Laplaciano del indicador

En la teoría del potencial , una rama de las matemáticas , el laplaciano del indicador del dominio D es una generalización de la derivada de la función delta de Dirac a dimensiones superiores, y es distinto de cero solo en la superficie de D. Puede verse como la función delta prima de superficie . Es análoga a la segunda derivada de la función escalón de Heaviside en una dimensión. Puede obtenerse dejando que el operador de Laplace trabaje sobre la función indicadora de algún dominio D.

Se puede pensar que el laplaciano del indicador tiene valores infinitos positivos y negativos cuando se evalúa muy cerca del límite del dominio D. Desde un punto de vista matemático, no es estrictamente una función sino una función o medida generalizada . De manera similar a la derivada de la función delta de Dirac en una dimensión, el laplaciano del indicador solo tiene sentido como objeto matemático cuando aparece bajo un signo integral; es decir, es una función de distribución . Al igual que en la formulación de la teoría de la distribución, en la práctica se lo considera como un límite de una secuencia de funciones suaves; se puede tomar de manera significativa el laplaciano de una función de protuberancia , que es suave por definición, y dejar que la función de protuberancia se aproxime al indicador en el límite.

Historia

Una aproximación de la función indicadora negativa de una elipse en el plano (izquierda), la derivada en la dirección normal al límite (centro) y su laplaciano (derecha). En el límite, el gráfico más a la derecha va al laplaciano (negativo) del indicador. Hablando de manera puramente intuitiva, el gráfico más a la derecha se asemeja a un castillo elíptico con una muralla en el interior y un foso delante; en el límite, la muralla y el foso se vuelven infinitamente altos y profundos (y estrechos).

Paul Dirac introdujo la función δ de Dirac , como se la conoce hoy en día, en 1930. ^{[1] La función} $δ$ de Dirac unidimensional es distinta de cero solo en un único punto. Del mismo modo, la generalización multidimensional, como se hace habitualmente, es distinta de cero solo en un único punto. En coordenadas cartesianas, la función $δ$ de Dirac d -dimensional es un producto de d funciones $δ$ unidimensionales ; una para cada coordenada cartesiana (véase, por ejemplo, las generalizaciones de la función delta de Dirac ).

Sin embargo, es posible una generalización diferente. El punto cero, en una dimensión, puede considerarse como el límite de la semirrecta positiva. La función 1 _{x >0} es igual a 1 en la semirrecta positiva y cero en caso contrario, y también se conoce como la función escalonada de Heaviside . Formalmente, la función $δ de Dirac y su derivada (es decir, la$ función delta prima de superficie unidimensional ) pueden verse como la primera y segunda derivada de la función escalonada de Heaviside, es decir ∂ _x 1 _{x >0} y . $\partial _{x}^{2}\mathbf {1} _{x>0}$

El análogo de la función escalonada en dimensiones superiores es la función indicadora , que puede escribirse como 1 _{x ∈ D} , donde D es algún dominio. La función indicadora también se conoce como función característica. En analogía con el caso unidimensional, se han propuesto las siguientes generalizaciones de dimensiones superiores de la función $δ$ de Dirac y su derivada: ^[2]

{\begin{aligned}\delta (x)&\to -n_{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D},\\\delta '(x)&\to \nabla _{x}^{2}\mathbf {1} _{x\in D}.\end{aligned}}

Aquí n es el vector normal externo . Aquí la función $δ$ de Dirac se generaliza a una función delta de superficie en el límite de algún dominio D en d ≥ 1 dimensiones. Esta definición da el caso unidimensional habitual, cuando el dominio se toma como la semirrecta positiva. Es cero excepto en el límite del dominio D (donde es infinito), y se integra al área de superficie total que encierra a D , como se muestra a continuación.

$La función δ'$ de Dirac unidimensional se generaliza a una función delta prima de superficie multidimensional en el límite de algún dominio D en d ≥ 1 dimensiones. En una dimensión y tomando D igual a la semirrecta positiva, se puede recuperar la función $δ'$ unidimensional habitual .

