Producto Khatri-Rao

Tipo de producto de matrices

En matemáticas, el producto Khatri-Rao o producto de Kronecker en bloque de dos matrices particionadas se define como ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle \mathbf {A} \ast \mathbf {B} =\left(\mathbf {A} _{ij}\otimes \mathbf {B} _{ij}\right)_{ij}}$

en el que el ij -ésimo bloque es el producto de Kronecker de tamaño m _i p _i × n _j q _j de los bloques correspondientes de A y B , suponiendo que el número de particiones de filas y columnas de ambas matrices es igual. El tamaño del producto es entonces (Σ _i m _i p _i ) × (Σ _j n _j q _j ) .

Por ejemplo, si A y B son matrices divididas 2 × 2, por ejemplo:

${\displaystyle \mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c | c}1&2&3\\4&5&6\\\hline 7&8&9\end{array}}\right],\quad \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c c}1&4&7\\\hline 2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right],}$

obtenemos:

${\displaystyle \mathbf {A} \ast \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c | c c}1&2&12&21\\4&5&24&42\\\hline 14&16&45&72\\21&24&54&81\end{array}}\right].}$

Esta es una submatriz del producto Tracy-Singh ^[4] de las dos matrices (cada partición en este ejemplo es una partición en una esquina del producto Tracy-Singh ).

Producto Kronecker por columnas

El producto de Kronecker por columnas de dos matrices es un caso especial del producto Khatri-Rao como se define anteriormente, y también puede denominarse producto Khatri-Rao. Este producto supone que las particiones de las matrices son sus columnas. En este caso m ₁ = m , p ₁ = p , n = q y para cada j : n _j = p _j = 1 . El producto resultante es una matriz mp × n de la cual cada columna es el producto de Kronecker de las columnas correspondientes de A y B. Usando las matrices de los ejemplos anteriores con las columnas particionadas:

${\displaystyle \mathbf {C} =\left[{\begin{array}{c | c | c}\mathbf {C} _{1}&\mathbf {C} _{2}&\mathbf {C} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c | c}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}}\right],\quad \mathbf {D} =\left[{\begin{array}{c | c | c }\mathbf {D} _{1}&\mathbf {D} _{2}&\mathbf {D} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c | c }1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right],}$

de modo que:

${\displaystyle \mathbf {C} \ast \mathbf {D} =\left[{\begin{array}{c | c | c }\mathbf {C} _{1}\otimes \mathbf {D} _{1}&\mathbf {C} _{2}\otimes \mathbf {D} _{2}&\mathbf {C} _{3}\otimes \mathbf {D} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c | c }1&8&21\\2&10&24\\3&12&27\\4&20&42\\8&25&48\\12&30&54\\7&32&63\\14&40&72\\21&48&81\end{array}}\right].}$

Esta versión por columnas del producto Khatri-Rao es útil en enfoques de álgebra lineal para el procesamiento analítico de datos ^[5] y para optimizar la solución de problemas inversos relacionados con una matriz diagonal. ^{[6] [7]}

En 1996, se propuso el producto Khatri-Rao en columnas para estimar los ángulos de llegada (AOA) y los retrasos de señales de trayectorias múltiples ^[8] y cuatro coordenadas de fuentes de señales ^[9] en un conjunto de antenas digitales .

Producto que te parte la cara

Producto de división de caras de matrices.

V. Slyusar ^[10] propuso en 1996 un concepto alternativo de producto matricial, que utiliza la división por filas de matrices con una cantidad determinada de filas. ^{[9] [11] [12] [13] [14]}

Esta operación matricial se denominó "producto de división de caras" de matrices ^{[11] [13]} o "producto Khatri-Rao transpuesto". Este tipo de operación se basa en productos de Kronecker fila por fila de dos matrices. Usando las matrices de los ejemplos anteriores con las filas particionadas:

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}\mathbf {C} _{1}\\\hline \mathbf {C} _{2}\\\hline \mathbf {C} _{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2&3\\\hline 4&5&6\\\hline 7&8&9\end{bmatrix}},\quad \mathbf {D} ={\begin{bmatrix}\mathbf {D} _{1}\\\hline \mathbf {D} _{2}\\\hline \mathbf {D} _{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&4&7\\\hline 2&5&8\\\hline 3&6&9\end{bmatrix}},}$

el resultado se puede obtener: ^{[9] [11] [13]}

${\displaystyle \mathbf {C} \bullet \mathbf {D} ={\begin{bmatrix}\mathbf {C} _{1}\otimes \mathbf {D} _{1}\\\hline \mathbf {C} _{2}\otimes \mathbf {D} _{2}\\\hline \mathbf {C} _{3}\otimes \mathbf {D} _{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&4&7&2&8&14&3&12&21\\\hline 8&20&32&10&25&40&12&30&48\\\hline 21&42&63&24&48&72&27&54&81\end{bmatrix}}.}$

