Principio de Phragmén-Lindelöf

En análisis complejo , el principio (o método ) de Phragmén-Lindelöf, formulado por primera vez por Lars Edvard Phragmén (1863-1937) y Ernst Leonard Lindelöf (1870-1946) en 1908, es una técnica que emplea una función auxiliar parametrizada para demostrar la acotación de una función holomorfa (es decir, ) en un dominio ilimitado cuando se da una condición adicional (generalmente leve) que limita el crecimiento de on . Es una generalización del principio del módulo máximo , que sólo es aplicable a dominios acotados. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f(z)|<M\ \ (z\in \Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle \Omega }$

Fondo

En la teoría de funciones complejas, se sabe que el módulo (valor absoluto) de una función holomorfa (diferenciable compleja) en el interior de una región acotada está acotado por su módulo en el límite de la región. Más precisamente, si una función no constante es holomorfa en una región acotada ^[1] y continua en su cierre , entonces para todos . Esto se conoce como principio del módulo máximo. (De hecho, dado que es compacto y continuo, en realidad existe algo tal que ). El principio del módulo máximo se usa generalmente para concluir que una función holomorfa está acotada en una región después de demostrar que está acotada en su límite. ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}=\Omega \cup \partial \Omega }$ ${\textstyle |f(z_{0})|<\sup _{z\in \partial \Omega }|f(z)|}$ ${\displaystyle z_{0}\in \Omega }$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle w_{0}\in \partial \Omega }$ ${\textstyle |f(w_{0})|=\sup _{z\in \Omega }|f(z)|}$

Sin embargo, el principio del módulo máximo no se puede aplicar a una región ilimitada del plano complejo. Como ejemplo concreto, examinemos el comportamiento de la función holomorfa en la franja ilimitada ${\displaystyle f(z)=\exp(\exp(z))}$

${\displaystyle S=\left\{z:\Im (z)\in \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)\right\}}$.

Aunque , por lo que está acotado en el límite , crece rápidamente sin límite a lo largo del eje real positivo. La dificultad aquí surge del crecimiento extremadamente rápido a lo largo del eje real positivo. Si se garantiza que la tasa de crecimiento de no será "demasiado rápida", como lo especifica una condición de crecimiento apropiada, se puede aplicar el principio de Phragmén-Lindelöf para demostrar que la acotación de en el límite de la región implica que, de hecho, está acotada en toda la región. , extendiendo efectivamente el principio del módulo máximo a regiones ilimitadas. ${\displaystyle |f(x\pm \pi i/2)|=1}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle \partial S}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle |z|\to \infty }$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Esquema de la técnica

Supongamos que se nos da una función holomorfa y una región ilimitada , y queremos mostrar eso en . En un argumento típico de Phragmén-Lindelöf, introducimos un cierto factor multiplicativo que satisface "dominar" el crecimiento de . En particular, se elige de manera que (i): sea holomorfa para todos y esté en el límite de una subregión delimitada apropiada ; y (ii): el comportamiento asintótico de nos permite establecer que para (es decir, la parte ilimitada de fuera del cierre de la subregión acotada). Esto nos permite aplicar el principio del módulo máximo para concluir primero eso y luego extender la conclusión a todos . Finalmente, dejamos que for each para concluir eso en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle |f|\leq M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle h_{\epsilon }}$ ${\textstyle \lim _{\epsilon \to 0}h_{\epsilon }=1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h_{\epsilon }}$ ${\displaystyle fh_{\epsilon }}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle |fh_{\epsilon }|\leq M}$ ${\displaystyle \partial S_{\mathrm {bdd} }}$ ${\displaystyle S_{\mathrm {bdd} }\subset S}$ ${\displaystyle fh_{\epsilon }}$ ${\displaystyle |fh_{\epsilon }|\leq M}$ ${\displaystyle z\in S\setminus {\overline {S_{\mathrm {bdd} }}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle |fh_{\epsilon }|\leq M}$ ${\displaystyle {\overline {S_{\mathrm {bdd} }}}}$ ${\displaystyle z\in S}$ ${\displaystyle \epsilon \to 0}$ ${\displaystyle f(z)h_{\epsilon }(z)\to f(z)}$ ${\displaystyle z\in S}$ ${\displaystyle |f|\leq M}$ ${\displaystyle S}$

