L 1 de D _n en diverge al infinito cuando n → ∞ . Se puede estimar que ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ $${\displaystyle \|D_{n}\|_{L^{1}}=\Omega (\log n).}$$

Al utilizar un argumento de suma de Riemann para estimar la contribución en el vecindario más grande de cero en el que es positivo, y la desigualdad de Jensen para la parte restante, también es posible demostrar que: donde es la integral del seno ${\displaystyle D_{n}}$ $${\displaystyle \|D_{n}\|_{L^{1}}\geq 4\operatorname {Si} (\pi )+{\frac {8}{\pi }}\log n}$$ ${\textstyle \operatorname {Si} (x)}$ ${\textstyle \int _{0}^{x}(\sin t)/t\,dt.}$

Esta falta de integrabilidad uniforme está detrás de muchos fenómenos de divergencia de las series de Fourier. Por ejemplo, junto con el principio de acotación uniforme , se puede utilizar para demostrar que las series de Fourier de una función continua pueden no converger puntualmente, de una manera bastante dramática. Véase convergencia de las series de Fourier para más detalles.

Una prueba precisa del primer resultado que se da por ${\displaystyle \|D_{n}\|_{L^{1}[0,2\pi ]}=\Omega (\log n)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }|D_{n}(x)|\,dx&\geq \int _{0}^{\pi }{\frac {\left|\sin[(2n+1)x]\right|}{x}}\,dx\\[5pt]&\geq \sum _{k=0}^{2n}\int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\frac {\left|\sin s\right|}{s}}\,ds\\[5pt]&\geq \left|\sum _{k=0}^{2n}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin s}{(k+1)\pi }}\,ds\right|\\[5pt]&={\frac {2}{\pi }}H_{2n+1}\\[5pt]&\geq {\frac {2}{\pi }}\log(2n+1),\end{aligned}}}$$

donde hemos utilizado la identidad de la serie de Taylor que y donde son los números armónicos de primer orden . ${\displaystyle 2/x\leq 1/\left|\sin(x/2)\right|}$ ${\displaystyle H_{n}}$

Relación con la función delta periódica

El núcleo de Dirichlet es una función periódica que se convierte en el peine de Dirac , es decir, la función delta periódica, en el límite.

${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\pm i\omega mT}={\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k/T)={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\xi -k/T)~,}$

con la frecuencia angular . ${\displaystyle \omega =2\pi \xi }$

Esto se puede inferir de la propiedad de autoconjugación del núcleo de Dirichlet bajo la transformada de Fourier directa e inversa :

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[D_{n}(2\pi x)\right](\xi )={\mathcal {F}}^{-1}\left[D_{n}(2\pi x)\right](\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }D_{n}(2\pi x)e^{\pm i2\pi \xi x}\,dx=\sum _{k=-n}^{+n}\delta (\xi -k)\equiv \operatorname {comb} _{n}(\xi )}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\operatorname {comb} _{n}\right](x)={\mathcal {F}}^{-1}\left[\operatorname {comb} _{n}\right](x)=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {comb} _{n}(\xi )e^{\pm i2\pi \xi x}\,d\xi =D_{n}(2\pi x),}$

y va al peine de Dirac de período como , que permanece invariante bajo la transformada de Fourier : . Por lo tanto, también debe haber convergido a como . ${\displaystyle \operatorname {comb} _{n}(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} }$ ${\displaystyle T=1}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}[\operatorname {\text{Ш}} ]=\operatorname {\text{Ш}} }$ ${\displaystyle D_{n}(2\pi x)}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} }$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

En otro orden de ideas, considere ∆(x) como el elemento de identidad para la convolución en funciones de período 2 π . En otras palabras, tenemos para cada función f de período 2 π . La representación de la serie de Fourier de esta "función" es $${\displaystyle f*(\Delta )=f}$$ $${\displaystyle \Delta (x)\sim \sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx)\right).}$$

(Esta serie de Fourier no converge a la función en casi ningún punto.) Por lo tanto, el núcleo de Dirichlet, que es simplemente la secuencia de sumas parciales de esta serie, puede considerarse como una identidad aproximada . Sin embargo, en términos abstractos, no es una identidad aproximada de elementos positivos (de ahí los fallos en la convergencia puntual mencionados anteriormente).

Prueba de la identidad trigonométrica

La identidad trigonométrica que se muestra en la parte superior de este artículo se puede establecer de la siguiente manera. Primero, recordemos que la suma de una serie geométrica finita es $${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.}$$

En particular, tenemos $${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}r^{k}=r^{-n}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}.}$$

Multiplica tanto el numerador como el denominador por , obteniendo ${\displaystyle r^{-1/2}}$ $${\displaystyle {\frac {r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}={\frac {r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}}.}$$

En el caso que tengamos según lo requerido. ${\displaystyle r=e^{ix}}$ $${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}}={\frac {-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}}$$

Prueba alternativa de la identidad trigonométrica

Comience con la serie. Multiplique ambos lados por y use la identidad trigonométrica para reducir los términos en la suma, lo cual se reduce al resultado. $${\displaystyle f(x)=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx).}$$ ${\textstyle \sin(x/2)}$ $${\displaystyle \cos(a)\sin(b)={\frac {\sin(a+b)-\sin(a-b)}{2}}}$$ $${\displaystyle \sin(x/2)f(x)=\sin(x/2)+\sum _{k=1}^{n}\left(\sin((k+{\tfrac {1}{2}})x)-\sin((k-{\tfrac {1}{2}})x)\right)}$$

Variante de identidad

Si la suma es solo sobre números enteros no negativos (lo que puede surgir al calcular una transformada de Fourier discreta que no está centrada), entonces utilizando técnicas similares podemos demostrar la siguiente identidad: Otra variante es y esto se puede demostrar fácilmente utilizando una identidad . ^[1] $${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}e^{ikx}=e^{i(N-1)x/2}{\frac {\sin(N\,x/2)}{\sin(x/2)}}}$$ ${\displaystyle D_{n}(x)-{\frac {1}{2}}\cos(nx)={\frac {\sin \left(nx\right)}{2\tan({\frac {x}{2}})}}}$ ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\sin(\beta )}$

Véase también

• núcleo de Fejér

Referencias

1. Fay, Temple H.; Kloppers, P. Hendrik (2001). "El fenómeno de Gibbs". Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología . 32 (1): 73–89. doi :10.1080/00207390117151. S2CID  120595055.

Fuentes

• Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: análisis real . ClassicalRealAnalysis.com 1996, ISBN 0-13-458886-X , S.620 (vollständige Online-Version (Google Books)) 
• Podkorytov, AN (1988), "Comportamiento asintótico del núcleo de Dirichlet de las sumas de Fourier con respecto a un polígono". Journal of Soviet Mathematics , 42(2): 1640–1646. doi: 10.1007/BF01665052
• Levi, H. (1974), "Una construcción geométrica del núcleo de Dirichlet". Transactions of the New York Academy of Sciences , 36: 640–643. doi: 10.1111/j.2164-0947.1974.tb03023.x
• "Núcleo de Dirichlet", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Núcleo de Dirichlet en PlanetMath