Integral que expresa la cantidad de superposición de una función cuando se desplaza sobre otra
En matemáticas (en particular, análisis funcional ), la convolución es una operación matemática en dos funciones ( f y g ) que produce una tercera función ( ). El término convolución se refiere tanto a la función resultante como al proceso de calcularla. Se define como la integral del producto de las dos funciones después de que una se refleja sobre el eje y y se desplaza. La integral se evalúa para todos los valores de desplazamiento, produciendo la función de convolución. La elección de qué función se refleja y se desplaza antes de la integral no cambia el resultado de la integral (ver conmutatividad). Gráficamente, expresa cómo la "forma" de una función es modificada por la otra.
Algunas características de la convolución son similares a la correlación cruzada : para funciones de valor real, de una variable continua o discreta, la convolución ( ) difiere de la correlación cruzada ( ) sólo en que f ( x ) o g ( x ) se refleja alrededor el eje y en convolución; por lo tanto, es una correlación cruzada de g (− x ) y f ( x ) , o f (− x ) y g ( x ) . [A] Para funciones de valores complejos, el operador de correlación cruzada es el adjunto del operador de convolución.
Calcular la inversa de la operación de convolución se conoce como deconvolución .
Definición
La convolución de f y g se escribe f ∗ g , denotando al operador con el símbolo ∗ . [B] Se define como la integral del producto de las dos funciones después de que una se refleja alrededor del eje y y se desplaza. Como tal, es un tipo particular de transformación integral :
Una definición equivalente es (ver conmutatividad):
Si bien el símbolo t se usa anteriormente, no es necesario que represente el dominio del tiempo. En cada t , la fórmula de convolución se puede describir como el área bajo la función f ( τ ) ponderada por la función g (− τ ) desplazada por la cantidad t . A medida que t cambia, la función de ponderación g ( t − τ ) enfatiza diferentes partes de la función de entrada f ( τ ) ; Si t es un valor positivo, entonces g ( t − τ ) es igual a g (− τ ) que se desliza o se desplaza a lo largo del eje - hacia la derecha (hacia +∞ ) por la cantidad de t , mientras que si t es un valor negativo, entonces g ( t − τ ) es igual a g (− τ ) que se desliza o se desplaza hacia la izquierda (hacia -∞ ) por la cantidad de |t| .
Para funciones f , g admitidas solo en [0, ∞] (es decir, cero para argumentos negativos), los límites de integración se pueden truncar, lo que da como resultado:
Para conocer la formulación multidimensional de convolución, consulte dominio de definición (a continuación).
Notación
Una convención de notación de ingeniería común es: [2]
que debe interpretarse con cuidado para evitar confusiones. Por ejemplo, f ( t )∗ g ( t − t 0 ) es equivalente a ( f ∗ g )( t − t 0 ) , pero f ( t − t 0 )∗ g ( t − t 0 ) es de hecho equivalente a ( f ∗ gramo )( t - 2 t 0 ) . [3]
respectivamente, la operación de convolución se puede definir como la transformada de Laplace inversa del producto de y . [4] [5] Más precisamente,
deja tal que
Tenga en cuenta que es la transformada de Laplace bilateral de . Se puede realizar una derivación similar utilizando la transformada de Laplace unilateral (transformada de Laplace unilateral).
La operación de convolución también describe la salida (en términos de entrada) de una clase importante de operaciones conocida como lineal invariante en el tiempo (LTI). Consulte la teoría del sistema LTI para obtener una derivación de la convolución como resultado de las restricciones de LTI. En términos de las transformadas de Fourier de la entrada y salida de una operación LTI, no se crean nuevos componentes de frecuencia. Sólo se modifican los existentes (amplitud y/o fase). En otras palabras, la transformada de salida es el producto puntual de la transformada de entrada con una tercera transformada (conocida como función de transferencia ). Consulte el teorema de convolución para obtener una derivación de esa propiedad de convolución. Por el contrario, la convolución se puede derivar como la transformada de Fourier inversa del producto puntual de dos transformadas de Fourier.