Propiedades principales

1. Transponer ( V. Slyusar , 1996 ^{[9] [11] [12]} ):

   ${\displaystyle \left(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} \right)^{\textsf {T}}={\textbf {A}}^{\textsf {T}}\ast \mathbf {B} ^{\textsf {T}}}$,

2. Bilinealidad y asociatividad : ^{[9] [11] [12]}

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \bullet (\mathbf {B} +\mathbf {C} )&=\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} +\mathbf {A} \bullet \mathbf {C} ,\\(\mathbf {B} +\mathbf {C} )\bullet \mathbf {A} &=\mathbf {B} \bullet \mathbf {A} +\mathbf {C} \bullet \mathbf {A} ,\\(k\mathbf {A} )\bullet \mathbf {B} &=\mathbf {A} \bullet (k\mathbf {B} )=k(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} ),\\(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )\bullet \mathbf {C} &=\mathbf {A} \bullet (\mathbf {B} \bullet \mathbf {C} ),\\\end{aligned}}}$

   donde A , B y C son matrices y k es un escalar ,

   ${\displaystyle a\bullet \mathbf {B} =\mathbf {B} \bullet a}$, ^[12]

   ¿Dónde está un vector ? ${\displaystyle a}$
3. La propiedad del producto mixto ( V. Slyusar , 1997 ^[12] ):

   ${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )\left(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=\left(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\circ \left(\mathbf {B} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)}$,

   ${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {C} \ast \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\circ (\mathbf {B} \mathbf {D} )}$, ^[13]

   ${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} \bullet \mathbf {C} \bullet \mathbf {D} )(\mathbf {L} \ast \mathbf {M} \ast \mathbf {N} \ast \mathbf {P} )=(\mathbf {A} \mathbf {L} )\circ (\mathbf {B} \mathbf {M} )\circ (\mathbf {C} \mathbf {N} )\circ (\mathbf {D} \mathbf {P} )}$^[15]

   ${\displaystyle (\mathbf {A} \ast \mathbf {B} )^{\textsf {T}}(\mathbf {A} \ast \mathbf {B} )=\left(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} \right)\circ \left(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {B} \right)}$, ^[dieciséis]

   donde denota el producto Hadamard , ${\displaystyle \circ }$
4. ${\displaystyle (\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\bullet (\mathbf {C} \circ \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \bullet \mathbf {C} )\circ (\mathbf {B} \bullet \mathbf {D} )}$, ^[12]
5. ${\displaystyle \mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} \bullet \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\bullet \mathbf {C} }$, ^[9]
6. ${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )(\mathbf {C} \ast \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\ast (\mathbf {B} \mathbf {D} )}$, ^[dieciséis]
7. ${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\ast (\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=\mathbf {P} [(\mathbf {A} \ast \mathbf {C} )\otimes (\mathbf {B} \ast \mathbf {D} )]}$, donde es una matriz de permutación. ^[7] ${\displaystyle \mathbf {P} }$
8.  

   ${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\bullet (\mathbf {B} \mathbf {D} )}$, ^{[13] [15]}

   Similarmente:

   ${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} )\bullet (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} )}$,

9.  
   ${\displaystyle c^{\textsf {T}}\bullet d^{\textsf {T}}=c^{\textsf {T}}\otimes d^{\textsf {T}}}$, ^[12]
   ${\displaystyle c\ast d=c\otimes d}$,
   donde y son vectores , ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$
10. ${\displaystyle \left(\mathbf {A} \ast c^{\textsf {T}}\right)d=\left(\mathbf {A} \ast d^{\textsf {T}}\right)c}$, ^[17] , ${\displaystyle d^{\textsf {T}}\left(c\bullet \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)=c^{\textsf {T}}\left(d\bullet \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)}$
11.  

