Función delta de Dirac

Función generalizada cuyo valor es cero en todas partes excepto en cero

Representación esquemática de la función delta de Dirac mediante una línea coronada por una flecha. La altura de la flecha generalmente pretende especificar el valor de cualquier constante multiplicativa, que dará el área bajo la función. La otra convención es escribir el área al lado de la punta de flecha.

El delta de Dirac como límite (en el sentido de distribuciones ) de la secuencia de distribuciones normales centradas en cero ${\displaystyle a\to 0}$ ${\displaystyle \delta _{a}(x)={\frac {1}{\left|a\right|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(x/a)^{2}}}$

En análisis matemático , la función delta de Dirac (o distribución δ ), también conocida como impulso unitario , ^[1] es una función generalizada sobre los números reales , cuyo valor es cero en todas partes excepto en cero, y cuya integral sobre toda la recta real es igual a uno. ^{[2] [3] [4]} Dado que no existe ninguna función que tenga esta propiedad, modelar la "función" delta implica rigurosamente el uso de límites o, como es común en matemáticas, la teoría de la medida y la teoría de distribuciones .

La función delta fue introducida por el físico Paul Dirac y desde entonces se ha aplicado de forma rutinaria en física e ingeniería para modelar masas puntuales e impulsos instantáneos. Se llama función delta porque es un análogo continuo de la función delta de Kronecker , que generalmente se define en un dominio discreto y toma valores 0 y 1. El rigor matemático de la función delta fue discutido hasta que Laurent Schwartz desarrolló la teoría de distribuciones. , donde se define como una forma lineal que actúa sobre funciones.

Motivación y descripción general

Generalmente se piensa que la gráfica del delta de Dirac sigue el eje x completo y el eje y positivo . ^{[5] : 174} El delta de Dirac se utiliza para modelar una función de pico alto y estrecho (un impulso ) y otras abstracciones similares, como una carga puntual , una masa puntual o un punto de electrón . Por ejemplo, para calcular la dinámica del golpe de una bola de billar , se puede aproximar la fuerza del impacto mediante un delta de Dirac. Al hacerlo, no sólo se simplifican las ecuaciones, sino que también se puede calcular el movimiento de la pelota, considerando únicamente el impulso total de la colisión, sin un modelo detallado de toda la transferencia de energía elástica a niveles subatómicos (por ejemplo). instancia).

Para ser más específicos, supongamos que una bola de billar está en reposo. En ese momento , otra bola lo golpea, lo que le confiere un impulso P , con unidades kg⋅m⋅s ⁻¹ . El intercambio de impulso no es en realidad instantáneo, estando mediado por procesos elásticos a nivel molecular y subatómico, pero a efectos prácticos conviene considerar esa transferencia de energía como efectivamente instantánea. Por tanto, la fuerza es P δ ( t ) ; las unidades de δ ( t ) son s ⁻¹ . ${\displaystyle t=0}$

Para modelar esta situación de manera más rigurosa, supongamos que la fuerza, en cambio, se distribuye uniformemente en un pequeño intervalo de tiempo . Eso es, ${\displaystyle \Delta t=[0,T]}$

$${\displaystyle F_{\Delta t}(t)={\begin{cases}P/\Delta t&0<t\leq T,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

Entonces el impulso en cualquier momento t se encuentra por integración:

$${\displaystyle p(t)=\int _{0}^{t}F_{\Delta t}(\tau )\,d\tau ={\begin{cases}P&t\geq T\\P\,t/\Delta t&0\leq t\leq T\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

Ahora, la situación modelo de una transferencia instantánea de impulso requiere tomar el límite como Δ t → 0 , dando un resultado en todas partes excepto en 0 :

$${\displaystyle p(t)={\begin{cases}P&t>0\\0&t<0.\end{cases}}}$$

Aquí se considera que las funciones son aproximaciones útiles a la idea de transferencia instantánea de impulso. ${\displaystyle F_{\Delta t}}$

La función delta nos permite construir un límite idealizado de estas aproximaciones. Desafortunadamente, el límite real de las funciones (en el sentido de convergencia puntual ) es cero en todas partes excepto en un solo punto, donde es infinito. Para darle sentido al delta de Dirac, deberíamos insistir en que la propiedad ${\textstyle \lim _{\Delta t\to 0^{+}}F_{\Delta t}}$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }F_{\Delta t}(t)\,dt=P,}$$

que es válido para todos , debería continuar manteniéndose en el límite. Entonces, en la ecuación , se entiende que el límite siempre se toma fuera de la integral . ${\displaystyle \Delta t>0}$ ${\textstyle F(t)=P\,\delta (t)=\lim _{\Delta t\to 0}F_{\Delta t}(t)}$

En matemáticas aplicadas, como hemos hecho aquí, la función delta a menudo se manipula como una especie de límite (un límite débil ) de una secuencia de funciones, cada miembro de la cual tiene un pico alto en el origen: por ejemplo, una secuencia de Distribuciones gaussianas centradas en el origen con varianza que tiende a cero.

El delta de Dirac no es verdaderamente una función, al menos no una función habitual con dominio y rango en números reales . Por ejemplo, los objetos f ( x ) = δ ( x ) y g ( x ) = 0 son iguales en todas partes excepto en x = 0 , pero tienen integrales que son diferentes. Según la teoría de integración de Lebesgue , si f y g son funciones tales que f = g en casi todas partes , entonces f es integrable si y sólo si g es integrable y las integrales de f y g son idénticas. Un enfoque riguroso para considerar la función delta de Dirac como un objeto matemático por derecho propio requiere la teoría de la medida o la teoría de las distribuciones .

Historia

Joseph Fourier presentó lo que ahora se llama el teorema integral de Fourier en su tratado Théorie analytique de la chaleur en la forma: ^[6]

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ \ d\alpha \,f(\alpha )\ \int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ ,}$$

lo que equivale a la introducción de la función δ en la forma: ^[7]

$${\displaystyle \delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ .}$$

Posteriormente, Augustin Cauchy expresó el teorema utilizando exponenciales: ^{[8] [9]}

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha \right)\,dp.}$$

Cauchy señaló que en algunas circunstancias el orden de integración es significativo en este resultado (compárese con el teorema de Fubini ). ^{[10] [11]}

Como se justifica utilizando la teoría de distribuciones , la ecuación de Cauchy se puede reorganizar para parecerse a la formulación original de Fourier y exponer la función δ como

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha \right)\,dp\\[4pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}e^{-ip\alpha }\,dp\right)f(\alpha )\,d\alpha =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-\alpha )f(\alpha )\,d\alpha ,\end{aligned}}}$$

donde la función δ se expresa como

$${\displaystyle \delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ip(x-\alpha )}\,dp\ .}$$

Una interpretación rigurosa de la forma exponencial y las diversas limitaciones de la función f necesarias para su aplicación se extendió a lo largo de varios siglos. Los problemas con una interpretación clásica se explican a continuación: ^[12]

El mayor inconveniente de la transformación de Fourier clásica es una clase bastante limitada de funciones (originales) para las cuales se puede calcular de manera efectiva. Es decir, es necesario que estas funciones disminuyan lo suficientemente rápido hasta cero (en las proximidades del infinito) para asegurar la existencia de la integral de Fourier. Por ejemplo, la transformada de Fourier de funciones tan simples como los polinomios no existe en el sentido clásico. La extensión de la transformación clásica de Fourier a las distribuciones amplió considerablemente la clase de funciones que podían transformarse y esto eliminó muchos obstáculos.

Otros desarrollos incluyeron la generalización de la integral de Fourier, "comenzando con la innovadora teoría L ² de Plancherel (1910), continuando con los trabajos de Wiener y Bochner (alrededor de 1930) y culminando con la fusión en la teoría de distribuciones de L. Schwartz (1945) ... ", ^[13] y que conduce al desarrollo formal de la función delta de Dirac.