Explicación visual
Desarrollos históricos
Uno de los primeros usos de la integral de convolución apareció en la derivación del teorema de Taylor por parte de D'Alembert en Recherches sur différents point importantes du système du monde, publicado en 1754. [6]
Además, una expresión del tipo:
Es utilizado por Sylvestre François Lacroix en la página 505 de su libro titulado Tratado sobre las diferencias y las series , que es el último de 3 volúmenes de la serie enciclopédica: Traité du calcul différentiel et du calcul intégral , Chez Courcier, París, 1797–1800. [7] Poco después, las operaciones de convolución aparecen en las obras de Pierre Simon Laplace , Jean-Baptiste Joseph Fourier , Siméon Denis Poisson y otros. El término en sí no se utilizó ampliamente hasta las décadas de 1950 y 1960. Antes de eso, a veces se la conocía como Faltung (que significa plegado en alemán ), producto de composición , integral de superposición e integral de Carson . [8] Sin embargo, aparece ya en 1903, aunque la definición es bastante desconocida en usos más antiguos. [9] [10]
La operacion:
Es un caso particular de productos de composición considerados por el matemático italiano Vito Volterra en 1913. [11]
convolución circular
Cuando una función g T es periódica, con periodo T , entonces para funciones f , tales que f ∗ g T existe, la convolución también es periódica e idéntica a:
donde t 0 es una elección arbitraria. La sumatoria se llama sumatoria periódica de la función f .
Cuando g T es una suma periódica de otra función, g , entonces f ∗ g T se conoce como convolución circular o cíclica de f y g .
Y si la suma periódica anterior se reemplaza por f T , la operación se llama convolución periódica de f T y g T .
convolución discreta
Para funciones de valores complejos f , g definidas en el conjunto Z de números enteros, la convolución discreta de f y g viene dada por: [12]
o equivalentemente (ver conmutatividad) por:
La convolución de dos secuencias finitas se define extendiendo las secuencias a funciones finitamente admitidas en el conjunto de números enteros. Cuando las secuencias son los coeficientes de dos polinomios , entonces los coeficientes del producto ordinario de los dos polinomios son la convolución de las dos secuencias originales. Esto se conoce como producto de Cauchy de los coeficientes de las secuencias.
Así, cuando g tiene un soporte finito en el conjunto (que representa, por ejemplo, una respuesta de impulso finita ), se puede utilizar una suma finita: [13]
Convolución discreta circular
Cuando una función g N es periódica, con periodo N , entonces para funciones f , tales que f ∗ g N existe, la convolución también es periódica e idéntica a:
La convolución circular surge con mayor frecuencia en el contexto de una convolución rápida con un algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT).
Algoritmos de convolución rápida
En muchas situaciones, las convoluciones discretas se pueden convertir en convoluciones circulares para poder utilizar transformaciones rápidas con una propiedad de convolución para implementar el cálculo. Por ejemplo, la convolución de secuencias de dígitos es la operación central en la multiplicación de números de varios dígitos, que por lo tanto puede implementarse eficientemente con técnicas de transformación (Knuth 1997, §4.3.3.C; von zur Gathen & Gerhard 2003, §8.2).
La ecuación 1 requiere N operaciones aritméticas por valor de salida y N 2 operaciones para N salidas. Esto se puede reducir significativamente con cualquiera de varios algoritmos rápidos. El procesamiento de señales digitales y otras aplicaciones suelen utilizar algoritmos de convolución rápidos para reducir el costo de la convolución a una complejidad O ( N log N ).
Los algoritmos de convolución rápida más comunes utilizan algoritmos de transformada rápida de Fourier (FFT) mediante el teorema de convolución circular . Específicamente, la convolución circular de dos secuencias de longitud finita se encuentra tomando una FFT de cada secuencia, multiplicando puntualmente y luego realizando una FFT inversa. Luego, las convoluciones del tipo definido anteriormente se implementan eficientemente utilizando esa técnica junto con la extensión cero y/o descartando partes de la salida. Otros algoritmos de convolución rápida, como el algoritmo de Schönhage-Strassen o la transformada de Mersenne, [14] utilizan transformadas rápidas de Fourier en otros anillos . El método Winograd se utiliza como alternativa a la FFT. [15] Acelera significativamente la convolución 1D, [16] 2D, [17] y 3D [18] .
Si una secuencia es mucho más larga que la otra, la extensión cero de la secuencia más corta y la convolución circular rápida no es el método disponible más eficiente desde el punto de vista computacional. [19] En cambio, descomponer la secuencia más larga en bloques y convolucionar cada bloque permite algoritmos más rápidos, como el método de superposición y guardado y el método de superposición y adición . [20] Un método de convolución híbrido que combina algoritmos de bloque y FIR permite una latencia de entrada-salida cero que es útil para cálculos de convolución en tiempo real. [21]
Dominio de definición
La convolución de dos funciones de valores complejos en R d es en sí misma una función de valores complejos en R d , definida por:
y está bien definido sólo si f y g decaen lo suficientemente rápido en el infinito para que exista la integral. Las condiciones para la existencia de la convolución pueden ser complicadas, ya que una explosión de g en el infinito puede compensarse fácilmente con una caída suficientemente rápida de f . Por tanto, la cuestión de la existencia puede implicar diferentes condiciones en f y g :
Funciones compatibles de forma compacta
Si f y g son funciones continuas soportadas de forma compacta , entonces su convolución existe, y también es continua y soportada de forma compacta (Hörmander 1983, Capítulo 1). De manera más general, si cualquiera de las funciones (digamos f ) se admite de manera compacta y la otra es localmente integrable , entonces la convolución f ∗ g está bien definida y es continua.
