Mapa bilineal

Función de dos vectores lineal en cada argumento

En matemáticas , una función bilineal es una función que combina elementos de dos espacios vectoriales para obtener un elemento de un tercer espacio vectorial, y es lineal en cada uno de sus argumentos. La multiplicación de matrices es un ejemplo.

También se puede definir un mapa bilineal para módulos . Para ello, consulte el artículo sobre emparejamiento .

Definición

Espacios vectoriales

Sean y tres espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo base . Una función bilineal es una función tal que para todo , la función es una función lineal de a y para todo , la función es una función lineal de a En otras palabras, cuando mantenemos fija la primera entrada de la función bilineal mientras dejamos que varíe la segunda entrada, el resultado es un operador lineal, y lo mismo ocurre cuando mantenemos fija la segunda entrada. ${\displaystyle V,W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle B:V\times W\to X}$$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle B_{w}}$ $${\displaystyle v\mapsto B(v,w)}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle B_{v}}$ $${\displaystyle w\mapsto B(v,w)}$$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X.}$

Un mapa de este tipo satisface las siguientes propiedades. ${\displaystyle B}$

• Para cualquiera , ${\displaystyle \lambda \in F}$ ${\displaystyle B(\lambda v,w)=B(v,\lambda w)=\lambda B(v,w).}$
• El mapa es aditivo en ambos componentes: si y entonces y ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}$ ${\displaystyle w_{1},w_{2}\in W,}$ ${\displaystyle B(v_{1}+v_{2},w)=B(v_{1},w)+B(v_{2},w)}$ ${\displaystyle B(v,w_{1}+w_{2})=B(v,w_{1})+B(v,w_{2}).}$

Si y tenemos B ( v , w ) = B ( w , v ) para todos entonces decimos que B es simétrico . Si X es el cuerpo base F , entonces la función se llama forma bilineal , que se han estudiado en profundidad (por ejemplo: producto escalar , producto interno y forma cuadrática ). ${\displaystyle V=W}$ ${\displaystyle v,w\in V,}$

Módulos

La definición funciona sin cambios si en lugar de espacios vectoriales sobre un cuerpo F , utilizamos módulos sobre un anillo conmutativo R . Se generaliza a funciones n -arias, donde el término propio es multilineal .

Para anillos no conmutativos R y S , un R -módulo izquierdo M y un S -módulo derecho N , una función bilineal es una función B  : M × N → T con T un ( R , S ) - bimódulo , y para el cual cualquier n en N , m ↦ B ( m , n ) es un homomorfismo de R -módulo, y para cualquier m en M , n ↦ B ( m , n ) es un homomorfismo de S -módulo. Esto satisface

B ( r⋅m , n ) = r⋅B ( m , n )​​​

B ( m , n⋅s ) = B ( m , n ) ⋅s​

para todos m en M , n en N , r en R y s en S , así como B siendo aditivo en cada argumento.

Propiedades

Una consecuencia inmediata de la definición es que B ( v , w ) = 0 _X siempre que v = 0 _V o w = 0 _W . Esto se puede ver escribiendo el vector cero 0 _V como 0 ⋅ 0 _V (y de manera similar para 0 _W ) y moviendo el escalar 0 "afuera", delante de B , por linealidad.

El conjunto L ( V , W ; X ) de todos los mapas bilineales es un subespacio lineal del espacio ( es decir, espacio vectorial , módulo ) de todos los mapas de V × W en X .

Si V , W , X son de dimensión finita , entonces también lo es L ( V , W ; X ) . Es decir, para las formas bilineales, la dimensión de este espacio es dim V × dim W (mientras que el espacio L ( V × W ; F ) de las formas lineales es de dimensión dim V + dim W ) . Para ver esto, elijamos una base para V y W ; entonces cada función bilineal puede representarse de manera única por la matriz B ( ei _, fj ₎ , y viceversa. Ahora bien, si X es un espacio de dimensión superior, obviamente tenemos dim L ( V , W ; X ) = dim V × dim W × dim X. ${\displaystyle X=F,}$