Una fórmula infinitesimal para una función delta de impulso unitario infinitamente alta (versión infinitesimal de la distribución de Cauchy ) aparece explícitamente en un texto de 1827 de Augustin Louis Cauchy . ^[14] Siméon Denis Poisson examinó la cuestión en relación con el estudio de la propagación de ondas, al igual que Gustav Kirchhoff algo más tarde. Kirchhoff y Hermann von Helmholtz también introdujeron el impulso unitario como límite de las gaussianas , que también correspondía a la noción de Lord Kelvin de una fuente de calor puntual. A finales del siglo XIX, Oliver Heaviside utilizó series formales de Fourier para manipular el impulso unitario. ^[15] La función delta de Dirac como tal fue introducida por Paul Dirac en su artículo de 1927 La interpretación física de la dinámica cuántica ^[16] y utilizada en su libro de texto Los principios de la mecánica cuántica . ^[3] La llamó "función delta" ya que la usó como un análogo continuo del delta de Kronecker discreto .

Definiciones

La función delta de Dirac se puede considerar en términos generales como una función sobre la recta real que es cero en todas partes excepto en el origen, donde es infinita. ${\displaystyle \delta (x)}$

$${\displaystyle \delta (x)\simeq {\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}}$$

y que también está obligado a satisfacer la identidad ^[17]

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.}$$

Esta es simplemente una caracterización heurística . El delta de Dirac no es una función en el sentido tradicional, ya que ninguna función extendida con valores de números reales definida en los números reales tiene estas propiedades. ^[18]

como medida

Una forma de capturar rigurosamente la noción de función delta de Dirac es definir una medida , llamada medida de Dirac , que acepta un subconjunto A de la línea real R como argumento y devuelve δ ( A ) = 1 si 0 ∈ A , y δ ( A ) = 0 en caso contrario. ^[19] Si la función delta se conceptualiza como modelando una masa puntual idealizada en 0, entonces δ ( A ) representa la masa contenida en el conjunto A. Entonces se puede definir la integral contra δ como la integral de una función contra esta distribución de masa. Formalmente, la integral de Lebesgue proporciona el dispositivo analítico necesario. La integral de Lebesgue con respecto a la medida δ satisface

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=f(0)}$$

para todas las funciones continuas soportadas de forma compacta f . La medida δ no es absolutamente continua respecto de la medida de Lebesgue —de hecho, es una medida singular . En consecuencia, la medida delta no tiene derivada de Radon-Nikodym (con respecto a la medida de Lebesgue), no hay una función verdadera para la cual la propiedad

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x)\,dx=f(0)}$$

sostiene. ^[20] Como resultado, la última notación es un abuso conveniente de notación , y no una integral estándar ( Riemann o Lebesgue ).

Como medida de probabilidad en R , la medida delta se caracteriza por su función de distribución acumulativa , que es la función de paso unitario . ^[21]

$${\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\geq 0\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$

Esto significa que H ( x ) es la integral de la función indicadora acumulativa 1 _{(−∞, x ]} con respecto a la medida δ ; es decir,

$${\displaystyle H(x)=\int _{\mathbf {R} }\mathbf {1} _{(-\infty ,x]}(t)\,\delta (dt)=\delta (-\infty ,x],}$$

siendo este último la medida de este intervalo; más formalmente, δ ((−∞, x ]) . Así, en particular, la integración de la función delta frente a una función continua puede entenderse correctamente como una integral de Riemann-Stieltjes : ^[22]

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dH(x).}$$

Todos los momentos superiores de δ son cero. En particular, la función característica y la función generadora de momento son ambas iguales a uno.

como distribucion

En la teoría de distribuciones , una función generalizada no se considera una función en sí misma sino sólo por cómo afecta a otras funciones cuando se "integra" contra ellas. ^[23] De acuerdo con esta filosofía, para definir la función delta correctamente, basta con decir cuál es la "integral" de la función delta frente a una función de prueba suficientemente "buena" φ . Las funciones de prueba también se conocen como funciones de prueba . Si la función delta ya se entiende como una medida, entonces la integral de Lebesgue de una función de prueba contra esa medida proporciona la integral necesaria.

Un espacio típico de funciones de prueba consta de todas las funciones suaves en R con soporte compacto que tienen tantas derivadas como sea necesario. Como distribución, el delta de Dirac es una funcional lineal en el espacio de funciones de prueba y está definida por ^[24]

para cada función de prueba φ .

Para que δ sea propiamente una distribución, debe ser continua en una topología adecuada en el espacio de funciones de prueba. En general, para que un funcional lineal S en el espacio de funciones de prueba defina una distribución, es necesario y suficiente que, para cada número entero positivo N haya un número entero M _N y una constante C _N tal que para cada función de prueba φ , uno tiene la desigualdad ^[25]

$${\displaystyle \left|S[\varphi ]\right|\leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}}\sup _{x\in [-N,N]}\left|\varphi ^{(k)}(x)\right|}$$

donde sup representa el supremo . Con la distribución δ , se tiene tal desigualdad (con C _N = 1 ) con M _N = 0 para todo N. Por tanto, δ es una distribución de orden cero. Es, además, una distribución con soporte compacto ( siendo el soporte {0} ).

La distribución delta también se puede definir de varias formas equivalentes. Por ejemplo, es la derivada distribucional de la función escalonada de Heaviside . Esto significa que para cada función de prueba φ , se tiene

$${\displaystyle \delta [\varphi ]=-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx.}$$

Intuitivamente, si se permitiera la integración por partes , entonces la última integral debería simplificarse a

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,H'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,\delta (x)\,dx,}$$

y de hecho, se permite una forma de integración por partes para la integral de Stieltjes, y en ese caso, se tiene

$${\displaystyle -\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dH(x).}$$

En el contexto de la teoría de la medida, la medida de Dirac da lugar a la distribución por integración. Por el contrario, la ecuación ( 1 ) define una integral de Daniell en el espacio de todas las funciones continuas φ soportadas compactamente que, según el teorema de representación de Riesz , puede representarse como la integral de Lebesgue de φ con respecto a alguna medida de radón .

Generalmente, cuando se utiliza el término función delta de Dirac , es en el sentido de distribuciones más que de medidas, siendo la medida de Dirac uno de varios términos para la noción correspondiente en la teoría de la medida. Algunas fuentes también pueden utilizar el término distribución delta de Dirac .

Generalizaciones

La función delta se puede definir en el espacio euclidiano n -dimensional R ⁿ como la medida tal que

$${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (d\mathbf {x} )=f(\mathbf {0} )}$$

para cada función continua soportada de forma compacta f . Como medida, la función delta n -dimensional es la medida del producto de las funciones delta unidimensionales en cada variable por separado. Así, formalmente, con x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) , se tiene ^[26]

La función delta también se puede definir en el sentido de distribuciones exactamente como se indicó anteriormente en el caso unidimensional. ^[27] Sin embargo, a pesar de su uso generalizado en contextos de ingeniería, ( 2 ) debe manipularse con cuidado, ya que el producto de las distribuciones sólo puede definirse en circunstancias bastante limitadas. ^{[28] [29]}

La noción de medida de Dirac tiene sentido en cualquier conjunto. ^[30] Por lo tanto, si X es un conjunto, x ₀ ∈ X es un punto marcado, y Σ es cualquier álgebra sigma de subconjuntos de X , entonces la medida definida en los conjuntos A ∈ Σ por

$${\displaystyle \delta _{x_{0}}(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}x_{0}\in A\\0&{\text{if }}x_{0}\notin A\end{cases}}}$$

es la medida delta o unidad de masa concentrada en x ₀ .

Otra generalización común de la función delta es a una variedad diferenciable donde la mayoría de sus propiedades como distribución también pueden explotarse debido a la estructura diferenciable . La función delta en una variedad M centrada en el punto x ₀ ∈ M se define como la siguiente distribución:

para todas las funciones suaves de valor real compatibles de forma compacta φ en M . ^[31] Un caso especial común de esta construcción es un caso en el que M es un conjunto abierto en el espacio euclidiano R ⁿ .