La convolución de f y g también está bien definida cuando ambas funciones son localmente integrables al cuadrado en R y están soportadas en un intervalo de la forma [ a , +∞) (o ambas soportadas en [−∞, a ] ).
Funciones integrables
La convolución de f y g existe si f y g son funciones integrables de Lebesgue en L 1 ( R d ) , y en este caso f ∗ g también es integrable (Stein & Weiss 1971, Teorema 1.3). Esta es una consecuencia del teorema de Tonelli . Esto también es válido para funciones en L 1 , bajo la convolución discreta o, más generalmente, para la convolución en cualquier grupo.
Asimismo, si f ∈ L 1 ( R d ) y g ∈ L p ( R d ) donde 1 ≤ p ≤ ∞ , entonces f ∗ g ∈ L p ( R d ), y
En el caso particular p = 1 , esto muestra que L 1 es un álgebra de Banach bajo la convolución (y la igualdad de los dos lados se cumple si f y g no son negativos en casi todas partes).
De manera más general, la desigualdad de Young implica que la convolución es un mapa bilineal continuo entre espacios L p adecuados . Específicamente, si 1 ≤ p , q , r ≤ ∞ satisface:
entonces
de modo que la convolución sea un mapeo bilineal continuo de L p × L q a L r . La desigualdad de Young para la convolución también es cierta en otros contextos (grupo circular, convolución en Z ). La desigualdad anterior no es nítida en la recta real: cuando 1 < p , q , r < ∞ , existe una constante B p , q < 1 tal que:
El valor óptimo de B p , q se descubrió en 1975 [22] e independientemente en 1976, [23] ver desigualdad de Brascamp-Lieb .
Una estimación más sólida es verdadera siempre que 1 < p , q , r < ∞ :
¿ Dónde está la norma débil L q ? La convolución también define un mapa continuo bilineal para , debido a la débil desigualdad de Young: [24]
Funciones de descomposición rápida.
Además de las funciones soportadas de forma compacta y las funciones integrables, también se pueden convolucionar funciones que tienen una desintegración suficientemente rápida en el infinito. Una característica importante de la convolución es que si f y g decaen rápidamente, entonces f ∗ g también decae rápidamente. En particular, si f y g son funciones decrecientes rápidamente , entonces también lo es la convolución f ∗ g . Combinado con el hecho de que la convolución conmuta con la diferenciación (ver #Propiedades), se deduce que la clase de funciones de Schwartz está cerrada bajo convolución (Stein y Weiss 1971, Teorema 3.3).
Distribuciones
Si f es una función suave que se soporta de forma compacta y g es una distribución, entonces f ∗ g es una función suave definida por
De manera más general, es posible ampliar la definición de convolución de una manera única con lo mismo que f arriba, de modo que la ley asociativa
sigue siendo válido en el caso en que f es una distribución y g una distribución con soporte compacto (Hörmander 1983, §4.2).
Esto concuerda con la convolución definida anteriormente cuando μ y ν se consideran distribuciones, así como con la convolución de las funciones L 1 cuando μ y ν son absolutamente continuas con respecto a la medida de Lebesgue.
La convolución de medidas también satisface la siguiente versión de la desigualdad de Young
donde la norma es la variación total de una medida. Debido a que el espacio de medidas de variación acotada es un espacio de Banach , la convolución de medidas puede tratarse con métodos estándar de análisis funcional que pueden no aplicarse a la convolución de distribuciones.
Propiedades
Propiedades algebraicas
La convolución define un producto en el espacio lineal de funciones integrables. Este producto satisface las siguientes propiedades algebraicas, que formalmente significan que el espacio de funciones integrables con el producto dado por convolución es un álgebra asociativa conmutativa sin identidad (Strichartz 1994, §3.3). Otros espacios lineales de funciones, como el espacio de funciones continuas de soporte compacto, están cerrados bajo la convolución y, por tanto, también forman álgebras asociativas conmutativas.
Prueba: Esto se desprende del uso del teorema de Fubini (es decir, las integrales dobles pueden evaluarse como integrales iteradas en cualquier orden).
