En matemáticas , particularmente en análisis funcional y teoría de anillos , una identidad aproximada es una red en un álgebra o anillo de Banach (generalmente sin identidad) que actúa como sustituto de un elemento de identidad .
Una identidad aproximada por la derecha en un álgebra A de Banach es una red tal que para cada elemento a de A , de manera similar, una identidad aproximada por la izquierda en un álgebra A de Banach es una red tal que para cada elemento a de A , una identidad aproximada es una red que es a la vez una identidad aproximada por la derecha y una identidad aproximada por la izquierda.
Para C*-álgebras , una identidad aproximada derecha (o izquierda) que consta de elementos autoadjuntos es lo mismo que una identidad aproximada. La red de todos los elementos positivos en A de norma ≤ 1 con su orden natural es una identidad aproximada para cualquier álgebra C*. Esto se llama identidad canónica aproximada de un álgebra C*. Las identidades aproximadas no son únicas. Por ejemplo, para operadores compactos que actúan en un espacio de Hilbert , la red que consta de proyecciones de rango finito sería otra identidad aproximada.
Si una identidad aproximada es una secuencia , la llamamos identidad aproximada secuencial y un álgebra C* con una identidad aproximada secuencial se llama σ-unital . Cada álgebra C* separable es σ-unital, aunque lo contrario es falso. Una álgebra C* conmutativa es σ-unital si y sólo si su espectro es σ-compacto . En general, un álgebra C* A es σ-unital si y sólo si A contiene un elemento estrictamente positivo, es decir , existe h en A + tal que la subálgebra C* hereditaria generada por h es A.
A veces se consideran identidades aproximadas que consisten en tipos específicos de elementos. Por ejemplo, un álgebra C* tiene rango real cero si y sólo si cada subálgebra C* hereditaria tiene una identidad aproximada que consta de proyecciones. Esto se conocía como propiedad (HP) en la literatura anterior.
Una identidad aproximada en un álgebra de convolución juega el mismo papel que una secuencia de aproximaciones de funciones a la función delta de Dirac (que es el elemento de identidad para la convolución). Por ejemplo, los núcleos de Fejér de la teoría de series de Fourier dan lugar a una identidad aproximada.
En la teoría de anillos, una identidad aproximada se define de manera similar, excepto que al anillo se le da la topología discreta de modo que a = ae λ para algún λ.
Un módulo sobre un anillo con identidad aproximada se llama no degenerado si por cada m en el módulo hay algo de λ con m = me λ .