En un espacio X de Hausdorff localmente compacto , la medida delta de Dirac concentrada en un punto x es la medida de radón asociada con la integral de Daniell ( 3 ) en funciones continuas φ con soporte compacto . ^[32] En este nivel de generalidad, el cálculo como tal ya no es posible; sin embargo, se encuentran disponibles una variedad de técnicas de análisis abstracto. Por ejemplo, el mapeo es una incrustación continua de X en el espacio de medidas finitas de radón en X , equipado con su vaga topología . Además, la cáscara convexa de la imagen de X bajo esta incrustación es densa en el espacio de medidas de probabilidad en X. ^[33] ${\displaystyle x_{0}\mapsto \delta _{x_{0}}}$

Propiedades

Escalado y simetría

La función delta satisface la siguiente propiedad de escala para un escalar α distinto de cero : ^[34]

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)\,{\frac {du}{|\alpha |}}={\frac {1}{|\alpha |}}}$$

y entonces

Prueba de propiedad de escala:

$${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (ax)={\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx'\ g\left({\frac {x'}{a}}\right)\delta (x')}$$

x′ = axaa = −| un |

$${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (ax)={\frac {1}{-\left\vert a\right\vert }}\int \limits _{\infty }^{-\infty }dx'\ g\left({\frac {x'}{a}}\right)\delta (x')={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx'\ g\left({\frac {x'}{a}}\right)\delta (x')={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}g(0).}$$

. ${\displaystyle \delta (ax)={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}\delta (x)}$

En particular, la función delta es una distribución uniforme (simetría), en el sentido de que

$${\displaystyle \delta (-x)=\delta (x)}$$

que es homogéneo de grado −1 .

Propiedades algebraicas

El producto distributivo de δ con x es igual a cero:

$${\displaystyle x\,\delta (x)=0.}$$

De manera más general, para todos los números enteros positivos . ${\displaystyle (x-a)^{n}\delta (x-a)=0}$ ${\displaystyle n}$

Por el contrario, si xf ( x ) = xg ( x ) , donde f y g son distribuciones, entonces

$${\displaystyle f(x)=g(x)+c\delta (x)}$$

para alguna constante c . ^[35]

Traducción

La integral del delta de Dirac retardado es ^[36]

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,\delta (t-T)\,dt=f(T).}$$

Esto a veces se denomina propiedad de tamizado ^[37] o propiedad de muestreo . ^[38] Se dice que la función delta "tamiza" el valor de f(t) en t = T . ^[39]

De ello se deduce que el efecto de convolucionar una función f ( t ) con el delta de Dirac retardado es retrasar f ( t ) en la misma cantidad: ${\displaystyle \delta _{T}(t)=\delta (t-T)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f*\delta _{T})(t)\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (t-T-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (\tau -(t-T))\,d\tau \qquad {\text{since}}~\delta (-x)=\delta (x)~~{\text{by (4)}}\\&=f(t-T).\end{aligned}}}$$

La propiedad de tamizado se cumple bajo la condición precisa de que f sea una distribución templada (consulte la discusión sobre la transformada de Fourier a continuación). Como caso especial, por ejemplo, tenemos la identidad (entendida en el sentido de distribución)

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\xi -x)\delta (x-\eta )\,dx=\delta (\eta -\xi ).}$$

Composición con una función.

De manera más general, la distribución delta puede componerse con una función suave g ( x ) de tal manera que se cumpla la conocida fórmula de cambio de variables, que

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\delta {\bigl (}g(x){\bigr )}f{\bigl (}g(x){\bigr )}\left|g'(x)\right|dx=\int _{g(\mathbb {R} )}\delta (u)\,f(u)\,du}$$

siempre que g sea una función continuamente diferenciable con g′ en ningún lugar cero. ^[40] Es decir, existe una forma única de asignar significado a la distribución de modo que esta identidad se mantenga para todas las funciones de prueba f soportadas de forma compacta . Por lo tanto, el dominio debe dividirse para excluir el punto g′ = 0 . Esta distribución satisface δ ( g ( x )) = 0 si g no es cero en ninguna parte, y en caso contrario si g tiene una raíz real en x ₀ , entonces ${\displaystyle \delta \circ g}$

$${\displaystyle \delta (g(x))={\frac {\delta (x-x_{0})}{|g'(x_{0})|}}.}$$

Por lo tanto, es natural definir la composición δ ( g ( x ) ) para funciones continuamente diferenciables g por

$${\displaystyle \delta (g(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}}$$

donde la suma se extiende sobre todas las raíces (es decir, todas las diferentes) de g ( x ) , que se supone que son simples . Así, por ejemplo

$${\displaystyle \delta \left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)={\frac {1}{2|\alpha |}}{\Big [}\delta \left(x+\alpha \right)+\delta \left(x-\alpha \right){\Big ]}.}$$

En la forma integral, la propiedad de escala generalizada se puede escribir como

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (g(x))\,dx=\sum _{i}{\frac {f(x_{i})}{|g'(x_{i})|}}.}$$

Integral indefinida

Para una función arbitraria de valor real constante y "de buen comportamiento" y ( x ) , ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \displaystyle {\int }y(x)\delta (x-a)dx=y(a)H(x-a)+c,}$$

H ( x )función escalón de Heavisidec

Propiedades en n dimensiones

La distribución delta en un espacio n -dimensional satisface la siguiente propiedad de escala:

$${\displaystyle \delta (\alpha \mathbf {x} )=|\alpha |^{-n}\delta (\mathbf {x} )~,}$$

δhomogénea de grado − n

Bajo cualquier reflexión o rotación ρ , la función delta es invariante,

$${\displaystyle \delta (\rho \mathbf {x} )=\delta (\mathbf {x} )~.}$$

Como en el caso de una variable, es posible definir la composición de δ con una función bi-Lipschitz ^[41] g : R ⁿ → R ⁿ de forma única de modo que la identidad

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta (g(\mathbf {x} ))\,f(g(\mathbf {x} ))\left|\det g'(\mathbf {x} )\right|d\mathbf {x} =\int _{g(\mathbb {R} ^{n})}\delta (\mathbf {u} )f(\mathbf {u} )\,d\mathbf {u} }$$

f

Utilizando la fórmula del coárea de la teoría de la medida geométrica , también se puede definir la composición de la función delta con una inmersión de un espacio euclidiano a otro de diferente dimensión; el resultado es un tipo de corriente . En el caso especial de una función continuamente diferenciable g  : R ⁿ → R tal que el gradiente de g no es cero en ninguna parte, se cumple la siguiente identidad ^[42]

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (g(\mathbf {x} ))\,d\mathbf {x} =\int _{g^{-1}(0)}{\frac {f(\mathbf {x} )}{|\mathbf {\nabla } g|}}\,d\sigma (\mathbf {x} )}$$

g ⁻¹ (0)( n − 1)g ( x ) = 0de contenido de Minkowskide capa simple

De manera más general, si S es una hipersuperficie suave de R ⁿ , entonces podemos asociar a S la distribución que integra cualquier función suave g soportada de forma compacta sobre S :

$${\displaystyle \delta _{S}[g]=\int _{S}g(\mathbf {s} )\,d\sigma (\mathbf {s} )}$$

donde σ es la medida de hipersuperficie asociada a S . Esta generalización está asociada con la teoría potencial de potenciales de capa simples en S. Si D es un dominio en R ⁿ con límite suave S , entonces δ _S es igual a la derivada normal de la función indicadora de D en el sentido de distribución,

$${\displaystyle -\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\mathbf {x} )\,{\frac {\partial 1_{D}(\mathbf {x} )}{\partial n}}\,d\mathbf {x} =\int _{S}\,g(\mathbf {s} )\,d\sigma (\mathbf {s} ),}$$

donde n es la normal exterior. ^{[43] [44]} Para una prueba, consulte, por ejemplo, el artículo sobre la función delta de superficie .