    ${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(c\otimes d)=(\mathbf {A} c)\circ (\mathbf {B} d)}$, ^[18]

    donde y son vectores (es una combinación de las propiedades 3 y 8), de manera similar: ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$

    ${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {M} \mathbf {N} c\otimes \mathbf {Q} \mathbf {P} d)=(\mathbf {A} \mathbf {M} \mathbf {N} c)\circ (\mathbf {B} \mathbf {Q} \mathbf {P} d),}$

12.  
    ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left((C^{(1)}x)\star (C^{(2)}y)\right)=\left(({\mathcal {F}}C^{(1)})\bullet ({\mathcal {F}}C^{(2)})\right)(x\otimes y)=({\mathcal {F}}C^{(1)}x)\circ ({\mathcal {F}}C^{(2)}y)}$,
    ¿Dónde está la convolución del vector ? son matrices de "boceto de conteo"; y es la matriz de transformada de Fourier (este resultado es una evolución de las propiedades del boceto de conteo ^[19] ). Esto se puede generalizar para matrices apropiadas : ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle C^{(1)},C^{(2)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
    
    ${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }$

    ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left((\mathbf {A} x)\star (\mathbf {B} y)\right)=\left(({\mathcal {F}}\mathbf {A} )\bullet ({\mathcal {F}}\mathbf {B} )\right)(x\otimes y)=({\mathcal {F}}\mathbf {A} x)\circ ({\mathcal {F}}\mathbf {B} y)}$

    porque la propiedad 11 anterior nos da

    ${\displaystyle \left(({\mathcal {F}}\mathbf {A} )\bullet ({\mathcal {F}}\mathbf {B} )\right)(x\otimes y)=({\mathcal {F}}\mathbf {A} x)\circ ({\mathcal {F}}\mathbf {B} y)}$

    Y el teorema de convolución nos da

    ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left((\mathbf {A} x)\star (\mathbf {B} y)\right)=({\mathcal {F}}\mathbf {A} x)\circ ({\mathcal {F}}\mathbf {B} y)}$

13.  
    ${\displaystyle \mathbf {A} \bullet \mathbf {B} =\left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {1_{k}} ^{\textsf {T}}\right)\circ \left(\mathbf {1_{c}} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {B} \right)}$, ^[20]
    donde es matriz, es matriz, es un vector de unos de longitud y es un vector de unos de longitud o ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle r\times c}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle r\times k}$ ${\displaystyle \mathbf {1_{c}} }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbf {1_{k}} }$ ${\displaystyle k}$

    ${\displaystyle \mathbf {M} \bullet \mathbf {M} =\left(\mathbf {M} \otimes \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right)\circ \left(\mathbf {1} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {M} \right)}$, ^[21]

    donde es matriz, significa multiplicación elemento por elemento y es un vector de unos de longitud . ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle r\times c}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \mathbf {1} }$ ${\displaystyle c}$

    ${\displaystyle \mathbf {M} \bullet \mathbf {M} =\mathbf {M} [\circ ]\left(\mathbf {M} \otimes \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right)}$,

    donde denota el producto de la cara penetrante de las matrices. ^[13] De manera similar: ${\displaystyle [\circ ]}$

    ${\displaystyle \mathbf {P} \ast \mathbf {N} =(\mathbf {P} \otimes \mathbf {1_{k}} )\circ (\mathbf {1_{c}} \otimes \mathbf {N} )}$, donde es matriz, es matriz. ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle c\times r}$ ${\displaystyle \mathbf {N} }$ ${\displaystyle k\times r}$

14.  
    ${\displaystyle \mathbf {W_{d}} \mathbf {A} =\mathbf {w} \bullet \mathbf {A} }$, ^[12]
    ${\displaystyle vec((\mathbf {w} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {A} )\mathbf {B} )=(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {A} )\mathbf {w} }$^[13] = , ${\displaystyle vec(\mathbf {A} (\mathbf {w} \bullet \mathbf {B} ))}$
    
    ${\displaystyle \operatorname {vec} \left(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\mathbf {W_{d}} \mathbf {A} \right)=\left(\mathbf {A} \bullet \mathbf {A} \right)^{\textsf {T}}\mathbf {w} }$, ^[21]
    donde está el vector que consta de los elementos diagonales de , significa apilar las columnas de una matriz una encima de otra para obtener un vector. ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle \mathbf {W_{d}} }$ ${\displaystyle \operatorname {vec} (\mathbf {A} )}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$
15.  