En la literatura sobre análisis complejo, hay muchos ejemplos del principio de Phragmén-Lindelöf aplicado a regiones ilimitadas de diferentes tipos, y también se puede aplicar una versión de este principio de manera similar a funciones subarmónicas y superarmónicas.

Ejemplo de aplicación

Para continuar con el ejemplo anterior, podemos imponer una condición de crecimiento a una función holomorfa que le impida "explotar" y permita aplicar el principio de Phragmén-Lindelöf. Para este fin, ahora incluimos la condición de que ${\displaystyle f}$

${\displaystyle |f(z)|<\exp \left(A\exp(c\cdot \left|\Re (z)\right|)\right)}$

para algunas constantes reales y , para todas . Entonces se puede demostrar que para todos implica que de hecho es válido para todos . Así, tenemos la siguiente proposición: ${\displaystyle c<1}$ ${\displaystyle A<\infty }$ ${\displaystyle z\in S}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq 1}$ ${\displaystyle z\in \partial S}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq 1}$ ${\displaystyle z\in S}$

Proposición. Dejar

${\displaystyle S=\left\{z:\Im (z)\in \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)\right\},\quad {\overline {S}}=\left\{z:\Im (z)\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\right\}.}$

Sean holomórficos y continuos , y supongamos que existen constantes reales tales que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle c<1,\ A<\infty }$

${\displaystyle |f(z)|<\exp {\bigl (}A\exp(c\cdot |\Re (z)|){\bigr )}}$

para todos y para todos . Entonces para todos ${\displaystyle z\in S}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq 1}$ ${\displaystyle z\in {\overline {S}}\setminus S=\partial S}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq 1}$ ${\displaystyle z\in S}$ .

Tenga en cuenta que esta conclusión falla cuando , precisamente como lo demuestra el contraejemplo motivador de la sección anterior. La prueba de esta afirmación emplea un argumento típico de Phragmén-Lindelöf: ^[2] ${\displaystyle c=1}$

Prueba: (Bosquejo) Fijamos y definimos para cada uno la función auxiliar mediante . Además, para un dado , lo definimos como el rectángulo abierto en el plano complejo encerrado dentro de los vértices . Ahora, arregle y considere la función . Como se puede demostrar eso para todos , se sigue que para . Además, se puede demostrar esto de manera uniforme como . Esto nos permite encontrar tal que cuando sea y . Consideremos ahora la región rectangular acotada . Lo hemos establecido para todos . Por tanto, el principio del módulo máximo implica que para todos . Dado que también se cumple cuando y , de hecho hemos demostrado que se cumple para todos . Finalmente, porque como , concluimos que para todos . QED ${\displaystyle b\in (c,1)}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle h_{\epsilon }}$ ${\textstyle h_{\epsilon }(z)=e^{-\epsilon (e^{bz}+e^{-bz})}}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle S_{a}}$ ${\displaystyle \{a\pm i\pi /2,-a\pm i\pi /2\}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle fh_{\epsilon }}$ ${\displaystyle |h_{\epsilon }(z)|\leq 1}$ ${\displaystyle z\in {\overline {S}}}$ ${\displaystyle |f(z)h_{\epsilon }(z)|\leq 1}$ ${\displaystyle z\in \partial S}$ ${\displaystyle z\in {\overline {S}}}$ ${\displaystyle |f(z)h_{\epsilon }(z)|\to 0}$ ${\displaystyle |\Re (z)|\to \infty }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle |f(z)h_{\epsilon }(z)|\leq 1}$ ${\displaystyle z\in {\overline {S}}}$ ${\displaystyle |\Re (z)|\geq x_{0}}$ ${\displaystyle S_{x_{0}}}$ ${\displaystyle |f(z)h_{\epsilon }(z)|\leq 1}$ ${\displaystyle z\in \partial S_{x_{0}}}$ ${\displaystyle |f(z)h_{\epsilon }(z)|\leq 1}$ ${\displaystyle z\in {\overline {S_{x_{0}}}}}$ ${\displaystyle |f(z)h_{\epsilon }(z)|\leq 1}$ ${\displaystyle z\in S}$ ${\displaystyle |\Re (z)|>x_{0}}$ ${\displaystyle |f(z)h_{\epsilon }(z)|\leq 1}$ ${\displaystyle z\in S}$ ${\displaystyle fh_{\epsilon }\to f}$ ${\displaystyle \epsilon \to 0}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq 1}$ ${\displaystyle z\in S}$