Ningún álgebra de funciones posee una identidad para la convolución. La falta de identidad no suele ser un inconveniente importante, ya que la mayoría de las colecciones de funciones sobre las que se realiza la convolución pueden convolucionarse con una distribución delta (un impulso unitario, centrado en cero) o, como mínimo (como es el caso de L 1 ) admitir aproximaciones a la identidad . Sin embargo, el espacio lineal de distribuciones soportadas compactamente admite una identidad bajo la convolución. Específicamente,
donde δ es la distribución delta.
elemento inverso
Algunas distribuciones S tienen un elemento inverso S −1 para la convolución que luego debe satisfacer
a partir del cual se puede obtener una fórmula explícita para S −1 .El conjunto de distribuciones invertibles forma un grupo abeliano bajo la convolución.
Conjugación compleja
Relación con la diferenciación
Prueba:
Relación con la integración
Si y entonces
Integración
Si f y g son funciones integrables, entonces la integral de su convolución en todo el espacio se obtiene simplemente como el producto de sus integrales: [25]
Esto se desprende del teorema de Fubini . El mismo resultado es válido si solo se supone que f y g son funciones mensurables no negativas, según el teorema de Tonelli .
Diferenciación
En el caso de una variable,
¿ Dónde está la derivada ? De manera más general, en el caso de funciones de varias variables, se cumple una fórmula análoga para la derivada parcial :
Una consecuencia particular de esto es que la convolución puede verse como una operación de "suavizado": la convolución de f y g es diferenciable tantas veces como f y g son en total.
Estas identidades se mantienen bajo la condición precisa de que f y g sean absolutamente integrables y al menos una de ellas tenga una derivada débil (L 1 ) absolutamente integrable, como consecuencia de la desigualdad de convolución de Young . Por ejemplo, cuando f es continuamente diferenciable con soporte compacto y g es una función arbitraria localmente integrable,
Estas identidades también son válidas de manera mucho más amplia en el sentido de distribuciones templadas si una de f o g es una distribución templada decreciente rápidamente , una distribución templada con soporte compacto o una función de Schwartz y la otra es una distribución templada. Por otro lado, dos funciones positivas integrables e infinitamente diferenciables pueden tener una convolución continua en ninguna parte.
En el caso discreto, el operador de diferencia D f ( n ) = f ( n + 1) − f ( n ) satisface una relación análoga:
La convolución conmuta con las traducciones, lo que significa que
donde τ x f es la traducción de la función f por x definida por
Si f es una función de Schwartz , entonces τ x f es la convolución con una función delta de Dirac traducida τ x f = f ∗ τ x δ . Entonces, la invariancia de traducción de la convolución de funciones de Schwartz es una consecuencia de la asociatividad de la convolución.
Además, bajo ciertas condiciones, la convolución es la operación invariante de traducción más general. Informalmente hablando, se cumple lo siguiente
Supongamos que S es un operador lineal acotado que actúa sobre funciones que conmuta con traslaciones: S ( τ x f ) = τ x ( Sf ) para todo x . Entonces S se da como convolución con una función (o distribución) g S ; es decir Sf = g S ∗ f .
Una versión más precisa del teorema citado anteriormente requiere especificar la clase de funciones sobre las cuales se define la convolución, y también requiere asumir además que S debe ser un operador lineal continuo con respecto a la topología apropiada . Se sabe, por ejemplo, que cada operador lineal continuo invariante de traducción continua en L 1 es la convolución con una medida de Borel finita . De manera más general, cada operador lineal continuo invariante de traducción continua en L p para 1 ≤ p < ∞ es la convolución con una distribución templada cuya transformada de Fourier está acotada. Es decir, todos están dados por multiplicadores de Fourier acotados .
Convoluciones en grupos
Si G es un grupo adecuado dotado de una medida λ, y si f y g son funciones integrables de valores reales o complejos en G , entonces podemos definir su convolución por
No es conmutativo en general. En casos típicos de interés, G es un grupo topológico de Hausdorff localmente compacto y λ es una medida de Haar (izquierda) . En ese caso, a menos que G sea unimodular , la convolución definida de esta manera no es la misma que . La preferencia de uno sobre el otro se hace de modo que la convolución con una función fija g conmuta con la traducción a la izquierda en el grupo:
Además, la convención también es necesaria para mantener la coherencia con la definición de convolución de medidas que se da a continuación. Sin embargo, con una medida de Haar derecha en lugar de izquierda, se prefiere la última integral a la primera.
