Función subarmónica

Clase de funciones matemáticas

En matemáticas , las funciones subarmónicas y superarmónicas son clases importantes de funciones utilizadas ampliamente en ecuaciones diferenciales parciales , análisis complejo y teoría del potencial .

Intuitivamente, las funciones subarmónicas se relacionan con las funciones convexas de una variable de la siguiente manera. Si el gráfico de una función convexa y una línea se intersecan en dos puntos, entonces el gráfico de la función convexa está debajo de la línea entre esos puntos. De la misma manera, si los valores de una función subarmónica no son mayores que los valores de una función armónica en el límite de una pelota , entonces los valores de la función subarmónica no son mayores que los valores de la función armónica también dentro de la pelota.

Las funciones superarmónicas se pueden definir con la misma descripción, pero reemplazando "no mayor" por "no menor". Alternativamente, una función superarmónica es simplemente el negativo de una función subarmónica y, por esta razón, cualquier propiedad de las funciones subarmónicas se puede transferir fácilmente a las funciones superarmónicas.

Definición formal

Formalmente, la definición puede enunciarse de la siguiente manera. Sea un subconjunto del espacio euclidiano y sea una función semicontinua superior . Entonces, se llama subarmónica si para cualquier bola cerrada de centro y radio contenida en y cada función continua de valor real en que es armónica en y satisface para todos en el límite de , tenemos para todos ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \varphi \colon G\to \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\overline {B(x,r)}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\overline {B(x,r)}}}$ ${\displaystyle B(x,r)}$ ${\displaystyle \varphi (y)\leq h(y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \partial B(x,r)}$ ${\displaystyle B(x,r)}$ ${\displaystyle \varphi (y)\leq h(y)}$ ${\displaystyle y\in B(x,r).}$

Nótese que por lo anterior, la función que es idénticamente −∞ es subarmónica, pero algunos autores excluyen esta función por definición.

Una función se llama superarmónica si es subarmónica. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle -u}$

Propiedades

• Una función es armónica si y sólo si es a la vez subarmónica y superarmónica.
• Si es C ² ( dos veces continuamente diferenciable ) en un conjunto abierto en , entonces es subarmónico si y sólo si uno tiene en , donde es el Laplaciano . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Delta \phi \geq 0}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Delta }$
• El máximo de una función subarmónica no se puede alcanzar en el interior de su dominio a menos que la función sea constante, lo que se denomina principio del máximo . Sin embargo, el mínimo de una función subarmónica se puede alcanzar en el interior de su dominio.
• Las funciones subarmónicas forman un cono convexo , es decir, una combinación lineal de funciones subarmónicas con coeficientes positivos también es subarmónica.
• El máximo puntual de dos funciones subarmónicas es subarmónico. Si el máximo puntual de un número contable de funciones subarmónicas es semicontinuo superior, entonces también es subarmónico.
• El límite de una secuencia decreciente de funciones subarmónicas es subarmónico (o idénticamente igual a ). ${\displaystyle -\infty }$
• Las funciones subarmónicas no son necesariamente continuas en la topología habitual, sin embargo se puede introducir la topología fina que las hace continuas.

Ejemplos

Si es analítica, entonces es subarmónica. Se pueden construir más ejemplos utilizando las propiedades enumeradas anteriormente, tomando máximos, combinaciones convexas y límites. En dimensión 1, todas las funciones subarmónicas se pueden obtener de esta manera. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \log |f|}$

Teorema de representación de Riesz

Si es subarmónico en una región , en el espacio euclidiano de dimensión , es armónico en , y , entonces se denomina mayor armónico de . Si existe un mayor armónico, entonces existe el menor mayor armónico, y mientras que en dimensión 2, donde es el menor mayor armónico, y es una medida de Borel en . Esto se denomina teorema de representación de Riesz . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle u\leq v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle u(x)=v(x)-\int _{D}{\frac {d\mu (y)}{|x-y|^{n-2}}},\quad n\geq 3}$$ $${\displaystyle u(x)=v(x)+\int _{D}\log |x-y|d\mu (y),}$$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle D}$

Funciones subarmónicas en el plano complejo

Las funciones subarmónicas son de particular importancia en el análisis complejo , donde están íntimamente conectadas con las funciones holomorfas .

Se puede demostrar que una función continua de valor real de una variable compleja (es decir, de dos variables reales) definida en un conjunto es subarmónica si y sólo si para cualquier disco cerrado de centro y radio se tiene ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle D(z,r)\subset G}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle \varphi (z)\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\varphi (z+re^{i\theta })\,d\theta .}$$

Intuitivamente, esto significa que una función subarmónica en cualquier punto no es mayor que el promedio de los valores en un círculo alrededor de ese punto, un hecho que puede usarse para derivar el principio de máximo .