Principio de Phragmén-Lindelöf para un sector en el plano complejo

Una afirmación particularmente útil que se demostró utilizando el principio de Phragmén-Lindelöf limita funciones holomorfas en un sector del plano complejo si está acotado en su límite. Esta afirmación se puede utilizar para dar una prueba analítica compleja del principio de incertidumbre de Hardy , que establece que una función y su transformada de Fourier no pueden decaer más rápido que exponencialmente. ^[3]

Proposición. Sea una función holomorfa en un sector. ${\displaystyle F}$

${\displaystyle S=\left\{z\,{\big |}\,\alpha <\arg z<\beta \right\}}$

de ángulo central , y continuo en su límite. Si ${\displaystyle \beta -\alpha =\pi /\lambda }$

Para y ${\displaystyle z\in \partial S}$

para todos , donde y , luego se cumple también para todos . ${\displaystyle z\in S}$ ${\displaystyle \rho \in [0,\lambda )}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle |F(z)|\leq 1}$ ${\displaystyle z\in S}$

Observaciones

La condición ( 2 ) se puede relajar para

con la misma conclusión.

Casos especiales

En la práctica, el punto 0 suele transformarse en el punto ∞ de la esfera de Riemann . Esto da una versión del principio que se aplica a tiras, por ejemplo limitadas por dos líneas de parte real constante en el plano complejo. Este caso especial se conoce a veces como teorema de Lindelöf .

El teorema de Carlson es una aplicación del principio a funciones acotadas en el eje imaginario.

Ver también

• Teorema de las tres líneas de Hadamard

Referencias

1. El término región no se emplea de manera uniforme en la literatura; aquí, se entiende por región un subconjunto abierto, conectado y no vacío del plano complejo.
2. Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo. Nueva York: McGraw-Hill. págs. 257-259. ISBN 0070542341.
3. Tao, Terence (18 de febrero de 2009). "Principio de incertidumbre de Hardy". Actualizaciones sobre mis artículos de investigación y expositivos, discusión de problemas abiertos y otros temas relacionados con las matemáticas. Por Terence Tao .

• Phragmén, Lars Edvard; Lindelöf, Ernst (1908). "Sur una extensión de un principio clásico de análisis y de algunas propiedades de las funciones monogénicas en la voz de un punto singular". Acta Matemáticas . 31 (1): 381–406. doi : 10.1007/BF02415450 . ISSN  0001-5962.
• Riesz, Marcel (1920). "Sobre el príncipe de Phragmén-Lindelöf". Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 20 .(Corr. "Sur le principe de Phragmén-Lindelöf". 21. 1921. {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda ) )
• Titchmarsh, Edward Charles (1976). La teoría de las funciones (Segunda ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-853349-7.(Ver capítulo 5)
• ED Solomentsev (2001) [1994], "Teorema de Phragmén-Lindelöf", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Stein, Elias M. y Shakarchi, Rami (2003). Análisis complejo . Conferencias de Análisis de Princeton, II. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-11385-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)