En grupos abelianos localmente compactos , se cumple una versión del teorema de convolución : la transformada de Fourier de una convolución es el producto puntual de las transformadas de Fourier. El grupo circular T con la medida de Lebesgue es un ejemplo inmediato. Para una g fija en L 1 ( T ), tenemos el siguiente operador familiar que actúa sobre el espacio de Hilbert L 2 ( T ):
El operador T es compacto . Un cálculo directo muestra que su T* adjunto es convolución con
Según la propiedad de conmutatividad citada anteriormente, T es normal : T * T = TT *. Además, T viaja con los operadores de traducción. Considere la familia S de operadores que consta de todas esas convoluciones y los operadores de traducción. Entonces S es una familia de operadores normales que se desplazan al trabajo. Según la teoría espectral , existe una base ortonormal { hk } que simultáneamente diagonaliza S. Esto caracteriza las convoluciones en el círculo. Específicamente, tenemos
que son precisamente los personajes de T . Cada convolución es un operador de multiplicación compacto en esta base. Esto puede verse como una versión del teorema de convolución discutido anteriormente.
Sea ( X , Δ, ∇, ε , η ) una biálgebra con comultiplicación Δ, multiplicación ∇, unidad η y cuenta ε . La convolución es un producto definido en el álgebra de endomorfismo End( X ) de la siguiente manera. Sean φ , ψ ∈ End( X ), es decir, φ , ψ : X → X son funciones que respetan toda la estructura algebraica de X , entonces la convolución φ ∗ ψ se define como la composición
La convolución aparece notablemente en la definición de álgebras de Hopf (Kassel 1995, §III.3). Una bialgebra es un álgebra de Hopf si y sólo si tiene una antípoda: un endomorfismo S tal que
Aplicaciones
La convolución y las operaciones relacionadas se encuentran en muchas aplicaciones en ciencia, ingeniería y matemáticas.
En acústica , la reverberación es la convolución del sonido original con ecos de los objetos que rodean la fuente del sonido.
En el procesamiento de señales digitales, la convolución se utiliza para mapear la respuesta al impulso de una sala real en una señal de audio digital.
En la música electrónica, la convolución es la imposición de una estructura espectral o rítmica a un sonido. A menudo esta envolvente o estructura se toma de otro sonido. La convolución de dos señales es el filtrado de una a través de la otra. [37]
En ingeniería eléctrica , la convolución de una función (la señal de entrada ) con una segunda función (la respuesta al impulso) da la salida de un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI). En cualquier momento dado, la salida es un efecto acumulado de todos los valores anteriores de la función de entrada, siendo los valores más recientes los que suelen tener la mayor influencia (expresados como un factor multiplicativo). La función de respuesta al impulso proporciona ese factor en función del tiempo transcurrido desde que ocurrió cada valor de entrada.
En la espectroscopia de fluorescencia resuelta en el tiempo , la señal de excitación se puede tratar como una cadena de pulsos delta, y la fluorescencia medida es una suma de desintegraciones exponenciales de cada pulso delta.
En la estimación de la densidad del núcleo , se estima una distribución a partir de puntos de muestra mediante convolución con un núcleo, como un gaussiano isotrópico. [38]
En los sistemas de planificación de tratamientos de radioterapia, la mayoría de los códigos de cálculo modernos utilizan un algoritmo de superposición de convolución. [ se necesita aclaración ]
En confiabilidad estructural, el índice de confiabilidad se puede definir con base en el teorema de convolución.
La definición de índice de confiabilidad para funciones de estado límite con distribuciones no normales se puede establecer correspondiente a la función de distribución conjunta . De hecho, la función de distribución conjunta se puede obtener utilizando la teoría de convolución. [39]
En hidrodinámica de partículas suavizadas , las simulaciones de dinámica de fluidos se calculan utilizando partículas, cada una con núcleos circundantes. Para cualquier partícula dada , alguna cantidad física se calcula como una convolución con una función de ponderación, donde denota los vecinos de la partícula : aquellos que se encuentran dentro de su núcleo. La convolución se aproxima como una suma sobre cada vecino. [40]
En cálculo fraccional, la convolución es fundamental en varias definiciones de integral fraccionaria y derivada fraccionaria.
Matriz de Toeplitz (las convoluciones pueden considerarse una operación de matriz de Toeplitz donde cada fila es una copia desplazada del núcleo de convolución)
^ El símbolo U+2217 ∗ ASTERISK OPERATOR es diferente de U+002A * ASTERISK , que a menudo se usa para indicar conjugación compleja. Ver Asterisco § Tipografía matemática .