En tres dimensiones, la función delta se representa en coordenadas esféricas mediante:

$${\displaystyle \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\delta (r-r_{0})\delta (\theta -\theta _{0})\delta (\phi -\phi _{0})&x_{0},y_{0},z_{0}\neq 0\\\displaystyle {\frac {1}{2\pi r^{2}\sin \theta }}\delta (r-r_{0})\delta (\theta -\theta _{0})&x_{0}=y_{0}=0,\ z_{0}\neq 0\\\displaystyle {\frac {1}{4\pi r^{2}}}\delta (r-r_{0})&x_{0}=y_{0}=z_{0}=0\end{cases}}}$$

Transformada de Fourier

La función delta es una distribución templada y, por tanto, tiene una transformada de Fourier bien definida . Formalmente, se encuentra ^[45]

$${\displaystyle {\widehat {\delta }}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ix\xi }\,\delta (x)dx=1.}$$

Propiamente hablando, la transformada de Fourier de una distribución se define imponiendo la autoadjunción de la transformada de Fourier bajo el emparejamiento dual de distribuciones templadas con funciones de Schwartz . Por tanto, se define como la distribución templada única que satisface ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle {\widehat {\delta }}}$

$${\displaystyle \langle {\widehat {\delta }},\varphi \rangle =\langle \delta ,{\widehat {\varphi }}\rangle }$$

para todas las funciones de Schwartz φ . Y de hecho se sigue de esto que ${\displaystyle {\widehat {\delta }}=1.}$

Como resultado de esta identidad, la convolución de la función delta con cualquier otra distribución templada S es simplemente S :

$${\displaystyle S*\delta =S.}$$

Es decir, δ es un elemento de identidad para la convolución en distribuciones templadas y, de hecho, el espacio de distribuciones soportadas compactamente bajo convolución es un álgebra asociativa con identidad la función delta. Esta propiedad es fundamental en el procesamiento de señales , ya que la convolución con una distribución templada es un sistema lineal invariante en el tiempo , y aplicando el sistema lineal invariante en el tiempo se mide su respuesta al impulso . La respuesta al impulso se puede calcular con cualquier grado de precisión deseado eligiendo una aproximación adecuada para δ y, una vez conocida, caracteriza completamente el sistema. Ver teoría del sistema LTI § Respuesta al impulso y convolución .

La transformada inversa de Fourier de la distribución templada f ( ξ ) = 1 es la función delta. Formalmente, esto se expresa como

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }1\cdot e^{2\pi ix\xi }\,d\xi =\delta (x)}$$

$${\displaystyle \langle 1,{\widehat {f}}\rangle =f(0)=\langle \delta ,f\rangle }$$

f

En estos términos, la función delta proporciona una declaración sugestiva de la propiedad de ortogonalidad del núcleo de Fourier en R. Formalmente se tiene

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi \xi _{1}t}\left[e^{i2\pi \xi _{2}t}\right]^{*}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi (\xi _{2}-\xi _{1})t}\,dt=\delta (\xi _{2}-\xi _{1}).}$$

Esto es, por supuesto, una abreviatura de la afirmación de que la transformada de Fourier de la distribución templada

$${\displaystyle f(t)=e^{i2\pi \xi _{1}t}}$$

$${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi _{2})=\delta (\xi _{1}-\xi _{2})}$$

Mediante la continuación analítica de la transformada de Fourier, se encuentra que la transformada de Laplace de la función delta es ^[46]

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\delta (t-a)\,e^{-st}\,dt=e^{-sa}.}$$

Derivados

La derivada de la distribución delta de Dirac, denotada como δ′ y también llamada prima delta de Dirac o derivada delta de Dirac como se describe en laplaciano del indicador , se define en funciones de prueba suaves soportadas compactamente φ por ^[47]

$${\displaystyle \delta '[\varphi ]=-\delta [\varphi ']=-\varphi '(0).}$$

La primera igualdad aquí es una especie de integración por partes , porque si δ fuera una función verdadera, entonces

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta '(x)\varphi (x)\,dx=\delta (x)\varphi (x)|_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx=-\varphi '(0).}$$

Por inducción matemática , la k -ésima derivada de δ se define de manera similar a la distribución dada en las funciones de prueba por

$${\displaystyle \delta ^{(k)}[\varphi ]=(-1)^{k}\varphi ^{(k)}(0).}$$

En particular, δ es una distribución infinitamente diferenciable.

La primera derivada de la función delta es el límite distribucional de los cocientes de diferencias: ^[48]

$${\displaystyle \delta '(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\delta (x+h)-\delta (x)}{h}}.}$$

Más propiamente, uno tiene

$${\displaystyle \delta '=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}(\tau _{h}\delta -\delta )}$$

τ _hτ _h φ ( x ) = φ ( x + h )S

$${\displaystyle (\tau _{h}S)[\varphi ]=S[\tau _{-h}\varphi ].}$$

En la teoría del electromagnetismo , la primera derivada de la función delta representa un dipolo magnético puntual situado en el origen. En consecuencia, se la denomina función dipolo o función doblete . ^[49]

La derivada de la función delta satisface una serie de propiedades básicas, entre ellas: ^[50]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta '(-x)&=-\delta '(x)\\x\delta '(x)&=-\delta (x)\end{aligned}}}$$

La última de estas propiedades también se puede demostrar aplicando la definición de derivada distribucional, el teorema de Liebniz y la linealidad del producto interno: ^[51]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle x\delta ',\varphi \rangle \,&=\,\langle \delta ',x\varphi \rangle \,=\,-\langle \delta ,(x\varphi )'\rangle \,=\,-\langle \delta ,x'\varphi +x\varphi '\rangle \,=\,-\langle \delta ,x'\varphi \rangle -\langle \delta ,x\varphi '\rangle \,=\,-x'(0)\varphi (0)-x(0)\varphi '(0)\\&=\,-x'(0)\langle \delta ,\varphi \rangle -x(0)\langle \delta ,\varphi '\rangle \,=\,-x'(0)\langle \delta ,\varphi \rangle +x(0)\langle \delta ',\varphi \rangle \,=\,\langle x(0)\delta '-x'(0)\delta ,\varphi \rangle \\\Longrightarrow x(t)\delta '(t)&=x(0)\delta '(t)-x'(0)\delta (t)=-x'(0)\delta (t)=-\delta (t)\end{aligned}}}$$

Además, la convolución de δ′ con una función f suave y con soporte compacto es

$${\displaystyle \delta '*f=\delta *f'=f',}$$

que se sigue de las propiedades de la derivada distribucional de una convolución.

Dimensiones superiores

De manera más general, en un conjunto abierto U en el espacio euclidiano n -dimensional , la distribución delta de Dirac centrada en un punto a ∈ U se define por ^[52] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \delta _{a}[\varphi ]=\varphi (a)}$$

U.índice múltiplede derivada parcialα∂ ^α δ _aδ _a^[52] ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$ ${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \partial ^{\alpha }}$

$${\displaystyle \left\langle \partial ^{\alpha }\delta _{a},\,\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\left\langle \delta _{a},\partial ^{\alpha }\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }\varphi (x){\Big |}_{x=a}\quad {\text{ for all }}\varphi \in C_{c}^{\infty }(U).}$$

Es decir, la derivada α -ésima de δ _a es la distribución cuyo valor en cualquier función de prueba φ es la derivada α -ésima de φ en a (con el signo positivo o negativo apropiado).

Las primeras derivadas parciales de la función delta se consideran capas dobles a lo largo de los planos coordenados. De manera más general, la derivada normal de una capa simple apoyada sobre una superficie es una capa doble apoyada sobre esa superficie y representa un monopolo magnético laminar. Las derivadas superiores de la función delta se conocen en física como multipolos .

Las derivadas superiores entran naturalmente en las matemáticas como componentes básicos de la estructura completa de distribuciones con soporte puntual. Si S es cualquier distribución en U sustentada en el conjunto { a } que consta de un solo punto, entonces existe un número entero m y coeficientes c _α tales que ^{[52] [53]}

$${\displaystyle S=\sum _{|\alpha |\leq m}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }\delta _{a}.}$$

Representaciones de la función delta.

La función delta puede verse como el límite de una secuencia de funciones.

$${\displaystyle \delta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\eta _{\varepsilon }(x),}$$

donde η _ε ( x ) a veces se denomina función delta naciente. Este límite se entiende en un sentido débil: o que

para todas las funciones continuas f con soporte compacto , o que este límite se cumple para todas las funciones suaves f con soporte compacto. La diferencia entre estos dos modos ligeramente diferentes de convergencia débil es a menudo sutil: el primero es convergencia en la vaga topología de medidas, y el segundo es convergencia en el sentido de distribuciones .

Aproximaciones a la identidad

Normalmente, una función delta naciente η _ε se puede construir de la siguiente manera. Sea η una función absolutamente integrable en R de integral total 1 y defina

$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}$$

En n dimensiones, se utiliza en su lugar la escala

$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-n}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}$$

Entonces un simple cambio de variables muestra que η _ε también tiene integral 1 . Se puede demostrar que ( 5 ) es válida para todas las funciones f continuas sustentadas de forma compacta , ^[54] y por lo tanto η _ε converge débilmente a δ en el sentido de medidas.

