Sistema invariante en el tiempo

Sistema dinámico cuya función del sistema no depende directamente del tiempo.

Diagrama de bloques que ilustra la invariancia temporal de un sistema determinista de tiempo continuo de una sola entrada y una sola salida. El sistema es invariante en el tiempo si y sólo si y ₂ ( t ) = y ₁ ( t – t ₀ ) para todo el tiempo t , para toda la constante real t ₀ y para toda la entrada x ₁ ( t ) . ^{[1] [2] [3]} Haga clic en la imagen para ampliarla.

En la teoría del control , un sistema invariante en el tiempo ( TI ) tiene una función del sistema dependiente del tiempo que no es una función directa del tiempo. Estos sistemas se consideran una clase de sistemas en el campo del análisis de sistemas . La función del sistema dependiente del tiempo es una función de la función de entrada dependiente del tiempo . Si esta función depende sólo indirectamente del dominio del tiempo (a través de la función de entrada, por ejemplo), entonces ese es un sistema que se consideraría invariante en el tiempo. Por el contrario, cualquier dependencia directa del dominio del tiempo de la función del sistema podría considerarse como un "sistema variable en el tiempo".

Matemáticamente hablando, la "invariancia temporal" de un sistema es la siguiente propiedad: ^{[4] : p. 50}

Dado un sistema con una función de salida dependiente del tiempo y una función de entrada dependiente del tiempo , el sistema se considerará invariante en el tiempo si un retraso en la entrada equivale directamente a un retraso en la función de salida. Por ejemplo, si el tiempo es "tiempo transcurrido", entonces la "invariancia del tiempo" implica que la relación entre la función de entrada y la función de salida es constante con respecto al tiempo. ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(t+\delta )}$ ${\displaystyle y(t+\delta )}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle t:}$

${\displaystyle y(t)=f(x(t),t)=f(x(t)).}$

En el lenguaje del procesamiento de señales , esta propiedad puede satisfacerse si la función de transferencia del sistema no es una función directa del tiempo, excepto lo expresado por la entrada y la salida.

En el contexto de un esquema de sistema, esta propiedad también se puede expresar de la siguiente manera, como se muestra en la figura de la derecha:

Si un sistema es invariante en el tiempo, entonces el bloque del sistema conmuta con un retraso arbitrario.

Si un sistema invariante en el tiempo también es lineal , es objeto de la teoría lineal invariante en el tiempo (lineal invariante en el tiempo) con aplicaciones directas en espectroscopia de RMN , sismología , circuitos , procesamiento de señales , teoría de control y otras áreas técnicas. Los sistemas no lineales invariantes en el tiempo carecen de una teoría rectora integral. Los sistemas discretos invariantes en el tiempo se conocen como sistemas invariantes por desplazamiento . Los sistemas que carecen de la propiedad invariante en el tiempo se estudian como sistemas variantes en el tiempo .

Ejemplo sencillo

Para demostrar cómo determinar si un sistema es invariante en el tiempo, considere los dos sistemas:

• Sistema A: ${\displaystyle y(t)=tx(t)}$
• Sistema B: ${\displaystyle y(t)=10x(t)}$

Dado que la función del sistema para el sistema A depende explícitamente de t fuera de , no es invariante en el tiempo porque la dependencia del tiempo no es explícitamente una función de la función de entrada. ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$

Por el contrario, la dependencia del tiempo del sistema B es sólo una función de la entrada que varía en el tiempo . Esto hace que el sistema B sea invariante en el tiempo . ${\displaystyle x(t)}$

El siguiente ejemplo formal muestra con más detalle que, si bien el Sistema B es un sistema invariante por desplazamiento en función del tiempo, t , el Sistema A no lo es.

Ejemplo formal

Ahora se presenta una prueba más formal de por qué los sistemas A y B anteriores difieren. Para realizar esta prueba se utilizará la segunda definición.