Referencias
^ Bahri, Mawardi; Ashino, Ryuichi; Vaillancourt, Rémi (2013). "Teoremas de convolución para la transformada de Fourier del cuaternión: propiedades y aplicaciones" (PDF) . Análisis abstracto y aplicado . 2013 : 1–10. doi : 10.1155/2013/162769 . Archivado (PDF) desde el original el 21 de octubre de 2020 . Consultado el 11 de noviembre de 2022 .
^ Smith, Stephen W (1997). "13.Convolución". La guía para científicos e ingenieros sobre el procesamiento de señales digitales (1 ed.). Publicaciones técnicas de California. ISBN0-9660176-3-3. Consultado el 22 de abril de 2016 .
^ Irwin, J.David (1997). "4.3". El manual de electrónica industrial (1 ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. pag. 75.ISBN _0-8493-8343-9.
^ Ecuaciones diferenciales (primavera de 2010), MIT 18.03. "Conferencia 21: Fórmula de convolución". Material didáctico abierto del MIT . MIT . Consultado el 22 de diciembre de 2021 .{{cite web}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
^ "18.03SC Ecuaciones diferenciales otoño de 2011" (PDF) . Fórmula de Green, Transformada de convolución de Laplace . Archivado (PDF) desde el original el 6 de septiembre de 2015.
^ Domínguez-Torres, p 2
^ Domínguez-Torres, pág.4
^ RN Bracewell (2005), "Primeros trabajos sobre teoría de imágenes en radioastronomía", en WT Sullivan (ed.), Los primeros años de la radioastronomía: reflexiones cincuenta años después del descubrimiento de Jansky , Cambridge University Press, p. 172, ISBN978-0-521-61602-7
^ John Hilton Grace y Alfred Young (1903), El álgebra de invariantes, Cambridge University Press, p. 40
^ Leonard Eugene Dickson (1914), Invariantes algebraicas, J. Wiley, p. 85
↑
Según [Lothar von Wolfersdorf (2000), "Einige Klassen quadratischer Integralgleichungen", Sitzungsberichte der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig , Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse , volumen 128 , número 2, 6–7], la fuente es Volterra, Vito ( 1913), "Leçons sur les fonctions de linges". Gauthier-Villars, París 1913.
^ Damelin y Miller 2011, pág. 219
^ Prensa, William H.; Flannery, Brian P.; Teukolsky, Saúl A.; Vetterling, William T. (1989). Recetas numéricas en Pascal. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 450.ISBN _0-521-37516-9.
^ Rader, CM (diciembre de 1972). "Convoluciones discretas mediante transformadas de Mersenne". Transacciones IEEE en computadoras . 21 (12): 1269-1273. doi :10.1109/TC.1972.223497. S2CID 1939809.
^ Winograd, Shmuel (enero de 1980). Complejidad aritmética de los cálculos. Sociedad de Matemática Industrial y Aplicada. doi :10.1137/1.9781611970364. ISBN978-0-89871-163-9.
^ Lyakhov, PA; Nagornov, NN; Semyonova, NF; Abdulsalyamova, AS (junio de 2023). "Reducción de la complejidad computacional del procesamiento de imágenes mediante la transformada Wavelet basada en el método Winograd". Reconocimiento de patrones y análisis de imágenes . 33 (2): 184-191. doi :10.1134/S1054661823020074. ISSN 1054-6618. S2CID 259310351.
^ Wu, Di; Fan, Xitian; Cao, Wei; Wang, Lingli (mayo de 2021). "SWM: un acelerador CNN de multiplicación de matrices de Winograd dispersa de alto rendimiento". Transacciones IEEE en sistemas de integración a muy gran escala (VLSI) . 29 (5): 936–949. doi :10.1109/TVLSI.2021.3060041. ISSN 1063-8210. S2CID 233433757.
^ Mittal, Sparsh; Vibhu (mayo de 2021). "Un estudio de arquitecturas de aceleradores para redes neuronales convolucionales 3D". Revista de Arquitectura de Sistemas . 115 : 102041. doi : 10.1016/j.sysarc.2021.102041. S2CID 233917781.
^ Selesnick, Ivan W.; Burrus, C. Sidney (1999). "Convolución y filtrado rápidos". En Madisetti, Vijay K. (ed.). Manual de procesamiento de señales digitales . Prensa CRC. pag. Sección 8. ISBN978-1-4200-4563-5.
^ Juang, BH "Conferencia 21: Convolución de bloques" (PDF) . EECS en el Instituto de Tecnología de Georgia. Archivado (PDF) desde el original el 29 de julio de 2004 . Consultado el 17 de mayo de 2013 .