Los η _ε construidos de esta manera se conocen como aproximación a la identidad . ^[55] Esta terminología se debe a que el espacio L ¹ ( R ) de funciones absolutamente integrables está cerrado bajo la operación de convolución de funciones: f ∗ g ∈ L ¹ ( R ) siempre que f y g estén en L ¹ ( R ) . Sin embargo, no hay identidad en L ¹ ( R ) para el producto de convolución: ningún elemento h tal que f ∗ h = f para todo f . Sin embargo, la secuencia η _ε se aproxima a tal identidad en el sentido de que

$${\displaystyle f*\eta _{\varepsilon }\to f\quad {\text{as }}\varepsilon \to 0.}$$

Este límite se cumple en el sentido de convergencia media (convergencia en L ¹ ). Se necesitan condiciones adicionales sobre el η _ε , por ejemplo, que sea un suavizante asociado a una función con soporte compacto, ^[56] para garantizar la convergencia puntual en casi todas partes .

Si el η = η ₁ inicial es en sí mismo suave y está soportado de manera compacta, entonces la secuencia se llama apaciguadora . El suavizante estándar se obtiene eligiendo η como una función de relieve adecuadamente normalizada , por ejemplo

$${\displaystyle \eta (x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-|x|^{2}}}}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1.\end{cases}}}$$

En algunas situaciones, como el análisis numérico , es deseable una aproximación lineal por partes a la identidad. Esto se puede obtener tomando η ₁ como una función sombrero . Con esta elección de η ₁ , se tiene

$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\max \left(1-\left|{\frac {x}{\varepsilon }}\right|,0\right)}$$

que son todos continuos y compactos, aunque no lisos y por lo tanto no apaciguadores.

Consideraciones probabilísticas

En el contexto de la teoría de la probabilidad , es natural imponer la condición adicional de que el η ₁ inicial en una aproximación a la identidad debe ser positivo, ya que dicha función representa una distribución de probabilidad . La convolución con una distribución de probabilidad a veces es favorable porque no da como resultado un exceso o un defecto, ya que la salida es una combinación convexa de los valores de entrada y, por lo tanto, se encuentra entre el máximo y el mínimo de la función de entrada. Tomar η ₁ como cualquier distribución de probabilidad y hacer que η _ε ( x ) = η ₁ ( x / ε )/ ε como antes dará lugar a una aproximación a la identidad. En general, esto converge más rápidamente a una función delta si, además, η tiene media 0 y tiene pequeños momentos superiores. Por ejemplo, si η ₁ es la distribución uniforme de , también conocida como función rectangular , entonces: ^[57] ${\textstyle \left[-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right]}$

$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{\varepsilon }},&-{\frac {\varepsilon }{2}}<x<{\frac {\varepsilon }{2}},\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

Otro ejemplo es la distribución semicircular de Wigner.

$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {2}{\pi \varepsilon ^{2}}}{\sqrt {\varepsilon ^{2}-x^{2}}},&-\varepsilon <x<\varepsilon ,\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

Éste es continuo y de soporte compacto, pero no ablanda porque no es liso.

Semigrupos

Las funciones delta nacientes a menudo surgen como semigrupos de convolución . ^[58] Esto equivale a la restricción adicional de que la convolución de η _ε con η _δ debe satisfacer

$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }*\eta _{\delta }=\eta _{\varepsilon +\delta }}$$

para todos ε , δ > 0 . Los semigrupos de convolución en L ¹ que forman una función delta naciente son siempre una aproximación a la identidad en el sentido anterior; sin embargo, la condición del semigrupo es una restricción bastante fuerte.

En la práctica, los semigrupos que se aproximan a la función delta surgen como soluciones fundamentales o funciones de Green a ecuaciones diferenciales parciales elípticas o parabólicas motivadas físicamente . En el contexto de las matemáticas aplicadas , los semigrupos surgen como resultado de un sistema lineal invariante en el tiempo . De manera abstracta, si A es un operador lineal que actúa sobre funciones de x , entonces surge un semigrupo de convolución al resolver el problema del valor inicial.

$${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial }{\partial t}}\eta (t,x)=A\eta (t,x),\quad t>0\\[5pt]\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\eta (t,x)=\delta (x)\end{cases}}}$$

en el que el límite se entiende como siempre en sentido débil. Establecer η _ε ( x ) = η ( ε , x ) da la función delta naciente asociada.

Algunos ejemplos de semigrupos de convolución físicamente importantes que surgen de una solución tan fundamental incluyen los siguientes.

El núcleo de calor

El núcleo de calor , definido por

$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \varepsilon }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\varepsilon }}}}$$

representa la temperatura en un cable infinito en el tiempo t > 0 , si una unidad de energía térmica se almacena en el origen del cable en el tiempo t = 0 . Este semigrupo evoluciona según la ecuación de calor unidimensional :

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$$

En teoría de la probabilidad , η _ε ( x ) es una distribución normal de varianza ε y media 0 . Representa la densidad de probabilidad en el momento t = ε de la posición de una partícula que comienza en el origen siguiendo un movimiento browniano estándar . En este contexto, la condición de semigrupo es entonces una expresión de la propiedad de Markov del movimiento browniano.

En el espacio euclidiano de dimensiones superiores R ⁿ , el núcleo de calor es

$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }={\frac {1}{(2\pi \varepsilon )^{n/2}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x\cdot x}{2\varepsilon }}},}$$

mutatis mutandisη _ε → δε → 0

El núcleo de Poisson

El núcleo de Poisson

$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi }}\mathrm {Im} \left\{{\frac {1}{x-\mathrm {i} \varepsilon }}\right\}={\frac {1}{\pi }}{\frac {\varepsilon }{\varepsilon ^{2}+x^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x-|\varepsilon \xi |}\,d\xi }$$

es la solución fundamental de la ecuación de Laplace en el semiplano superior. ^[59] Representa el potencial electrostático en una placa semiinfinita cuyo potencial a lo largo del borde se mantiene fijo en la función delta. El núcleo de Poisson también está estrechamente relacionado con la distribución de Cauchy y las funciones del núcleo de Epanechnikov y Gauss . ^[60] Este semigrupo evoluciona según la ecuación

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}u(t,x)}$$

donde el operador se define rigurosamente como el multiplicador de Fourier

$${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}f\right](\xi )=|2\pi \xi |{\mathcal {F}}f(\xi ).}$$

Integrales oscilatorias

En áreas de la física como la propagación de ondas y la mecánica ondulatoria , las ecuaciones involucradas son hiperbólicas y, por lo tanto, pueden tener soluciones más singulares. Como resultado, las funciones delta nacientes que surgen como soluciones fundamentales de los problemas de Cauchy asociados son generalmente integrales oscilatorias . Un ejemplo, que proviene de una solución de la ecuación de dinámica transónica de gases de Euler-Tricomi , ^{[61] es la} función de Airy reescalada

$${\displaystyle \varepsilon ^{-1/3}\operatorname {Ai} \left(x\varepsilon ^{-1/3}\right).}$$

Aunque se utiliza la transformada de Fourier, es fácil ver que esto genera un semigrupo en algún sentido; no es absolutamente integrable y, por lo tanto, no puede definir un semigrupo en el sentido fuerte anterior. Muchas funciones delta nacientes construidas como integrales oscilatorias sólo convergen en el sentido de distribuciones (un ejemplo es el núcleo de Dirichlet a continuación), más que en el sentido de medidas.

Otro ejemplo es el problema de Cauchy para la ecuación de onda en R ¹⁺¹ : ^[62]

$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{-2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u&=0\\u=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}=\delta &\qquad {\text{for }}t=0.\end{aligned}}}$$

La solución u representa el desplazamiento desde el equilibrio de una cuerda elástica infinita, con una perturbación inicial en el origen.