Si es una función holomorfa, entonces es una función subarmónica si definimos el valor de en los ceros de como . De ello se deduce que es subarmónica para cada α  > 0. Esta observación desempeña un papel en la teoría de los espacios de Hardy , especialmente para el estudio de H ^p cuando 0 < p  < 1. ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \varphi (z)=\log \left|f(z)\right|}$$ ${\displaystyle \varphi (z)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -\infty }$ $${\displaystyle \psi _{\alpha }(z)=\left|f(z)\right|^{\alpha }}$$

En el contexto del plano complejo, la conexión con las funciones convexas también se puede realizar por el hecho de que una función subarmónica en un dominio que es constante en la dirección imaginaria es convexa en la dirección real y viceversa. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$

Mayores armónicos de funciones subarmónicas

Si es subarmónico en una región del plano complejo, y es armónico en , entonces es un mayor armónico de en si en . Tal desigualdad puede verse como una condición de crecimiento en . ^[1] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u\leq h}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u}$

Funciones subarmónicas en el disco unitario. Función máxima radial

Sea φ subarmónico, continuo y no negativo en un subconjunto abierto Ω del plano complejo que contiene al disco unitario cerrado D (0, 1). La función máxima radial para la función φ (restringida al disco unitario) está definida en el círculo unitario por Si P _r denota el núcleo de Poisson , se sigue de la subarmonicidad que Se puede demostrar que la última integral es menor que el valor en e ^iθ de la función máxima de Hardy–Littlewood φ ^∗ de la restricción de φ al círculo unitario T , de modo que 0 ≤ M φ  ≤ φ ^∗ . Se sabe que el operador de Hardy–Littlewood está acotado en L p ( T ) cuando 1 < p  < ∞. Se sigue que para alguna constante universal C , $${\displaystyle (M\varphi )(e^{i\theta })=\sup _{0\leq r<1}\varphi (re^{i\theta }).}$$ $${\displaystyle 0\leq \varphi (re^{i\theta })\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r}\left(\theta -t\right)\varphi \left(e^{it}\right)\,dt,\ \ \ r<1.}$$ $${\displaystyle \varphi ^{*}(e^{i\theta })=\sup _{0<\alpha \leq \pi }{\frac {1}{2\alpha }}\int _{\theta -\alpha }^{\theta +\alpha }\varphi \left(e^{it}\right)\,dt,}$$  $${\displaystyle \|M\varphi \|_{L^{2}(\mathbf {T} )}^{2}\leq C^{2}\,\int _{0}^{2\pi }\varphi (e^{i\theta })^{2}\,d\theta .}$$

Si f es una función holomorfa en Ω y 0 < p  < ∞, entonces la desigualdad precedente se aplica a φ  = | f  | ^{p /2} . De estos hechos se puede deducir que cualquier función F en el espacio de Hardy clásico H ^p satisface Con más trabajo, se puede demostrar que F tiene límites radiales F ( e ^iθ ) casi en todas partes del círculo unitario, y (por el teorema de convergencia dominada ) que F _r , definida por F _r ( e ^iθ ) = F ( r e ^iθ ) tiende a F en L ^p ( T ). $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left(\sup _{0\leq r<1}\left|F(re^{i\theta })\right|\right)^{p}\,d\theta \leq C^{2}\,\sup _{0\leq r<1}\int _{0}^{2\pi }\left|F(re^{i\theta })\right|^{p}\,d\theta .}$$ 

Funciones subarmónicas en variedades de Riemann

Las funciones subarmónicas se pueden definir en una variedad riemanniana arbitraria .

Definición: Sea M una variedad de Riemann y una función semicontinua superior . Supóngase que para cualquier subconjunto abierto y cualquier función armónica f ₁ en U , tal que en el límite de U , la desigualdad se cumple en todos los U . Entonces f se llama subarmónica . ${\displaystyle f:\;M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle f_{1}\geq f}$ ${\displaystyle f_{1}\geq f}$

Esta definición es equivalente a la dada anteriormente. Además, para funciones dos veces diferenciables, la subarmonicidad es equivalente a la desigualdad , donde es el laplaciano habitual . ^[2] ${\displaystyle \Delta f\geq 0}$ ${\displaystyle \Delta }$

Véase también

• Función plurisubarmónica : generalización a varias variables complejas
• Topología fina clásica

Notas

1. Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1994), pág. 35 (ver referencias)
2. Greene, RE; Wu, H. (1974). "Integrales de funciones subarmónicas en variedades de curvatura no negativa". Inventiones Mathematicae . 27 (4): 265–298. Bibcode :1974InMat..27..265G. doi :10.1007/BF01425500. S2CID  122233796., Sr. 0382723

Referencias

• Conway, John B. (1978). Funciones de una variable compleja . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN. 0-387-90328-3.
• Krantz, Steven G. (1992). Teoría de funciones de varias variables complejas . Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing. ISBN 0-8218-2724-3.
• Doob, Joseph Leo (1984). Teoría del potencial clásico y su contraparte probabilística . Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 3-540-41206-9.
• Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1994). Temas de clases de Hardy y funciones univalentes . Birkhauser Advanced Texts: Basel Textbooks. Basilea: Birkhauser Verlag.

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