^ Gardner, William G. (noviembre de 1994). "Convolución eficiente sin retraso de entrada/salida" (PDF) . Convención de la Sociedad de Ingeniería de Audio 97 . Documento 3897. Archivado (PDF) desde el original el 8 de abril de 2015 . Consultado el 17 de mayo de 2013 .
^ Beckner, William (1975). "Desigualdades en el análisis de Fourier". Anales de Matemáticas . Segunda Serie. 102 (1): 159–182. doi :10.2307/1970980. JSTOR 1970980.
^ Brascamp, Herm Jan; Lieb, Elliott H. (1976). "Las mejores constantes en la desigualdad de Young, su inversa y su generalización a más de tres funciones". Avances en Matemáticas . 20 (2): 151-173. doi : 10.1016/0001-8708(76)90184-5 .
^ Reed y Simon 1975, IX.4
^ Weisstein, Eric W. "Convolución". mathworld.wolfram.com . Consultado el 22 de septiembre de 2021 .
^ Weisstein, Eric W. "De MathWorld: un recurso web de Wolfram".
^ Slyusar, VI (27 de diciembre de 1996). «Productos finales en matrices en aplicaciones de radar» (PDF) . Radioelectrónica y Sistemas de Comunicaciones . 41 (3): 50–53. Archivado (PDF) desde el original el 11 de agosto de 2013.
^ Slyusar, VI (20 de mayo de 1997). "Modelo analítico del conjunto de antenas digitales sobre la base de productos matriciales de división de caras" (PDF) . Proc. ICATT-97, Kiev : 108–109. Archivado (PDF) desde el original el 11 de agosto de 2013.
^ Slyusar, VI (15 de septiembre de 1997). «Producto nuevas operaciones de matrices para aplicaciones de radares» (PDF) . Proc. Problemas directos e inversos de la teoría de ondas electromagnéticas y acústicas (DIPED-97), Lviv. : 73–74. Archivado (PDF) desde el original el 11 de agosto de 2013.
^ Slyusar, VI (13 de marzo de 1998). "Una familia de productos faciales de matrices y sus propiedades" (PDF) . Cibernética y Análisis de Sistemas C/C de Kibernetika I Sistemnyi Analiz.- 1999 . 35 (3): 379–384. doi :10.1007/BF02733426. S2CID 119661450. Archivado (PDF) desde el original el 11 de agosto de 2013.
^ Slyusar, VI (2003). "Productos faciales generalizados de matrices en modelos de conjuntos de antenas digitales con canales no idénticos" (PDF) . Radioelectrónica y Sistemas de Comunicaciones . 46 (10): 9-17. Archivado (PDF) desde el original el 11 de agosto de 2013.
^ Ninh, Pham; Pagh, Rasmus (2013). Núcleos polinomiales rápidos y escalables a través de mapas de características explícitos . Conferencia internacional SIGKDD sobre descubrimiento de conocimiento y minería de datos. Asociación para Maquinaria de Computación. doi :10.1145/2487575.2487591.
^ Zhang, Yingjie; Pronto, Hong Geok; Sí, Dongsen; Fuh, Jerry Ying Hsi; Zhu, Kunpeng (septiembre de 2020). "Monitoreo del proceso de fusión en lecho de polvo mediante visión artificial con redes neuronales convolucionales híbridas". Transacciones IEEE sobre informática industrial . 16 (9): 5769–5779. doi :10.1109/TII.2019.2956078. ISSN 1941-0050. S2CID 213010088.
^ Chervyakov, NI; Lyakhov, PA; Deryabin, MA; Nagornov, NN; Valueva, MV; Valuev, GV (septiembre de 2020). "Solución basada en el sistema de números residuales para reducir el costo de hardware de una red neuronal convolucional". Neurocomputación . 407 : 439–453. doi : 10.1016/j.neucom.2020.04.018. S2CID 219470398. Las redes neuronales convolucionales representan arquitecturas de aprendizaje profundo que se utilizan actualmente en una amplia gama de aplicaciones, incluida la visión por computadora, el reconocimiento de voz, el análisis de series temporales en finanzas y muchas otras.
^ Atlas, Homma y Marcos. "Una red neuronal artificial para patrones bipolares espacio-temporales: aplicación a la clasificación de fonemas" (PDF) . Sistemas de procesamiento de información neuronal (NIPS 1987) . 1 . Archivado (PDF) desde el original el 14 de abril de 2021.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Zölzer, Udo, ed. (2002). DAFX: efectos de audio digital , páginas 48–49. ISBN 0471490784 .