Otras aproximaciones a la identidad de este tipo incluyen la función sinc (utilizada ampliamente en electrónica y telecomunicaciones)

$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{\frac {1}{\varepsilon }}\cos(kx)\,dk}$$

y la función de Bessel

$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}J_{\frac {1}{\varepsilon }}\left({\frac {x+1}{\varepsilon }}\right).}$$

Descomposición de ondas planas

Un enfoque para el estudio de una ecuación diferencial parcial lineal.

$${\displaystyle L[u]=f,}$$

donde L es un operador diferencial sobre R ⁿ , es buscar primero una solución fundamental, que es una solución de la ecuación

$${\displaystyle L[u]=\delta .}$$

Cuando L es particularmente simple, este problema a menudo se puede resolver usando directamente la transformada de Fourier (como en el caso del núcleo de Poisson y el núcleo de calor ya mencionados). Para operadores más complicados, a veces es más fácil considerar primero una ecuación de la forma

$${\displaystyle L[u]=h}$$

donde h es una función de onda plana , lo que significa que tiene la forma

$${\displaystyle h=h(x\cdot \xi )}$$

para algún vector ξ . Tal ecuación se puede resolver (si los coeficientes de L son funciones analíticas ) mediante el teorema de Cauchy-Kovalevskaya o (si los coeficientes de L son constantes) mediante cuadratura. Entonces, si la función delta se puede descomponer en ondas planas, entonces, en principio, se pueden resolver ecuaciones diferenciales parciales lineales.

Tal descomposición de la función delta en ondas planas fue parte de una técnica general introducida por primera vez esencialmente por Johann Radon y luego desarrollada de esta forma por Fritz John (1955). ^[63] Elija k de modo que n + k sea un número entero par, y para un número real s , ponga

$${\displaystyle g(s)=\operatorname {Re} \left[{\frac {-s^{k}\log(-is)}{k!(2\pi i)^{n}}}\right]={\begin{cases}{\frac {|s|^{k}}{4k!(2\pi i)^{n-1}}}&n{\text{ odd}}\\[5pt]-{\frac {|s|^{k}\log |s|}{k!(2\pi i)^{n}}}&n{\text{ even.}}\end{cases}}}$$

Entonces δ se obtiene aplicando una potencia del Laplaciano a la integral con respecto a la medida de esfera unitaria dω de g ( x · ξ ) para ξ en la esfera unitaria S ^{n −1} :

$${\displaystyle \delta (x)=\Delta _{x}^{(n+k)/2}\int _{S^{n-1}}g(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}$$

El laplaciano aquí se interpreta como una derivada débil, por lo que se entiende que esta ecuación significa que, para cualquier función de prueba φ ,

$${\displaystyle \varphi (x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\varphi (y)\,dy\,\Delta _{x}^{\frac {n+k}{2}}\int _{S^{n-1}}g((x-y)\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}$$

El resultado se desprende de la fórmula del potencial newtoniano (la solución fundamental de la ecuación de Poisson). Esta es esencialmente una forma de fórmula de inversión para la transformada de radón porque recupera el valor de φ ( x ) de sus integrales sobre hiperplanos. Por ejemplo, si n es impar y k = 1 , entonces la integral del lado derecho es

$${\displaystyle {\begin{aligned}&c_{n}\Delta _{x}^{\frac {n+1}{2}}\iint _{S^{n-1}}\varphi (y)|(y-x)\cdot \xi |\,d\omega _{\xi }\,dy\\[5pt]&\qquad =c_{n}\Delta _{x}^{(n+1)/2}\int _{S^{n-1}}\,d\omega _{\xi }\int _{-\infty }^{\infty }|p|R\varphi (\xi ,p+x\cdot \xi )\,dp\end{aligned}}}$$

donde Rφ ( ξ , p ) es la transformada de radón de φ :

$${\displaystyle R\varphi (\xi ,p)=\int _{x\cdot \xi =p}f(x)\,d^{n-1}x.}$$

Una expresión equivalente alternativa de la descomposición de la onda plana es: ^[64]

$${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}{\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}\displaystyle \int _{S^{n-1}}(x\cdot \xi )^{-n}\,d\omega _{\xi }&n{\text{ even}}\\{\frac {1}{2(2\pi i)^{n-1}}}\displaystyle \int _{S^{n-1}}\delta ^{(n-1)}(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }&n{\text{ odd}}.\end{cases}}}$$

Núcleos de Fourier

En el estudio de las series de Fourier , una cuestión importante consiste en determinar si y en qué sentido la serie de Fourier asociada a una función periódica converge a la función. La n -ésima suma parcial de la serie de Fourier de una función f del período 2π se define por convolución (en el intervalo [−π,π] ) con el núcleo de Dirichlet :

$${\displaystyle D_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}e^{inx}={\frac {\sin \left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}.}$$

$${\displaystyle s_{N}(f)(x)=D_{N}*f(x)=\sum _{n=-N}^{N}a_{n}e^{inx}}$$

$${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)e^{-iny}\,dy.}$$

[−π,π]N → ∞

$${\displaystyle s_{N}(f)(0)=\int _{-\pi }^{\pi }D_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)}$$

suave con soporte compacto f

$${\displaystyle \delta (x)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}}$$

[−π,π]

A pesar de esto, el resultado no es válido para todas las funciones continuas soportadas de forma compacta : es decir, D _N no converge débilmente en el sentido de medidas. La falta de convergencia de las series de Fourier ha llevado a la introducción de una variedad de métodos de sumabilidad para producir convergencia. El método de suma de Cesàro conduce al núcleo de Fejér ^[65]

$${\displaystyle F_{N}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}D_{n}(x)={\frac {1}{N}}\left({\frac {\sin {\frac {Nx}{2}}}{\sin {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}.}$$

Los núcleos de Fejér tienden a la función delta en un sentido más fuerte que ^[66]

$${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }F_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)}$$

para cada función continua soportada de forma compacta f . La implicación es que la serie de Fourier de cualquier función continua es Cesàro sumable al valor de la función en cada punto.

Teoría del espacio de Hilbert

La distribución delta de Dirac es una funcional lineal ilimitada densamente definida en el espacio de Hilbert L 2 de funciones integrables al cuadrado . De hecho, las funciones suaves y con soporte compacto son densas en L ² y la acción de la distribución delta sobre dichas funciones está bien definida. En muchas aplicaciones, es posible identificar subespacios de L ² y dar una topología más sólida en la que la función delta define un funcional lineal acotado .

espacios de sobolev

El teorema de incrustación de Sobolev para espacios de Sobolev en la recta real R implica que cualquier función f integrable al cuadrado tal que

$${\displaystyle \|f\|_{H^{1}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(\xi )|^{2}(1+|\xi |^{2})\,d\xi <\infty }$$

es automáticamente continuo y satisface en particular

$${\displaystyle \delta [f]=|f(0)|<C\|f\|_{H^{1}}.}$$

Por tanto, δ es un funcional lineal acotado en el espacio de Sobolev H ¹ . De manera equivalente, δ es un elemento del espacio dual continuo H ⁻¹ de H ¹ . De manera más general, en n dimensiones, se tiene δ ∈ H ^{− s} ( R ⁿ ) siempre que s >norte/2.

Espacios de funciones holomorfas.

En el análisis complejo , la función delta ingresa a través de la fórmula integral de Cauchy , que afirma que si D es un dominio en el plano complejo con límite suave, entonces

$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}},\quad z\in D}$$

para todas las funciones holomorfas f en D que son continuas en el cierre de D . Como resultado, la función delta δ _z está representada en esta clase de funciones holomorfas por la integral de Cauchy:

$${\displaystyle \delta _{z}[f]=f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}}.}$$

Además, sea H ² (∂ D ) el espacio de Hardy que consiste en el cierre en L ² (∂ D ) de todas las funciones holomorfas en D continuas hasta el límite de D . Entonces las funciones en H ² (∂ D ) se extienden únicamente a funciones holomorfas en D , y la fórmula integral de Cauchy continúa siendo válida. En particular para z ∈ D , la función delta δ _z es una funcional lineal continua en H ² (∂ D ) . Este es un caso especial de la situación en varias variables complejas en las que, para dominios suaves D , el núcleo de Szegő desempeña el papel de la integral de Cauchy. ^[67]