Tanto la derivada normal del indicador como el laplaciano del indicador están soportados por superficies en lugar de puntos . La generalización es útil, por ejemplo, en mecánica cuántica, ya que las interacciones superficiales pueden conducir a condiciones de contorno en d > 1, mientras que las interacciones puntuales no pueden. Naturalmente, las interacciones puntuales y superficiales coinciden para d = 1. Tanto las interacciones superficiales como las puntuales tienen una larga historia en mecánica cuántica, y existe una literatura considerable sobre los llamados potenciales delta superficiales o interacciones delta-esfera. ^{[3] Las funciones delta superficiales utilizan la función} $δ$ de Dirac unidimensional , pero como una función de la coordenada radial r , por ejemplo δ( r − R ) donde R es el radio de la esfera.

Aunque aparentemente mal definidas, las derivadas de la función indicadora pueden definirse formalmente utilizando la teoría de distribuciones o funciones generalizadas : se puede obtener una prescripción bien definida postulando que el laplaciano del indicador, por ejemplo, se define mediante dos integraciones por partes cuando aparece bajo un signo integral. Alternativamente, el indicador (y sus derivadas) pueden aproximarse utilizando una función de protuberancia (y sus derivadas). El límite, donde la función de protuberancia (suave) se acerca a la función indicadora, debe entonces colocarse fuera de la integral.

Función delta prima de superficie de Dirac

En esta sección se demostrará que el laplaciano del indicador es una función delta prima de superficie . La función delta de superficie se considerará a continuación.

Primero, para una función f en el intervalo ( a , b ), recordemos el teorema fundamental del cálculo

\int _{a}^{b}{\frac {\parcial f(x)}{\parcial x}}\,dx={\underset {x\nearrow b}{\lim }}f(x)-{\underset {x\searrow a}{\lim }}f(x),

suponiendo que f es localmente integrable. Ahora bien, para a < b se sigue, procediendo heurísticamente, que

{\begin{aligned}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\partial ^{2}\mathbf {1} _{a<x<b}}{\partial x^{2}}}\,f(x)\;dx&=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathbf {1} _{a<x<b}{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x^{2}}}\;dx,\\&=\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x^{2}}}\;dx,\\&=\displaystyle {\Big (}{\underset {x\nearrow b}{\lim }}-{\underset {x\searrow a}{\lim }}{\Big )}{\frac {\parcial f(x)}{\parcial x}}.\end{alineado}}

Aquí 1 _{a < x < b} es la función indicadora del dominio a < x < b . El indicador es igual a uno cuando se satisface la condición en su subíndice, y cero en caso contrario. En este cálculo, dos integraciones por partes (combinadas con el teorema fundamental del cálculo como se muestra arriba) muestran que la primera igualdad se cumple; los términos de contorno son cero cuando a y b son finitos, o cuando f se desvanece en el infinito. La última igualdad muestra una suma de derivadas normales externas, donde la suma está sobre los puntos de contorno a y b , y donde los signos se siguen de la dirección externa (es decir, positivo para b y negativo para a ). Aunque las derivadas del indicador no existen formalmente, seguir las reglas usuales de integración parcial proporciona el resultado 'correcto'. Cuando se considera un dominio finito d -dimensional D , se espera que la suma sobre las derivadas normales externas se convierta en una integral , lo que se puede confirmar de la siguiente manera:

{\begin{aligned}\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}^{2}\mathbf {1} _{x\in D}\,f(x)\;dx&=\int _{\mathbf {R} ^{d}}\mathbf {1} _{x\in D}\,\nabla _{x}^{2}f(x)\;dx,\\&=\int _{D}\,\nabla _{x}^{2}f(x)\;dx,\\&=\oint _{\partial D}\,{\underset {x\to \beta }{\lim }}n_{\beta }\cdot \nabla _{x}f(x)\;d\beta .\end{aligned}}

donde el límite es de x aproximándose a la superficie β desde el interior del dominio D , n _β es el vector unitario normal a la superficie β, y ∇ _x es ahora el operador de gradiente multidimensional. Como antes, la primera igualdad sigue por dos integraciones por partes (en dimensiones superiores esto procede por la segunda identidad de Green ) donde los términos de contorno desaparecen mientras el dominio D sea finito o si f se desvanece en el infinito; p. ej., tanto 1 _{x ∈ D} como ∇ _x 1 _{x ∈ D} son cero cuando se evalúan en el 'límite' de R ^d cuando el dominio D es finito. La tercera igualdad sigue por el teorema de divergencia y muestra, de nuevo, una suma (o, en este caso, una integral) de derivadas normales hacia afuera sobre todas las ubicaciones de contorno. El teorema de divergencia es válido para dominios suaves por partes D , y por lo tanto D necesita ser suave por partes.