Ejemplos

• La multiplicación de matrices es una función bilineal M( m , n ) × M( n , p ) → M( m , p ) .
• Si un espacio vectorial V sobre los números reales tiene un producto interno , entonces el producto interno es una función bilineal ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V\times V\to \mathbb {R} .}$
• En general, para un espacio vectorial V sobre un cuerpo F , una forma bilineal en V es lo mismo que una función bilineal V × V → F .
• Si V es un espacio vectorial con espacio dual V ^∗ , entonces la función de evaluación canónica , b ( f , v ) = f ( v ) es una función bilineal de V ^∗ × V al cuerpo base.
• Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo base F . Si f es un miembro de V ^∗ y g un miembro de W ^∗ , entonces b ( v , w ) = f ( v ) g ( w ) define una función bilineal V × W → F .
• El producto vectorial en es un mapa bilineal ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}.}$
• Sea una función bilineal, y una función lineal , entonces ( v , u ) ↦ B ( v , Lu ) es una función bilineal en V × U . ${\displaystyle B:V\times W\to X}$ ${\displaystyle L:U\to W}$

Continuidad y continuidad separada

Supóngase que y son espacios vectoriales topológicos y sea una función bilineal. Entonces se dice que b es ${\displaystyle X,Y,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$son continuas por separado si se cumplen las dos condiciones siguientes:

1. para todo el mapa dado por es continuo; ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle Y\to Z}$ ${\displaystyle y\mapsto b(x,y)}$
2. para todo el mapa dado por es continuo. ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle X\to Z}$ ${\displaystyle x\mapsto b(x,y)}$

Muchos mapas bilineales continuos por separado que no son continuos satisfacen una propiedad adicional: hipocontinuidad . ^[1] Todos los mapas bilineales continuos son hipocontinuos.

Condiciones suficientes para la continuidad

Muchas aplicaciones bilineales que se dan en la práctica son continuas por separado, pero no todas lo son. A continuación, se enumeran las condiciones suficientes para que una aplicación bilineal continua por separado sea continua.

• Si X es un espacio de Baire e Y es metrizable , entonces cada mapa bilineal continuo por separado es continuo. ^[1] ${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$
• Si son duales fuertes de los espacios de Fréchet entonces cada mapa bilineal continuo por separado es continuo. ^[1] ${\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z}$ ${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$
• Si una función bilineal es continua en (0, 0) entonces es continua en todas partes. ^[2]

Mapa de composición

Sean espacios de Hausdorff localmente convexos y sea la función de composición definida por En general, la función bilineal no es continua (sin importar qué topologías se den a los espacios de funciones lineales). Sin embargo, tenemos los siguientes resultados: ${\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z}$ ${\displaystyle C:L(X;Y)\times L(Y;Z)\to L(X;Z)}$ ${\displaystyle C(u,v):=v\circ u.}$ ${\displaystyle C}$

Asigne a los tres espacios de mapas lineales una de las siguientes topologías:

1. Dar a los tres la topología de convergencia acotada;
2. Dar a los tres la topología de convergencia compacta ;
3. Dar a los tres la topología de convergencia puntual .

• Si es un subconjunto equicontinuo de entonces la restricción es continua para las tres topologías. ^[1] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L(Y;Z)}$ ${\displaystyle C{\big \vert }_{L(X;Y)\times E}:L(X;Y)\times E\to L(X;Z)}$
• Si es un espacio en forma de barril , entonces para cada secuencia que converge a en y cada secuencia que converge a en la secuencia converge a en ^[1] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left(u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle \left(v_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle L(Y;Z),}$ ${\displaystyle \left(v_{i}\circ u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle v\circ u}$ ${\displaystyle L(Y;Z).}$

Véase también

• Producto tensorial  – Operación matemática sobre espacios vectoriales
• Forma sesquilineal  – Generalización de una forma bilineal
• Filtrado bilineal  : método de interpolación de funciones en una cuadrícula 2DPages displaying short descriptions of redirect targets
• Mapa multilineal  : función de múltiples vectores con valores vectoriales, lineal en cada argumento

Referencias

1. Trèves 2006, págs. 424–426.
2. Schaefer y Wolff 1999, pág. 118.

Bibliografía

• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .

Enlaces externos

• "Mapeo bilineal", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]