Resoluciones de la identidad

Dado un conjunto completo de funciones de base ortonormal { φ _n } en un espacio de Hilbert separable, por ejemplo, los vectores propios normalizados de un operador autoadjunto compacto , cualquier vector f puede expresarse como

$${\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}\varphi _{n}.}$$

_n

$${\displaystyle \alpha _{n}=\langle \varphi _{n},f\rangle ,}$$

$${\displaystyle \alpha _{n}=\varphi _{n}^{\dagger }f,}$$

notación bra-ket^[68]fdiádica^[69]

$${\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\left(\varphi _{n}^{\dagger }f\right).}$$

Denotando con I el operador identidad en el espacio de Hilbert, la expresión

$${\displaystyle I=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger },}$$

Se llama resolución de la identidad . Cuando el espacio de Hilbert es el espacio L ² ( D ) de funciones integrables al cuadrado en un dominio D , la cantidad:

$${\displaystyle \varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger },}$$

es un operador integral y la expresión para f se puede reescribir

$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{D}\,\left(\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi )\right)f(\xi )\,d\xi .}$$

El lado derecho converge a f en el sentido L ² . No es necesario que se cumpla en un sentido puntual, incluso cuando f es una función continua. Sin embargo, es común abusar de la notación y escribir

$${\displaystyle f(x)=\int \,\delta (x-\xi )f(\xi )\,d\xi ,}$$

dando como resultado la representación de la función delta: ^[70]

$${\displaystyle \delta (x-\xi )=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi ).}$$

Con un espacio de Hilbert amañado adecuado (Φ, L ² ( D ), Φ*) donde Φ ⊂ L ² ( D ) contiene todas las funciones suaves soportadas de forma compacta, esta suma puede converger en Φ* , dependiendo de las propiedades de la base φ _n . En la mayoría de los casos de interés práctico, la base ortonormal proviene de un operador integral o diferencial, en cuyo caso la serie converge en el sentido de la distribución . ^[71]

Funciones delta infinitesimales

Cauchy usó un α infinitesimal para escribir un impulso unitario, una función delta infinitamente alta y estrecha de tipo Dirac δ _α que satisfizo en varios artículos en 1827. ^[72] Cauchy definió un infinitesimal en Cours d'Analyse (1827) en términos de una secuencia que tiende a cero. Es decir, tal secuencia nula se vuelve infinitesimal en la terminología de Cauchy y Lazare Carnot . ${\textstyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)\,dx=F(0)}$

El análisis no estándar permite tratar rigurosamente los infinitesimales. El artículo de Yamashita (2007) contiene una bibliografía sobre las funciones delta de Dirac modernas en el contexto de un continuo enriquecido infinitamente proporcionado por los hiperreales . Aquí el delta de Dirac puede estar dado por una función real, teniendo la propiedad de que para cada función real F se tiene como anticiparon Fourier y Cauchy. ${\textstyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)\,dx=F(0)}$

peine de dirac

Un peine de Dirac es una serie infinita de funciones delta de Dirac espaciadas a intervalos de T

Un llamado "tren de pulsos" uniforme de medidas delta de Dirac, que se conoce como peine de Dirac , o como distribución Sha , crea una función de muestreo , a menudo utilizada en el procesamiento de señales digitales (DSP) y el análisis de señales en tiempo discreto. El peine de Dirac se da como la suma infinita , cuyo límite se entiende en el sentido de distribución,

$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} (x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n),}$$

que es una secuencia de masas puntuales en cada uno de los números enteros.

Hasta una constante de normalización general, el peine de Dirac es igual a su propia transformada de Fourier. Esto es significativo porque si f es cualquier función de Schwartz , entonces la periodización de f viene dada por la convolución

$${\displaystyle (f*\operatorname {\text{Ш}} )(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x-n).}$$

$${\displaystyle (f*\operatorname {\text{Ш}} )^{\wedge }={\widehat {f}}{\widehat {\operatorname {\text{Ш}} }}={\widehat {f}}\operatorname {\text{Ш}} }$$

fórmula de suma de Poisson^{[73] [74]}f ${\displaystyle {\widehat {f}}}$

Teorema de Sokhotski-Plemelj

El teorema de Sokhotski-Plemelj , importante en mecánica cuántica, relaciona la función delta con la distribución pv1/X, el valor principal de Cauchy de la función1/X, definido por

$${\displaystyle \left\langle \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}},\varphi \right\rangle =\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\varepsilon }{\frac {\varphi (x)}{x}}\,dx.}$$

La fórmula de Sokhotsky establece que ^[75]

$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),}$$

Aquí el límite se entiende en el sentido de distribución, que para todas las funciones suaves f soportadas de forma compacta ,

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi f(0)+\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\varepsilon }{\frac {f(x)}{x}}\,dx.}$$

Relación con el delta del Kronecker

El delta de Kronecker δ _ij es la cantidad definida por

$${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\not =j\end{cases}}}$$

para todos los números enteros i , j . Esta función entonces satisface el siguiente análogo de la propiedad de tamizado: si a _i (para i en el conjunto de todos los números enteros) es cualquier secuencia doblemente infinita , entonces

$${\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ik}=a_{k}.}$$

De manera similar, para cualquier función continua f de valor real o complejo en R , el delta de Dirac satisface la propiedad de tamizado

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-x_{0})\,dx=f(x_{0}).}$$

Esto muestra la función delta de Kronecker como un análogo discreto de la función delta de Dirac. ^[76]

Aplicaciones

Teoría de probabilidad

En teoría de probabilidad y estadística , la función delta de Dirac se utiliza a menudo para representar una distribución discreta , o una distribución parcialmente discreta y parcialmente continua , utilizando una función de densidad de probabilidad (que normalmente se utiliza para representar distribuciones absolutamente continuas). Por ejemplo, la función de densidad de probabilidad f ( x ) de una distribución discreta que consta de puntos x = { x ₁ , ..., x _n } , con las correspondientes probabilidades p ₁ , ..., p _n , se puede escribir como

$${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}).}$$

Como otro ejemplo, considere una distribución en la que 6/10 del tiempo devuelve una distribución normal estándar y 4/10 del tiempo devuelve exactamente el valor 3,5 (es decir, una distribución mixta parcialmente continua y parcialmente discreta ). La función de densidad de esta distribución se puede escribir como

$${\displaystyle f(x)=0.6\,{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}+0.4\,\delta (x-3.5).}$$

La función delta también se utiliza para representar la función de densidad de probabilidad resultante de una variable aleatoria que se transforma mediante una función continuamente diferenciable. Si Y = g( X ) es una función derivable continua, entonces la densidad de Y se puede escribir como

$${\displaystyle f_{Y}(y)=\int _{-\infty }^{+\infty }f_{X}(x)\delta (y-g(x))\,dx.}$$

La función delta también se utiliza de una manera completamente diferente para representar el tiempo local de un proceso de difusión (como el movimiento browniano ). La hora local de un proceso estocástico B ( t ) viene dada por

$${\displaystyle \ell (x,t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B(s))\,ds}$$

x

$${\displaystyle \ell (x,t)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{0}^{t}\mathbf {1} _{[x-\varepsilon ,x+\varepsilon ]}(B(s))\,ds}$$

función indicadora ${\displaystyle \mathbf {1} _{[x-\varepsilon ,x+\varepsilon ]}}$ ${\displaystyle [x-\varepsilon ,x+\varepsilon ].}$