Por lo tanto, la función delta prima de superficie (también conocida como función $δ'$ de Dirac ) existe en una superficie lisa por partes y es equivalente al laplaciano de la función indicadora del dominio D comprendido por esa superficie lisa por partes. Naturalmente, la diferencia entre un punto y una superficie desaparece en una dimensión.

En electrostática, un dipolo de superficie (o potencial de doble capa ) se puede modelar mediante la distribución límite del Laplaciano del indicador.

El cálculo anterior se deriva de la investigación sobre integrales de trayectoria en física cuántica. ^[2]

Función delta de superficie de Dirac

Esta sección demostrará que la derivada normal (interna) del indicador es una función delta de superficie .

Para un dominio finito D o cuando f se anula en el infinito, se deduce por el teorema de divergencia que

\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}^{2}\left(\mathbf {1} _{x\in D}\,f(x)\right)\;dx=0.

Por la regla del producto , se deduce que

\int _{\mathbf {R} ^{d}}\,\nabla _{x}^{2}\mathbf {1} _{x\in D}\,f(x)\;dx+\int _{\mathbf {R} ^{d}}\mathbf {1} _{x\in D}\,\nabla _{x}^{2}f(x)\;dx=-2\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D}\cdot \nabla _{x}f(x)\;dx.

Siguiendo el análisis de la sección anterior, los dos términos del lado izquierdo son iguales y, por lo tanto,

\oint _{\partial D}\,{\underset {\alpha \to \beta }{\lim }}n_{\beta }\cdot \nabla _{\alpha }f(\alpha )\;d\beta =-\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D}\cdot \nabla _{x}f(x)\;dx.

El gradiente del indicador se anula en todas partes, excepto cerca del límite de D , donde apunta en la dirección normal. Por lo tanto, solo es relevante el componente de ∇ _x f ( x ) en la dirección normal. Supóngase que, cerca del límite, ∇ _x f ( x ) es igual a n _x g ( x ), donde g es alguna otra función. Entonces se deduce que

\oint _{\partial D}\,g(\beta )\;d\beta =-\int _{\mathbf {R} ^{d}}\,\nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D}\,\cdot \,n_{x}\,g(x)\;dx.

La normal externa n _x originalmente se definió sólo para x en la superficie, pero se puede definir que existe para todo x ; por ejemplo, tomando la normal externa del punto límite más cercano a x .

El análisis anterior muestra que − n _x ⋅ ∇ _x 1 _{x ∈ D} puede considerarse como la generalización de superficie de la función delta de Dirac unidimensional . Al establecer la función g igual a uno, se deduce que la derivada normal interna del indicador se integra al área de superficie de D .

En electrostática, las densidades de carga superficial (o capas límite individuales ) se pueden modelar utilizando la función delta de superficie como se indicó anteriormente. La función delta de Dirac habitual se puede utilizar en algunos casos, por ejemplo, cuando la superficie es esférica. En general, la función delta de superficie analizada aquí se puede utilizar para representar la densidad de carga superficial en una superficie de cualquier forma.

El cálculo anterior se deriva de la investigación sobre integrales de trayectoria en física cuántica. ^[2]

Aproximaciones por funciones de relieve

En esta sección se muestra cómo las derivadas del indicador pueden tratarse numéricamente bajo un signo integral.

En principio, el indicador no se puede diferenciar numéricamente, ya que su derivada es cero o infinita. Pero, para fines prácticos, el indicador se puede aproximar mediante una función de protuberancia , indicada por I _ε ( x ) y que se aproxima al indicador para ε → 0. Son posibles varias opciones, pero es conveniente dejar que la función de protuberancia sea no negativa y aproximarse al indicador desde abajo , es decir

{\begin{aligned}0\leq I_{\varepsilon }(x)&\leq \mathbf {1} _{{x}\in D}\quad \forall \varepsilon >0\\{\underset {\varepsilon \searrow 0}{\lim }}\;I_{\varepsilon }(x)&=\mathbf {1} _{x\in D}\end{aligned}}

Esto garantiza que la familia de funciones de protuberancia sea idénticamente cero fuera de D. Esto es conveniente, ya que es posible que la función f solo esté definida en el interior de D. Para f definida en D , obtenemos lo siguiente:

{\begin{aligned}-{\underset {\varepsilon \searrow 0}{\lim }}\int _{\mathbf {R} ^{d}}\,f(x)\,n_{x}\cdot \nabla _{x}I_{\varepsilon }(x)\;dx&=\oint _{\partial D}\,{\underset {\alpha \to \beta }{\lim }}f(\alpha )\;d\beta ,\\{\underset {\varepsilon \searrow 0}{\lim }}\,\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}^{2}I_{\varepsilon }(x)\,f(x)\;dx&=\oint _{\partial D}\,{\underset {\alpha \to \beta }{\lim }}n_{\beta }\cdot \nabla _{\alpha }f(\alpha )\;d\beta ,\end{aligned}}

donde la coordenada interior α se aproxima a la coordenada límite β desde el interior de D , y donde no hay ningún requisito de que f exista fuera de D .

Cuando f se define en ambos lados del límite y, además, es diferenciable a través del límite de D , entonces es menos crucial cómo la función de relieve se aproxima al indicador.

Funciones de prueba discontinuas

Si la función de prueba f es posiblemente discontinua a través del límite, entonces la teoría de distribución para funciones discontinuas puede usarse para dar sentido a las distribuciones de superficie, ver por ejemplo la sección V en . ^[4] En la práctica, para la función delta de superficie esto usualmente significa promediar el valor de f en ambos lados del límite de D antes de integrar sobre el límite. De la misma manera, para la función delta prima de superficie usualmente significa promediar la derivada normal externa de f en ambos lados del límite del dominio D antes de integrar sobre el límite.

Aplicaciones

Mecánica cuántica

En mecánica cuántica , las interacciones puntuales son bien conocidas y existe una gran cantidad de literatura sobre el tema. Un ejemplo bien conocido de un potencial singular unidimensional es la ecuación de Schrödinger con un potencial delta de Dirac . ^[5]^{[6] El potencial}primo delta de Dirac unidimensional , por otro lado, ha causado controversia. ^[7]^[8]^[9] La controversia aparentemente fue resuelta por un artículo independiente, ^[10] aunque incluso este artículo atrajo críticas posteriores. ^[2]^[11]

Recientemente se ha prestado mucha más atención al potencial primo delta de Dirac unidimensional. ^[12]^[13]^[14]^[15]^[16]^[17]^[18]^[19]^[20]^{[21] [22}^]^[23]^[^{24 ]}^{[25] [26]}^[27]^[28]

Un punto en la línea unidimensional puede considerarse tanto como un punto como una superficie; un punto marca el límite entre dos regiones. Por lo tanto, se han realizado dos generalizaciones de la función delta de Dirac a dimensiones superiores: la generalización a un punto multidimensional, ^[29]^[30] así como la generalización a una superficie multidimensional. ^[2]^[31]^[32]^[33]^[34]

Las primeras generalizaciones se conocen como interacciones puntuales, mientras que las segundas se conocen con otros nombres, por ejemplo, "interacciones delta-esfera" e "interacciones delta-superficie". Las segundas generalizaciones pueden utilizar derivadas del indicador, como se explica aquí, o la función $δ$ de Dirac unidimensional como función de la coordenada radial r .

Dinámica de fluidos

El laplaciano del indicador se ha utilizado en dinámica de fluidos, por ejemplo para modelar las interfaces entre diferentes medios. ^[35]^[36]^[37]^[38]^[39]^[40]

Reconstrucción de superficies

La divergencia del indicador y el laplaciano del indicador (o de la función característica , como también se conoce al indicador) se han utilizado como información de muestra a partir de la cual se pueden reconstruir superficies. ^[41]^[42]

Véase también

Potencial delta : modelo de un potencial energético en mecánica cuántica
Función delta de Dirac : función generalizada cuyo valor es cero en todas partes excepto en cero
Distribución (matemáticas) : término de análisis matemático similar a función generalizada.
Potencial de doble capa : solución de la ecuación de Laplace
Electrostática : estudio de cargas eléctricas estacionarias o de movimiento lento.
Función generalizada – Objetos que extienden la noción de funciones
Función indicadora : Función matemática que caracteriza la pertenencia a un conjunto.
Teoría del potencial : funciones armónicas como soluciones de la ecuación de Laplace

Referencias

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