Teorema de las tres líneas de Hadamard

En el análisis complejo , una rama de las matemáticas, el teorema de las tres líneas de Hadamard es un resultado sobre el comportamiento de las funciones holomorfas definidas en regiones limitadas por líneas paralelas en el plano complejo . El teorema recibe su nombre del matemático francés Jacques Hadamard .

Declaración

Teorema de las tres líneas de Hadamard  :  Sea una función acotada de definida en la franja ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle z=x+iy}$

${\displaystyle \{x+iy:a\leq x\leq b\},}$

holomórfica en el interior de la franja y continua en toda la franja. Si

${\displaystyle M(x)=\sup _{y}|f(x+iy)|}$

entonces es una función convexa en ${\displaystyle \log M(x)}$ ${\displaystyle [a,b].}$

En otras palabras, si con entonces ${\displaystyle x=ta+(1-t)b}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1,}$

${\displaystyle M(x)\leq M(a)^{t}M(b)^{1-t}.}$

Aplicaciones

El teorema de las tres líneas se puede utilizar para demostrar el teorema de los tres círculos de Hadamard para una función continua acotada en un anillo holomorfo en el interior. De hecho, al aplicar el teorema a ${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle \{z:r\leq |z|\leq R\},}$

${\displaystyle f(z)=g(e^{z}),}$

demuestra que, si

${\displaystyle m(s)=\sup _{|z|=e^{s}}|g(z)|,}$

entonces es una función convexa de ${\displaystyle \log \,m(s)}$ ${\displaystyle s.}$

El teorema de las tres líneas también es válido para funciones con valores en un espacio de Banach y desempeña un papel importante en la teoría de interpolación compleja . Puede utilizarse para demostrar la desigualdad de Hölder para funciones mensurables.

${\displaystyle \int |gh|\leq \left(\int |g|^{p}\right)^{1 \over p}\cdot \left(\int |h|^{q}\right)^{1 \over q},}$

donde considerando la función ${\displaystyle {1 \over p}+{1 \over q}=1,}$

${\displaystyle f(z)=\int |g|^{pz}|h|^{q(1-z)}.}$

Véase también

• Teorema de Riesz-Thorin
• Principio de Phragmén-Lindelöf

Referencias

• Hadamard, Jacques (1896), "Sur les fonctions entières" (PDF) , Toro. Soc. Matemáticas. P. , 24 : 186–187(el anuncio original del teorema)
• Reed, Michael ; Simon, Barry (1975), Métodos de física matemática moderna, Volumen 2: Análisis de Fourier, autoadjunción , Elsevier, págs. 33–34, ISBN 0-12-585002-6
• Ullrich, David C. (2008), Lo complejo hecho simple , Graduate Studies in Mathematics , vol. 97, American Mathematical Society , págs. 386–387, ISBN 978-0-8218-4479-3