    ${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\mathbf {K} \ast \mathbf {T} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} ...\mathbf {C} \mathbf {K} )\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} ...\mathbf {S} \mathbf {T} )}$. ^{[13] [15]}

    Similarmente:

    ${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(c\otimes d)&=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} c)\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} d),\\(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\mathbf {P} c\otimes \mathbf {Q} d)&=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} \mathbf {P} c)\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} \mathbf {Q} d)\end{aligned}}}$,

    donde y son vectores ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$

Ejemplos [18]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&0\end{bmatrix}}\bullet {\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}\rho _{1}&0\\0&\rho _{2}\\\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\ast {\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[5pt]{}={}&\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&0\end{bmatrix}}\bullet {\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\,\otimes \,{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\rho _{1}&0\\0&\rho _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[5pt]{}={}&{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\,\circ \,{\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\rho _{1}&0\\0&\rho _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Teorema [18]

Si , ¿dónde están los componentes independientes una matriz aleatoria con filas independientes distribuidas idénticamente , tal que ${\displaystyle M=T^{(1)}\bullet \dots \bullet T^{(c)}}$ ${\displaystyle T^{(1)},\dots ,T^{(c)}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T_{1},\dots ,T_{m}\in \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle E\left[(T_{1}x)^{2}\right]=\left\|x\right\|_{2}^{2}}$y , ${\displaystyle E\left[(T_{1}x)^{p}\right]^{\frac {1}{p}}\leq {\sqrt {ap}}\|x\|_{2}}$

entonces para cualquier vector ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left|\left\|Mx\right\|_{2}-\left\|x\right\|_{2}\right|<\varepsilon \left\|x\right\|_{2}}$

con probabilidad si la cantidad de filas ${\displaystyle 1-\delta }$

${\displaystyle m=(4a)^{2c}\varepsilon ^{-2}\log 1/\delta +(2ae)\varepsilon ^{-1}(\log 1/\delta )^{c}.}$

En particular, si las entradas de son pueden obtener ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \pm 1}$

${\displaystyle m=O\left(\varepsilon ^{-2}\log 1/\delta +\varepsilon ^{-1}\left({\frac {1}{c}}\log 1/\delta \right)^{c}\right)}$

que coincide con el lema de Johnson-Lindenstrauss de cuando es pequeño. ${\displaystyle m=O\left(\varepsilon ^{-2}\log 1/\delta \right)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Bloquear producto que divide la cara

Producto de división de caras en bloque transpuesto en el contexto de un modelo de radar multicara ^[15]

Según la definición de V. Slyusar ^{[9] [13],} el producto de división de caras del bloque de dos matrices divididas con una cantidad dada de filas en bloques

${\displaystyle \mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}}\right],\quad \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}}\right],}$

Se puede escribir como :

${\displaystyle \mathbf {A} [\bullet ]\mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\bullet \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\bullet \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\bullet \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\bullet \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right].}$

El producto de división de caras de bloque transpuesto (o versión de bloque por columna del producto Khatri-Rao) de dos matrices divididas con una cantidad dada de columnas en bloques tiene una vista: ^{[9] [13]}

${\displaystyle \mathbf {A} [\ast ]\mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\ast \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\ast \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\ast \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\ast \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right].}$

Propiedades principales

1. Transponer :

   ${\displaystyle \left(\mathbf {A} [\ast ]\mathbf {B} \right)^{\textsf {T}}={\textbf {A}}^{\textsf {T}}[\bullet ]\mathbf {B} ^{\textsf {T}}}$^[15]

Aplicaciones

El producto de división de caras y el producto de división de caras en bloque utilizados en la teoría de matriz tensorial de conjuntos de antenas digitales . Estas operaciones se utilizan también en:

• Sistemas de inteligencia artificial y aprendizaje automático para minimizar las operaciones de convolución y boceto tensorial , ^[18]
• Modelos populares de procesamiento del lenguaje natural y modelos de similitud de hipergráficos, ^[22]
• Modelo de matriz lineal generalizado en estadística ^[21]
• Aproximación de datos bidimensional y multidimensional P-spline , ^[20]
• Estudios de interacciones genotipo x ambiente. ^[23]