^ Diggle 1985.
^ Ghasemi y Nowak 2017.
^ Monaghan, JJ (1992). "Hidrodinámica de partículas suavizadas". Revista Anual de Astronomía y Astrofísica . 30 : 543–547. Código bibliográfico : 1992ARA&A..30..543M. doi : 10.1146/annurev.aa.30.090192.002551 . Consultado el 16 de febrero de 2021 .
Otras lecturas
Bracewell, R. (1986), La transformada de Fourier y sus aplicaciones (2ª ed.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-116043-4.
Damelín, S.; Miller, W. (2011), Las matemáticas del procesamiento de señales , Cambridge University Press, ISBN 978-1107601048
Diggle, PJ (1985), "Un método central para suavizar datos de procesos puntuales", Journal of the Royal Statistical Society, Serie C , 34 (2): 138–147, doi :10.2307/2347366, JSTOR 2347366, S2CID 116746157
Domínguez-Torres, Alejandro (2 de noviembre de 2010). "Origen e historia de la convolución". 41 págs. https://slideshare.net/Alexdfar/origin-adn-history-of-convolution. Cranfield, Bedford MK43 OAL, Reino Unido. Consultado el 13 de marzo de 2013.
Ghasemi, S. Hooman; Nowak, Andrzej S. (2017), "Índice de confiabilidad para distribuciones no normales de funciones de estado límite", Ingeniería estructural y mecánica , 62 (3): 365–372, doi :10.12989/sem.2017.62.3.365
Grinshpan, AZ (2017), "Una desigualdad para múltiples convoluciones con respecto a la medida de probabilidad de Dirichlet", Avances en Matemáticas Aplicadas , 82 (1): 102–119, doi : 10.1016/j.aam.2016.08.001
Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1979), Análisis armónico abstracto. vol. I , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol. 115 (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-09434-0, señor 0551496.
Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1970), Análisis armónico abstracto. vol. II: Estructura y análisis de grupos compactos. Análisis de grupos abelianos localmente compactos , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 152, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR 0262773.
Hörmander, L. (1983), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Grundl. Matemáticas. Wissenschaft., vol. 256, Springer, doi :10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 3-540-12104-8, señor 0717035.
Kassel, Christian (1995), Grupos cuánticos , Textos de Graduado en Matemáticas, vol. 155, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-0783-2, ISBN 978-0-387-94370-1, SEÑOR 1321145.
Knuth, Donald (1997), Algoritmos seminuméricos (3.ª ed.), Reading, Massachusetts: Addison – Wesley, ISBN 0-201-89684-2.
Caña, Michael; Simon, Barry (1975), Métodos de la física matemática moderna. II. Análisis de Fourier, autoadjunción , Nueva York-Londres: Academic Press Harcourt Brace Jovanovich, Publishers, págs. xv+361, ISBN 0-12-585002-6, SEÑOR 0493420
Rudin, Walter (1962), Análisis de Fourier sobre grupos , Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, vol. 12, Nueva York-Londres: Interscience Publishers, ISBN 0-471-52364-X, SEÑOR 0152834.
Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Stein, Elías ; Weiss, Guido (1971), Introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
Strichartz, R. (1994), Una guía para la teoría de la distribución y las transformadas de Fourier , CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4.
Titchmarsh, E (1948), Introducción a la teoría de las integrales de Fourier (2ª ed.), Nueva York, NY: Chelsea Pub. Co. (publicado en 1986), ISBN 978-0-8284-0324-5.
Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
Uludag, AM (1998), "Sobre el posible deterioro de la suavidad bajo la operación de convolución", J. Math. Anal. Aplica. , 227 (2): 335–358, doi : 10.1006/jmaa.1998.6091
von zur Gathen, J.; Gerhard, J. (2003), Álgebra informática moderna , Cambridge University Press, ISBN 0-521-82646-2.
enlaces externos
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Convolución, en el libro breve sobre análisis de datos
https://jhu.edu/~signals/convolve/index.html Applet Java de convolución visual
https://jhu.edu/~signals/discreteconv2/index.html Applet Java de convolución visual para funciones de tiempo discreto
https://get-the-solution.net/projects/discret-convolution calculadora en línea de convolución discreta
https://lpsa.swarthmore.edu/Convolution/CI.html Demostración y visualización de convolución en javascript
https://phiresky.github.io/convolution-demo/ Otra demostración de convolución en javascript
Conferencias sobre procesamiento de imágenes: una colección de 18 conferencias en formato pdf de la Universidad de Vanderbilt. La lección 7 trata sobre convolución 2-D, por Alan Peters