Mecánica cuántica

La función delta es útil en mecánica cuántica . La función de onda de una partícula da la amplitud de probabilidad de encontrar una partícula dentro de una región determinada del espacio. Se supone que las funciones de onda son elementos del espacio de Hilbert L ² de funciones integrables al cuadrado , y la probabilidad total de encontrar una partícula dentro de un intervalo dado es la integral de la magnitud de la función de onda al cuadrado en el intervalo. Un conjunto { | φ _n ⟩ } de funciones de onda es ortonormal si están normalizadas por

$${\displaystyle \langle \varphi _{n}\mid \varphi _{m}\rangle =\delta _{nm}}$$

donde δ es el delta de Kronecker. Un conjunto de funciones de onda ortonormales está completo en el espacio de funciones integrables al cuadrado si cualquier función de onda |ψ⟩ se puede expresar como una combinación lineal de { | φ _n ⟩ } con coeficientes complejos:

$${\displaystyle \psi =\sum c_{n}\varphi _{n},}$$

con c _norte = ⟨ φ _norte | ψ⟩ .​ Los sistemas ortonormales completos de funciones de onda aparecen naturalmente como funciones propias del hamiltoniano (de un sistema ligado ) en la mecánica cuántica que mide los niveles de energía, que se denominan valores propios. El conjunto de valores propios, en este caso, se conoce como espectro del hamiltoniano. En notación bracket , como arriba, esta igualdad implica la resolución de la identidad:

$${\displaystyle I=\sum |\varphi _{n}\rangle \langle \varphi _{n}|.}$$

Aquí se supone que los valores propios son discretos, pero el conjunto de valores propios de un observable puede ser continuo en lugar de discreto. Un ejemplo es la posición observable , Qψ ( x ) = x ψ( x ) . El espectro de la posición (en una dimensión) es toda la línea real y se llama espectro continuo . Sin embargo, a diferencia del hamiltoniano, el operador de posición carece de funciones propias adecuadas. La forma convencional de superar esta deficiencia es ampliar la clase de funciones disponibles permitiendo también distribuciones: es decir, reemplazar el espacio de Hilbert de la mecánica cuántica con un espacio de Hilbert amañado apropiado . ^[77] En este contexto, el operador de posición tiene un conjunto completo de distribuciones propias, etiquetadas por los puntos y de la línea real, dada por

$${\displaystyle \varphi _{y}(x)=\delta (x-y).}$$

Las funciones propias de posición se denotan por φ _y = | y ⟩ en notación de Dirac, y se conocen como estados propios de posición.

Se aplican consideraciones similares a los estados propios del operador de momento , o incluso a cualquier otro operador ilimitado autoadjunto P en el espacio de Hilbert, siempre que el espectro de P sea continuo y no haya valores propios degenerados. En ese caso, hay un conjunto Ω de números reales (el espectro) y una colección φ _y de distribuciones indexadas por los elementos de Ω , tal que

$${\displaystyle P\varphi _{y}=y\varphi _{y}.}$$

Es decir, φ _y son los vectores propios de P . Si los vectores propios se normalizan de modo que

$${\displaystyle \langle \varphi _{y},\varphi _{y'}\rangle =\delta (y-y')}$$

en el sentido de distribución, entonces para cualquier función de prueba ψ ,

$${\displaystyle \psi (x)=\int _{\Omega }c(y)\varphi _{y}(x)\,dy}$$

donde c ( y ) = ⟨ ψ , φ _y ⟩ . Es decir, como en el caso discreto, hay una resolución de la identidad

$${\displaystyle I=\int _{\Omega }|\varphi _{y}\rangle \,\langle \varphi _{y}|\,dy}$$

donde la integral valorada por el operador se entiende nuevamente en sentido débil. Si el espectro de P tiene partes continuas y discretas, entonces la resolución de la identidad implica una suma sobre el espectro discreto y una integral sobre el espectro continuo.

La función delta también tiene muchas aplicaciones más especializadas en mecánica cuántica, como los modelos de potencial delta para pozos de potencial simple y doble.

Mecánica estructural

La función delta se puede utilizar en mecánica estructural para describir cargas transitorias o cargas puntuales que actúan sobre estructuras. La ecuación rectora de un sistema simple masa-resorte excitado por un impulso de fuerza repentino I en el instante t = 0 se puede escribir

$${\displaystyle m{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+k\xi =I\delta (t),}$$

donde m es la masa, ξ es la deflexión y k es la constante del resorte .

Como otro ejemplo, la ecuación que gobierna la deflexión estática de una viga delgada es, según la teoría de Euler-Bernoulli ,

$${\displaystyle EI{\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}=q(x),}$$

donde EI es la rigidez a la flexión de la viga, w es la deflexión , x es la coordenada espacial y q ( x ) es la distribución de carga. Si una viga se carga mediante una fuerza puntual F en x = x ₀ , la distribución de carga se escribe

$${\displaystyle q(x)=F\delta (x-x_{0}).}$$

Como la integración de la función delta da como resultado la función de paso de Heaviside , se deduce que la deflexión estática de una viga delgada sujeta a múltiples cargas puntuales se describe mediante un conjunto de polinomios por partes .

Además, un momento puntual que actúa sobre una viga puede describirse mediante funciones delta. Considere dos fuerzas puntuales opuestas F separadas por una distancia d . Luego producen un momento M = Fd que actúa sobre la viga. Ahora, supongamos que la distancia d se acerque al límite cero, mientras M se mantiene constante. La distribución de carga, suponiendo un momento en el sentido de las agujas del reloj que actúa en x = 0 , se escribe

$${\displaystyle {\begin{aligned}q(x)&=\lim _{d\to 0}{\Big (}F\delta (x)-F\delta (x-d){\Big )}\\[4pt]&=\lim _{d\to 0}\left({\frac {M}{d}}\delta (x)-{\frac {M}{d}}\delta (x-d)\right)\\[4pt]&=M\lim _{d\to 0}{\frac {\delta (x)-\delta (x-d)}{d}}\\[4pt]&=M\delta '(x).\end{aligned}}}$$

Por tanto, los momentos puntuales pueden representarse mediante la derivada de la función delta. La integración de la ecuación de la viga nuevamente da como resultado una deflexión polinómica por partes .

Ver también

• Átomo (teoría de la medida)
• Laplaciano del indicador

Notas

1. atis 2013, impulso unitario.
2. Arfken y Weber 2000, pág. 84.
3. Dirac 1930, §22 La función δ .
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18. Dirac 1930, pag. 63.
19. Rudin 1966, §1.20
20. Hewitt y Stromberg 1963, §19.61.
21. Perforadores 2003, pag. 2321 Véase también Bracewell 1986, Capítulo 5 para una interpretación diferente. Existen otras convenciones para asignar el valor de la función de Heaviside en cero, y algunas de ellas no son consistentes con lo que sigue.
22. Hewitt y Stromberg 1963, §9.19.
23. Hazewinkel 2011, pag. 41.
24. Strichartz 1994, §2.2.
25. Hörmander 1983, Teorema 2.1.5.
26. Bracewell 1986, Capítulo 5.
27. Hörmander 1983, §3.1.
28. Strichartz 1994, §2.3.
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40. Gelfand y Shilov 1966-1968, vol. 1, §II.2.5.
41. Es posible un mayor refinamiento, concretamente a las sumersiones , aunque éstas requieren un cambio de fórmula de variables más complicado.
42. Hörmander 1983, §6.1.
43. Lange 2012, págs. 29-30.
44. Gelfand y Shilov 1966-1968, pag. 212.
45. Los factores numéricos dependen de las convenciones de la transformada de Fourier.
46. Bracewell 1986.
47. Gelfand y Shilov 1966-1968, pag. 26.
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54. Stein y Weiss 1971, teorema 1.18.
55. Rudin 1991, §II.6.31.
56. De manera más general, solo se necesita η = η ₁ para tener un reordenamiento decreciente integrable radialmente simétrico.
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64. Gelfand y Shilov 1966–1968, I, §3.10.
65. Lang 1997, pag. 312.
66. En la terminología de Lang (1997), el núcleo de Fejér es una secuencia de Dirac, mientras que el núcleo de Dirichlet no lo es.
67. Hazewinkel 1995, pág. 357.
68. El desarrollo de esta sección en notación de soporte se encuentra en (Levin 2002, Funciones de onda del espacio de coordenadas y completitud, págs. = 109 y siguientes ) .
69. Davis & Thomson 2000, Operadores perfectos, p.344.
70. Davis y Thomson 2000, Ecuación 8.9.11, pág. 344.
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enlaces externos

• Medios relacionados con la distribución de Dirac en Wikimedia Commons
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• Lección en video de KhanAcademy.org
• La función Dirac Delta, un tutorial sobre la función Dirac Delta.
• Conferencias en vídeo - Conferencia 23, una conferencia de Arthur Mattuck .
• La medida delta de Dirac es una hiperfunción
• Mostramos la existencia de una solución única y analizamos una aproximación por elementos finitos cuando el término fuente es una medida delta de Dirac
• Medidas no Lebesgue sobre la medida R. Lebesgue-Stieltjes, medida delta de Dirac. Archivado el 7 de marzo de 2008 en la Wayback Machine.