Teorema de convolución de Titchmarsh

El teorema de convolución de Titchmarsh describe las propiedades del soporte de la convolución de dos funciones. Fue demostrado por Edward Charles Titchmarsh en 1926. ^[1]

Teorema de convolución de Titchmarsh

Si y son funciones integrables, tales que ${\textstyle \varphi (t)\,}$ ${\textstyle \psi (t)}$

${\displaystyle \varphi *\psi =\int _{0}^{x}\varphi (t)\psi (x-t)\,dt=0}$

casi en todas partes en el intervalo , entonces existen y que satisfacen tales que casi en todas partes en y casi en todas partes en ${\displaystyle 0<x<\kappa \,}$ ${\displaystyle \lambda \geq 0}$ ${\displaystyle \mu \geq 0}$ ${\displaystyle \lambda +\mu \geq \kappa }$ ${\displaystyle \varphi (t)=0\,}$ ${\displaystyle 0<t<\lambda }$ ${\displaystyle \psi (t)=0\,}$ ${\displaystyle 0<t<\mu .}$

Como corolario, si la integral anterior es 0 para todos , entonces o es casi en todas partes 0 en el intervalo. Por lo tanto, la convolución de dos funciones en no puede ser idénticamente cero a menos que al menos una de las dos funciones sea idénticamente cero. ${\textstyle x>0,}$ ${\textstyle \varphi \,}$ ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle [0,+\infty ).}$ ${\textstyle [0,+\infty )}$

Como otro corolario, si para todos y uno de la función o es casi en todas partes no nula en este intervalo, entonces la otra función debe ser nula en casi todas partes en . ${\displaystyle \varphi *\psi (x)=0}$ ${\displaystyle x\in [0,\kappa ]}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle [0,\kappa ]}$

El teorema puede reformularse de la siguiente forma:

Sea . Entonces, si el lado izquierdo es finito. De manera similar, si el lado derecho es finito. ${\displaystyle \varphi ,\psi \in L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \inf \operatorname {supp} \varphi \ast \psi =\inf \operatorname {supp} \varphi +\inf \operatorname {supp} \psi }$ ${\displaystyle \sup \operatorname {supp} \varphi \ast \psi =\sup \operatorname {supp} \varphi +\sup \operatorname {supp} \psi }$

Arriba, denota el soporte de una función f (es decir, el cierre del complemento de f ^-1 (0)) y y denotan el ínfimo y el supremo . Este teorema establece esencialmente que la inclusión bien conocida es aguda en el límite. ${\displaystyle \operatorname {supp} }$ ${\displaystyle \inf }$ ${\displaystyle \sup }$ ${\displaystyle \operatorname {supp} \varphi \ast \psi \subset \operatorname {supp} \varphi +\operatorname {supp} \psi }$

La generalización de dimensiones superiores en términos de la envoltura convexa de los soportes fue demostrada por Jacques-Louis Lions en 1951: ^[2]

Si , entonces ${\displaystyle \varphi ,\psi \in {\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \operatorname {c.h.} \operatorname {supp} \varphi \ast \psi =\operatorname {c.h.} \operatorname {supp} \varphi +\operatorname {c.h.} \operatorname {supp} \psi }$

Arriba, denota la envoltura convexa del conjunto y denota el espacio de distribuciones con soporte compacto . ${\displaystyle \operatorname {c.h.} }$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})}$

La prueba original de Titchmarsh utiliza técnicas de variable compleja y se basa en el principio de Phragmén-Lindelöf , la desigualdad de Jensen , el teorema de Carleman y el teorema de Valiron . Desde entonces, el teorema se ha demostrado varias veces más, normalmente utilizando métodos de variable real ^{[3] [4] [5]} o de variable compleja ^{[6] [7] [8]} . Gian-Carlo Rota ha afirmado que todavía no hay ninguna prueba que aborde la estructura combinatoria subyacente del teorema, que cree que es necesaria para una comprensión completa. ^[9]

Referencias

1. Titchmarsh, EC (1926). "Los ceros de ciertas funciones integrales". Actas de la London Mathematical Society . s2-25 (1): 283–302. doi :10.1112/plms/s2-25.1.283.
2. Leones, Jacques-Louis (1951). "Soportes de productos de composición". Cuentas rendus . 232 (17): 1530-1532.
3. Doss, Raouf (1988). "Una prueba elemental del teorema de convolución de Titchmarsh" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 104 (1).
4. Kalisch, GK (1962-10-01). "Una prueba de análisis funcional del teorema de Titchmarsh sobre convolución". Revista de análisis matemático y aplicaciones . 5 (2): 176–183. doi : 10.1016/S0022-247X(62)80002-X . ISSN  0022-247X.
5. Mikusiński, J. (1953). "Una nueva prueba del teorema de Titchmarsh sobre convolución". Studia Mathematica . 13 (1): 56–58. doi : 10.4064/sm-13-1-56-58 . ISSN  0039-3223.
6. Crum, MM (1941). "Sobre la resultante de dos funciones". The Quarterly Journal of Mathematics . os-12 (1): 108–111. doi :10.1093/qmath/os-12.1.108. ISSN  0033-5606.
7. Dufresnoy, Jacques (1947). "Sobre el producto de composición de dos funciones". Cuentas rendus . 225 : 857–859.
8. Boas, Ralph P. (1954). Funciones completas. Nueva York: Academic Press. ISBN 0-12-108150-8.OCLC 847696  .
9. Rota, Gian-Carlo (1 de junio de 1998). "Diez problemas matemáticos que nunca resolveré". Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (en alemán). 6 (2): 45–52. doi : 10.1515/dmvm-1998-0215 . ISSN  0942-5977. S2CID  120569917.