Sistema A: Comience con un retraso de la entrada ${\displaystyle x_{d}(t)=x(t+\delta )}$

${\displaystyle y(t)=tx(t)}$

${\displaystyle y_{1}(t)=tx_{d}(t)=tx(t+\delta )}$

Ahora retrasa la salida por ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle y(t)=tx(t)}$

${\displaystyle y_{2}(t)=y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )}$

Es evidente que, por lo tanto, el sistema no es invariante en el tiempo. ${\displaystyle y_{1}(t)\neq y_{2}(t)}$

Sistema B: Comience con un retraso de la entrada ${\displaystyle x_{d}(t)=x(t+\delta )}$

${\displaystyle y(t)=10x(t)}$

${\displaystyle y_{1}(t)=10x_{d}(t)=10x(t+\delta )}$

Ahora retrasa la salida por ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle y(t)=10x(t)}$

${\displaystyle y_{2}(t)=y(t+\delta )=10x(t+\delta )}$

Claramente , por lo tanto, el sistema es invariante en el tiempo. ${\displaystyle y_{1}(t)=y_{2}(t)}$

De manera más general, la relación entre la entrada y la salida es

${\displaystyle y(t)=f(x(t),t),}$

y su variación con el tiempo es

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}.}$

Para sistemas invariantes en el tiempo, las propiedades del sistema permanecen constantes con el tiempo,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=0.}$

Aplicado a los Sistemas A y B anteriores:

${\displaystyle f_{A}=tx(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{A}}{\partial t}}=x(t)\neq 0}$en general, por lo que no es invariante en el tiempo,

${\displaystyle f_{B}=10x(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{B}}{\partial t}}=0}$por lo que es invariante en el tiempo.

Ejemplo abstracto

Podemos denotar el operador de desplazamiento por dónde está la cantidad en la que se debe desplazar el conjunto de índices de un vector . Por ejemplo, el sistema "avanzar por 1" ${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle x(t+1)=\delta (t+1)*x(t)}$

se puede representar en esta notación abstracta por

${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=\mathbb {T} _{1}{\tilde {x}}}$

donde es una función dada por ${\displaystyle {\tilde {x}}}$

${\displaystyle {\tilde {x}}=x(t)\forall t\in \mathbb {R} }$

con el sistema produciendo la salida desplazada

${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=x(t+1)\forall t\in \mathbb {R} }$

También lo es un operador que avanza el vector de entrada en 1. ${\displaystyle \mathbb {T} _{1}}$

Supongamos que representamos un sistema mediante un operador . Este sistema es invariante en el tiempo si conmuta con el operador de turno, es decir, ${\displaystyle \mathbb {H} }$

${\displaystyle \mathbb {T} _{r}\mathbb {H} =\mathbb {H} \mathbb {T} _{r}\forall r}$

Si la ecuación de nuestro sistema está dada por

${\displaystyle {\tilde {y}}=\mathbb {H} {\tilde {x}}}$

entonces es invariante en el tiempo si podemos aplicar el operador del sistema seguido del operador de turno , o podemos aplicar el operador de turno seguido del operador del sistema , y ​​los dos cálculos arrojan resultados equivalentes. ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Aplicar primero el operador del sistema da

${\displaystyle \mathbb {T} _{r}\mathbb {H} {\tilde {x}}=\mathbb {T} _{r}{\tilde {y}}={\tilde {y}}_{r}}$

Aplicar primero el operador de turnos da

${\displaystyle \mathbb {H} \mathbb {T} _{r}{\tilde {x}}=\mathbb {H} {\tilde {x}}_{r}}$

Si el sistema es invariante en el tiempo, entonces

${\displaystyle \mathbb {H} {\tilde {x}}_{r}={\tilde {y}}_{r}}$

Ver también

• Respuesta de impulso finito
• secuencia sheffer
• Espacio de estados (controles)
• Gráfico de flujo de señal
• Teoría del sistema LTI
• Sistema autónomo (matemáticas)

Referencias

1. Bessai, Horst J. (2005). Señales y Sistemas MIMO . Saltador. pag. 28.ISBN​ 0-387-23488-8.
2. Sundararajan, D. (2008). Un enfoque práctico de señales y sistemas . Wiley. pag. 81.ISBN​ 978-0-470-82353-8.
3. Roberts, Michael J. (2018). Señales y sistemas: análisis mediante métodos de transformación y MATLAB® (3 ed.). McGraw-Hill. pag. 132.ISBN​ 978-0-07-802812-0.
4. Oppenheim, Alan; Willsky, Alan (1997). Señales y Sistemas (segunda ed.). Prentice Hall.