Ver también

• Producto Kronecker
• Producto Hadamard

Notas

1. Khatri CG, CR Rao (1968). "Soluciones a algunas ecuaciones funcionales y sus aplicaciones a la caracterización de distribuciones de probabilidad". Sankhya . 30 : 167–180. Archivado desde el original (PDF) el 23 de octubre de 2010 . Consultado el 21 de agosto de 2008 .
2. Liu, Shuangzhe (1999). "Resultados de la matriz de los productos Khatri-Rao y Tracy-Singh". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 289 (1–3): 267–277. doi : 10.1016/S0024-3795(98)10209-4 .
3. Zhang X; Yang Z; Cao C. (2002), "Desigualdades que involucran productos Khatri-Rao de matrices semidefinidas positivas", Notas electrónicas de Matemáticas Aplicadas , 2 : 117–124
4. Liu, Shuangzhe; Trenkler, Götz (2008). "Hadamard, Khatri-Rao, Kronecker y otros productos matriciales". Revista Internacional de Ciencias de la Información y Sistemas . 4 (1): 160-177.
5. Véase, por ejemplo, HD Macedo y JN Oliveira. Un enfoque de álgebra lineal para OLAP. Aspectos formales de la informática, 27(2):283–307, 2015.
6. Lev-Ari, Hanoch (1 de enero de 2005). "Solución eficiente de ecuaciones matriciales lineales con aplicación al procesamiento de conjuntos de antenas multiestáticas" (PDF) . Comunicaciones en Información y Sistemas . 05 (1): 123-130. doi : 10.4310/CIS.2005.v5.n1.a5 . ISSN  1526-7555.
7. Masiero, B.; Nascimento, VH (1 de mayo de 2017). "Revisando la transformación de matriz de Kronecker". Cartas de procesamiento de señales IEEE . 24 (5): 525–529. Código Bib : 2017ISPL...24..525M. doi :10.1109/LSP.2017.2674969. ISSN  1070-9908. S2CID  14166014.
8. Vanderveen, MC, Ng, BC, Papadias, CB y Paulraj, A. (sin fecha). Estimación de retardo y ángulo conjunto (JADE) para señales en entornos multitrayecto. Acta de la trigésima conferencia de Asilomar sobre señales, sistemas y computadoras. – DOI:10.1109/acssc.1996.599145
9. Slyusar, VI (27 de diciembre de 1996). «Productos finales en matrices en aplicaciones de radar» (PDF) . Radioelectrónica y Sistemas de Comunicaciones . 41 (3): 50–53.
10. Anna Esteve, Eva Boj y Josep Fortiana (2009): "Términos de interacción en regresión basada en distancia", Comunicaciones en estadística: teoría y métodos , 38:19, p. 3501 [1]
11. Slyusar, VI (20 de mayo de 1997). "Modelo analítico del conjunto de antenas digitales basado en productos matriciales de división de caras" (PDF) . Proc. ICATT-97, Kiev : 108–109.
12. Slyusar, VI (15 de septiembre de 1997). «Producto nuevas operaciones de matrices para aplicaciones de radares» (PDF) . Proc. Problemas directos e inversos de la teoría de ondas electromagnéticas y acústicas (DIPED-97), Lviv. : 73–74.
13. Slyusar, VI (13 de marzo de 1998). "Una familia de productos faciales de matrices y sus propiedades" (PDF) . Cibernética y Análisis de Sistemas C/C de Kibernetika I Sistemnyi Analiz. 1999 . 35 (3): 379–384. doi :10.1007/BF02733426. S2CID  119661450.
14. Slyusar, VI (2003). "Productos faciales generalizados de matrices en modelos de conjuntos de antenas digitales con canales no idénticos" (PDF) . Radioelectrónica y Sistemas de Comunicaciones . 46 (10): 9-17.
15. Vadym Slyusar. Nuevas operaciones matriciales para DSP (Conferencia). Abril de 1999. – DOI: 10.13140/RG.2.2.31620.76164/1
16. C. Radhakrishna Rao . Estimación de varianzas heterocedásticas en modelos lineales.//Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística, vol. 65, núm. 329 (marzo de 1970), págs. 161-172
17. Kasiviswanathan, Shiva Prasad y otros. «El precio de publicar de forma privada tablas de contingencia y espectros de matrices aleatorias con filas correlacionadas.» Actas del cuadragésimo segundo simposio de la ACM sobre teoría de la informática. 2010.
18. Thomas D. Ahle, Jakob Bæk Tejs Knudsen. Bosquejo tensorial casi óptimo. Publicado 2019. Matemáticas, Informática, ArXiv
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20. Eilers, Paul HC; Marx, Brian D. (2003). "Calibración multivariante con interacción de temperatura mediante regresión de señal penalizada bidimensional". Quimiometría y Sistemas Inteligentes de Laboratorio . 66 (2): 159-174. doi :10.1016/S0169-7439(03)00029-7.
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Referencias

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